【新课预习衔接】2.1直线的倾斜角与斜率（含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 【新课预习衔接】2.1直线的倾斜角与斜率（含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册人教A版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 66.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 20:19:09 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 直线的倾斜角与斜率
一．选择题（共5小题）
1．（2024 叙州区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+5＝0的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 盐田区校级期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024 滕州市期末）直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
4．（2024 青铜峡市校级期末）若直线l经过两点A（2，m），B（﹣m，2m﹣1）且l的倾斜角为45°，则m的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
5．（2024 响水县校级期末）已知A（1，2），B（﹣2，0），过点C（﹣1，4）的直线l与线段AB不相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A．k＞1或k＜﹣4 B．﹣4＜k＜1 C．﹣1＜k＜4 D．k＞4或k＜﹣1
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024秋 涉县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．直线xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件
C．过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
D．经过平面内任意相异两点（x1，y1），（x2，y2）的直线都可以用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
三．填空题（共3小题）
8．（2024 长宁区校级期末）直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角的取值范围是 ．
9．（2024春 徐汇区校级期末）已知两点P（m，2），Q（2，4）所在直线的斜率为1，则m＝ ．
10．（2024春 虹口区校级期中）若（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 ．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 湖北月考）已知坐标平面内两点M（m+3，3m+5），N（2m﹣1，1）．
（1）当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
（2）若直线MN的方向向量为，求m的值．
12．（2023春 井冈山市校级期末）已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上．
（1）求直线AB的斜率；
（2）求ab的最大值．
13．（2022秋 广河县校级期末）判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行：
（1）l1的斜率为2，l2经过点A（1，2），B（4，8）；
（2）l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），l2平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），l2经过点R（﹣4，3），S（0，5）．
14．（2024 雅安期中）直线过点P（）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
15．（2021秋 新化县期末）已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．
新课预习衔接 直线的倾斜角与斜率
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 叙州区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+5＝0的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案．
【解答】解：设直线x﹣y+5＝0的倾斜角为α，
直线x﹣y+5＝0的方程可化为y＝x+5，
所以斜率为k＝tanα＝1，
因为0≤α＜π，所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2．（2024 盐田区校级期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线l1的斜率，结合l1⊥l2，求得，得到，即可求解．
【解答】解：因为直线l1过，B（4，0）两点，可得，
又因为l1⊥l2，所以，可得，
设直线l2的倾斜角为α，则，因为α∈（0，π），所以，
所以直线l2的倾斜角为．
故选：A．
【点评】本题考查了直线倾斜角的求解，属于基础题．
3．（2024 滕州市期末）直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】B
【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率k，利用斜率与倾斜角的关系即可算出所求的倾斜角大小．
【解答】解：∵直线的斜率k
∴直线的倾斜角α满足tanα，
结合0°≤α＜180°，可得α＝120°
故选：B．
【点评】本题给出直线方程，求直线的倾斜角的大小．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．
4．（2024 青铜峡市校级期末）若直线l经过两点A（2，m），B（﹣m，2m﹣1）且l的倾斜角为45°，则m的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】对应思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】D
【分析】根据倾斜角的定义得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：由题意得：
1，解得：m．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的斜率，倾斜角问题，是基础题．
5．（2024 响水县校级期末）已知A（1，2），B（﹣2，0），过点C（﹣1，4）的直线l与线段AB不相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A．k＞1或k＜﹣4 B．﹣4＜k＜1 C．﹣1＜k＜4 D．k＞4或k＜﹣1
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】根据A，B，C三点的坐标，写出直线AC、BC的斜率，再由直线l与线段AB无交点，得解．
【解答】解：因为A（1，2），B（﹣2，0），C（﹣1，4），
所以直线AC的斜率kAC＝﹣1，直线BC的斜率kBC＝4，
因为直线l过点C（﹣1，4）与线段AB不相交，
所以kAC＜k＜kBC，
即k的取值范围是（﹣1，4）．
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024秋 涉县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．直线xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件
C．过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
D．经过平面内任意相异两点（x1，y1），（x2，y2）的直线都可以用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的两点式方程；直线的倾斜角．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】AD
【分析】对于A：根据tanθ＝﹣sinα∈[﹣1，1]可求倾斜角θ的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出a的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示．
【解答】解：对于A：直线的倾斜角为θ，则tanθ＝﹣sinα∈[﹣1，1]，
因为0≤θ＜π，所以，故A正确；
对于B：当a＝﹣1时，直线x﹣y+1＝0与直线x+y﹣2＝0斜率分别为1，﹣1，斜率之积为﹣1，
故两直线相互垂直，所以充分性成立，
若“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直“，则a2+a＝0，
故a＝0或a＝﹣1，所以得不到a＝﹣1，故必要性不成立，故B错误；
对于C：截距为0时，设直线方程为y＝kx，又直线过点P（1，2），
所以可得k＝2，所以直线方程为y＝2x，
当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点P（1，2），
所以可得a＝3，所以直线方程为x+y﹣3＝0，
所以过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故C错误；
对于D：经过平面内任意相异两点（x1，y1），（x2，y2）的直线，
当斜率等于0时，y1＝y2，x1≠x2，方程为y＝y1，能用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示，
当斜率不存在时，y1≠y2，x1＝x2，方程为x＝x1，能用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示，
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，
也能用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了直线的倾斜角、两直线垂直的性质和截距相等直线方程的计算，属于中档题．
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；转化思想；运动思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABD
【分析】两圆 的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B．
求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．
【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，
∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x﹣y＝0，故A正确；
∵O1（1，0），O2（﹣1，2），O1O2所在直线斜率为﹣1，
∴线段AB的中垂线的方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B正确；
圆O1：x2+y2﹣2x＝0的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，
圆心O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离d．
∴P到直线AB距离的最大值为1，
圆O1与圆O2公共弦AB的长为2，故C错误，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 长宁区校级期末）直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角的取值范围是 [0，]∪[，π） ．
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】分类讨论；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】[0，]∪[，π）．
【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果．
【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π），
设直线的斜率为k，因为k＝tanα∈[﹣1，1]，
当﹣1≤k＜0时，则α∈[，π），
当0≤k≤1时，则α∈[0，]．
故倾斜角的范围为[0，]∪[，π）．
故答案为：[0，]∪[，π）．
【点评】本题考查由直线的斜率的范围求倾斜角的范围的方法，分类讨论的思想，属于基础题．
9．（2024春 徐汇区校级期末）已知两点P（m，2），Q（2，4）所在直线的斜率为1，则m＝ 0 ．
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点的斜率公式计算可得．
【解答】解：因为两点P（m，2），Q（2，4）所在直线的斜率为1，
所以，解得m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了直线的斜率，属于基础题．
10．（2024春 虹口区校级期中）若（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 ．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直线的法向量求出直线的方向向量，从而求出直线的倾斜角．
【解答】解：∵（﹣1，）是直线l的一个法向量，
∴可知直线l的一个方向向量为（，1），
直线l的倾斜角为α得，tanα
∴α
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的法向量和方向向量的关系，考查直线的倾斜角问题，是一道基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 湖北月考）已知坐标平面内两点M（m+3，3m+5），N（2m﹣1，1）．
（1）当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
（2）若直线MN的方向向量为，求m的值．
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）（，4）；
（2）m．
【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得k＝﹣2023，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）因为倾斜角θ为锐角，则k＝tanθ＞0，而k0，
即（3m+4）（m﹣4）＜0，解得：m＜4，
所以m的范围为（，4）；
（2）直线MN的方向向量为，可得k＝﹣2023，
解得：m．
【点评】本题考查直线的斜率的求法及直线的方向向量的应用，属于基础题．
12．（2023春 井冈山市校级期末）已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上．
（1）求直线AB的斜率；
（2）求ab的最大值．
【考点】直线的斜率；基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）﹣2；（2）．
【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答；
（2）先确定a，b满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答．
【解答】解：（1）由题意知，直线AB的斜率．
（2）当点P（a，b）在A，B两点之间时，
由点P（a，b）在线段AB上，
易知kAP＝kAB，即，
即b＝﹣2a+2（0＜a＜1），
当P与A，B重合时也满足b＝﹣2a+2，
因此b＝﹣2a+2（0≤a≤1），
亦即2a+b＝2，且0≤a≤1，0≤b≤2，
所以，
∴，
当且仅当2a＝b，即时，等号成立．
故ab的最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：两点间的斜率，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13．（2022秋 广河县校级期末）判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行：
（1）l1的斜率为2，l2经过点A（1，2），B（4，8）；
（2）l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），l2平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），l2经过点R（﹣4，3），S（0，5）．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求得AB的斜率与直线l1的斜率比较，即可判断；（2）求得PQ的斜率，与直线l2的斜率比较，可判断；（3）分别计算MN，RS的斜率，比较可判断．
【解答】解：（1）l2经过点A（1，2），B（4，8），可得kAB2，
则不同直线l1与l2的斜率相等，可得它们平行；
（2）l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），可得kPQ＝0，
l2平行于x轴，但不经过P，Q两点，即l2的斜率也为0，
即有它们的斜率相等，可得它们平行；
（3）l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），可得kMN，
l2经过点R（﹣4，3），S（0，5），可得kRS，
即有它们的斜率相等，可得它们平行．
【点评】本题考查两直线平行的判断，考查直线的斜率公式的运用，化简运算能力，是一道容易题．
14．（2024 雅安期中）直线过点P（）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】方程思想；分析法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】假设存在这样的直线满足条件，设直线方程为1（a＞0，b＞0），得到a，b的方程组，解方程可得a，b，即可判断存在性．
【解答】解：假设存在这样的直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．
设直线方程为1（a＞0，b＞0），
由条件①可知，a+b12．
由条件②可得ab＝6．
又直线过点P（），
∴1，
联立，得，
解得a＝4，b＝3，
则存在这样的直线，且所求直线方程为1．
【点评】本题考查直线的方程的求法，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于中档题．
15．（2021秋 新化县期末）已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．
【考点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程．
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）x﹣y﹣4＝0．
（2）x﹣y+2＝0或x﹣y﹣10＝0．
【分析】（1）根据直线的斜率求出直线l的倾斜角，可得要求直线的倾斜角和斜率，从而用点斜式求出它的方程．
（2）设直线m的方程为x﹣y+c＝0，根据点P到直线m的距离为3，求出c的值，可得结论．
【解答】解：（1）∵直线的方程为yx+1，
∴k，倾斜角α＝120°，
故所求直线的倾斜角为60°，即斜率为，
∵直线l经过点（，﹣1），
∴所求直线l方程为y+1（x），
即x﹣y﹣4＝0．
（2）∵直线m与l平行，可设直线m的方程为x﹣y+c＝0，
∴3，即|4+c|＝6，
∴c＝2或c＝﹣10，
∴所求直线m的方程为x﹣y+2＝0或x﹣y﹣10＝0．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
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新课预习衔接 直线的倾斜角与斜率
一．选择题（共5小题）
1．（2024 叙州区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+5＝0的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 盐田区校级期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024 滕州市期末）直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
4．（2024 青铜峡市校级期末）若直线l经过两点A（2，m），B（﹣m，2m﹣1）且l的倾斜角为45°，则m的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
5．（2024 响水县校级期末）已知A（1，2），B（﹣2，0），过点C（﹣1，4）的直线l与线段AB不相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A．k＞1或k＜﹣4 B．﹣4＜k＜1 C．﹣1＜k＜4 D．k＞4或k＜﹣1
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024秋 涉县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．直线xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件
C．过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
D．经过平面内任意相异两点（x1，y1），（x2，y2）的直线都可以用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
三．填空题（共3小题）
8．（2024 长宁区校级期末）直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角的取值范围是 ．
9．（2024春 徐汇区校级期末）已知两点P（m，2），Q（2，4）所在直线的斜率为1，则m＝ ．
10．（2024春 虹口区校级期中）若（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 ．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 湖北月考）已知坐标平面内两点M（m+3，3m+5），N（2m﹣1，1）．
（1）当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
（2）若直线MN的方向向量为，求m的值．
12．（2023春 井冈山市校级期末）已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上．
（1）求直线AB的斜率；
（2）求ab的最大值．
13．（2022秋 广河县校级期末）判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行：
（1）l1的斜率为2，l2经过点A（1，2），B（4，8）；
（2）l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），l2平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），l2经过点R（﹣4，3），S（0，5）．
14．（2024 雅安期中）直线过点P（）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
15．（2021秋 新化县期末）已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．
新课预习衔接 直线的倾斜角与斜率
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 叙州区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+5＝0的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案．
【解答】解：设直线x﹣y+5＝0的倾斜角为α，
直线x﹣y+5＝0的方程可化为y＝x+5，
所以斜率为k＝tanα＝1，
因为0≤α＜π，所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2．（2024 盐田区校级期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线l1的斜率，结合l1⊥l2，求得，得到，即可求解．
【解答】解：因为直线l1过，B（4，0）两点，可得，
又因为l1⊥l2，所以，可得，
设直线l2的倾斜角为α，则，因为α∈（0，π），所以，
所以直线l2的倾斜角为．
故选：A．
【点评】本题考查了直线倾斜角的求解，属于基础题．
3．（2024 滕州市期末）直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】B
【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率k，利用斜率与倾斜角的关系即可算出所求的倾斜角大小．
【解答】解：∵直线的斜率k
∴直线的倾斜角α满足tanα，
结合0°≤α＜180°，可得α＝120°
故选：B．
【点评】本题给出直线方程，求直线的倾斜角的大小．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．
4．（2024 青铜峡市校级期末）若直线l经过两点A（2，m），B（﹣m，2m﹣1）且l的倾斜角为45°，则m的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】对应思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】D
【分析】根据倾斜角的定义得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：由题意得：
1，解得：m．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的斜率，倾斜角问题，是基础题．
5．（2024 响水县校级期末）已知A（1，2），B（﹣2，0），过点C（﹣1，4）的直线l与线段AB不相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A．k＞1或k＜﹣4 B．﹣4＜k＜1 C．﹣1＜k＜4 D．k＞4或k＜﹣1
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】根据A，B，C三点的坐标，写出直线AC、BC的斜率，再由直线l与线段AB无交点，得解．
【解答】解：因为A（1，2），B（﹣2，0），C（﹣1，4），
所以直线AC的斜率kAC＝﹣1，直线BC的斜率kBC＝4，
因为直线l过点C（﹣1，4）与线段AB不相交，
所以kAC＜k＜kBC，
即k的取值范围是（﹣1，4）．
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024秋 涉县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．直线xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件
C．过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
D．经过平面内任意相异两点（x1，y1），（x2，y2）的直线都可以用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的两点式方程；直线的倾斜角．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】AD
【分析】对于A：根据tanθ＝﹣sinα∈[﹣1，1]可求倾斜角θ的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出a的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示．
【解答】解：对于A：直线的倾斜角为θ，则tanθ＝﹣sinα∈[﹣1，1]，
因为0≤θ＜π，所以，故A正确；
对于B：当a＝﹣1时，直线x﹣y+1＝0与直线x+y﹣2＝0斜率分别为1，﹣1，斜率之积为﹣1，
故两直线相互垂直，所以充分性成立，
若“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直“，则a2+a＝0，
故a＝0或a＝﹣1，所以得不到a＝﹣1，故必要性不成立，故B错误；
对于C：截距为0时，设直线方程为y＝kx，又直线过点P（1，2），
所以可得k＝2，所以直线方程为y＝2x，
当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点P（1，2），
所以可得a＝3，所以直线方程为x+y﹣3＝0，
所以过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故C错误；
对于D：经过平面内任意相异两点（x1，y1），（x2，y2）的直线，
当斜率等于0时，y1＝y2，x1≠x2，方程为y＝y1，能用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示，
当斜率不存在时，y1≠y2，x1＝x2，方程为x＝x1，能用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示，
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，
也能用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了直线的倾斜角、两直线垂直的性质和截距相等直线方程的计算，属于中档题．
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；转化思想；运动思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABD
【分析】两圆 的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B．
求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．
【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，
∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x﹣y＝0，故A正确；
∵O1（1，0），O2（﹣1，2），O1O2所在直线斜率为﹣1，
∴线段AB的中垂线的方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B正确；
圆O1：x2+y2﹣2x＝0的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，
圆心O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离d．
∴P到直线AB距离的最大值为1，
圆O1与圆O2公共弦AB的长为2，故C错误，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 长宁区校级期末）直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角的取值范围是 [0，]∪[，π） ．
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】分类讨论；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】[0，]∪[，π）．
【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果．
【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π），
设直线的斜率为k，因为k＝tanα∈[﹣1，1]，
当﹣1≤k＜0时，则α∈[，π），
当0≤k≤1时，则α∈[0，]．
故倾斜角的范围为[0，]∪[，π）．
故答案为：[0，]∪[，π）．
【点评】本题考查由直线的斜率的范围求倾斜角的范围的方法，分类讨论的思想，属于基础题．
9．（2024春 徐汇区校级期末）已知两点P（m，2），Q（2，4）所在直线的斜率为1，则m＝ 0 ．
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点的斜率公式计算可得．
【解答】解：因为两点P（m，2），Q（2，4）所在直线的斜率为1，
所以，解得m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了直线的斜率，属于基础题．
10．（2024春 虹口区校级期中）若（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 ．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直线的法向量求出直线的方向向量，从而求出直线的倾斜角．
【解答】解：∵（﹣1，）是直线l的一个法向量，
∴可知直线l的一个方向向量为（，1），
直线l的倾斜角为α得，tanα
∴α
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的法向量和方向向量的关系，考查直线的倾斜角问题，是一道基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 湖北月考）已知坐标平面内两点M（m+3，3m+5），N（2m﹣1，1）．
（1）当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
（2）若直线MN的方向向量为，求m的值．
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）（，4）；
（2）m．
【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得k＝﹣2023，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）因为倾斜角θ为锐角，则k＝tanθ＞0，而k0，
即（3m+4）（m﹣4）＜0，解得：m＜4，
所以m的范围为（，4）；
（2）直线MN的方向向量为，可得k＝﹣2023，
解得：m．
【点评】本题考查直线的斜率的求法及直线的方向向量的应用，属于基础题．
12．（2023春 井冈山市校级期末）已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上．
（1）求直线AB的斜率；
（2）求ab的最大值．
【考点】直线的斜率；基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）﹣2；（2）．
【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答；
（2）先确定a，b满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答．
【解答】解：（1）由题意知，直线AB的斜率．
（2）当点P（a，b）在A，B两点之间时，
由点P（a，b）在线段AB上，
易知kAP＝kAB，即，
即b＝﹣2a+2（0＜a＜1），
当P与A，B重合时也满足b＝﹣2a+2，
因此b＝﹣2a+2（0≤a≤1），
亦即2a+b＝2，且0≤a≤1，0≤b≤2，
所以，
∴，
当且仅当2a＝b，即时，等号成立．
故ab的最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：两点间的斜率，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13．（2022秋 广河县校级期末）判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行：
（1）l1的斜率为2，l2经过点A（1，2），B（4，8）；
（2）l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），l2平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），l2经过点R（﹣4，3），S（0，5）．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求得AB的斜率与直线l1的斜率比较，即可判断；（2）求得PQ的斜率，与直线l2的斜率比较，可判断；（3）分别计算MN，RS的斜率，比较可判断．
【解答】解：（1）l2经过点A（1，2），B（4，8），可得kAB2，
则不同直线l1与l2的斜率相等，可得它们平行；
（2）l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），可得kPQ＝0，
l2平行于x轴，但不经过P，Q两点，即l2的斜率也为0，
即有它们的斜率相等，可得它们平行；
（3）l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），可得kMN，
l2经过点R（﹣4，3），S（0，5），可得kRS，
即有它们的斜率相等，可得它们平行．
【点评】本题考查两直线平行的判断，考查直线的斜率公式的运用，化简运算能力，是一道容易题．
14．（2024 雅安期中）直线过点P（）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】方程思想；分析法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】假设存在这样的直线满足条件，设直线方程为1（a＞0，b＞0），得到a，b的方程组，解方程可得a，b，即可判断存在性．
【解答】解：假设存在这样的直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．
设直线方程为1（a＞0，b＞0），
由条件①可知，a+b12．
由条件②可得ab＝6．
又直线过点P（），
∴1，
联立，得，
解得a＝4，b＝3，
则存在这样的直线，且所求直线方程为1．
【点评】本题考查直线的方程的求法，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于中档题．
15．（2021秋 新化县期末）已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．
【考点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程．
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）x﹣y﹣4＝0．
（2）x﹣y+2＝0或x﹣y﹣10＝0．
【分析】（1）根据直线的斜率求出直线l的倾斜角，可得要求直线的倾斜角和斜率，从而用点斜式求出它的方程．
（2）设直线m的方程为x﹣y+c＝0，根据点P到直线m的距离为3，求出c的值，可得结论．
【解答】解：（1）∵直线的方程为yx+1，
∴k，倾斜角α＝120°，
故所求直线的倾斜角为60°，即斜率为，
∵直线l经过点（，﹣1），
∴所求直线l方程为y+1（x），
即x﹣y﹣4＝0．
（2）∵直线m与l平行，可设直线m的方程为x﹣y+c＝0，
∴3，即|4+c|＝6，
∴c＝2或c＝﹣10，
∴所求直线m的方程为x﹣y+2＝0或x﹣y﹣10＝0．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
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