【新课预习衔接】2.3直线的交点坐标与距离公式（含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册人教A版（2019）

中小学教育资源及组卷应用平台
新课预习衔接 直线的交点坐标与距离公式
一．选择题（共5小题）
1．（2024 西宁期末）若直线l1：2x﹣y+1＝0和直线l2：2x﹣y+t＝0间的距离为，则t＝（　　）
A．﹣3 或3 B．﹣1 或1 C．﹣3或1 D．﹣1 或3
2．（2024秋 潍坊月考）点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R）的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（　　）
A．；x+y﹣2＝0 B．；3x+y﹣4＝0
C．；2x﹣3y+1＝0 D．；2x﹣3y+1＝0
3．（2024春 洮北区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）
A．5 B． C．5 D．
4．（2024 三明期末）两条平行线l1：x+2y﹣2＝0，l2：ax+6y﹣9＝0间的距离等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 西固区校级期末）已知直线l1：x+ay﹣1＝0与l2：2x﹣y+1＝0平行，则l1与l2的距离为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 邢台期末）已知点A（0，0），B（1，﹣1），直线l：mx﹣y+2＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝﹣3时，点A，B到直线l距离相等
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l在x轴上的截距为﹣2
D．当m＝﹣1时，直线l与直线AB平行
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（　　）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
三．填空题（共3小题）
8．（2024 博爱县校级期末）直线2x﹣3y＝0与3x﹣2y＝1上任意两点最小距离为 　 　．
9．（2024春 南岗区校级期末）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点（x0，y0，z0），且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线l的方程为x﹣1＝2y﹣4＝z，则点P（3，﹣1，1）到直线l的距离为 　 　．
10．（2024 台州期末）点P（1，2）到直线3x+4y﹣6＝0的距离为 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 巴楚县校级期末）已知直线l：3x﹣2y﹣6＝0．
（1）若直线l1过点M（1，﹣2），且l1⊥l，求直线l1的方程；
（2）若直线l2∥l，且直线l2与直线l之间的距离为，求直线l2的方程．
12．（2024 菏泽期中）已知点A（﹣2，﹣1）、B（6，3）．
（1）求线段AB的垂直平分线的直线方程；
（2）若点A、B到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，求实数a的值．
13．（2024 福清市校级月考）已知直线l1：mx+y﹣1＝0，直线l2：2x﹣ny﹣4＝0，其中m，n∈R．
（1）若直线l1经过点（1，2），且l1⊥l2，求m，n；
（2）若直线l1∥l2，当l1与l2之间的距离取最大值时，求直线l1的方程．
14．（2024 潮阳区校级期中）直线l过点P（2，﹣1）．
（1）若直线l与直线x+y+1＝0平行，求直线l的方程；
（2）若点A（1，2）到直线l的距离为1，求直线l的方程．
15．（2024 龙口市月考）已知△ABC的三个顶点是A（﹣2，1），B（0，﹣3），C（3，4）．
（1）求△ABC的面积S；
（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
新课预习衔接 直线的交点坐标与距离公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 西宁期末）若直线l1：2x﹣y+1＝0和直线l2：2x﹣y+t＝0间的距离为，则t＝（　　）
A．﹣3 或3 B．﹣1 或1 C．﹣3或1 D．﹣1 或3
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．
【答案】D
【分析】利用两平行线间的距离公式直接求解．
【解答】解：∵直线l1：2x﹣y+1＝0和直线l2：2x﹣y+t＝0间的距离为，
∴，
解得t＝﹣1或t＝3．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，考查两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2024秋 潍坊月考）点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R）的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（　　）
A．；x+y﹣2＝0 B．；3x+y﹣4＝0
C．；2x﹣3y+1＝0 D．；2x﹣3y+1＝0
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】根据直线l的方程得到直线l恒过点A（1，1），根据几何知识得到当PA垂直直线l时，点P到直线l的距离最大，然后根据距离公式和点斜式计算即可．
【解答】解：直线l的方程可整理为：λ（3x+y﹣4）+x+y﹣2＝0，
令，解得，
所以直线l恒过点A（1，1），
由题意得当PA垂直直线l时，点P到直线l的距离最大，
，，
所以直线PA：，整理得2x﹣3y+1＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了点和直线的位置关系，属于中档题．
3．（2024春 洮北区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）
A．5 B． C．5 D．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【答案】D
【分析】推导出点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，求出点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（4，﹣2），|PA|+|PB|的最小值为|BC|，由此能求出结果．
【解答】解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，
∴点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，
设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），
则，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），
∴|PA|+|PB|的最小值为：
|BC|2．
故选：D．
【点评】本题考查两线段和的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2024 三明期末）两条平行线l1：x+2y﹣2＝0，l2：ax+6y﹣9＝0间的距离等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可．
【解答】解：由题意知l1：x+2y﹣2＝0，l2：ax+6y﹣9＝0，
因为两直线平行，所以，解得a＝3，
即直线l2的方程为：x+2y﹣3＝0，
所以两条直线间的距离为．
故选：A．
【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
5．（2024 西固区校级期末）已知直线l1：x+ay﹣1＝0与l2：2x﹣y+1＝0平行，则l1与l2的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】D
【分析】直线l1：x+ay﹣1＝0与l2：2x﹣y+1＝0平行，即可得到a，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：直线l1：x+ay﹣1＝0与l2：2x﹣y+1＝0平行，可得a，
则由两平行直线的距离公式可得d，
则l1与l2的距离为，
故选：D．
【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 邢台期末）已知点A（0，0），B（1，﹣1），直线l：mx﹣y+2＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝﹣3时，点A，B到直线l距离相等
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l在x轴上的截距为﹣2
D．当m＝﹣1时，直线l与直线AB平行
【考点】点到直线的距离公式；直线的斜率；直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】CD
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式判断出A项的正误；由直线的方程算出直线的斜率，判断出B项的正误；根据截距的概念判断出C项的正误；根据两条直线平行计算出m的值，判断出D项的正误，由此得解．
【解答】解：对于A，当m＝﹣3时，直线l为﹣3x﹣y+2＝0，
此时点A到l的距离为，点B到直线l的距离为，不相等，故A不正确；
对于B，m＝0时，直线l为y＝2，直线的斜率存在且为0，故B不正确；
对于C，m＝1时，直线l为x﹣y+2＝0，取y＝0，得x＝﹣2，即直线l在x轴上的截距为﹣2，故C正确；
对于D：m＝﹣1时，直线l为﹣x﹣y+2＝0，其斜率k＝﹣1，不过A点，
而，AB斜率与直线l的斜率相等，所以直线l与直线AB平行，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
（多选）7．（2024 芝罘区校级模拟）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（　　）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；转化思想；运动思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABD
【分析】两圆 的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B．
求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．
【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，
∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x﹣y＝0，故A正确；
∵O1（1，0），O2（﹣1，2），O1O2所在直线斜率为﹣1，
∴线段AB的中垂线的方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B正确；
圆O1：x2+y2﹣2x＝0的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，
圆心O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离d．
∴P到直线AB距离的最大值为1，
圆O1与圆O2公共弦AB的长为2，故C错误，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 博爱县校级期末）直线2x﹣3y＝0与3x﹣2y＝1上任意两点最小距离为 　0　．
【考点】两点间的距离公式；两条平行直线间的距离．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】0．
【分析】根据两直线的斜率不相等判断两直线相交，即可得最小距离为0．
【解答】解：直线2x﹣3y＝0的斜率为，直线3x﹣2y＝1的斜率为，
因为k1≠k2，所以两直线相交，故最小距离为0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查两点间的距离，属于基础题．
9．（2024春 南岗区校级期末）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点（x0，y0，z0），且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线l的方程为x﹣1＝2y﹣4＝z，则点P（3，﹣1，1）到直线l的距离为 　　．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】．
【分析】根据题意，得到l的方向向量为，结合向量的距离公式，即可求解．
【解答】解：根据题意，直线l的方程可写为，则l的方向向量为，
且过点A（1，2，0），可得，，则，
所以在上投影向量的模为，
故点P到直线l的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．
10．（2024 台州期末）点P（1，2）到直线3x+4y﹣6＝0的距离为 　1　．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得．
【解答】解：点P（1，2）到直线3x+4y﹣6＝0的距离．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 巴楚县校级期末）已知直线l：3x﹣2y﹣6＝0．
（1）若直线l1过点M（1，﹣2），且l1⊥l，求直线l1的方程；
（2）若直线l2∥l，且直线l2与直线l之间的距离为，求直线l2的方程．
【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由直线l的方程求出斜率，再由l1⊥l可得l1的斜率，由点斜式求出直线l1的方程；
（2）直线l2∥l可设l2的方程，再由平行线减的距离公式求出参数的值，即求出的l2的方程．
【解答】解：（1）因为直线l 的方程为3x﹣2y﹣6＝0，所以直线l 的斜率为．
因为l1⊥l，所以直线l1的斜率为．
因为直线l1 过点M（1，﹣2），所以直线l1的方程为y+2（x﹣1），即2x+3y+4＝0．
（2）因为直线l2与直线l 之间的距离为，所以可设直线l2的方程为3x﹣2y+m＝0，
所以，解得m＝7或m＝﹣19．
故直线l2的方程为3x﹣2y+7＝0或3x﹣2y﹣19＝0．
【点评】本题考查与已知直线垂直及平行的直线的设法，属于基础题．
12．（2024 菏泽期中）已知点A（﹣2，﹣1）、B（6，3）．
（1）求线段AB的垂直平分线的直线方程；
（2）若点A、B到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，求实数a的值．
【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）2x+y﹣5＝0；
（2）或﹣1．
【分析】（1）求出直线AB的斜率与线段AB的中点，即可求出线段AB的垂直平分线的方程；
（2）求出线段AB的中点C的坐标，分两种情况讨论：①点C在直线l上；②直线l与直线AB平行．由此列式算出实数a的值．
【解答】解：（1）线段AB的中点为C（2，1），，
故线段AB的中垂线的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0．
（2）由条件线段AB的中点为C（2，1）在直线上或线段AB所在直线与直线平行，
若线段AB的中点为C（2，1）在直线l上，则2a+1+1＝2a+2＝0，解得a＝﹣1；
线段AB所在直线与直线l平行，则，解得．
综上所述，a＝﹣1或．
【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、点到直线的距离公式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
13．（2024 福清市校级月考）已知直线l1：mx+y﹣1＝0，直线l2：2x﹣ny﹣4＝0，其中m，n∈R．
（1）若直线l1经过点（1，2），且l1⊥l2，求m，n；
（2）若直线l1∥l2，当l1与l2之间的距离取最大值时，求直线l1的方程．
【考点】两条平行直线间的距离；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）m＝﹣1，n＝﹣2；
（2）2x﹣y+1＝0．
【分析】（1）先利用点在直线l1上，求出m，再利用两直线垂直的充要条件求出n即可；
（2）l1与l2之间的距离的最大值问题转化为两直线定点间的距离进行求解即可．
【解答】解：（1）因为直线l1经过点（1，2），将点（1，2）代入直线l1的方程可得m+2﹣1＝0，解得m＝﹣1，
又因为l1⊥l2，所以2m﹣n＝0，解得n＝2m＝﹣2．
综上所述，m＝﹣1，n＝﹣2．
（2）根据题意，直线l1过定点A（0，1），直线l2过定点B（2，0）．
因为l1∥l2，所以l1与l2之间的距离d≤|AB|
当d＝AB时，l1与l2之间的距离取得最大值．
此时AB⊥l1，
又因为直线AB的斜率，直线l1的斜率为﹣m，
所以，解得m＝﹣2，
所以直线l1的方程为2x﹣y+1＝0．
【点评】本题考查了两直线平行垂直关系的运用，是基础题．
14．（2024 潮阳区校级期中）直线l过点P（2，﹣1）．
（1）若直线l与直线x+y+1＝0平行，求直线l的方程；
（2）若点A（1，2）到直线l的距离为1，求直线l的方程．
【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
（2）根据已知条件，分类讨论，并结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可设，直线l的方程为x+y+m＝0，m≠1，
∵直线l过点P（2，﹣1），
∴2﹣1+m＝0，解得m＝﹣1，
故直线l的方程为x+y﹣1＝0．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝2，符合题意，
当直线l斜率存在时，直线l为y+1＝k（x﹣2），
∵点A（1，2）到直线l的距离为1，
∴，解得k，
故直线方程为4x+3y﹣5＝0，
综上所述，所求的直线方程为x﹣2＝0或4x+3y﹣5＝0．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
15．（2024 龙口市月考）已知△ABC的三个顶点是A（﹣2，1），B（0，﹣3），C（3，4）．
（1）求△ABC的面积S；
（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【考点】点到直线的距离公式；待定系数法求直线方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）13；
（2）2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0．
【分析】（1）先求出直线AB的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解；
（2）由题意可知，直线l与AB平行或通过AB的中点，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（0，﹣3），
，
故直线AB的方程为y＝﹣2x﹣3，即2x+y+3＝0，
，
点C到直线AB的距离为
所以△ABC的面积S为；
（2）因为点A，B到直线l的距离相等，所以直线l与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l与AB平行，所以kl，所以l：2x+y﹣10＝0．
②当直线l通过AB的中点D（﹣1，﹣1），
所以，所以l：，即5x﹣4y+1＝0，
综上：直线l的方程为2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)