北京市2025年中考真题数学试题
1．（2025·北京市）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·北京市）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a >-1 B．a+b=0 C．a-b > 0 D．|a|>|b|
3．（2025·北京市）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．150
4．（2025·北京市）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·北京市）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．- 4 B．-1 C．1 D．4
6．（2025·北京市） 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为( 则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·北京市） 如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
8．（2025·北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 的图象与边AC交于点M，与边BC交于点 N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM 与△CON 的面积一定相等；
②△MON 与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．（2025·北京市） 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
10．（2025·北京市）分解因式：
11．（2025·北京市） 方程 的解为 .
12．（2025·北京市）某地区七年级共有2000名男生.为了解这些男生的体重指数(BMI)分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据(单位： 并根据七年级男生体质健康标准整理如下：
等级 低体重 正常 超重 肥胖
BMI ≤15.4 15.5~22.1 22.2~24.9 ≥25.0
人数 6 75 15 4
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是 .
13．（2025·北京市）能说明命题“若 则a >2b”是假命题的一组实数a，b的值为( ，b= .
14．（2025·北京市）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为 °.
15．（2025·北京市） 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB =1，∠EBC =30°，则△ABF的面积为 .
16．（2025·北京市）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售.当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润(单位：万元)与n的对应关系如下：
●(
A 40 60
B 30 55 75 90 100 105
C 20 40 60 70 80 90 ····
D 14 38 62 86 110 134
（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备(填“A”“B”“C”或“D”)；
（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为 万元.
17．（2025·北京市） 计算：
18．（2025·北京市）解不等式组：
19．（2025·北京市） 已知a+b-3 =0，求代数式 的值.
20．（2025·北京市） 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为 F，点G在DE的延长线上，DG = FC.
（1） 求证：四边形 DFCG是矩形；
（2） 若∠B =45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长.
21．（2025·北京市） 在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0) 的图象经过点(1，3) 和(2，5).
（1）求k，b的值；
（2） 当x＜1时，对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值，也小于函数y=x+k的值，直接写出m的取值范围.
22．（2025·北京市）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的 AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
23．（2025·北京市）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b.丙运动员 10次测试成绩：
12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c.四名运动员 10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
（1） 表中m的值为 ；
（2）表中n 0.056(填“＞”“=”或“＜”)；
（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 .
24．（2025·北京市）如图，过点 P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交 ⊙O 于点 D，连接BD.
（1） 求证：∠ADB =∠AOP；
（2） 延长OP交DB的延长线于点 E. 若AP = 10， 求 DE 的长.
25．（2025·北京市）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训.在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日(T可取0，1，2或3)的模拟练习，然后开始试制.记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数.当T=0和T=3时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53
T=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变.
对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对(x，y)所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线CT.当T=1和T =2时，曲线 如图所示.
（1）观察曲线 当整数x的值为 时，y的值首次超过35；
（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T=3时的曲线
（3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制.
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第 日可获得“优秀学员”证书；
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行 日的模拟练习.
26．（2025·北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 O和点A(3，3a).
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2） 过点 P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线y= ax于点N.
①若a=1，t =4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围.
27．（2025·北京市） 在△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC=α，点 D 在射线 BC上，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转 180°-2α得到线段AE (点E 不在直线AB上)，过点E作EF∥AB交直线 BC 于点 F.
（1） 如图1，α=45°，点 D 与点C 重合，求证： BF =AC；
（2）如图2，点D，F都在 BC的延长线上，用等式表示 DF 与BC的数量关系，并证明.
28．（2025·北京市）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C 给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有 则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)
（1）如图，⊙O 的半径为1.
①在点中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 该点与⊙O 的关联角度为 °；
②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD 上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为 ；
（2）已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若 直接写出t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D 既是轴对称图形又是中心对称图形
故答案为： D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得
a<-1<0∴A错误，不符合题意；
B：aC：a-b<0，错误，不符合题意；
D： |a|>|b| ，正确，符合题意.
故答案为： D
【分析】根据数轴上点的位置关系可得a<-1<03．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
该六边形为正六边形
∴，解得：x=120
故答案为：C
【分析】根据正六边形性质及多边形内角和即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
共有3+2+1=6个球
∴摸出的球是白球的概率是
故答案为： A
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根
∴，解得：a=1
故答案为： C
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】有理数乘法的实际应用；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
该小行星与地球的最近距离约为
故答案为： C
【分析】根据有理数的乘法即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接AB，AC，BC
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB
∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°
∴△OAC≌△OBC(SSS)
∴
∴∠OAC=180°-∠AOC-∠ACO=100°
故答案为： B
【分析】连接AB，AC，BC，由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，则∠ACB=60°，再根据全等三角形判定定理可得△OAC≌△OBC(SSS)，则，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；角的运算；三角形的面积；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C
∴
∴
∴，①正确
，即a=b
当a=b时，M，N重合，与题意不符，②错误
∵四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限
∴∠AOM，∠BON均为锐角
∵∠MON=90°-∠AOM-∠BON
∴∠MON<90°，∠MON是锐角
过点O作OH⊥MN于点H
由是一个固定形式的正数
∵
∵
∴OH>0
在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角
∴∠OMH<90°，∠ONH<90°，即∠OMN<90°，∠ONM<90°
∴△MON的三个角都是锐角
∴△MON一定是锐角三角形，③正确
假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°
若OM=ON。则OM2=ON2
即
整理得：
∴
∵a≠b(M，N不重合)
∴，解得：ab=1
此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°
由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，④错误
故答案为： B
【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C，根据两点间距离可得，再跟据三角形可判断①，②；由四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限可得∠AOM，∠BON均为锐角，根据角之间的关系可得∠MON<90°，∠MON是锐角，过点O作OH⊥MN于点H，根据三角形面积可得OH>0，在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角，再根据角之间的关系可判断③；假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°，若OM=ON，则OM2=ON2，化简可得，解得：ab=1，此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°，由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，可判断④.
9．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
3x-3≥0，解得：x≥1
故答案为： x≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．【答案】7(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： 7(m+2)(m-2)
【分析】提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
11．【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2x+x-6=0
移项，合并同类项可得，3x=6
系数化为1可得，x=2
经检验，x=2是原方程的解
故答案为：x=2
【分析】去分母转化为整式方程，再解方程即可求出答案.
12．【答案】1500
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数为
故答案为： 1500
【分析】根据总人数乘以正常的占比即可求出答案.
13．【答案】-3；1
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=-3，b=1时，，但a <2b
故答案为： -3；1
【分析】根据不等式的性质举例即可求出答案.
14．【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；含30°角的直角三角形；正方形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠ABC=∠FMC
∴AB∥FM
∵
∴
∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=BC，∠EBC=30°
∴∠BFC=90°，
∴∠CFM=90°-∠BCF=30°
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，根据正方形性质可得∠ABC=90°，再根据直线平行判定定理可得AB∥FM，根据三角形面积可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CFM=90°-∠BCF=30°，则，根据边之间的关系可得BM，再根据三角形面积即可求出答案.
16．【答案】（1）B
（2）157
【知识点】有理数的减法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：（1）当n=2时，
A经销商的利润为60，比n=1时增加60-40=20（万元）
B经销商的利润为55，比n=1时增加55-30=25（万元）
C经销商的利润为40，比n=1时增加40-20=20（万元）
D经销商的利润为38，比n=1时增加38-14=24（万元）
∵25>24>20.
∴应向经销商B分配2台设备
故答案为：B
（2）当给这叫家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元
当分配给多家销售时：
当分配四家时，最大利润为40+55+20+38=153（万元），
当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元)，
当分配给两家时，最大利润为60+90=150（万元）或40+110=150（万元），
综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元.
故答案为：157
【分析】（1）根据题意分别求出利润，再比较大小即可求出答案.
（2）分别求出一家利润和多家利润，再比较大小即可求出答案.
17．【答案】解：原式=
=
【知识点】负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值性质，二次根式性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：
解不等式①可得，x>-3
解不等式②可得，x＜1
∴不等式组的解集为-3＜x＜1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可求出答案.
19．【答案】解：∵a+b-3=0
∴a+b=4
∴原式=
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】由题意可得a+b=4，化简代数值再整体代入即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF， 即DG∥CF ，
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF ⊥ BC，
∴平行四边形DFCG 是矩形；
（2）解：∵DG=5，
∴CF =DG=5；
∵DF ⊥ BC，
∴∠DFB=90°，
在Rt△BDF中， ∠B=45°， DF=3，
∴
∴BC=BF+CF=8；
∵点D为AB的中点，
∴
如图所示， 过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，
∴CH=BC-BH=2，
在Rt△AHC中， 由勾股定理得
【知识点】勾股定理；矩形的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥CF， 即DG∥CF ，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BD，BF，再根据边之间的关系可得BC，根据线段中点可得AB，过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形可得AH，BH，再根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
解得
（2）2≤m≤3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（2）解：由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，
当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，
当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，
∵当x＜1时， 对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值， 也小于函数y=x+k的值，
∴m-2≥0， 且m-1≥0，
∴m≥2，
当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意；
当m＞2时， 则 且
当 时， 则
解不等式 得m≤3， 解不等式m≤3，
∴2＜m≤3；
当 时， 则
解不等式 得m＞3， 解不等式 得m≤3，此时不符合题意；
综上所述， 2≤m≤3.
【分析】（1）根据待定系数法将点(1，3)和(2，5)代入函数解析式即可求出答案.
（2）由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，当x＜1时，根据题意建立不等式，解不等式可得m≥2，当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意，当m＞2时， 则 且 当 时， 则 解不等式可得2＜m≤3，当 时， 则 解不等式即可求出答案.
22．【答案】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，
，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，
由AD=AB+BC+CD，可得：，
解得：x=20：
∴这只风筝的骨架的总高4x=80cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）12.5
（2）＜
（3）乙、丁、甲、丙
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲的成绩按从小到大的顺序排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9
处在最中间的两个数为12.5，12.5
∴
故答案为：12.5
（2）由题意可得：
故答案为：<
（3）丙的平均数
=12.7
∴丙的平均数最大，则实力最弱
∵方差0.024< 0.034<0.056
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为12.45，
∴第5，6次成绩和为24.9，
∴前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙
故答案为：乙、丁、甲、丙.
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义求出n的值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：∵AP， BP分别切⊙O于A点， B点，
∴OP 平分∠AOB，
∵
∴∠ADB=∠AOP .
（2）解：延长AO交⊙O于点F， 连接DF， 则∠ADF=90°，
∵ AP ， BP分别切⊙O 于A 点， B 点，
∴PA⊥OA，
∵C为OP的中点，
∴PC=OC，
又∵
∵AC=OC，
∴∠CAO=∠AOC，
又∵∠PAO=∠ADF=90°，
∵∠AOP=∠ADB， ∠ACO=∠ECD，
∴△ACO∽△ECD，
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得OP 平分∠AOB，根据角平分线定义可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，则∠ADB=∠AOP，即可求出答案.
（2）延长AO交⊙O于点F， 连接DF， 则∠ADF=90°，根据切线性质可得PA⊥OA，再根据线段中点可得PC=OC，再根据直角三角形中斜边上的中线性质可得，根据正切定义可得AO，根据勾股定理可得OP，根据等边对等角可得∠CAO=∠AOC，再根据相似三角形性质可得，代值计算可得DA，根据边之间的关系可得CD，再根据相似三角形判定定理可得△ACO∽△ECD，则，代值计算即可求出答案.
25．【答案】（1）6
（2）解：∵T=3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个相差48-43=5（个），
把5分成两个接近的数，5=3+2
∴第4日增加3个，第5日增加2个，
∴m=43+3=46
画出T=3时的曲线C3，如图所示
（3）4；1
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：由曲线C1看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35
故答案为：6
（3）解：如图
①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3
C3：T＝3日的模拟练习，然后试制阶段第x ＝ 4日制成的合格品达到y=46个
∴T+x=7
C2：T=2日的模拟练习，然后试制阶段第x=6日制成的合格品达到y=45个
∴T+x=8
∵7<8
故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书
故答案为：7
②当模拟练习T=0日时，
4日内的试制时间x=4-0=4日
4日的合格产品分别是7，8，10，12，
∴合格产品共有7+8+10+12=37
当模拟练习T=1日时，
4日内的试制时间x=4-1=3日，
3日的合格产品分别12，19，26
∴合格产品共有12+19+26=57
当模拟练习T =2日时，
4日内的试制时间x=4-2=2日，
2日的合格产品分别是20，30，
∴合格产品共有20+30=50
当模拟练习T=3日时，
4日内的试制时间x=4-3=1日，
1日的合格产品是26
∵26< 37< 50<57
∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习.
故答案为：1
【分析】（1）根据图象信息即可求出答案.
（2）3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个相差48-43=5（个），把5分成两个接近的数，5=3+2，则第4日增加3个，第5日增加2个，求出m的值，再作出图象即可求出答案.
（3）①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3，求出制成的合格品数，再比较大小即可求出答案.
②分别求出T=0，1，2，3市的合格品数，再比较大小即可求出答案.
26．【答案】（1）解：将点O(0，0)代入， 抛物线 可得c=0，
∴该抛物线解析式为
将点A(3，3a)代入， 抛物线.
可得3a=9a+3b， 解得b=-2a；
（2）解：①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为
当t=4时， 可有点P(4，0)，
如下图，
∵PM⊥x轴，
将x=4代入 可得 即M(4，8)，
将x=4代入y=x， 可得y=4， 即N(4，4)，
∴MN=8-4=4；
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，
∵PM⊥x轴， P(t，0)，
将x=t代入. 可得 即
将x=t代入y= ax， 可得y= at， 即N(t， at)，
令MN=0， 即 解得t=0或t=3，
若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧， 如下图，
当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得
当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧， 如下图，
当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得
∴a＜0.
综上所述，a的取值范围为 且a≠0.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点代入抛物线解析式可得c=0，即该抛物线解析式为 再将点A坐标代入解析式，化简即可求出答案.
（2）①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为 当t=4时， 可有点P(4，0)，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得M，N点坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得N(t， at)，根据两点间距离可得，令MN=0， 解方程可得t=0或t=3，分情况讨论：若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧，当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得 当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧，当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得 即可求出答案.
27．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°， ∠ABC=45°
∴∠BAC=∠ABC=45°
∵线段AD绕点A逆时针旋转 得到线段AE，点D与点C重合
∴AE=AD=AC， ∠EAB=90°-∠BAC=45°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴BC∥AE
∵EF ∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF=AE，
∴BF=AC；
（2）解：DF=2BC，
证明： 如图，在DB上取 一点G，使得AG=AB
∴∠AGB=∠ABG=α，
∴∠BAG=180°-2α
∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE，
∴DA=EA
∴∠DAE=∠GAB=180°-2α
∴∠DAG=∠EAB
∴△DAG≌△EAB(SAS)
∴DG=BE， ∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α
又∵∠ABC=α
∴∠FBE=∠ABE-∠ABC=180°-α-α=180°-2α
∵EF ∥AB，
∴∠BFE=∠ABF=α
∴∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=α
∴BE=BF
∴DG=BF
∵AG=AB， AC⊥BC
∴GC=BC
∴DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得∠BAC=∠ABC=45°，再根据旋转性质可得AE=AD=AC， ∠EAB=90°-∠BAC=45°，则∠EAB=∠ABC，再根据平行四边形判定定理可得四边形ABFE是平行四边形，则BF=AE，即BF=AC，即可求出答案.
（2）在DB上取 一点G，使得AG=AB，根据三角形内角和定理可得∠BAG=180°-2α，再根据旋转性质可得DA=EA，根据等边对等角可得∠DAE=∠GAB=180°-2α，再根据全等三角形判定定理可得△DAG≌△EAB(SAS)，则DG=BE， ∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α，再根据角之间的关系可得∠FBE=180°-2α，根据直线平行性质可得∠BFE=∠ABF=α，再根据三角形内角和定理可得∠BEF=α，则BE=BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
28．【答案】（1）A3；60；
（2）或t＞5或
【知识点】点的坐标；勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大；
如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于
∵A3(2，0)， ⊙O的半径为1，
且MA3是⊙O的切线，
，即与⊙O的关联角度为60°
故答案为： A3， 60.
②根据定义可得B为⊙O外一点，
∵BD＜1， ⊙O的半径为1，
∴BO≥2， 当OB=2时，
如图， 取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，
∴
∴m的最小值为
故答案为：
（2）解：由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，
∴当∠MAN=90°时， 由. ， 如图，
∴四边形TMAN 是矩形，
由∵TM=TA
∴四边形TMAN是正方形，
∴
当∠MAN≥90°时，
∵点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)， OT 经过原点，线段EF 上所有的点都是OT 的关联点，则
∴EF上距离T最近的点在 的圆环内，
①EF和 的圆相切，如图，
∴
解得：
②EF 和半径为t的圆相切时，如图，
∴t=3 (不包含临界值)
∴6
∴
③当E在半径为t的圆，如图，
解得：t=5(不包含临界值)
∴t＞5时， E，F 都在⊙T内部， 此时α=180°
④当F在半径为 的圆，如图，
设⊙T的半径为r， 则t=-r ，
∵
解得：
∴时，此时90°≤α≤180°，
综上所述， 或t＞5或
【分析】（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大，如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于 根据题意可得 OM=1，且MA3是⊙O的切线，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，则 ，即与⊙O的关联角度为60°.
②根据定义可得B为⊙O外一点，由题意可得BO≥2， 当OB=2时，取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，根据勾股定理即可求出答案.
（2）由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，分情况讨论：当∠MAN=90°时， 根据正方形判定定理可得四边形TMAN是正方形，则；当∠MAN≥90°时， ，由题意可得EF上距离T最近的点在 的圆环内，①EF和 的圆相切，②EF 和半径为t的圆相切时，③当E在半径为t的圆，④当F在半径为 的圆，逐项进行判断即可求出答案.
1 / 1北京市2025年中考真题数学试题
1．（2025·北京市）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D 既是轴对称图形又是中心对称图形
故答案为： D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025·北京市）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a >-1 B．a+b=0 C．a-b > 0 D．|a|>|b|
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得
a<-1<0∴A错误，不符合题意；
B：aC：a-b<0，错误，不符合题意；
D： |a|>|b| ，正确，符合题意.
故答案为： D
【分析】根据数轴上点的位置关系可得a<-1<03．（2025·北京市）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．150
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
该六边形为正六边形
∴，解得：x=120
故答案为：C
【分析】根据正六边形性质及多边形内角和即可求出答案.
4．（2025·北京市）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
共有3+2+1=6个球
∴摸出的球是白球的概率是
故答案为： A
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．（2025·北京市）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．- 4 B．-1 C．1 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根
∴，解得：a=1
故答案为： C
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
6．（2025·北京市） 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为( 则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数乘法的实际应用；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
该小行星与地球的最近距离约为
故答案为： C
【分析】根据有理数的乘法即可求出答案.
7．（2025·北京市） 如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接AB，AC，BC
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB
∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°
∴△OAC≌△OBC(SSS)
∴
∴∠OAC=180°-∠AOC-∠ACO=100°
故答案为： B
【分析】连接AB，AC，BC，由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，则∠ACB=60°，再根据全等三角形判定定理可得△OAC≌△OBC(SSS)，则，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
8．（2025·北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 的图象与边AC交于点M，与边BC交于点 N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM 与△CON 的面积一定相等；
②△MON 与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；角的运算；三角形的面积；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C
∴
∴
∴，①正确
，即a=b
当a=b时，M，N重合，与题意不符，②错误
∵四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限
∴∠AOM，∠BON均为锐角
∵∠MON=90°-∠AOM-∠BON
∴∠MON<90°，∠MON是锐角
过点O作OH⊥MN于点H
由是一个固定形式的正数
∵
∵
∴OH>0
在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角
∴∠OMH<90°，∠ONH<90°，即∠OMN<90°，∠ONM<90°
∴△MON的三个角都是锐角
∴△MON一定是锐角三角形，③正确
假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°
若OM=ON。则OM2=ON2
即
整理得：
∴
∵a≠b(M，N不重合)
∴，解得：ab=1
此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°
由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，④错误
故答案为： B
【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C，根据两点间距离可得，再跟据三角形可判断①，②；由四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限可得∠AOM，∠BON均为锐角，根据角之间的关系可得∠MON<90°，∠MON是锐角，过点O作OH⊥MN于点H，根据三角形面积可得OH>0，在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角，再根据角之间的关系可判断③；假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°，若OM=ON，则OM2=ON2，化简可得，解得：ab=1，此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°，由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，可判断④.
9．（2025·北京市） 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
3x-3≥0，解得：x≥1
故答案为： x≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．（2025·北京市）分解因式：
【答案】7(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： 7(m+2)(m-2)
【分析】提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
11．（2025·北京市） 方程 的解为 .
【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2x+x-6=0
移项，合并同类项可得，3x=6
系数化为1可得，x=2
经检验，x=2是原方程的解
故答案为：x=2
【分析】去分母转化为整式方程，再解方程即可求出答案.
12．（2025·北京市）某地区七年级共有2000名男生.为了解这些男生的体重指数(BMI)分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据(单位： 并根据七年级男生体质健康标准整理如下：
等级 低体重 正常 超重 肥胖
BMI ≤15.4 15.5~22.1 22.2~24.9 ≥25.0
人数 6 75 15 4
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是 .
【答案】1500
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数为
故答案为： 1500
【分析】根据总人数乘以正常的占比即可求出答案.
13．（2025·北京市）能说明命题“若 则a >2b”是假命题的一组实数a，b的值为( ，b= .
【答案】-3；1
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=-3，b=1时，，但a <2b
故答案为： -3；1
【分析】根据不等式的性质举例即可求出答案.
14．（2025·北京市）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为 °.
【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．（2025·北京市） 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB =1，∠EBC =30°，则△ABF的面积为 .
【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；含30°角的直角三角形；正方形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠ABC=∠FMC
∴AB∥FM
∵
∴
∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=BC，∠EBC=30°
∴∠BFC=90°，
∴∠CFM=90°-∠BCF=30°
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，根据正方形性质可得∠ABC=90°，再根据直线平行判定定理可得AB∥FM，根据三角形面积可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CFM=90°-∠BCF=30°，则，根据边之间的关系可得BM，再根据三角形面积即可求出答案.
16．（2025·北京市）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售.当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润(单位：万元)与n的对应关系如下：
●(
A 40 60
B 30 55 75 90 100 105
C 20 40 60 70 80 90 ····
D 14 38 62 86 110 134
（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备(填“A”“B”“C”或“D”)；
（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为 万元.
【答案】（1）B
（2）157
【知识点】有理数的减法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：（1）当n=2时，
A经销商的利润为60，比n=1时增加60-40=20（万元）
B经销商的利润为55，比n=1时增加55-30=25（万元）
C经销商的利润为40，比n=1时增加40-20=20（万元）
D经销商的利润为38，比n=1时增加38-14=24（万元）
∵25>24>20.
∴应向经销商B分配2台设备
故答案为：B
（2）当给这叫家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元
当分配给多家销售时：
当分配四家时，最大利润为40+55+20+38=153（万元），
当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元)，
当分配给两家时，最大利润为60+90=150（万元）或40+110=150（万元），
综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元.
故答案为：157
【分析】（1）根据题意分别求出利润，再比较大小即可求出答案.
（2）分别求出一家利润和多家利润，再比较大小即可求出答案.
17．（2025·北京市） 计算：
【答案】解：原式=
=
【知识点】负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值性质，二次根式性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2025·北京市）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①可得，x>-3
解不等式②可得，x＜1
∴不等式组的解集为-3＜x＜1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可求出答案.
19．（2025·北京市） 已知a+b-3 =0，求代数式 的值.
【答案】解：∵a+b-3=0
∴a+b=4
∴原式=
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】由题意可得a+b=4，化简代数值再整体代入即可求出答案.
20．（2025·北京市） 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为 F，点G在DE的延长线上，DG = FC.
（1） 求证：四边形 DFCG是矩形；
（2） 若∠B =45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长.
【答案】（1）证明：∵D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF， 即DG∥CF ，
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF ⊥ BC，
∴平行四边形DFCG 是矩形；
（2）解：∵DG=5，
∴CF =DG=5；
∵DF ⊥ BC，
∴∠DFB=90°，
在Rt△BDF中， ∠B=45°， DF=3，
∴
∴BC=BF+CF=8；
∵点D为AB的中点，
∴
如图所示， 过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，
∴CH=BC-BH=2，
在Rt△AHC中， 由勾股定理得
【知识点】勾股定理；矩形的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥CF， 即DG∥CF ，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BD，BF，再根据边之间的关系可得BC，根据线段中点可得AB，过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形可得AH，BH，再根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
21．（2025·北京市） 在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0) 的图象经过点(1，3) 和(2，5).
（1）求k，b的值；
（2） 当x＜1时，对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值，也小于函数y=x+k的值，直接写出m的取值范围.
【答案】（1）解：∵在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
解得
（2）2≤m≤3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（2）解：由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，
当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，
当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，
∵当x＜1时， 对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值， 也小于函数y=x+k的值，
∴m-2≥0， 且m-1≥0，
∴m≥2，
当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意；
当m＞2时， 则 且
当 时， 则
解不等式 得m≤3， 解不等式m≤3，
∴2＜m≤3；
当 时， 则
解不等式 得m＞3， 解不等式 得m≤3，此时不符合题意；
综上所述， 2≤m≤3.
【分析】（1）根据待定系数法将点(1，3)和(2，5)代入函数解析式即可求出答案.
（2）由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，当x＜1时，根据题意建立不等式，解不等式可得m≥2，当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意，当m＞2时， 则 且 当 时， 则 解不等式可得2＜m≤3，当 时， 则 解不等式即可求出答案.
22．（2025·北京市）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的 AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
【答案】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，
，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，
由AD=AB+BC+CD，可得：，
解得：x=20：
∴这只风筝的骨架的总高4x=80cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025·北京市）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b.丙运动员 10次测试成绩：
12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c.四名运动员 10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
（1） 表中m的值为 ；
（2）表中n 0.056(填“＞”“=”或“＜”)；
（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 .
【答案】（1）12.5
（2）＜
（3）乙、丁、甲、丙
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲的成绩按从小到大的顺序排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9
处在最中间的两个数为12.5，12.5
∴
故答案为：12.5
（2）由题意可得：
故答案为：<
（3）丙的平均数
=12.7
∴丙的平均数最大，则实力最弱
∵方差0.024< 0.034<0.056
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为12.45，
∴第5，6次成绩和为24.9，
∴前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙
故答案为：乙、丁、甲、丙.
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义求出n的值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
24．（2025·北京市）如图，过点 P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交 ⊙O 于点 D，连接BD.
（1） 求证：∠ADB =∠AOP；
（2） 延长OP交DB的延长线于点 E. 若AP = 10， 求 DE 的长.
【答案】（1）证明：∵AP， BP分别切⊙O于A点， B点，
∴OP 平分∠AOB，
∵
∴∠ADB=∠AOP .
（2）解：延长AO交⊙O于点F， 连接DF， 则∠ADF=90°，
∵ AP ， BP分别切⊙O 于A 点， B 点，
∴PA⊥OA，
∵C为OP的中点，
∴PC=OC，
又∵
∵AC=OC，
∴∠CAO=∠AOC，
又∵∠PAO=∠ADF=90°，
∵∠AOP=∠ADB， ∠ACO=∠ECD，
∴△ACO∽△ECD，
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得OP 平分∠AOB，根据角平分线定义可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，则∠ADB=∠AOP，即可求出答案.
（2）延长AO交⊙O于点F， 连接DF， 则∠ADF=90°，根据切线性质可得PA⊥OA，再根据线段中点可得PC=OC，再根据直角三角形中斜边上的中线性质可得，根据正切定义可得AO，根据勾股定理可得OP，根据等边对等角可得∠CAO=∠AOC，再根据相似三角形性质可得，代值计算可得DA，根据边之间的关系可得CD，再根据相似三角形判定定理可得△ACO∽△ECD，则，代值计算即可求出答案.
25．（2025·北京市）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训.在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日(T可取0，1，2或3)的模拟练习，然后开始试制.记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数.当T=0和T=3时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53
T=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变.
对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对(x，y)所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线CT.当T=1和T =2时，曲线 如图所示.
（1）观察曲线 当整数x的值为 时，y的值首次超过35；
（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T=3时的曲线
（3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制.
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第 日可获得“优秀学员”证书；
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行 日的模拟练习.
【答案】（1）6
（2）解：∵T=3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个相差48-43=5（个），
把5分成两个接近的数，5=3+2
∴第4日增加3个，第5日增加2个，
∴m=43+3=46
画出T=3时的曲线C3，如图所示
（3）4；1
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：由曲线C1看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35
故答案为：6
（3）解：如图
①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3
C3：T＝3日的模拟练习，然后试制阶段第x ＝ 4日制成的合格品达到y=46个
∴T+x=7
C2：T=2日的模拟练习，然后试制阶段第x=6日制成的合格品达到y=45个
∴T+x=8
∵7<8
故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书
故答案为：7
②当模拟练习T=0日时，
4日内的试制时间x=4-0=4日
4日的合格产品分别是7，8，10，12，
∴合格产品共有7+8+10+12=37
当模拟练习T=1日时，
4日内的试制时间x=4-1=3日，
3日的合格产品分别12，19，26
∴合格产品共有12+19+26=57
当模拟练习T =2日时，
4日内的试制时间x=4-2=2日，
2日的合格产品分别是20，30，
∴合格产品共有20+30=50
当模拟练习T=3日时，
4日内的试制时间x=4-3=1日，
1日的合格产品是26
∵26< 37< 50<57
∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习.
故答案为：1
【分析】（1）根据图象信息即可求出答案.
（2）3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个相差48-43=5（个），把5分成两个接近的数，5=3+2，则第4日增加3个，第5日增加2个，求出m的值，再作出图象即可求出答案.
（3）①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3，求出制成的合格品数，再比较大小即可求出答案.
②分别求出T=0，1，2，3市的合格品数，再比较大小即可求出答案.
26．（2025·北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 O和点A(3，3a).
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2） 过点 P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线y= ax于点N.
①若a=1，t =4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围.
【答案】（1）解：将点O(0，0)代入， 抛物线 可得c=0，
∴该抛物线解析式为
将点A(3，3a)代入， 抛物线.
可得3a=9a+3b， 解得b=-2a；
（2）解：①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为
当t=4时， 可有点P(4，0)，
如下图，
∵PM⊥x轴，
将x=4代入 可得 即M(4，8)，
将x=4代入y=x， 可得y=4， 即N(4，4)，
∴MN=8-4=4；
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，
∵PM⊥x轴， P(t，0)，
将x=t代入. 可得 即
将x=t代入y= ax， 可得y= at， 即N(t， at)，
令MN=0， 即 解得t=0或t=3，
若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧， 如下图，
当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得
当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧， 如下图，
当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得
∴a＜0.
综上所述，a的取值范围为 且a≠0.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点代入抛物线解析式可得c=0，即该抛物线解析式为 再将点A坐标代入解析式，化简即可求出答案.
（2）①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为 当t=4时， 可有点P(4，0)，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得M，N点坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得N(t， at)，根据两点间距离可得，令MN=0， 解方程可得t=0或t=3，分情况讨论：若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧，当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得 当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧，当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得 即可求出答案.
27．（2025·北京市） 在△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC=α，点 D 在射线 BC上，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转 180°-2α得到线段AE (点E 不在直线AB上)，过点E作EF∥AB交直线 BC 于点 F.
（1） 如图1，α=45°，点 D 与点C 重合，求证： BF =AC；
（2）如图2，点D，F都在 BC的延长线上，用等式表示 DF 与BC的数量关系，并证明.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°， ∠ABC=45°
∴∠BAC=∠ABC=45°
∵线段AD绕点A逆时针旋转 得到线段AE，点D与点C重合
∴AE=AD=AC， ∠EAB=90°-∠BAC=45°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴BC∥AE
∵EF ∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF=AE，
∴BF=AC；
（2）解：DF=2BC，
证明： 如图，在DB上取 一点G，使得AG=AB
∴∠AGB=∠ABG=α，
∴∠BAG=180°-2α
∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE，
∴DA=EA
∴∠DAE=∠GAB=180°-2α
∴∠DAG=∠EAB
∴△DAG≌△EAB(SAS)
∴DG=BE， ∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α
又∵∠ABC=α
∴∠FBE=∠ABE-∠ABC=180°-α-α=180°-2α
∵EF ∥AB，
∴∠BFE=∠ABF=α
∴∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=α
∴BE=BF
∴DG=BF
∵AG=AB， AC⊥BC
∴GC=BC
∴DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得∠BAC=∠ABC=45°，再根据旋转性质可得AE=AD=AC， ∠EAB=90°-∠BAC=45°，则∠EAB=∠ABC，再根据平行四边形判定定理可得四边形ABFE是平行四边形，则BF=AE，即BF=AC，即可求出答案.
（2）在DB上取 一点G，使得AG=AB，根据三角形内角和定理可得∠BAG=180°-2α，再根据旋转性质可得DA=EA，根据等边对等角可得∠DAE=∠GAB=180°-2α，再根据全等三角形判定定理可得△DAG≌△EAB(SAS)，则DG=BE， ∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α，再根据角之间的关系可得∠FBE=180°-2α，根据直线平行性质可得∠BFE=∠ABF=α，再根据三角形内角和定理可得∠BEF=α，则BE=BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
28．（2025·北京市）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C 给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有 则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)
（1）如图，⊙O 的半径为1.
①在点中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 该点与⊙O 的关联角度为 °；
②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD 上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为 ；
（2）已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若 直接写出t的取值范围.
【答案】（1）A3；60；
（2）或t＞5或
【知识点】点的坐标；勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大；
如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于
∵A3(2，0)， ⊙O的半径为1，
且MA3是⊙O的切线，
，即与⊙O的关联角度为60°
故答案为： A3， 60.
②根据定义可得B为⊙O外一点，
∵BD＜1， ⊙O的半径为1，
∴BO≥2， 当OB=2时，
如图， 取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，
∴
∴m的最小值为
故答案为：
（2）解：由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，
∴当∠MAN=90°时， 由. ， 如图，
∴四边形TMAN 是矩形，
由∵TM=TA
∴四边形TMAN是正方形，
∴
当∠MAN≥90°时，
∵点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)， OT 经过原点，线段EF 上所有的点都是OT 的关联点，则
∴EF上距离T最近的点在 的圆环内，
①EF和 的圆相切，如图，
∴
解得：
②EF 和半径为t的圆相切时，如图，
∴t=3 (不包含临界值)
∴6
∴
③当E在半径为t的圆，如图，
解得：t=5(不包含临界值)
∴t＞5时， E，F 都在⊙T内部， 此时α=180°
④当F在半径为 的圆，如图，
设⊙T的半径为r， 则t=-r ，
∵
解得：
∴时，此时90°≤α≤180°，
综上所述， 或t＞5或
【分析】（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有 当A在⊙O 内部时，过A的直径MN 使得⊙O的关联角度为1 当A在⊙O的外部时， 且AM，AN为⊙O 的切线时， 最大，如图， 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于 与⊙O 的关联角度为 与⊙O的关联角度大于 根据题意可得 OM=1，且MA3是⊙O的切线，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，则 ，即与⊙O的关联角度为60°.
②根据定义可得B为⊙O外一点，由题意可得BO≥2， 当OB=2时，取点G(1，0)， 则∠OBG=90°，根据勾股定理即可求出答案.
（2）由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时， 最大，且A距离圆心越近，分情况讨论：当∠MAN=90°时， 根据正方形判定定理可得四边形TMAN是正方形，则；当∠MAN≥90°时， ，由题意可得EF上距离T最近的点在 的圆环内，①EF和 的圆相切，②EF 和半径为t的圆相切时，③当E在半径为t的圆，④当F在半径为 的圆，逐项进行判断即可求出答案.
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