第十三章 三角形 专题3 三角形的叠放、折叠问题（含答案）

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第十三章 三角形
专题3 三角形的叠放、折叠问题
类型1 三角形叠放问题
1.如图，将两块三角尺(∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°)的直角顶点叠放在一起。当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，若这两块三角尺有一组边互相平行，求∠ACE 的度数。（画出符合条件的图形，并直接写出相应的∠ACE 的度数）
2.取一副三角尺按图①拼接，固定三角尺ADC，将三角尺 ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图②所示。设∠CAC′=α.
(1)当α=15°时，求证:AB∥CD;
(2)连接 BD,当 时，的度数是否变化，若变化，求出变化范围；若不变，求出其度数。
类型2 三角形折叠问题
3.如图，把三角形纸片ABC沿着 DE 折叠。
(1)若点A落在四边形 BCDE 内部点A'的位置（如图①），且 ， ，请求出∠A′的度数；
(2)若点 A 落在四边形BCDE 外部点A′的位置（如图②），求证：
参考答案
1.【解】依题意，分五种情况：
当AD∥BC时，如图①.
此时∠ACE=30°；
当EB∥AC时，如图②，此时∠ACE=45°；
当AD∥CE时，如图③，此时∠ACE=120°；
当DC∥EB时，如图④，此时∠ACE=135°；
当AD∥EB时，如图⑤，此时∠ACE=165°.
2.(1)【证明】∵∠BAC=∠BAC′-∠CAC′=45°-15°=30°，∴∠BAC=∠C=30°，
∴AB∥CD.
(2)【解】当0°＜α≤45°时，∠DBC′－∠CAC′＋∠BDC的度数不变，为105°
连接CC′，设DC，BC′交于点O，如图.
在△BDO和△OCC′中，∠BOD＝∠COC′，∴∠BDO＋∠DBO＝∠OCC′＋∠OC′C，
∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC＝∠BDO＋α＋∠DBO－∠OCC′＋∠OC′C＋α＝180°－45°－30°＝105°，即当0°＜α≤45°时，∠DBC′－∠CAC′＋∠BDC的度数不变，为105°.
3.(1)【解】由折叠的性质得∠A＝∠A′，∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED.
∵∠1＋∠ADE＋∠A′DE＝180°，∠1＝40°，∠2＋∠AED＋∠A′ED＝180°，∠2＝24°，∴∠ADE＝∠A′DE＝70°，∠AED＝∠A′ED＝78°，∴∠A′＝180°－∠A′DE－∠A′ED＝32°.
(2)【证明】由折叠的性质得∠A＝∠A′∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED.
∵∠ADE＋∠A′DE＋∠1＝180°，∴∠ADE＝∠A′DE＝
∴∠A′ED＝∠AED＝180°－∠A－∠ADE＝180°－∠A－90°＋＝90°－∠A＋，∴∠BED＝180°－∠AED＝90°＋∠A－，∴∠2＝∠A′ED－∠BED＝90°－∠A＋－(90°＋∠A－)＝∠1－2∠A＝∠1－2∠A′，∴∠A′＝
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