辽宁省锦州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（图片版，含答案）

2024~2025 学年度第二学期期末考试
高一数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
BDBA ACDA
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. ABD 10. AC 11. ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 1 13. 8 14. 1
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分 13 分）
→ →
（1）解：设 = ( , )，∵ | | = 2√2∴ 2 + 2 = 2√2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分
即 2 + 2 = 8① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
→ →
∵ // ∴ = 0② ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
→ →
由①②解得 = (2,2)或 = ( 2, 2) （每个解 1 分） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
→ → → → → → → →
（2）解：∵ (5 2 ) ⊥ ( + )，∴ 5 2 + = 0 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
→ → → → → → → →
∴ 5 2 + 3 2 2 = 0，∴ 5 × 2 + 3 2 × 8 = 0，∴ = 2 ．．．．．．．．．．．9 分
→ →
→ →
设 与 的夹角为 ， = 2 1→ → = = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 分
| | | | √2×2√2 2
∵ ∈ [0, ] ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
→ →
∴ 与 的夹角为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 分
3
16．（本题满分 15 分）
（1）证明：
法一：取 BB1中点 H，连接 HG ， HF ．．．．．．．．．．．1 分
∵ , , 分别为 B1C , 1 和 1 中点．
∴HG // BC ， HF // B1A1
1 1// ，从而 HF // AB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
∵ BC 与 AB 在平面 ABC 内且相交 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分
∴平面 HGF // 平面 ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
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GF 平面 HGF．∴GF // 平 ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分
法二：
连接 B1A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分
F 为 BA1中点∴ F 为 B1A中点
G 为 B1C 中 ∴FG // CA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
CA 面 ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分
GF 平面 ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
∴FG // 平面 ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分
（2）证明：在直棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 ⊥面 ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
平面 ∴ BB1 ⊥ AC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
不妨设 1 = 1 ∵ 1 = = =
√2 ，∴ = = 1, = √2 2
∴CA2 +CB2 = AB2 ∴AC ⊥ BC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分
又 与 1在平面 1 1内且相交
∴ ⊥平面 1 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分
平面 1，∴平面 1 ⊥平面 1 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 分
（3）解：连接 ， 1
BB1 ⊥平面 ABC ，∴直线 为直线 B1M 在平面 内的射影 ．．．．．．．．．．．．12 分
∴∠B1MB是 B1M 与平面 ABC 所成的 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 分
= √ 2 + 2 = 1 + 1 = √5， = 2 2 5 3
4 2 1 1
+ = 1 + =
4 2
所以 ∠ = 11 =
2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 分
1 3
17．（本题满分 15 分）

（1）解：因为m = (a，b+c)， n = ( 3 sin C + cosC，1)，
→ →
所以 = √3 + + + ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分
→ →
又 = 2( + )，所以√3 + + + = 2( + )，
所以√3 + = +
由正弦定理得：√3 + = + ．．．．．．．．．．．．．．．2 分
所以√3 + = ( + ) + ．．．．．．．．．．．．．．3 分
所以√3 + = + + ．．．．．．．4 分
即√3 = + ， ≠ 0
所以√3 = 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分
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2 ( ) = 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
6
0 < < < < 5 ， ， = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
6 6 6 6 6

所以 = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
3
（2）解：
→ → → → → →
法一： = + 2 = + 2 ( ) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分
3 3
→ →
= 1 + 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分
3 3
→
| |2 = | 1
→ 2 →
所以 + |2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 分
3 3
→ → → → →
| |2 = 1 | |2 + 4 | |2 + 4 | | | | ∠ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
9 9 9
4 = 4 + 4 2 + 4√3 ， 2 + √3 6 = 0， = √3 ．．．．．．．．．．．．．．．．．14 分 3 9 9
1 = ∠ =
1 × 2√3 × √3 × 6 0 = 3√3， ．．．．．．．．．．．．．．．．．15 分2 2 2
法二：由 ∠ = ∠ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分
4+(2 )2 12 4+(1 )2 2
得 3 32 = ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分2×2× 2×2×3 3
4 2 8 2
即 9 = (4 + 2) √3，所以 = ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 分
2 9 3
在 ΔABC 中， 2 = 12 + 2 2 × 2√3 × × ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分3
所以 2 = 12 + 1 2 2 ，即 2 + 3 18 = 0,解得 = 3
3 ．．．．．．．．．．13 分
所以 = √3 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14 分
1 3√3
所以 = × 2√3 × √3 × 6 0 = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 分 2 2
18.（本题满分 17 分）
（1）证明：在 中，∵ = ，
为 的中点，∴ ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
∵ 平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，∴ ⊥平面 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
又 平面 ，∴ ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
（2）解：过点 作 // 交 于点 N，
过点 N 作 // 交 于点 ，连接 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
∵ ⊥平面 ， // ，∴ ⊥平面 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
∵ 是边长为 1 的等边三角形， 为 中点, ∴ = = = 1
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ,
∵ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180 ∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，
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即 ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分
∵ // ，∴ ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分
又 , 平面 ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 分
∵ 面 ∴ ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
∴ ∠ 是二面角 的平面角，∴ ∠ = 45 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 分
即 是等腰直角三角形，
∵ = 2 ，∴ = 2 ∴ = = 2 = 2． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 分
3 3
∴ = 3 = 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16 分
2
∴ 1 1 1 三棱锥 BCD = = × × 2 × 1 × 6 0 × 1 =
√3 ．．．．．．．．．．．．．．．17 分
3 3 2 6
评卷说明：向量法参考评分标准给分。
19．（本题满分 17 分）
（1）解：依题意， (√3 ) = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分
在 中由正弦定理得： (√3 ) = ．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
则√3 = + ，
所以√3 = ( + ),√3 = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分
则 = √3 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
25
2+ 2 2 2+ 2 3 2
由余弦定理，得 = = 4 = 175 ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 2 2 202
（2）解： = √3 则 为锐角 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
当 最大时 最小 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
2 2 2 2 2
所以 = + = 2 + = + ≥ 2 × = √6 ．．．．．．．．．8 分 2 2√3 √3 2√3 √3 2√3 3

当且仅当 = 时，即 = √2 √3时取最小值，此时 = ， ．．．．．．．．．．．．．．9 分
√3 2√3 3
故 = 2√3 = 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分
（3） ( ) = 2 ( 2 + )，2 2 ≥ 2 ， ∈ ( , )恒成立 ．．．．．．．．．．．12 分
3 4 2
∵ > 0 ∴ 1 ≤ ， = ， ∈ ( , )恒成立 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 分
1+ 2 4 2
设 ( ) = ，当 ∈ ( , ) h(x)是增函数，则 ( ) > ( ) = ．．．．．．．．．．15 分
2 4 2 4 8
2

又 = 82 ，设 =

， 2 + 2 1 = 0， = √2 1 ．．．．．．．．16 分 4 1 88
1 ≤ √2 1 ∵ > 0， ≥ √2 + 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17 分
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