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第一章 勾股定理
问题解决的策略：反思
学习目标与重难点
学习目标：
1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。
2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。
3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
学习重点：利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题。
学习难点：如何寻找和计算最短距离。
预习自测
知识链接
1、如何判断一个三角形为直角三角形的方法 。
.2、两点之间 最短.直线外一点到这条直线可以画 条线段， 其中 最短。
3、圆柱体侧面展开是一个 。圆柱体的底面周长是展开后 的 ，
高是展开后 的 。
自学自测
1. ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC的为 .三角形
教学过程
一、创设情境、导入新课
有一个圆柱，它的高等与12cm，底面上圆的周长等于18cm。在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的蚂蚁怎样走最近？最近路程是多少？
二、合作交流、新知探究
1、小组合作蚂蚁爬行的4种最基本的线路，并计算线路的长度
2重点探究
路3中n中情况，不计算比较AE+EB、AF+FB、AB大小，为什么？
【强调】：1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段最短”确定爬行路线。
2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
三、典例精析
例1、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)
例题2：你能求出蚂蚁从A爬行到B的最短距离吗？
①沿着棱爬行的距离： 。
②沿前面和上面展开后对角线 。
③沿前面和右面展开后对角线 。
④沿左面和上面展开后对角线 。
比较4种方案 ＜ ＜ ＜ 。
所以蚂蚁从A到B的最短距离是（ ）
【强调】：长方体距离最短问题应该分类讨论。
课堂练习、巩固提高
1．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（ ）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
第1题 第2题 第3题 第4题
2．如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）cm
A．8 B．4 C．2 D．12
3．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
4．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（ ）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
能力提升：
5.如图,一根长90cm的灯管上,缠满了彩色丝带,已知可近似地将灯管看作圆柱体,且底面周长为4cm,彩色丝带均匀地缠绕了30圈,问:丝带共有多长
拓展迁移：
6.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300Km,BC=400Km,AB=500Km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，则台风影响该海港持续的时间有多长？
总结反思、拓展升华
1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段最短”确定爬行路线。
2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
五、【作业布置】
基础达标：
1.如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）
A. 11cm B. 12cm C. 13cm D. 14cm
2.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是竖直线段BC上一点,且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A. B. 5cm C. 6cm D. 7cm
第1题 第2题 第3题
3.如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是( )
A.170cm B.70cm C.145cm D.130cm
如图是一个长为4，宽为3，高为12的矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)( )
A.5a12 B.12a C.12a D.12a13.
5.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5CM，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 cm．
6.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则AB的长为 ( )
第4题 第5题 第6题
能力提升：
7.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB＝6 dm，水深AE＝4 dm.在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 dm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．
(1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．
(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．
拓展迁移：
8．如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1，S2．
（1）若AC＝3，求S1的值．
（2）若S1+S2＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．
课堂练习参考答案
B
B
D
A
150,
解答提示：
方法一，把它展开看作直角三角形的底边是30个4Cm，。
方法二，把它展开看作直角三角形的底边是4Cm高90cm,求斜边长，然后乘以30圈。
解答提示：如图
（1）利用勾股定理的逆定理进行判断，求出∠ACB=90°
（2）过点C作CD⊥AB, 利用一面积两算法，求出CD=240Km，根据“以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.”故海港C受台风影响。
（3）根据勾股定理求出ED,继而求出EF,根据“台风的速度为20千米/小时.”求出台风影响该海港持续的时间为7小时．
课外作业参考答案
C
B
D
D
25
7、解：(1)如图，作点A关于BC所在直线的对称点A′，连接A′G，A′G与BC交于点Q，则AQ＋QG为最短路线．
(2)因为AE＝4 dm，AA′＝2AB＝12 dm，所以A′E＝8 dm.
在Rt△A′EG中，EG＝6 dm，A′E＝8 dm，A′G2＝A′E2＋EG2，
所以A′G＝10 dm.由对称性可知AQ＝A′Q.
所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10 dm.
答：小虫爬行的最短路线长为10 dm.
【解析】
作点A关于BC所在直线的对称点A′，连接A′G，A′G与BC交于点Q，由对称性可知AQ＝A′Q.根据两点之间线段最短则AQ＋QG为最短路线．
在Rt△A′EG中利用勾股定理求出AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10 dm.
8、解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3，
∴BC＝4，AB＝5，
由折叠可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，
设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，
∵，
∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x），
解得，
∴
（2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，
如图1，由折叠可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，
∵，
∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x，
解得，
∴；
如图2，由折叠可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN，
∴AE＝x，AN＝3x﹣EN，
∵，
∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得x2＝12，
∴．
【解析】
设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，根据一面积两算法列方程求出X,继而求出其面积。
由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，
图1中根据折叠性质和一面积两算法列方程求出，
图2中根据折叠性质和一面积两算法列方程求出，
由于,建立方程，求出x值，继而求出单个直角三角形纸片的面积。
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北师大版（2024）第一章《勾股定理》解决问题的策略 反思教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 解决问题的策略 反思 课时 1
课标要求 1、通过勾股定理解决几何图形中的最短路径问题，培养空间想象能力和问题转化能力。2、结合实际情境（如折叠、展开图形、立体几何中的最短距离），灵活运用勾股定理计算最短距离。
教材分析 本节课是运用勾股定理解决简单的立体图形上的最短距离问题，进一步发展应用意识。既是七年级图形的展开与折叠知识的延续，需要把立体图形展开成平面图形后，利用两点之间线段最短在平面上找到最短距离，并运用勾股定理求出最短距离；又是从立体图形侧面中来又回到立体图形中去，也为九年级要学习的视图与投影埋下伏笔。
学情分析 学生已学过勾股定理及其逆定理，本节课利用所学知识解决实际问题。由于学生掌握知识比较零散，综合知识解决实际问题有点难度，数型结合思想渗透力度还不够，所以本节课教师要把培养学生的分析问题解决问题的能力放在首为，通过数型结合思想解决蚂蚁爬行路程最短的问题。
核心素养目标 1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题
教学重点 重点是利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题
教学难点 难点是如何寻找和计算最短距离。
教学准备 课件及预习单
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新1. ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC的为 直角 .三角形2.如何判断一个三角形为直角三角形的方法是：较短的两边平方和等于最长边的平方3.两点之间 线段 最短.直线外一点到这条直线可以画 无数 条线段， 其中 垂线段 最短。 4、圆柱体侧面展开是一个 长方形 。圆柱体的底面周长是展开后 长方形 的 长，高是展开后 长方形 的宽 。 1、完成练习题。2、回顾圆柱体的展开图 回顾知识，为新授铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题有一个圆柱，它的高等与12cm，底面上圆的周长等于18cm。在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的蚂蚁怎样走最近？最近路程是多少？问题理解已知条件是什么？所求问题呢？【圆柱体的底面周长和圆柱体的高，蚂蚁爬行的最短距离。】2、爬行的线路可能有那些？什么情况下的线路最短？ 学生思考已知条件和所求问题，明晰目标。 由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣。由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣；
三、探究 合作探究，活动领悟一、小组合作蚂蚁爬行的4种最基本的线路1、2、3、在Rt△ABC中，由勾股定理可得，蚂蚁爬行的路程=AE+EB≈17.41cm。4、在Rt△ABC中，由勾股定理可得，所以蚂蚁爬行的路程15cm。小组交流讨论线路3中n中情况，不计算比较AE+EB、AF+FB、AB大小，为什么？ AE+EB＞AF+FB＞AB三角形两边之和大于第三边，两点之间线段最短探究小结：1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段最短”确定爬行路线。2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。 1、小组合作蚂蚁爬行的最线路有几种。2、分别计算每种线路的长度3、小组交流讨论线路3中的n中情况，不用计算可否判断线路的长短。4、探究小结 教师黑板画图，寻找解决问题的策略；引导学生把圆柱体侧面展开。根据两点之间线段最短来确定蚂蚁爬行的线路，最终在直角三角形内利用勾股计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本质
四、变式 典例精析例1、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC = 6 – 1 = 5 ，BC = 24 ÷2= 12，由勾股定理得 AB= AC+ BC=169,∴AB=13(m) 例题2：你能求出蚂蚁从A爬行到B的最短距离吗？①沿着棱爬行的距离：12+8+6=26②沿前面和上面展开后对角线③沿前面和右面展开后对角线④沿左面和上面展开后对角线∴蚂蚁从A爬行到B的最短距离 自学例题1小组讨论例题2 通过例题的学习使学生掌握解决问题的策略。利用数学中的“建模思想”构造直角三角形。体会分类讨论的数学思想。
五、尝试 基础达标：1．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（B ）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 第1题 第2题2．如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ B ）cmA．8 B．4 C．2 D．123．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ D ）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm第3题 第4题4．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=0.8米．竹竿高出水面的部AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为（ A ）A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米能力提升：5.如图,一根长90cm的灯管上,缠满了彩色丝带,已知可近似地将灯管看作圆柱体,且底面周长为4cm,彩色丝带均匀地缠绕了30圈,问:丝带共有多长 解：方法一：30×4=120(cm)方法二：90÷30=3cm5×30=150cm答：:丝带长150cm.拓展迁移：6.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300Km,BC=400Km,AB=500Km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域. （1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，则台风影响该海港持续的时间有多长？解：（1）∵AC=300km，BC=400km，AB=500km. ∴AC2+BC2=AB2. ∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°.（2）海港C受台风影响， 理由：过点C作CD⊥AB，如图 ∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，△ABC是直角三角形. ∴AC×BC=CD×AB. ∴300×400=500×CD. ∴CD=240（km）, ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域, ∴海港C受台风影响.(3)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口.∵ED=70（km）.∴EF=140km.∵台风的速度为20千米/小时.∴140÷20=7（小时）.答：台风影响该海港持续的时间为7小时． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段最短”确定爬行路线。2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。 学生谈收获及解决问题的方法和注意事项。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 解决问题的策略----最短距离问题 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ C ）A. 11cm B. 12cm C. 13cm D. 14cm2.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是竖直线段BC上一点,且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ B ）A. B. 5cm C. 6cm D. 7cm第1题 第2题 第3题3.如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是( D )A.170cm B.70cm C.145cm D.130cm 如图是一个长为4，宽为3，高为12的矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)( D )A.5a12 B.12a C.12a D.12a13.5.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5CM，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 25 cm．6.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则AB的长为 ()第4题 第5题 第6题能力提升：7.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB＝6 dm，水深AE＝4 dm.在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 dm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．(1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．解：(1)如图，作点A关于BC所在直线的对称点A′，连接A′G，A′G与BC交于点Q，则AQ＋QG为最短路线． (2)因为AE＝4 dm，AA′＝2AB＝12 dm，所以A′E＝8 dm.在Rt△A′EG中，EG＝6 dm，A′E＝8 dm，A′G2＝A′E2＋EG2，所以A′G＝10 dm.由对称性可知AQ＝A′Q.所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10 dm.答：小虫爬行的最短路线长为10 dm.拓展迁移：8．如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1，S2．（1）若AC＝3，求S1的值．（2）若S1+S2＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折叠可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，∵，∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x），解得，∴（2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，如图1，由折叠可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，∵，∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x，解得，∴；如图2，由折叠可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN，∴AE＝x，AN＝3x﹣EN，∵，∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x，解得，∴，∵，∴，解得x2＝12，∴．
教学反思
B
A
C
D
A
B
A’
B
A
A’
d
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册、第一章
课标要求 1、使学生理解并掌握勾股定理，并能运用它解决一些简单的实际问题。2、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。3、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣。
内容分析 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，也是八年级数学课程中的一个核心知识点。它不仅具有悠久的历史和广泛的应用，更在培养学生的逻辑思维、空间想象能力和数学应用意识方面扮演着重要角色。以下是对其教学内容的具体分析：承上启下： 勾股定理建立在学生已经掌握的线段、角、三角形（特别是直角三角形）以及实数等知识基础上。同时，它又为后续学习四边形、圆、解直角三角形、锐角三角函数以及高中立体几何等内容奠定了基础。可以说，它是连接平面几何基础与更复杂几何图形研究的重要桥梁。核心概念： 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是几何中第一个将“形”（直角）与“数”（边长）紧密结合的定理，体现了数形结合的思想。应用广泛： 勾股定理在实际生活中有大量应用，如测量距离、建筑、航海、工程等，是培养学生数学应用意识和解决实际问题能力的重要载体。探索： 让学生用不同大小的正方形卡片（或方格纸）拼出直角三角形，并计算以三边为边长的正方形面积，发现规律 a + b = c 。证明： 介绍几种经典的证明方法，如赵爽弦图（面积割补法）、欧几里得证明（利用相似三角形或面积）等。重点引导学生理解赵爽弦图的证明思路，因为它直观且蕴含了中国古代数学的智慧。可以通过动手操作、小组合作等方式加深理解。应用：基础应用： 讲解定理的直接应用，如已知直角三角形的两边求第三边。注意区分已知的是直角边还是斜边。逆定理应用： 讲解如何根据三边关系判定一个三角形是否为直角三角形。强调必须用最大边的平方与其他两边的平方和比较。综合应用： 设计一些需要添加辅助线构造直角三角形的问题（如折叠问题、最短路径问题等），培养学生灵活运用知识的能力。实际应用： 结合生活实例，如测量高度、距离等，让学生体会数学的实用性。拓展与提升：介绍勾股数（满足a + b = c 的整数组），让学生寻找或验证勾股数。简单介绍勾股定理在更高维度（如空间直角坐标系中两点距离公式）或其他学科（如物理学）中的应用。勾股定理的教学不仅是知识的传授，更是思维能力和应用能力的培养。教师需要精心设计教学环节，既要让学生掌握扎实的知识技能，也要引导他们体验数学探究的乐趣，感受数学文化的魅力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
学情分析 一、学生已有的知识基础图形认识： 学生已经学习过三角形、四边形等基本图形，对直角三角形有初步的认识，知道其有一个直角和两个锐角。面积计算： 学生掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形的面积计算方法，特别是正方形的面积等于边长的平方，这是理解勾股定理几何证明的基础。代数基础： 学生已经学习了整式的加减乘除运算，特别是平方运算，为理解代数形式打下了基础。简单的方程： 学生具备解简单一元一次方程的能力，这有助于他们在已知两边求第三边时建立方程并求解。二、学生可能遇到的困难与挑战：概念理解困难、斜边识别、定理适用范围、定理证明的理解、几何证明、代数证明、定理的应用、选择何时使用、计算错误、逆向应用、实际应用建模、三、 学生的学习兴趣与潜在优势：好奇心、实用性、成就感、形象思维
单元目标 （一）教学目标根据新课标要求，勾股定理的教学目标通常包括以下三个维度：知识与技能：1、理解并掌握勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。会用勾股定理进行计算，求直角三角形的未知边长。2、了解勾股定理的逆定理（如果三角形三边长a, b, c满足a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形），并会运用其判定直角三角形。3、了解勾股定理的几种常见证明方法（如面积法、割补法等），体会证明的多样性。过程与方法：1、经历探索勾股定理及逆定理的过程，通过观察、猜想、验证、归纳等活动，培养学生的探究能力和推理能力。2、体会数形结合、转化与化归、从特殊到一般等数学思想方法。3、学习利用面积关系进行几何证明的方法。情感态度与价值观：1、通过了解勾股定理的历史（如中国的“勾三股四弦五”、毕达哥拉斯的故事等），感受数学文化的魅力，激发学习兴趣。2、在探索和解决问题的过程中，体验数学学习的乐趣，培养克服困难的意志品质。3、认识到数学在解决实际问题中的作用，增强应用数学的意识。（二）教学重点、难点重点1、勾股定理的内容及其应用（已知两边求第三边）。2、勾股定理的逆定理及其应用（根据三边关系判定直角三角形）。3、理解定理的证明思路（尤其是面积法）。难点1、对勾股定理及其逆定理条件的准确理解和区分（何时用定理，何时用逆定理）。2、理解不同证明方法（尤其是面积法）的原理和步骤，特别是如何通过图形的割补、拼接来证明a + b = c 。3、将实际问题抽象转化为直角三角形模型，并灵活运用勾股定理解决。4、对于无理数（如√2, √3等）在边长计算中的出现和接受。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理111.2探索勾股定理211.3一定是直角三角形吗11.4勾股定理的运用11.5问题解决的策略11.6回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.在探究过程中，渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。环节一：复习旧知环节二：问题情景引入环节三：探索勾股定理环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升探索勾股定理21.了解勾股定理的历史,感受数学文化;2.探究验证勾股定理的方法:等面积,两算法;3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.1、回顾知识，思考问题，2、完成填空题。3、用4张完全一样的直角三角形拼图。4、用拼图（等面积、两算法）验证勾股定理。5、追溯历史，阅读教材第6-7页《漫画勾股世界》6、小组活动课本第6页，利用等面积两算法探究满足勾股定理的条件。7、自学例题（课本第5页）8、学生完成必做题，教师指导完成选做题和综合拓展作业。9、学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获。环节一：复习旧知环节二：探索勾股定理验证的方法环节三：探索勾股定理使用条件环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。1、回顾勾股定理的定义。2、独立完成第2题。3、思考判断一个三角形是否是直角三角形的方法。4.学生通过画、量、算活动，总结三角形的三边符合a2+b2=c2，这样的三角形是直角三角形。5、探究勾股数的特点。6、小结勾股定理的逆定理7、自学课本第9页例题8、学生完成课堂练习环节一：通过复习唤醒记忆，为新授奠基环节二：提出问题引入新课。环节三：探索判断一个直角三角形的条件环节四：探索勾股数环节五：典例精析环节六：课堂练习环节七：总结提升勾股定理的运用准确运用勾股定理及逆定理。经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用 完成检测题。2、小组讨论如何帮助装修师傅解决问题。提出方案。3、实施方案。4、完成尝试与思考，小组讨论解决问题用到的知识点和解决问题用到的数学思想。5、完成例题的学习，提出质疑。6、学生完成课堂练习。7、学生畅所欲言本节课运用到的知识和解决问题用到的数学方法。环节一：完成课前测试题。环节二：提出问题引入新课。环节三：尝试与思考环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升问题解决的策略 反思1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题1、完成练习题。2、回顾圆柱体的展开图。3、学生思考已知条件和所求问题，明晰目标。4、小组合作蚂蚁爬行的最线路有几种。5、分别计算每种线路的长度6、小组交流讨论线路3中的n中情况，不用计算可否判断线路的长短。7、探究小结8、自学例题19、小组讨论例题2。10、学生完成课堂练习。11、学生谈收获及解决问题的方法和注意事项。环节一：知识回顾。环节二：提出问题引入新课。环节三：合作探究环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升回顾与思考1、掌握勾股定理,会用拼图法验证勾股定理.2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。3、能应用勾股定理解决实际问题.体验成功的快乐。4、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。小组内展示自己总结的知识框图。相互交流完善知识框图.梳理知识。利用面积关系验证勾股定理。4、学生对五种不同题型题目尝试解答。对有困难的学生教师适当点拨。解答过程注意；（1）一线三直角的两个三角形全等的证明。（2）长方体中蚂蚁爬行的线路最短问题，需要分三种情况分别计算，然后找出最短路径。5、学生独立求完成课堂练习。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：验证勾股定理环节四：中考链接环节五：课堂练习环节六：总结提升
《勾股定理》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：情景问题导入
活动三：探索勾股定理
勾股定理
任务一：探索勾股定理1
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：探索勾股定理验证方法
活动三：探索勾股定理使用条件
任务二：探索勾股定理2
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探索判断一个直角三角形的条件
任务三：一定是直角三角形吗
活动四：探索勾股数
活动五：典例精析
勾股定理
活动六：课堂练习
活动七：总结提升
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：尝试与思考
活动四：典例精析
任务四：勾股定理的运用
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：知识回顾
活动二：问题引入
活动三：合作探究
任务五：问题解决的策略
反思
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
勾股定理
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
活动三：验证勾股定理
活动四：中考链接
任务六：回顾与思考
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
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