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北师大版（2024）第一章《勾股定理》教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 探索勾股定理 课时 1
课标要求 经历探究勾股定理的过程，进一步发展学生的推理意识和主动探究的学习习惯，体会数学与现实生活的联系。理解直角三角形三边之间的数量关系，发展学生的说理能力和推理能力。运用勾股定理解决实际问题，并通过勾股定理实例了解勾股定理的历史和运用，体会它的文化价值。
教材分析 本章内容主要研究勾股定理及其逆定理，包括发现、证明、运用三个环节，首先让学生观察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理。然后运用勾股定理解决问题，在此基础上引入勾股定理的逆定理。在勾股定理和逆定理的探索过程中，要引导学生善于观察、归纳和总结，并将结论运用到问题解决中，注意体会数型结合、转化等数学思想。 本章节勾股定理的背景资料非常丰富，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感。
学情分析 学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的帮助，但本章内容思维量大，对思维的严谨、归纳推理能力要求较高，学生学起来有一点的难度。
核心素养目标 1、掌握勾股定理,会用拼图法验证勾股定理.2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。3、能应用勾股定理解决实际问题.体验成功的快乐。4、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。
教学重点 利用数型结合的思想验证勾股定理，利用勾股定理解决问题。
教学难点 在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。
教学准备 课件及章节思维导图
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、知识框架知识梳理勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.应用条件：直角三角形勾股定理逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形.勾股数满足的三个正整数，称为勾股数.勾股定理与勾股定理逆定理的区别于联系区别：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有关系式成立. 。勾股定理逆定理：一个三角形的三边a、b、c满足为条件,得出这个三角形是直角三角形的结论.联系： 都与三角形三边有关， 都与直角三角形有关。勾股定理的验证 小组内展示自己总结的知识框图。相互交流完善知识框图.梳理知识。利用面积关系验证勾股定理 利用思维导图，构建知识网状结构图。梳理本章知识是学生的知识点形成一个完整的体系。设计三个图形利用求面积的方法验证勾股定理，加深学生对勾股定理的理解和掌握。也达到数形的完美结合。
五、中考链接 题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。1、已知一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,第三边长的平方为 25 。2、已知一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm, 第三边长的平方为 7或25 。题型二 勾股定理的逆应用1、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( A )A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，5如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD证明： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ∴AD⊥BD.题型三 最短路线问题如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 题型四 主要数学思想-------方程思想如图，已知长方形ABC中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解：由折叠可知AD=AF=10cm 在Rt△ABF中∴BF=6,FC=4设CE为Xcm，DE=EF=8-x 在Rt△EFC 中 求出X=3答：CE长3cm.题型五 勾股定理与面积直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为 解：由于△ABC ≌△CDF(利用一线三直角学生自己证明为何全等）∴AB=CD b=CF =CD+DF =5+11=16∴b的面积是16. 学生对五种不同题型题目尝试解答。对有困难的学生教师适当点拨。解答过程注意；一线三直角的两个三角形全等的证明。长方体中蚂蚁爬行的线路最短问题，需要分三种情况分别计算，然后找出最短路径。 设计不同题型，都是围绕勾股定理展开的，在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在。。
六、课堂练习 基础达标：1．下列各组数中，是勾股数的是（ D ）A．9，16，25 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，172．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（C ）A． B．13 C． D．253．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（ B ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第3题 第4题4．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8Km，又往北走2Km，遇到障碍后又往西走3Km，再向北走到6Km处往东拐，仅走了1Km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ D ）A．20km B．14km C．11km D．10km5．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 10 m． 第5题 第6题6．如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么∠ECD+∠EDC= 90 °．7．一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了16km，然后向正北方向航行了12km，这时它离出发点有 20 km.能力提升：8.如图，在一棵大树AB的10m高的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的点C处有一根香蕉，一只猴子从点D处上爬到树顶点A处，利用拉在点A处的滑绳AC，滑到点C处，另一只猴子从点D处滑到地面点B处，再由点B跑到点C，已知两只猴子所经过的路程都是15m，那么这棵树有多高？解：设树高AB为x m.由题意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.在 Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即x2+52=(25-x)2，解得x=12.答：这棵树有12 m高．拓展迁移：9.如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的点,CD=9,BC=15,BD=12. (1)求证ΔBCD是直角三角形;(2)求ΔABC的面积.证明:(1)∵CD=9,BD=12,∴CD+BD=81+144=225.∵BC=15,∴BC=225.∴CD+BD=BC.∴ΔBCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理的逆定理).解:(2)设AD=x,则AC=x+9,∵AB=AC,∴AB=x+9,∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,∴AB=AD+BD,即(x+9)=x+12,解得x=3.5ΔABC的面积=(3.5+9)×12÷2=75 学生独立求完成课堂练习。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( A )A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,7 D.8,39,402、如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4 m，这棵大树在折断前的高度为（ C ）A.7 m B.10 m C.8 m D.12 m3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ D ）A． B． C． D． 第2题 第3题 第5题 第6题4．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（ C ）A．5 B．6或 C．5或 D．5．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边的和a+b= 5 ．6．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为 2 cm．7.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积.（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由.解：（1）△ABC的面积=8×4-（2×3+1×8+6×4） =32-19=13是直角三角形。AB=2+3=13 BC=6+4=52AC=1+8=65.AB+BC=AC∴△ABC是直角三角形能力提升：8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D不与点A，B重合），连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数；（3）求证：．解：（1）证明：∵把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴，．又∵，∴．又∵，∴≌（SAS）．（2）∵，，∴．∵≌，∴，．又∵，∴．∴．（3）证明：∵，∴．∴．又∵，∴．拓展迁移：9.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.解:连接AD,如图(2)所示.∵∠BAC=90°,AB=AC,又∵AD为ΔABC的中线,∴AD=DC=DB,AD⊥BC,且∠BAD=∠C=45°.∵∠EDA+∠ADF=90°,又∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠EDA=∠CDF.所以ΔAED≌ΔCFD(ASA).∴AE=FC=5,同理AF=BE=12,在RtΔAEF中,根据勾股定理得:EF=AE+AF=5+12=13， ∴EF=13.
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册、第一章
课标要求 1、使学生理解并掌握勾股定理，并能运用它解决一些简单的实际问题。2、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。3、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣。
内容分析 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，也是八年级数学课程中的一个核心知识点。它不仅具有悠久的历史和广泛的应用，更在培养学生的逻辑思维、空间想象能力和数学应用意识方面扮演着重要角色。以下是对其教学内容的具体分析：承上启下： 勾股定理建立在学生已经掌握的线段、角、三角形（特别是直角三角形）以及实数等知识基础上。同时，它又为后续学习四边形、圆、解直角三角形、锐角三角函数以及高中立体几何等内容奠定了基础。可以说，它是连接平面几何基础与更复杂几何图形研究的重要桥梁。核心概念： 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是几何中第一个将“形”（直角）与“数”（边长）紧密结合的定理，体现了数形结合的思想。应用广泛： 勾股定理在实际生活中有大量应用，如测量距离、建筑、航海、工程等，是培养学生数学应用意识和解决实际问题能力的重要载体。探索： 让学生用不同大小的正方形卡片（或方格纸）拼出直角三角形，并计算以三边为边长的正方形面积，发现规律 a + b = c 。证明： 介绍几种经典的证明方法，如赵爽弦图（面积割补法）、欧几里得证明（利用相似三角形或面积）等。重点引导学生理解赵爽弦图的证明思路，因为它直观且蕴含了中国古代数学的智慧。可以通过动手操作、小组合作等方式加深理解。应用：基础应用： 讲解定理的直接应用，如已知直角三角形的两边求第三边。注意区分已知的是直角边还是斜边。逆定理应用： 讲解如何根据三边关系判定一个三角形是否为直角三角形。强调必须用最大边的平方与其他两边的平方和比较。综合应用： 设计一些需要添加辅助线构造直角三角形的问题（如折叠问题、最短路径问题等），培养学生灵活运用知识的能力。实际应用： 结合生活实例，如测量高度、距离等，让学生体会数学的实用性。拓展与提升：介绍勾股数（满足a + b = c 的整数组），让学生寻找或验证勾股数。简单介绍勾股定理在更高维度（如空间直角坐标系中两点距离公式）或其他学科（如物理学）中的应用。勾股定理的教学不仅是知识的传授，更是思维能力和应用能力的培养。教师需要精心设计教学环节，既要让学生掌握扎实的知识技能，也要引导他们体验数学探究的乐趣，感受数学文化的魅力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
学情分析 一、学生已有的知识基础图形认识： 学生已经学习过三角形、四边形等基本图形，对直角三角形有初步的认识，知道其有一个直角和两个锐角。面积计算： 学生掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形的面积计算方法，特别是正方形的面积等于边长的平方，这是理解勾股定理几何证明的基础。代数基础： 学生已经学习了整式的加减乘除运算，特别是平方运算，为理解代数形式打下了基础。简单的方程： 学生具备解简单一元一次方程的能力，这有助于他们在已知两边求第三边时建立方程并求解。二、学生可能遇到的困难与挑战：概念理解困难、斜边识别、定理适用范围、定理证明的理解、几何证明、代数证明、定理的应用、选择何时使用、计算错误、逆向应用、实际应用建模、三、 学生的学习兴趣与潜在优势：好奇心、实用性、成就感、形象思维
单元目标 （一）教学目标根据新课标要求，勾股定理的教学目标通常包括以下三个维度：知识与技能：1、理解并掌握勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。会用勾股定理进行计算，求直角三角形的未知边长。2、了解勾股定理的逆定理（如果三角形三边长a, b, c满足a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形），并会运用其判定直角三角形。3、了解勾股定理的几种常见证明方法（如面积法、割补法等），体会证明的多样性。过程与方法：1、经历探索勾股定理及逆定理的过程，通过观察、猜想、验证、归纳等活动，培养学生的探究能力和推理能力。2、体会数形结合、转化与化归、从特殊到一般等数学思想方法。3、学习利用面积关系进行几何证明的方法。情感态度与价值观：1、通过了解勾股定理的历史（如中国的“勾三股四弦五”、毕达哥拉斯的故事等），感受数学文化的魅力，激发学习兴趣。2、在探索和解决问题的过程中，体验数学学习的乐趣，培养克服困难的意志品质。3、认识到数学在解决实际问题中的作用，增强应用数学的意识。（二）教学重点、难点重点1、勾股定理的内容及其应用（已知两边求第三边）。2、勾股定理的逆定理及其应用（根据三边关系判定直角三角形）。3、理解定理的证明思路（尤其是面积法）。难点1、对勾股定理及其逆定理条件的准确理解和区分（何时用定理，何时用逆定理）。2、理解不同证明方法（尤其是面积法）的原理和步骤，特别是如何通过图形的割补、拼接来证明a + b = c 。3、将实际问题抽象转化为直角三角形模型，并灵活运用勾股定理解决。4、对于无理数（如√2, √3等）在边长计算中的出现和接受。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理111.2探索勾股定理211.3一定是直角三角形吗11.4勾股定理的运用11.5问题解决的策略11.6回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.在探究过程中，渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。环节一：复习旧知环节二：问题情景引入环节三：探索勾股定理环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升探索勾股定理21.了解勾股定理的历史,感受数学文化;2.探究验证勾股定理的方法:等面积,两算法;3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.1、回顾知识，思考问题，2、完成填空题。3、用4张完全一样的直角三角形拼图。4、用拼图（等面积、两算法）验证勾股定理。5、追溯历史，阅读教材第6-7页《漫画勾股世界》6、小组活动课本第6页，利用等面积两算法探究满足勾股定理的条件。7、自学例题（课本第5页）8、学生完成必做题，教师指导完成选做题和综合拓展作业。9、学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获。环节一：复习旧知环节二：探索勾股定理验证的方法环节三：探索勾股定理使用条件环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。1、回顾勾股定理的定义。2、独立完成第2题。3、思考判断一个三角形是否是直角三角形的方法。4.学生通过画、量、算活动，总结三角形的三边符合a2+b2=c2，这样的三角形是直角三角形。5、探究勾股数的特点。6、小结勾股定理的逆定理7、自学课本第9页例题8、学生完成课堂练习环节一：通过复习唤醒记忆，为新授奠基环节二：提出问题引入新课。环节三：探索判断一个直角三角形的条件环节四：探索勾股数环节五：典例精析环节六：课堂练习环节七：总结提升勾股定理的运用准确运用勾股定理及逆定理。经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用 完成检测题。2、小组讨论如何帮助装修师傅解决问题。提出方案。3、实施方案。4、完成尝试与思考，小组讨论解决问题用到的知识点和解决问题用到的数学思想。5、完成例题的学习，提出质疑。6、学生完成课堂练习。7、学生畅所欲言本节课运用到的知识和解决问题用到的数学方法。环节一：完成课前测试题。环节二：提出问题引入新课。环节三：尝试与思考环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升问题解决的策略 反思1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题1、完成练习题。2、回顾圆柱体的展开图。3、学生思考已知条件和所求问题，明晰目标。4、小组合作蚂蚁爬行的最线路有几种。5、分别计算每种线路的长度6、小组交流讨论线路3中的n中情况，不用计算可否判断线路的长短。7、探究小结8、自学例题19、小组讨论例题2。10、学生完成课堂练习。11、学生谈收获及解决问题的方法和注意事项。环节一：知识回顾。环节二：提出问题引入新课。环节三：合作探究环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：总结提升回顾与思考1、掌握勾股定理,会用拼图法验证勾股定理.2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。3、能应用勾股定理解决实际问题.体验成功的快乐。4、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。小组内展示自己总结的知识框图。相互交流完善知识框图.梳理知识。利用面积关系验证勾股定理。4、学生对五种不同题型题目尝试解答。对有困难的学生教师适当点拨。解答过程注意；（1）一线三直角的两个三角形全等的证明。（2）长方体中蚂蚁爬行的线路最短问题，需要分三种情况分别计算，然后找出最短路径。5、学生独立求完成课堂练习。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：验证勾股定理环节四：中考链接环节五：课堂练习环节六：总结提升
《勾股定理》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：情景问题导入
活动三：探索勾股定理
勾股定理
任务一：探索勾股定理1
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：探索勾股定理验证方法
活动三：探索勾股定理使用条件
任务二：探索勾股定理2
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探索判断一个直角三角形的条件
任务三：一定是直角三角形吗
活动四：探索勾股数
活动五：典例精析
勾股定理
活动六：课堂练习
活动七：总结提升
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：尝试与思考
活动四：典例精析
任务四：勾股定理的运用
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
活动一：知识回顾
活动二：问题引入
活动三：合作探究
任务五：问题解决的策略
反思
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
勾股定理
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
活动三：验证勾股定理
活动四：中考链接
任务六：回顾与思考
活动五：课堂练习
活动六：总结提升
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第一章 勾股定理
回顾与思考
学习目标与重难点
学习目标：
1、掌握勾股定理,会用拼图法验证勾股定理.
2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。
3、能应用勾股定理解决实际问题.体验成功的快乐。
4、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。
学习重点：利用数型结合的思想验证勾股定理，利用勾股定理解决问题。
学习难点：在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用
预习自测
一、知识框架
回顾知识，绘制思维导图
知识梳理
勾股定理的定义： 。
应用条件： 。
勾股定理逆定理： 。
勾股数 。
勾股定理与勾股定理逆定理的区别于联系
区别： 。
联系： 。
三、勾股定理的验证（利用下面三幅图验证勾股定理）
中考链接
题型一： 直角三角形中已知两边，求第三边。
1、已知一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,第三边长的平方为 。
2、已知一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm, 第三边长的平方为 。
题型二： 勾股定理的逆应用
1、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )
A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，5
如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD
题型三： 最短路线问题
如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 。
（解答提示，本题分三种情况讨论，再比较结果选出最小值）
题型四：主要数学思想-------方程思想
如图，已知长方形ABC中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
题型五： 勾股定理与面积
直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积是多少？
三、课堂练习、巩固提高
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17
2．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（ ）
A． B．13 C． D．25
3．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第3题 第4题 第5题 第6题
4．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8Km，又往北走2Km，遇到障碍后又往西走3Km，再向北走到6Km处往东拐，仅走了1Km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）
A．20km B．14km C．11km D．10km
5．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m．
6．如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么∠ECD+∠EDC= °．
7．一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了16km，然后向正北方向航行了12km，这时它离出发点有 km.
能力提升：
8.如图，在一棵大树AB的10m高的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的点C处有一根香蕉，一只猴子从点D处上爬到树顶点A处，利用拉在点A处的滑绳AC，滑到点C处，另一只猴子从点D处滑到地面点B处，再由点B跑到点C，已知两只猴子所经过的路程都是15m，那么这棵树有多高？
拓展迁移：
9.如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)求证ΔBCD是直角三角形;
(2)求ΔABC的面积.
四、【作业布置】
基础达标：
1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,7 D.8,39,40
2、如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4 m，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A.7 m B.10 m C.8 m D.12 m
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
第2题 第3题 第5题 第6题
4．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（ ）
A．5 B．6或 C．5或 D．
5．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边的和a+b= ．
6．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为 cm．
7.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积.（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由.
能力提升：
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D不与点A，B重合），连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数；
（3）求证：．
拓展迁移：
9.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.
课堂练习参考答案
D
C
B
D
10
90
20
解：设树高AB为x m.
由题意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.
在 Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即x2+52=(25-x)2，解得x=12.
答：这棵树有12 m高．
证明:(1)∵CD=9,BD=12,
∴CD+BD=81+144=225.
∵BC=15,
∴BC=225.
∴CD+BD=BC.
∴ΔBCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理的逆定理).
解:(2)设AD=x,则AC=x+9,∵AB=AC,
∴AB=x+9,
∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,
∴AB=AD+BD,
即(x+9)=x+12,
解得x=3.5
ΔABC的面积=(3.5+9)×12÷2=75
课外作业参考答案
A
C
D
C
5
2
7.解：（1）
△ABC的面积=8×4-（2×3+1×8+6×4） =32-19=13
是直角三角形。
AB=2+3=13 BC=6+4=52
AC=1+8=65.
AB+BC=AC∴△ABC是直角三角形。
8.解：（1）证明：∵把CD绕点C逆时针旋转90°
得到线段CE，
∴，．
又∵，
∴．
又∵，
∴≌（SAS）．
（2）∵，，
∴．
∵≌，
∴，．
又∵，
∴．
∴．
（3）证明：∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
9.解:连接AD,如图(2)所示.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
又∵AD为ΔABC的中线,
∴AD=DC=DB,AD⊥BC,且∠BAD=∠C=45°.
∵∠EDA+∠ADF=90°,又∵∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠EDA=∠CDF.所以ΔAED≌ΔCFD(ASA).
∴AE=FC=5,
同理AF=BE=12,
在RtΔAEF中,根据勾股定理得:
EF=AE+AF=5+12=13， ∴EF=13.
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