浙江省杭州市西湖区2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）以下图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），则函数图象一定还经过（　　）
A．（1，6） B．（3，2） C．（﹣6，1） D．（﹣3，﹣2）
3．（3分）下列各式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
5．（3分）给出一组数据：a，b，c，c，d（a＜b＜c＜d），将这组数据改变为a﹣2，b，c，c，d+2后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
6．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AM⊥y轴于点M，若△AOM 的面积为4，则k的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO．（　　）
A．若AC⊥BD，则AO＝BO
B．若AC⊥BD，则∠BAC＝∠DAC
C．若AC＝BD，则∠ABD＝∠CBD
D．若AC＝BD，则AB＝BC
8．（3分）随着生产技术的进步，某款药品的生产成本逐年下降．两年前生产1吨药品的成本是5000元，现在生产1吨该款药品的成本是3000元，设药品成本的年平均下降率为x，则可列方程（　　）
A．2×3000（1﹣x）＝5000 B．3000（1﹣x）2＝5000
C．2×5000（1﹣x）＝3000 D．5000（1﹣x）2＝3000
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将它向右平移得到Rt△A'B'C'，AC和A′B′交于点D，延长BA，C′A′交于点E，若BC′＝7，B'C＝3，则线段DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）已知点M（x1，n），N（x2，n+2）都在反比例函数（a为实数）的图象上，（　　）
A．若x1x2＜0，则﹣2＜n＜0 B．若x1x2＞0，则n＜﹣2
C．若n＜0，则x1﹣x2＜0 D．若n＞﹣2，则x1﹣x2＞0
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）要使二次根式有意义，则x的值可以是 　 　 ．（写出一个即可）
12．（3分）若一个八边形的每个外角都相等，则它的一个内角等于　 　 度．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，则对角线BD的长为　 　 ．
14．（3分）某位射击运动员的10次射击训练成绩统计如下：
成绩/环 6 7 8 9 10
次数 1 1 3 4 1
则10次成绩的中位数为　 　 环．
15．（3分）在直角坐标系中，函数y＝kx与函数的函数图象交于点A（﹣3，m），B（n，5），则k2的值为　 　 ．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，连接AE，AF，DE．若菱形面积为，AB＝14，四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍，则线段ED的长为 　 　 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣12＝0．
（1）当b＝4时，求方程的解．
（2）若x＝3是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解．
19．（8分）李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析，两人的成绩如下：
小聪：76，80，79，85，80；
小亮：77，79，81，82，81．
李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）．
平均成绩 中位数 众数
小聪 a 80 c
小亮 80 b 81
（1）填空：a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ．
（2）李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差S2＝8.4，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差．
（3）根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，连接AE，CF，AC．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）若CF＝AF＝5，AC＝8，求四边形AECF的面积．
21．（8分）在直角坐标系中，函数和函数y2＝﹣x+b（k≠0，k，b为常数）的图象交于点A（﹣1，4）和点B．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）求点B的坐标，并直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．
（3）设坐标原点为O，求△ABO的面积．
22．（10分）综合与实践
【定义学习】
若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为“圆满四边形”．
【概念理解】
（1）在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 　 　 ；（请填写序号）
【性质探究】
（2）如图1，已知四边形ABCD是“圆满四边形”，若AB＝AD＝3，CB＝CD，对角线AC＝5，求四边形ABCD的周长．
【判定探究】
（3）如图2，已知OD平分∠AOB，点C在射线OD上，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，点G在射线EA上，点H在线段OF上，EG＝FH，连接CG，CH．求证：四边形GOHC为“圆满四边形”．
23．（10分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？
（3）超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接BF，EF．
（1）如图1，若点F恰好落在对角线BD上，连接AF，求∠CAF的度数．
（2）如图2，连接DF，CF，若DF∥BE，试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图3，连接DF，DE，记△DEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，若DF⊥FE，求的值．
2024-2025学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D C D B D A A
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）以下图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
C．图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．（3分）已知反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），则函数图象一定还经过（　　）
A．（1，6） B．（3，2） C．（﹣6，1） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），
∴k＝﹣6，
∴反比例函数图象分布在第二四象限，
∴函数图象一定还经过第二象限，
故选：C．
3．（3分）下列各式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：不是同类项，不能进行合并计算，故A选项不符合题意；
2，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意，
故选：C．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2＞0，
解得m2＞8，
所以符合的数是﹣3．
故选：D．
5．（3分）给出一组数据：a，b，c，c，d（a＜b＜c＜d），将这组数据改变为a﹣2，b，c，c，d+2后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【解答】解：给出一组数据：a，b，c，c，d（a＜b＜c＜d），将这组数据改变为a﹣2，b，c，c，d+2后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是方差，平均数、众数和中位数不变．
故选：C．
6．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AM⊥y轴于点M，若△AOM 的面积为4，则k的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，AM⊥y轴于点M，若△AOM 的面积为4，
∴k＝2S△AOM＝2×4＝8．
故选：D．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO．（　　）
A．若AC⊥BD，则AO＝BO
B．若AC⊥BD，则∠BAC＝∠DAC
C．若AC＝BD，则∠ABD＝∠CBD
D．若AC＝BD，则AB＝BC
【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A．若AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，
不能判定AO＝BO，故不符合题意；
B．若AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，故符合题意；
C．若AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，
不能证明∠ABD＝∠CBD，故不符合题意；
D．若AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，
不能证明AB＝BC，故不符合题意．
故选：B．
8．（3分）随着生产技术的进步，某款药品的生产成本逐年下降．两年前生产1吨药品的成本是5000元，现在生产1吨该款药品的成本是3000元，设药品成本的年平均下降率为x，则可列方程（　　）
A．2×3000（1﹣x）＝5000 B．3000（1﹣x）2＝5000
C．2×5000（1﹣x）＝3000 D．5000（1﹣x）2＝3000
【解答】解：根据题意，得：5000（1﹣x）2＝3000．
故选：D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将它向右平移得到Rt△A'B'C'，AC和A′B′交于点D，延长BA，C′A′交于点E，若BC′＝7，B'C＝3，则线段DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图，连接AA′．
∵∠BAC＝∠B′A′C′＝90°，
∴∠EAD＝∠EA′D＝90°，
∵AB∥A′B′，
∴∠ADA′＝∠BAC＝90°，
∴四边形ADA′E是矩形，
∴DE＝AA′，
∵BC′＝7，B'C＝3，BB′＝CC′，
∴BB′＝CC′＝2，
∴AA′＝BB′＝2，
∴DE＝AA′＝2．
故选：A．
10．（3分）已知点M（x1，n），N（x2，n+2）都在反比例函数（a为实数）的图象上，（　　）
A．若x1x2＜0，则﹣2＜n＜0 B．若x1x2＞0，则n＜﹣2
C．若n＜0，则x1﹣x2＜0 D．若n＞﹣2，则x1﹣x2＞0
【解答】解：∵反比例函数常量a2+1＞0，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
A、若x1x2＜0，则点M（x1，n）在第三象限，N（x2，n+2）在第一象限，﹣2＜n＜0，原说法正确，符合题意；
B、若x1x2＞0，点M（x1，n），N（x2，n+2）都在同一分支上，则n＜﹣2或n＞0，原说法错误，不符合题意；
C、若n＜0，无法确定N（x2，n+2）所在象限，也无法判断x1﹣x2＜0是否成立，原说法错误，不符合题意；
D、若n＞﹣2，无法确定点M（x1，n），所在象限，也无法判断x1﹣x2＞0是否成立，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）要使二次根式有意义，则x的值可以是 　2（答案不唯一）　 ．（写出一个即可）
【解答】解：∵x﹣2≥0，
∴x≥2，
∴x的值可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
12．（3分）若一个八边形的每个外角都相等，则它的一个内角等于　135　 度．
【解答】解：∵八边形的外角和是360°，这个八边形的每个外角都相等，
∴这个八边形的每个外角是360°÷8＝45°，
∴它的一个内角等于180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，则对角线BD的长为　2　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝4，AB＝5，
∴OD＝OB，OC＝OAAC＝2，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴BC3，
∴OB，
∴BD＝2OB＝2，
故答案为：2．
14．（3分）某位射击运动员的10次射击训练成绩统计如下：
成绩/环 6 7 8 9 10
次数 1 1 3 4 1
则10次成绩的中位数为　8.5　 环．
【解答】解：把射击运动员的10次射击训练成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，9，9，9，10，
∴10次成绩的中位数为：8.5（环），
故答案为：8.5．
15．（3分）在直角坐标系中，函数y＝kx与函数的函数图象交于点A（﹣3，m），B（n，5），则k2的值为　15　 ．
【解答】解：∵两个函数图象关于原点成中心对称图形，且点A（﹣3，m），B（n，5），
∴n＝3，m＝﹣5，
∴点A（﹣3，﹣5），B（3，5），
∴k2＝15，
故答案为：15．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，连接AE，AF，DE．若菱形面积为，AB＝14，四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍，则线段ED的长为 　　 ．
【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AB＝14，
∴BC＝AB＝CD＝14，AD∥BC，
∵菱形面积为，
∴BC AM，
∴14×AM，
∴AM，
同理：AN＝AM，
∵BE＝CF，
∴△ABE和△ACF等底等高，
∴S△ABE＝S△ACF，
∵四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍，
∴S△AEC+S△ACF＝3.5×S△ABE，
∴S△AEC＝3.5×S△ABE﹣S△ACF＝2.5×S△ABE，
∴1EC AM＝2.5BE AM，
∴EC＝2.5×BE，
∴BC＝BE+EC＝3.5×BE＝14，
∴BE＝4，
∴EC＝2.5×BE＝10，
∵AD∥BC，AM⊥BC，AN⊥CD，
根据平行线间的距离处处相等得：DH＝AM，
在Rt△DCH中，由勾股定理得：CH6，
∴EH＝EC+CH＝10+6＝16，
在Rt△EDH中，由勾股定理得：ED．
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝323
；
（2）
＝（）2﹣（）2
＝5﹣3
＝2．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣12＝0．
（1）当b＝4时，求方程的解．
（2）若x＝3是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解．
【解答】解：（1）当b＝4，原方程为x2+4x﹣12＝0，
Δ＝42+4×12＝64，
x，
解得x1＝﹣6，x2＝2；
（2）设方程的另一个解为m，由根与系数的关系可知：3m＝﹣12，
解得m＝﹣4，
3+（﹣4）＝﹣b，解得b＝1，
∴方程的另一个根为﹣4，b＝1．
19．（8分）李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析，两人的成绩如下：
小聪：76，80，79，85，80；
小亮：77，79，81，82，81．
李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）．
平均成绩 中位数 众数
小聪 a 80 c
小亮 80 b 81
（1）填空：a＝　80　 ；b＝　81　 ；c＝　80　 ．
（2）李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差S2＝8.4，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差．
（3）根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由．
【解答】解：（1）小聪的平均数a80，
把小亮的5次测试成绩从小到大排列，排在最中间的数是81，故中位数b＝81；
小聪的5次测试成绩中80出现的次数最多，故众数c＝80；
故答案为：80，81，80；
（2）李老师计算小亮5次测试成绩的方差为：[（77﹣80）2+（79﹣80）2+2×（81﹣80）2+（82﹣80）2]＝3.2；
（3）选小亮参加知识竞赛，理由如下：
因为两人的平均数相同，但小亮的方差比小聪小，成绩更稳定，所以选小亮参加知识竞赛．（答案不唯一）．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，连接AE，CF，AC．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）若CF＝AF＝5，AC＝8，求四边形AECF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD＝BC．
又∵BE＝DF，
∴AF＝EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，CF＝AF＝5，
∴四边形AECF是菱形，
如图，连接EF交AC于O，
∴AC⊥EF，
∴AO，
∴OF3，
∴EF＝6，
∴四边形AECF的面积8×6＝24．
21．（8分）在直角坐标系中，函数和函数y2＝﹣x+b（k≠0，k，b为常数）的图象交于点A（﹣1，4）和点B．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）求点B的坐标，并直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．
（3）设坐标原点为O，求△ABO的面积．
【解答】解：（1）∵函数和函数y2＝﹣x+b（k≠0，k，b为常数）的图象交于点A（﹣1，4）和点B，
∴k＝﹣4，4＝1+b，
∴k＝﹣4，b＝3，
∴反比例函数解析式为y1，一次函数解析式为y2＝﹣x+3；
（2）联立方程组得，解得，，
∴B（4，﹣1）；
当y1＜y2时，自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜4．
（3）直线AB与y轴的交点为点C，由条件可知C（0，3），
∴S△ABO＝S△AOC+S△BOC．
22．（10分）综合与实践
【定义学习】
若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为“圆满四边形”．
【概念理解】
（1）在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 　①　 ；（请填写序号）
【性质探究】
（2）如图1，已知四边形ABCD是“圆满四边形”，若AB＝AD＝3，CB＝CD，对角线AC＝5，求四边形ABCD的周长．
【判定探究】
（3）如图2，已知OD平分∠AOB，点C在射线OD上，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，点G在射线EA上，点H在线段OF上，EG＝FH，连接CG，CH．求证：四边形GOHC为“圆满四边形”．
【解答】（1）解：∵矩形的四个内角都是90°，
∴矩形的两组对角的和为180°，
∴矩形是“圆满四边形”，
故答案为：①；
（2）解：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠B＝∠D，
∵四边形ABCD是“圆满四边形”，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AB＝AD＝3，AC＝5，
∴CB＝CD4，
∴四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝6+8＝14；
（3）证明：如图2，
∵OD平分∠AOB，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，
∴CE＝CF，∠CEG＝∠CHF＝90°，
∵EG＝FH，
∴△CEG≌△CFH（SAS），
∴∠CGE＝∠CHF，
∵∠CHF+OHC＝180°，
∴∠CGE+OHC＝180°，
∴四边形GOHC为“圆满四边形”．
23．（10分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？
（3）超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
由题意等：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+80；
（2）由题意得：（x﹣10）（﹣2x+80）＝448，
整理得：x2﹣50x+624＝0，
解得：x1＝26，x2＝24，
答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元；
（3）该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下：
由题意得：（x﹣10）（﹣2x+80）﹣2（﹣2x+80）＝400，
整理得：x2﹣52x+680＝0，
∵Δ＝（﹣52）2﹣4×680＝﹣16＜0，
∴原方程无解，
∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接BF，EF．
（1）如图1，若点F恰好落在对角线BD上，连接AF，求∠CAF的度数．
（2）如图2，连接DF，CF，若DF∥BE，试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图3，连接DF，DE，记△DEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，若DF⊥FE，求的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD，∠BAC，
∵点C关于直线BE的对称点为点F，
∴BF ＝BC，
∴AB＝BF，
∴∠BAF＝∠AFA67.5°，
∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝22.5°；
（2）如图1，
DF⊥CF，CF＝2DF，理由如下，
延长BE，交CF于G，
∵点C关于直线BE的对称点为点F，
∴BG⊥CF，CF＝2CG，
∴∠BGC＝90°，
∵DF∥BE，
∴DF⊥CF，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CFD＝∠BGC＝90°，
∴∠DCF+∠CDF＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCG+∠DCF＝90°，
∴∠CDF＝∠BCG，
∵BC＝CD，
∴△BCG≌△CDF（AAS），
∴CG＝DF，
∴CF＝2DF；
（3）（方法一）如图2，
连接BD，作BH⊥DF，交DF的延长线于点H，作BG⊥FE，交FE的延长线于点G，连接BD，交AC于O，
不妨设正方形的边长是2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BDAB＝2，OB＝OD，∠ACB，
∵点C关于直线BE的对称点为点F，
∴S△BCE＝S△BEF，CE＝EF，∠BFE＝∠ACB＝45°，BF＝BC＝2，
∴，
∴BG＝OB，
∵DF⊥EF，
∴∠DFE＝90°，
∴∠BFE＝180°﹣∠DFE﹣∠BFE＝45°，
∴BH＝FHBF，
∴DH，
∴DF＝DH﹣FH，
∴，
（方法二），如图3，
连接BD，作BG⊥DF，交DF的延长线于G，作EW⊥BC于W，作FH⊥AD于H，
不妨设正方形的边长是2，
由上知，DF，
BG＝FG，BD＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴EF＝CEEW，
∴．