北师大九年级数学上册 一元二次方程高频题 (含解析)

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一元二次方程
一、单选题
1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若方程的一个实数根为，则的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
3．某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
5．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
8．根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
9．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）

A． B． C．或 D．
11．如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（ ）

A． B．
C． D．
12．已知实数满足，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（　　）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题
14．已知是关于的一元二次方程，则的值为 ．
15．已知a和b是方程的两个解，则的值为 ．
16．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则 ．
17．已知，则的值是 ．
三、解答题
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．用合适的方法解下列方程．
(1)；
(2)；
(3)；（公式法）
(4)．（配方法）
22．解下列一元二次方程：
(1)（直接开平方法）；
(2)（配方法）．
(3)（公式法）；
(4)（因式分解法）．
23．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
24．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
25．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
26．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
27．已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根．
28．（1）当__________时，多项式的最小值为__________．
（2）当__________时，多项式的最大值为__________．
（3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值．
29．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
30． 已知，是关于的方程的两个不等实数根．
(1)求实数的取值范围：
(2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长．
31．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
32．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
(1)若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
(2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
33．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
34．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
35．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
36．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
37．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，的长为？
(2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？
38．如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
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试卷第1页，共3页
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《一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C A B C C A A
题号 11 12 13
答案 D B B
1．B
【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可．
【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．
综上所述，一元二次方程共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．B
【分析】依据题意，根据方程的根满足方程，进而将代入方程得，再整体代入即可得解．
【详解】解：方程的一个实数根为，
．
．
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并理解是关键．
3．C
【分析】由每一轮传染中平均每人传染了人，可以得到第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，结合已知的总感染人数即可列出一元二次方程，本题考查了根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是：根据题意找出等量关系．
【详解】解：有一人患了流感，每一轮传染中平均每人传染了人，
第一轮传染中有人被传染，第一轮结束后有人患流感，
第二轮传染中，人每人又传染了人，即，加上第二轮开始的人，
根据题意列式：，
整理得：，
故选：．
4．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
5．A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
6．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意，得
即，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
故选C．
8．C
【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围．
【详解】解：∵当时，当时，
∴当x在中取一个值时，，
∴一元二次方程的某一个解的取值范围是．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
9．A
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，可得每位同学收到份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，即可求解．
【详解】解：设全班同学有名学生，根据题意可得，
，
故选：A
10．A
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．D
【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．根据题意表示出种草部分的长为，宽为，即可求解．
【详解】解：把小路平移后，如图所示，

设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
由题意建立等量关系得：
故选：D
12．B
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案．
【详解】解：实数满足，，
是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：B．
13．B
【分析】求出的结果，再判断即可．
【详解】根据题意，可知，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
14．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案．
【详解】解：由题意知：且，
解得，
故答案为：．
15．2028
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2028．
16．1
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，道路的宽为米，
铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积．
草坪的面积为243平方米，
．
∴．
∴（舍去）
故答案为：1
17．2
【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：设，则原方程转化为，
所以或，
所以（舍去）或，
所以，
故答案为：2．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用因式分解的方法求解方程即可；
（2）利用因式分解的方法求解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
因式分解，得，
∴，，
∴；
（2）解：，
原方程可化为，
因式分解，得，
即，
于是得或，
∴．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）用公式法求解即可；
（2）先将方程化为一般式，再用公式法求解即可；
（3）先将方程化为一般式，用公式法求解即可；
（4）先将方程化为一般式，用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：，
，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（4）解：，
，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，以及求根公式．
20．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）原方程系数化为1后，利用直接开平方法求解即可；
（4）原方程化简后，利用十字相乘法因式分解求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：原方程化简为，
∴，
解得，．
21．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【分析】（）利用直接开平方法解答即可；
（）移项，利用因式分解法解答即可求解；
（）利用公式法解答即可求解；
（）移项，利用配方法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：移项得，，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：，，，
∵，
∴，
∴，；
（4）解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，．
22．(1)
(2)，
(3)
(4)
【分析】按要求解 一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
解得；
（2）解：，
，
，
，
解得，；
（3）解：，
，，，
∴，
解得；
（4）解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．
23．(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
24．(1)；
(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
25．(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（）利用根和系数的关系即可求解；
（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；
（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
26．(1)证明见解析
(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
27．见解析
【分析】本题考查了根的判别式，讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，因为，则方程有两个实数根．
【详解】证明：①当，
即时，方程为，解得，
所以此时方程有实数根；
②当时，，
所以此时方程有两个实数根．
综上，不论m为何值，方程总有实数根．
28．（1）3，3
（2）1，
（3），，最小值是10
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可；
（2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可；
（3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可．
【详解】（1）
当时，多项式取最小值，且最小值为3；
故答案为：3，3
（2）
当时，多项式取最大值，且最大值为；
故答案为：1，；
（3）
，
当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为．
，，最小值是10．
29．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
【详解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
30．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键．
（1）由根的判别式即可得出答案；
（2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：；
（2）解：由题意可知：，
只能取或，即是方程的一个根，
将代入得：，
解得：或，
当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形；
当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形；
综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，．
31．(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
32．(1)长和宽分别为18米，10米
(2)不能达到200m2，理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键．
（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可；
（2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可．
【详解】（1）解：设，则；
根据题意列方程，得：
，
解得；
当时，（米），
当时，（米），不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为18米，10米；
（2）根据题意列方程得，
，
整理得出：；
，
故此方程没有实数根，
答：满足条件的花园面积不能达到．
33．（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析．
【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论；
（2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论．
【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，
依题意，得：x（33-3x）=90，
解得：x1=6，x2=5．
当x=6时，33-3x=15，符合题意，
当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC=ym，则AB=（33-3y）m，
依题意，得：y（33-3y）=100，
整理，得：3y2-33y+100=0．
∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．（1）与的函数关系式为；（2）该设备的销售单价应是27 万元．
【分析】（1）根据图像上点坐标,代入,用待定系数法求出即可.
（2）根据总利润=单个利润销售量列出方程即可.
【详解】解：（1）设与的函数关系式为，
依题意，得解得
所以与的函数关系式为．
（2）依题知．
整理方程，得．
解得．
∵此设备的销售单价不得高于35万元，
∴（舍），所以．
答：该设备的销售单价应是27 万元．
【点睛】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.
35．(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔每个售价应定为50元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
36．(1)每次下降的百分率为
(2)该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元
【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
（1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a，
根据题意可得：，解得：（舍）或，
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价x元，由题意，得
，
整理，得，解得：，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
37．(1)经过或之后，的长为cm；
(2)秒或秒．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可；
（）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可；
【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm，
根据题意，由勾股定理得：，
即，
解得：，，
答：经过或之后，的长为cm；
（2）设经过秒，的面积等于矩形面积的，
由题意得，，，
∵矩形中，，，
∴，，
∴矩形的面积为：，
∴的面积，
整理得：，
解得，，
答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的．
38．(1)①秒或秒；②秒
(2)秒或秒或秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，
（1）①由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案；
（2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案；
运用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于，
由题意，，，
∴，
∴，
解得：，，
∴经过秒或秒钟，的面积等于；
②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得：
1），即：，
∴，
解得：（不合题意，舍去），；
2），即：，
∴，
∵，
此方程无实数根，即这种情况不存在；
综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分；
（2）设经过秒，的面积为，可分三种情况：
①点在线段上，点在线段上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：（舍去），；
②点在线段上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：；
③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）；
综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为．
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