河北省廊坊市部分学校2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷（含解析）

河北省廊坊市部分学校2024—2025学年下学期七年级期末数学试题
一、单选题
1．在下列实数中，最小的是（）
A． B． C．0 D．
2．为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中错误的是（ ）
A．本次调查采用的是抽样调查 B．每个运动员是个体
C．样本容量为50 D．50名运动员的年龄是总体的一个样本
3．下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是正数”表示为 B．“m不大于3”表示为
C．“n与4的差是负数”表示为 D．“n至少是6”表示为
4．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．点到直线的垂线段叫作点到直线的距离
C．同位角相等
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
6．我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图1所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．参赛学生人数为8人 B．最高分为100分
C．最高分与最低分的差是15分 D．参赛学生得100分的频率为0.2
7．若方程组的解是，则（ ）
A．2 B． C．0 D．4
8．如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若点位于第三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如果的算术平方根是3，那么的平方根是 ．
14．在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
15．如图1为户外坐椅的侧面图，图2是它的平面示意图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则 ．
16．已知关于x的不等式组至少有2个整数解，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：，并求出不等式组的所有整数解的和．
19．如图，，垂足为F．求证：．
20．《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，背根据图中的信息解决以下问题：
(1)本次调查共抽取了__________名观众；
(2)补全条形统计图；
(3)该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人．
21．已知点，解答下列各题：
(1)若点在轴上，求出点的坐标；
(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
(3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值．
22．定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为．
(1)方程的“对称方程”为__________，它们组成的方程组的解为__________；
(2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值．
23．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件．
(1)求两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？
24．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能．
【问题初探】
（1）如图1，，，求证：．
【拓展探究】
（2）在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
【迁移应用】
（3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则__________；
（4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数．
参考答案
1．B
解：∵正数大于，大于负数，，，，
∴和不是最小的，故C、D选项不符合题意，
∴最小的数在负数中，
，．
∵，
∴．
∴最小的数是；
故选：B．
2．B
解：A选项：调查仅抽查了50名运动员的年龄，属于抽样调查，本选项说法正确．
B选项：个体是每个运动员的年龄，而非运动员本身，本选项说法错误．
C选项：样本容量为被抽取的个体数50，本选项说法正确．
D选项：样本是50名运动员的年龄数据，本选项说法正确．
故选：B
3．C
解：A、“m不是正数”表示为，原不等式错误，不符合题意；
B、“m不大于3”表示为，原不等式错误，不符合题意；
C、“n与4的差是负数”表示为，原不等式正确，符合题意；
D、“n至少是6”表示为，原不等式错误，不符合题意；
故选：C．
4．D
解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项不符合题意；
B、点到直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故选项不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故选项不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故选项符合题意；
故选：D．
5．D
解：
如图所示，根据题意可以作出平行四边形的最后一个顶点，
将点向右平移4个单位长度可得
将点向右左平移4个单位长度可得；
将点向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度可得；
故符合题意的是D选项，
故选：D.
6．A
解：A、（人）
∴参赛学生人数为10人．故本选项说法错误；
B、由折线统计图可得，最高分为100分．故本选项说法正确；
C、最高分为100分，最低分为85分，它们的差为（分）．故本选项说法正确；
D、参赛学生得100分的由2人，其频率为．故本选项说法正确．
故选：A
7．C
解：方程组的解是，
，
解得，，
，
故选：C．
8．C
解：由平移可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平移的距离为4．
故选：C．
9．D
解：∵点在第三象限，
∴，
解得：．
故选：D
10．C
解：设长方体长，宽，桌子的高为，由题意得
，
两式相加得：，
解得，
即桌子的高为．
故选：C．
11．B
解：如图，过点E作交于点F，过点D作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
12．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，选项B错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，选项A错误，不符合题意；
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，选项C正确，符合题意；
∵，，
∴，，
∴，选项D错误，不符合题意；
故选：C
13．
解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是，
故答案为：．
14．
解：∵点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：∵，，
∴，
∵与地面平行，
∴，
故答案为：．
16．
解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
解不等式组，得，
∵至少有2个整数解，
∴，
解得．
故答案为：．
17．
解：
．
18．不等式组的解集为，整数解的和为
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组，，，
∴不等式组的所有整数解的和是．
19．见解析
证明：，
．
，
，
，
又，
，
，
，
．
20．(1)150
(2)见解析
(3)估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人
（1）解：本次调查的观众共有（名），
故答案为：150；
（2）解：喜欢“哪吒”的观众有：（名），
喜欢“其它”的观众有：（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：∵（人），
∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人．
21．(1)
(2)
(3)
（1）解：根据题意得：
∵点在轴上，
，
解得：，
则，
点的坐标为：；
（2）解：直线轴，
直线上所有点的纵坐标都相等，
，
解得：，
则，
即点的坐标为；
（3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，，
，
即，
解得：
22．(1)，
(2)
（1）解：方程的“对称方程”是，
，
①②，得，
解得，
将代入②，得，
解得，
∴方程组的解为，
故答案为：，；
（2）解：关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为，
将代入，
得，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
∴．
23．(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
由题意得，，
解得，，
∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元，
∴购买A型智能机器人越少，费用越少，
∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少．
答：应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
24．（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）．（4）
（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下，
如图所示，过点作，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，的顶点分别为，
依题意，，作，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（4）如图所示，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵底部支架与吊线平行，
∴，
∴，
∴．