淮北一中 2024 级高一下学期期末测试
数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 3 = 1 5 ,则| | =( )
A. 1 B. 6 C. 7 D. 3
2.如图所示，△ ′ ′ ′表示水平放置的△ 的直观图，则△ 的面积是( )
A. 2 2
B. 4
C. 2
D. 2
3.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )
A. 1 B. 23 3 C.
1
4 D.
2
9
4.已知一组数据为 20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第 60 百分位数和众数的大小关系是( )
A.平均数>第 60 百分位数>众数 B.平均数<第 60 百分位数<众数
C.第 60 百分位数<众数<平均数 D.平均数=第 60 百分位数=众数
5.已知 ， 是不同的平面， ， 是不同的直线，下列命题中不正确的是( )
A.若 // ， ∩ = ，则 // B.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ，则 ⊥
6.已知平面向量 = (1,1)， = (3, )，若 在 方向上的投影向量为 2 ，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
7.下列说法正确的是( )
A. , 同时发生的概率一定比 , 中恰有一个发生的概率小
B.若 ( ) + ( ) = 1，则事件 与 是对立事件
C.当 , 不互斥时，可由公式 ( ∪ ) = ( ) + ( ) ( )计算 ∪ 的概率
D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
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8 2 .费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于 3时，费马点
2
与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 3 .如图，已知 和
都是正三角形， = 6， = 3，且 , , 三点共线，设点
是△ 内的任意一点，则 + + 的最小值为( )
A. 3 7 B. 3 6
C. 3 5 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片
电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是( )
A.刀片电池的安全性更高，价格优势更突出
B.三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低
C.对于这 7 项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池
D.磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好
10.下列说法正确的是( )
A.复数 = 2 的虚部为
B.若 1 + 是关于 的二次方程 2 + + 2 = 0( , ∈ )的根，则 1 也是该方程的根
C. + 2 + 3 + + 2025 =
D.若复数 满足| | = 1，则| 3 4 |的最大值为 6
11.在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90 ，且 = = 1 = 2， 为线段 （不含端点）上的动点，
则下列结论中正确的是( )
A. 1 ⊥ 1
B.异面直线 1 与 1
所成角的取值范围为( 4 , 3 )
C. | 1 | + | 1 |的最小值为 3 + 5
D.当 是 的中点时，过 1, , 1三点的平面截三棱柱 1 1 1外接球所
26
得的截面面积为 9
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆锥的底面半径为 2，高为 4 2，则该圆锥的内切球表面积为____________．
13.已知圆 的半径为 3，弦 = 3， 为圆 上一动点，则 的最大值为 ．
14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用按比例分配的分层随机抽样
方法从三个车间生产的该产品中，共抽取 60 件进行使用寿命的测试，则 车间应抽取的件数为 ；
若 ， ， 三个车间产品的平均寿命分别为 220，240，230 小时，方差分别为 20，20，30，则总样本的
方差为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 4 3中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， = 14， = 16，sin = 7 ．
(1)求 ；
(2)求 边上的高．
16.(本小题 15 分)
如图，正三棱柱 1 1 1中， = 2， 是 的中点， 1与 1 交于点 ．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)若以 1 为直径的球的表面积为 5 ，求三棱锥 1 的体积．
17.(本小题 15 分)
某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了 100 个零件并称出它们的重量(单位：
克).重量按照[495,505)，[505,515)，…，[535,545]分组，得到频率分布直方图如图所示．
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(1)估计该工厂生产的零件重量的平均数；(每组数据用该组的中点值作代表)
(2)估计该工厂生产的零件重量的 80%分位数；
(3)按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于 525 克的零件中抽取 6 个零件，再从这 6
个零件中任取 2 个，求这 2 个零件的重量均在[525,535)内的概率．
18.(本小题 17 分)
为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概
率都为 ，乙同学答对每题的概率都为 ( > )，且在考试中每人各题答题结果互不影响。已知每题甲、乙
1 5
两人同时答对的概率为2，恰有一人答对的概率为12．
(1)求 和 的值；
(2)求甲、乙两人共答对 3 道题的概率。
19.(本小题 17 分)
已知 × 是一个向量，它与向量 ， 都垂直，它的模 × = sin < , > .如图，在四棱锥
中，底面 为矩形， ⊥底面 ， = = 4， 为 上一点， × = 8 5．
(1)求 的长；
(2)若 为 的中点，求二面角 的余弦值；
(3)若 为 上一点，且满足 × = ，求 ．
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{#{QQABJQOpxwqQgAZACQ76QQHqCksQkJESJYougRCQqAwCyANABCA=}#}答案和解析
1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】
9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】
12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】
15.【答案】解：在中，，，，
由正弦定理得，，整理得：，由于，，所以．
由可知在中，，，，由余弦定理得，，
整理得，化简为，解得或．
则，整理得或．
16.【答案】证明见解析； ．
【解析】证明：连接，因为是的中点，是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
解：若以为直径的球的表面积为，则，
所以，所以，
所以三棱锥的体积为
．
17.【答案】解：根据题意，，解得．
即各个小组的频率分别为，，，，．
估计该工厂生产的零件重量的平均数约为．
设分位数为，因为前三组频率和为，前四组频率和为，所以，
因此，可估计该工厂生产的零件重量的分位数约为．
由条件知个零件中，重量在内的零件个数为，分别记为，，，，；重量在内的零件个数为，记为．
从中随机抽取个，样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，所以．
设“这个零件的重量均在内”为事件，
则，，，，，，，，，，，
所以．
18.【答案】解：设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题，则，，
设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人恰有一人答对第一题，则，，
二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，与相互独立，与相互互斥，
，
，
由题意得：，解得或，，，．
设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，，，，由题意得：
，，，，
设甲乙二人共答对道题，则，
，甲乙两人共答对道题的概率为．
19.【答案】解：因为底面为矩形，底面，所以，，
又底面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，所以为直线与所成的角，即，
设，则，，
在中，
又，所以，解得负值已舍去，所以；
在平面内过点作交的延长线于点，连接，
因为底面，底面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，所以为二面角的平面角，
因为为的中点，所以，，所以，
设二面角的平面角为，则，所以，
即二面角的余弦值为；
依题意，，又，
所以，，
又，所以，
又，、平面，所以平面，
在平面内过点作，垂足为，
由平面，平面，所以，
又，、平面，所以平面，
在平面内过点作交于点，
在上取点，使得，连接，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又，即，
所以．
