12.3等腰三角形（预习衔接.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 12.3等腰三角形（预习衔接.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 160.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 16:20:44 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 等腰三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 平陆县期末）如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．100°
2．（2024 西峡县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．65° C．50° D．36°
3．（2024春 泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
4．（2024 岑溪市期末）已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
5．（2024 夏津县期末）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共5小题）
6．（2024 武侯区校级一模）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 cm．
7．（2024 宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ °．
8．（2024 射阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝ cm．
9．（2024 东莞市期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 ．
10．（2024 佳木斯期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 汉阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．
12．（2024 安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F．
（1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C；
（2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数．
13．（2024 玉山县一模）如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D．
14．（2024春 广安区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
15．（2024春 河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
新课预习衔接 等腰三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 平陆县期末）如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．100°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据邻补角的定义可得∠BCF＝120°，再根据三角形内角和定理可得∠BFC＝10°，再由角平分线的定义可得∠DFB＝∠CFB、∠CFD＝20°；然后证明△FCB≌△FDB（SAS）可得∠D＝∠BCF＝120°，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵∠CBF＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝10°
∵FB为∠CFD的角平分线，
∴，即∠CFD＝2∠CFB＝20°，
在△FCB和△FDB中，
，
∴△FCB≌△FDB（SAS），
∴∠D＝∠BCF＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠D﹣∠CFB＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2024 西峡县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．65° C．50° D．36°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2024春 泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180﹣50）÷2＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2024 岑溪市期末）已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】C
【分析】本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．
【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30°，4x＝120°；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，知道20°或120°都有做顶角的可能是解题的关键．
5．（2024 夏津县期末）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等边三角形的判定．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先判断△ABC为等边三角形，然后等边三角形的性质得到BC＝AB．
【解答】解：∵AB＝AC＝5，
∴∠C＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 武侯区校级一模）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 17 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（2024 宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ 67.5 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】67.5．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质以及三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：设∠ECF＝x，
∵EC＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF＝x，
∴∠GEF＝2x，
∵EF＝GF，
∴∠FGE＝∠GEF＝2x，
∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x，
∵DG＝GF，
∴∠GDF＝∠DFG＝3x，
∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，
∵DG＝DA，
∴∠A＝4x，
∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝5x，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝6x，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴4x+6x+6x＝180°，解得：x，
∴∠B67.5°．
故答案为：67.5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等边对等角的性质．
8．（2024 射阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝ 5 cm．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线性质和角平分线的性质先证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，从而得出OM＝BM，ON＝CN，再根据MN＝MO+ON，即可求出MN的值．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠OCB＝∠NOC，
∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
∴∠MBO＝∠OBC，∠NCO＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴OM＝BM，ON＝CN，
∵BM＝3cm，CN＝2cm，
∴OM＝3cm，ON＝2cm，
∴MN＝MO+ON＝3+2＝5cm；
故答案为：5．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO是解题的关键．
9．（2024 东莞市期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 80°或20° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
10．（2024 佳木斯期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 4或36 ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】分类讨论；三角形；推理能力．
【答案】4或36．
【分析】分两种情形：①当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．②当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D．分别求解即可．
【解答】解：由题意可知，BM＝AN＝6，
①如图，当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，
∴ADAM＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝4．
②如图，当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D，
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，
∴ADAM＝8，
∴CD＝AD+AC＝18，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝36，
故答案为：4或36．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 汉阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C77°38.5°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2024 安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F．
（1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C；
（2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）答案见解析；
（2）40°．
【分析】（1）连接CD，根据AC＝BC，点D是AB的中点，证得CD⊥AB，，进而证得∠BCD+∠B＝90°，根据DE⊥BC证得∠B+∠BDE＝90°，从而证得∠BCD＝∠BDE得出结论；
（2）先求出∠B的度数，再根据AC＝BC求出∠A，再根据垂直的定义求出∠AFE＝90°，再利用四边形的内角和为360°解答．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BDE＝90°
∴∠BCD＝∠BDE．
∴；
（2）解：∵∠ADE＝160°
∴∠BDE＝20°，
∵DE⊥BC，EF⊥AC，
∴∠DEB＝∠AFE＝90°，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，
∴B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣20°＝70°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝70°，
∴∠DEF＝360°﹣∠A﹣∠ADE﹣∠AFE＝360°﹣70°﹣160°﹣90°＝40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用．
13．（2024 玉山县一模）如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的性质得到∠D＝∠DBC，根据等腰三角形的性质、等量代换证明．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABC＝2∠D，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠C＝2∠D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握等边对等角是解题的关键．
14．（2024春 广安区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．
15．（2024春 河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
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新课预习衔接 等腰三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 平陆县期末）如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．100°
2．（2024 西峡县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．65° C．50° D．36°
3．（2024春 泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
4．（2024 岑溪市期末）已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
5．（2024 夏津县期末）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共5小题）
6．（2024 武侯区校级一模）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 cm．
7．（2024 宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ °．
8．（2024 射阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝ cm．
9．（2024 东莞市期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 ．
10．（2024 佳木斯期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 汉阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．
12．（2024 安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F．
（1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C；
（2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数．
13．（2024 玉山县一模）如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D．
14．（2024春 广安区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
15．（2024春 河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
新课预习衔接 等腰三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 平陆县期末）如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．100°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据邻补角的定义可得∠BCF＝120°，再根据三角形内角和定理可得∠BFC＝10°，再由角平分线的定义可得∠DFB＝∠CFB、∠CFD＝20°；然后证明△FCB≌△FDB（SAS）可得∠D＝∠BCF＝120°，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵∠CBF＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝10°
∵FB为∠CFD的角平分线，
∴，即∠CFD＝2∠CFB＝20°，
在△FCB和△FDB中，
，
∴△FCB≌△FDB（SAS），
∴∠D＝∠BCF＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠D﹣∠CFB＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2024 西峡县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．65° C．50° D．36°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2024春 泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180﹣50）÷2＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2024 岑溪市期末）已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】C
【分析】本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．
【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30°，4x＝120°；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，知道20°或120°都有做顶角的可能是解题的关键．
5．（2024 夏津县期末）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等边三角形的判定．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先判断△ABC为等边三角形，然后等边三角形的性质得到BC＝AB．
【解答】解：∵AB＝AC＝5，
∴∠C＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 武侯区校级一模）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 17 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（2024 宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ 67.5 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】67.5．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质以及三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：设∠ECF＝x，
∵EC＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF＝x，
∴∠GEF＝2x，
∵EF＝GF，
∴∠FGE＝∠GEF＝2x，
∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x，
∵DG＝GF，
∴∠GDF＝∠DFG＝3x，
∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，
∵DG＝DA，
∴∠A＝4x，
∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝5x，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝6x，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴4x+6x+6x＝180°，解得：x，
∴∠B67.5°．
故答案为：67.5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等边对等角的性质．
8．（2024 射阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝ 5 cm．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线性质和角平分线的性质先证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，从而得出OM＝BM，ON＝CN，再根据MN＝MO+ON，即可求出MN的值．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠OCB＝∠NOC，
∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
∴∠MBO＝∠OBC，∠NCO＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴OM＝BM，ON＝CN，
∵BM＝3cm，CN＝2cm，
∴OM＝3cm，ON＝2cm，
∴MN＝MO+ON＝3+2＝5cm；
故答案为：5．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO是解题的关键．
9．（2024 东莞市期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 80°或20° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
10．（2024 佳木斯期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 4或36 ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】分类讨论；三角形；推理能力．
【答案】4或36．
【分析】分两种情形：①当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．②当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D．分别求解即可．
【解答】解：由题意可知，BM＝AN＝6，
①如图，当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，
∴ADAM＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝4．
②如图，当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D，
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，
∴ADAM＝8，
∴CD＝AD+AC＝18，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝36，
故答案为：4或36．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 汉阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C77°38.5°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2024 安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F．
（1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C；
（2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）答案见解析；
（2）40°．
【分析】（1）连接CD，根据AC＝BC，点D是AB的中点，证得CD⊥AB，，进而证得∠BCD+∠B＝90°，根据DE⊥BC证得∠B+∠BDE＝90°，从而证得∠BCD＝∠BDE得出结论；
（2）先求出∠B的度数，再根据AC＝BC求出∠A，再根据垂直的定义求出∠AFE＝90°，再利用四边形的内角和为360°解答．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BDE＝90°
∴∠BCD＝∠BDE．
∴；
（2）解：∵∠ADE＝160°
∴∠BDE＝20°，
∵DE⊥BC，EF⊥AC，
∴∠DEB＝∠AFE＝90°，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，
∴B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣20°＝70°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝70°，
∴∠DEF＝360°﹣∠A﹣∠ADE﹣∠AFE＝360°﹣70°﹣160°﹣90°＝40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用．
13．（2024 玉山县一模）如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的性质得到∠D＝∠DBC，根据等腰三角形的性质、等量代换证明．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABC＝2∠D，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠C＝2∠D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握等边对等角是解题的关键．
14．（2024春 广安区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．
15．（2024春 河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
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