21.3二次根式的加减（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 21.3二次根式的加减（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 63.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 16:16:37 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 二次根式的加减
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 龙江县期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024春 忠县期中）下列各式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024 白朗县一模）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024 永定区期末）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024 海口期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．6 D．4
二．填空题（共5小题）
6．（2024 东港区校级模拟）计算： ．
7．（2024 凤城市一模）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝ ．
8．（2024 山西模拟）计算 ．
9．（2024春 淮北期末）计算： ．
10．（2024 湖南模拟）古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S，其中P．若三角形的三边长分别为4，6，8，则该三角形的面积为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 花都区期末）计算题：
（1）；
（2）．
12．（2024春 汉阳区期中）计算：
（1）263；
（2）（）+（）．
13．（2024春 泰兴市期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①：；等式②：；
等式③：；等式④； ．…
【特例探究】（1）将题目中的横线处补充完整；
【归纳猜想】（2）若n为正整数，用含n的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
【应用规律】（3）嘉嘉写出一个等式（a，b，c均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为 ．
14．（2024春 沂源县期末）小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要镶一个长为2m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
15．（2024春 红谷滩区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
新课预习衔接 二次根式的加减
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 龙江县期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式性质对A选项进行判断；
根据二次根式的减法对B选项进行判断；
根据二次根式的乘法对C选项进行判断；
根据二次根式的除法对D选项进行判断．
【解答】解：A．因为，所以A选项错误，不符合题意；
B．因为，所以B选项错误，不符合题意；
C．因为 ，所以C选项错误，不符合题意；
D．因为，所以D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减乘除运算法则，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2．（2024春 忠县期中）下列各式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的定义，可得答案．
【解答】解：A、2能与合并，故A不符合题意；
B、能与合并，故B不符合题意；
C、5能与合并，故C不符合题意；
D、不能与合并，故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3．（2024 白朗县一模）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．
【解答】解：A、3与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、3与被开方数相同，是同类二次根式；
C、3与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、2与被开方数不同，不是同类二次根式．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
4．（2024 永定区期末）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、2，故C符合题意；
D、2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2024 海口期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．6 D．4
【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】A、原式不能合并；
B、原式第一项化简后，合并即可得到结果；
C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
【解答】解：A、不能合并，故选项错误；
B、2，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、2，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了二次根式的加减法，以及乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 东港区校级模拟）计算： ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式化简后，合并即可得到结果．
【解答】解：原式2．
故答案为：
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2024 凤城市一模）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝ 4 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列式计算即可．
【解答】解：2，
根据题意可知，
x﹣1＝3，
解得x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
8．（2024 山西模拟）计算 ．
【考点】二次根式的加减法．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先把和化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：
＝32
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
9．（2024春 淮北期末）计算： ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】先把化简，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．
【解答】解：原式2
＝2
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
10．（2024 湖南模拟）古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S，其中P．若三角形的三边长分别为4，6，8，则该三角形的面积为 3 ．
【考点】二次根式的应用．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S，其中P，可以求得题目中所求三角形的面积．
【解答】解：∵如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S，其中P，
∴若三角形的三边长分别为4，6，8，p，
∴S，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用海伦公式解答．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 花都区期末）计算题：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）﹣4；
（2）．
【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；
（2）根据二次根式的运算求解即可．
【解答】解：（1）原式
＝﹣4；
（2）
．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
12．（2024春 汉阳区期中）计算：
（1）263；
（2）（）+（）．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2×263×4
＝4212
＝14；
（2）原式＝22
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
13．（2024春 泰兴市期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①：；等式②：；
等式③：；等式④； 5 ．…
【特例探究】（1）将题目中的横线处补充完整；
【归纳猜想】（2）若n为正整数，用含n的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
【应用规律】（3）嘉嘉写出一个等式（a，b，c均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为 ．
【考点】二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；二次根式；运算能力．
【答案】（1）5；
（2）（n+1），证明见解析；
（3）．
【分析】（1）根据前3个的规律即可得出答案；
（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可；对等式的左边进行整理，即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）根据前3个得，等式④：5；
故答案为：5；
（2）根据规律，用含n的式子表示为：（n+1），
证明：等式左边
＝（n+1）
＝右边；
（3）∵（a，b，c均为正整数），
∴b＝a+2，c＝a+1，
∴
；
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
14．（2024春 沂源县期末）小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要镶一个长为2m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
【考点】二次根式的应用；最简二次根式．
【专题】二次根式；应用意识．
【答案】壁布的面积为4m2．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
2
＝322
＝62
＝4（m2），
答：壁布的面积为4m2．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
15．（2024春 红谷滩区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式加减的运算法则计算即可；
（2）根据二次根式四则混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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新课预习衔接 二次根式的加减
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 龙江县期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024春 忠县期中）下列各式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024 白朗县一模）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024 永定区期末）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024 海口期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．6 D．4
二．填空题（共5小题）
6．（2024 东港区校级模拟）计算： ．
7．（2024 凤城市一模）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝ ．
8．（2024 山西模拟）计算 ．
9．（2024春 淮北期末）计算： ．
10．（2024 湖南模拟）古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S，其中P．若三角形的三边长分别为4，6，8，则该三角形的面积为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 花都区期末）计算题：
（1）；
（2）．
12．（2024春 汉阳区期中）计算：
（1）263；
（2）（）+（）．
13．（2024春 泰兴市期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①：；等式②：；
等式③：；等式④； ．…
【特例探究】（1）将题目中的横线处补充完整；
【归纳猜想】（2）若n为正整数，用含n的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
【应用规律】（3）嘉嘉写出一个等式（a，b，c均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为 ．
14．（2024春 沂源县期末）小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要镶一个长为2m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
15．（2024春 红谷滩区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
新课预习衔接 二次根式的加减
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 龙江县期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式性质对A选项进行判断；
根据二次根式的减法对B选项进行判断；
根据二次根式的乘法对C选项进行判断；
根据二次根式的除法对D选项进行判断．
【解答】解：A．因为，所以A选项错误，不符合题意；
B．因为，所以B选项错误，不符合题意；
C．因为 ，所以C选项错误，不符合题意；
D．因为，所以D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减乘除运算法则，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2．（2024春 忠县期中）下列各式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的定义，可得答案．
【解答】解：A、2能与合并，故A不符合题意；
B、能与合并，故B不符合题意；
C、5能与合并，故C不符合题意；
D、不能与合并，故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3．（2024 白朗县一模）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．
【解答】解：A、3与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、3与被开方数相同，是同类二次根式；
C、3与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、2与被开方数不同，不是同类二次根式．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
4．（2024 永定区期末）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、2，故C符合题意；
D、2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2024 海口期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．6 D．4
【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】A、原式不能合并；
B、原式第一项化简后，合并即可得到结果；
C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
【解答】解：A、不能合并，故选项错误；
B、2，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、2，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了二次根式的加减法，以及乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 东港区校级模拟）计算： ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式化简后，合并即可得到结果．
【解答】解：原式2．
故答案为：
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2024 凤城市一模）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝ 4 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列式计算即可．
【解答】解：2，
根据题意可知，
x﹣1＝3，
解得x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
8．（2024 山西模拟）计算 ．
【考点】二次根式的加减法．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先把和化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：
＝32
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
9．（2024春 淮北期末）计算： ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】先把化简，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．
【解答】解：原式2
＝2
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
10．（2024 湖南模拟）古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S，其中P．若三角形的三边长分别为4，6，8，则该三角形的面积为 3 ．
【考点】二次根式的应用．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S，其中P，可以求得题目中所求三角形的面积．
【解答】解：∵如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S，其中P，
∴若三角形的三边长分别为4，6，8，p，
∴S，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用海伦公式解答．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 花都区期末）计算题：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）﹣4；
（2）．
【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；
（2）根据二次根式的运算求解即可．
【解答】解：（1）原式
＝﹣4；
（2）
．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
12．（2024春 汉阳区期中）计算：
（1）263；
（2）（）+（）．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2×263×4
＝4212
＝14；
（2）原式＝22
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
13．（2024春 泰兴市期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①：；等式②：；
等式③：；等式④； 5 ．…
【特例探究】（1）将题目中的横线处补充完整；
【归纳猜想】（2）若n为正整数，用含n的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
【应用规律】（3）嘉嘉写出一个等式（a，b，c均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为 ．
【考点】二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；二次根式；运算能力．
【答案】（1）5；
（2）（n+1），证明见解析；
（3）．
【分析】（1）根据前3个的规律即可得出答案；
（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可；对等式的左边进行整理，即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）根据前3个得，等式④：5；
故答案为：5；
（2）根据规律，用含n的式子表示为：（n+1），
证明：等式左边
＝（n+1）
＝右边；
（3）∵（a，b，c均为正整数），
∴b＝a+2，c＝a+1，
∴
；
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
14．（2024春 沂源县期末）小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要镶一个长为2m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
【考点】二次根式的应用；最简二次根式．
【专题】二次根式；应用意识．
【答案】壁布的面积为4m2．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
2
＝322
＝62
＝4（m2），
答：壁布的面积为4m2．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
15．（2024春 红谷滩区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式加减的运算法则计算即可；
（2）根据二次根式四则混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
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