22.2一元二次方程的解法（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 22.2一元二次方程的解法（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 58.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 16:12:57 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 一元二次方程的解法
一．选择题（共5小题）
1．（2024 巴林左旗校级一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
2．（2024 阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
3．（2024 昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
4．（2024 鞍山二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024 张店区一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
7．（2024 椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
8．（2024春 和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
9．（2024 赣榆区二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
10．（2024 本溪期末）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
12．（2024春 龙口市期末）解方程
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
13．（2021秋 洪洞县期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2．…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3．…第二步
系数化为1，得x＝1．…第三步
任务：
①小明的解法从第 步开始出现错误；
②此题的正确结果是 ．
③用因式分解法解方程：3x（x+2）＝2x+4．
14．（2024 北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0．
（1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值．
15．（2024春 乳山市期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
新课预习衔接 一元二次方程的解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 巴林左旗校级一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，
∴Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式Δ＝b2﹣4ac及相应结果是解题关键．
2．（2024 阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：x2﹣8x+10＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣10，
配方得：x2﹣8x+16＝﹣10+16，
整理得：（x﹣4）2＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程．熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
3．（2024 昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据已知方程的解得出x+3＝1，x+3＝﹣3，求出两个方程的解即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或x+3＝﹣3，
解得：x＝﹣2或﹣6，
即x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3＝1和x+3＝﹣3是解此题的关键．
4．（2024 鞍山二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据方程没有实数根得出（﹣3）2﹣4×1×n＜0，解之求出n的范围，结合各选项可得答案．
【解答】解：根据题意，得：（﹣3）2﹣4×1×n＜0，
解得：n，
∴n的值可以是3，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2024 张店区一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝12+4k＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12+4k＞0，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2024 椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 3 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】3．
【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，实数的运算，理解定义新运算是解题的关键．
8．（2024春 和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】．
【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝6，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为6，
∴菱形的另一条对角线为，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，通过解方程得到菱形的边长，再利用菱形的面积等于对角线的乘积得出结果．
9．（2024 赣榆区二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 4 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答．
【解答】解：Δ＝16﹣4m＝0，
∴m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了根的判别式，属于基础题．
10．（2024 本溪期末）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 13 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】13．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，求出即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，
解得：x，a，
即a，方程的另一个根为；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1 x2，要记牢公式，灵活运用．
12．（2024春 龙口市期末）解方程
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2，x2＝6；
（2）x1，x2．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【解答】解：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4，
2（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
x﹣2＝0，x﹣6＝0，
∴x1＝2，x2＝6；
（2）3x2+2x﹣2＝0，
∵Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
∴x，
∴x1，x2．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
13．（2021秋 洪洞县期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2．…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3．…第二步
系数化为1，得x＝1．…第三步
任务：
①小明的解法从第 一 步开始出现错误；
②此题的正确结果是 x1，x2＝1 ．
③用因式分解法解方程：3x（x+2）＝2x+4．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】①一；
②x1，x2＝1；
③x1＝﹣2，x2．
【分析】①利用等式的性质，即可解答；
②利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
③利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：①小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
②此题的正确结果是x1，x2＝1，
故答案为：x1，x2＝1；
③3x（x+2）＝2x+4，
3x（x+2）﹣2（x+2）＝0，
（x+2）（3x﹣2）＝0，
x+2＝0或3x﹣2＝0，
x1＝﹣2，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
14．（2024 北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0．
（1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】常规题型；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可；
（2）当m＝2时，其方程为x2﹣6x+8＝0，利用方程根的定义可求得α2﹣6α＝﹣8，α+β＝5，代入求值即可．
【解答】解：
（1）∵x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0，
∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4m（m+2）＝4＞0，
∴不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）当m＝2时，其方程为x2﹣6x+8＝0，
∵α、β为方程的两个根，
∴α2﹣6α＝﹣8，α+β＝6，
∴α2﹣5α+β＝α2﹣6α+α+β＝﹣8+6＝﹣2．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
15．（2024春 乳山市期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明；
（2）利用因式分解法解出方程，根据题意求出m．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3）
＝m2﹣8m+16+12m﹣12
＝m2+4m+4
＝（m+2）2．
∵（m+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵（x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0，
∴x1＝﹣1，，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝3，
∴m＝2或m＝4．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
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新课预习衔接 一元二次方程的解法
一．选择题（共5小题）
1．（2024 巴林左旗校级一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
2．（2024 阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
3．（2024 昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
4．（2024 鞍山二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024 张店区一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
7．（2024 椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
8．（2024春 和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
9．（2024 赣榆区二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
10．（2024 本溪期末）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
12．（2024春 龙口市期末）解方程
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
13．（2021秋 洪洞县期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2．…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3．…第二步
系数化为1，得x＝1．…第三步
任务：
①小明的解法从第 步开始出现错误；
②此题的正确结果是 ．
③用因式分解法解方程：3x（x+2）＝2x+4．
14．（2024 北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0．
（1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值．
15．（2024春 乳山市期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
新课预习衔接 一元二次方程的解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 巴林左旗校级一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，
∴Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式Δ＝b2﹣4ac及相应结果是解题关键．
2．（2024 阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：x2﹣8x+10＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣10，
配方得：x2﹣8x+16＝﹣10+16，
整理得：（x﹣4）2＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程．熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
3．（2024 昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据已知方程的解得出x+3＝1，x+3＝﹣3，求出两个方程的解即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或x+3＝﹣3，
解得：x＝﹣2或﹣6，
即x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3＝1和x+3＝﹣3是解此题的关键．
4．（2024 鞍山二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据方程没有实数根得出（﹣3）2﹣4×1×n＜0，解之求出n的范围，结合各选项可得答案．
【解答】解：根据题意，得：（﹣3）2﹣4×1×n＜0，
解得：n，
∴n的值可以是3，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2024 张店区一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝12+4k＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12+4k＞0，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2024 椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 3 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】3．
【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，实数的运算，理解定义新运算是解题的关键．
8．（2024春 和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】．
【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝6，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为6，
∴菱形的另一条对角线为，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，通过解方程得到菱形的边长，再利用菱形的面积等于对角线的乘积得出结果．
9．（2024 赣榆区二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 4 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答．
【解答】解：Δ＝16﹣4m＝0，
∴m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了根的判别式，属于基础题．
10．（2024 本溪期末）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 13 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】13．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，求出即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，
解得：x，a，
即a，方程的另一个根为；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1 x2，要记牢公式，灵活运用．
12．（2024春 龙口市期末）解方程
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2，x2＝6；
（2）x1，x2．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【解答】解：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4，
2（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
x﹣2＝0，x﹣6＝0，
∴x1＝2，x2＝6；
（2）3x2+2x﹣2＝0，
∵Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
∴x，
∴x1，x2．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
13．（2021秋 洪洞县期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2．…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3．…第二步
系数化为1，得x＝1．…第三步
任务：
①小明的解法从第 一 步开始出现错误；
②此题的正确结果是 x1，x2＝1 ．
③用因式分解法解方程：3x（x+2）＝2x+4．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】①一；
②x1，x2＝1；
③x1＝﹣2，x2．
【分析】①利用等式的性质，即可解答；
②利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
③利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：①小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
②此题的正确结果是x1，x2＝1，
故答案为：x1，x2＝1；
③3x（x+2）＝2x+4，
3x（x+2）﹣2（x+2）＝0，
（x+2）（3x﹣2）＝0，
x+2＝0或3x﹣2＝0，
x1＝﹣2，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
14．（2024 北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0．
（1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】常规题型；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可；
（2）当m＝2时，其方程为x2﹣6x+8＝0，利用方程根的定义可求得α2﹣6α＝﹣8，α+β＝5，代入求值即可．
【解答】解：
（1）∵x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0，
∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4m（m+2）＝4＞0，
∴不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）当m＝2时，其方程为x2﹣6x+8＝0，
∵α、β为方程的两个根，
∴α2﹣6α＝﹣8，α+β＝6，
∴α2﹣5α+β＝α2﹣6α+α+β＝﹣8+6＝﹣2．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
15．（2024春 乳山市期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明；
（2）利用因式分解法解出方程，根据题意求出m．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3）
＝m2﹣8m+16+12m﹣12
＝m2+4m+4
＝（m+2）2．
∵（m+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵（x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0，
∴x1＝﹣1，，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝3，
∴m＝2或m＝4．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
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