23.3相似三角形（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版

中小学教育资源及组卷应用平台
新课预习衔接 相似三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024 合水县一模）若△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，则△ABC与△DEF的相似比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C． D．3：2
2．（2024 洪山区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，交对角线AC于点F，如果，CD＝6，那么BE的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024 昭阳区一模）如图，D，E是△ABC边AB，AC边上的两点，且DE∥BC，若S△ADE：S△ABC＝1：16，则△ADE与△ABC的周长之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
4．（2024 沭阳县校级月考）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
5．（2024 济南三模）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 平遥县一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　 　．
7．（2024 蒙阴县三模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为　 　．
8．（2024 大渡口区模拟）如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为 　 　cm．
9．（2024春 栖霞市期末）如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21m，当他与镜子的距离CE＝2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为1.6m，则教学楼AB的高度为 　 　．
10．（2024 金安区校级期末）如图，在 ABCD中，连接AC，点E是AD上一点，AE：DE＝1：2，连接BE交AC于点F，若S△BCF＝9，则四边形CDEF的面积是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 斗门区校级模拟）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
12．（2024 桂林期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）AC＝4，AB＝5且AD＝3，求AE的长．
13．（2024春 东营区期末）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
14．（2024 鞍山模拟）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，且CN∥BM，MA的延长线与CN交于点P，若AM＝3，．
（1）求证：△ABM∽△CBN；
（2）求AP的长．
15．（2024 杨浦区四模）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．
（1）求证：△AEF∽△DAC；
（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．
新课预习衔接 相似三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 合水县一模）若△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，则△ABC与△DEF的相似比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C． D．3：2
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．（2024 洪山区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，交对角线AC于点F，如果，CD＝6，那么BE的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形面积的关系推出，再根据平行四边形的性质AB∥CD，从而推出△AEF∽△CDF，进而利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：设△ADC中AC边上的高为h，
则S△ADFAF×h，S△DFCFC×h，
∵，
∴，
∵平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，即，
解得AE＝4，
∵AB＝CD＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，解题的关键是结合图形由三角形面积的关系推出，注意充分运用数形结合的思想方法．
3．（2024 昭阳区一模）如图，D，E是△ABC边AB，AC边上的两点，且DE∥BC，若S△ADE：S△ABC＝1：16，则△ADE与△ABC的周长之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行易证△ADE∽△ABC，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC
∵S△ADE：S△ABC＝1：16
∴△ADE与△ABC周长之比为1：4，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键．
4．（2024 沭阳县校级月考）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
5．（2024 济南三模）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【答案】A
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB，AC＝2，BC，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 平遥县一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　　．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′，
∴则PQ的最小值为2OP′，
方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC AB＝BC OP'，求得OP′，而其他部分的步骤共用．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．
7．（2024 蒙阴县三模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为　　．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】由AF＝2DF，可以设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：由AF＝2DF，可以设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．（2024 大渡口区模拟）如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为 　40　cm．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】40．
【分析】根据相似三角形周长比等于面积比的算术平方根列式计算．
【解答】解：设较小的三角形的周长为x cm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，
∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴，
解得x＝40，
故答案为：40．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．
9．（2024春 栖霞市期末）如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21m，当他与镜子的距离CE＝2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为1.6m，则教学楼AB的高度为 　13.44m　．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】13.44m．
【分析】先根据题意得出△BAE∽△DCE，再由相似三角形的对应边成比例计算即可．
【解答】解：依据题意，得∠DEF＝∠BEF，
∵∠DEF+∠DEC＝90°，∠BEF+∠BEA＝90°，
∴∠DEC＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△BAE∽△DCE，
∴，
即，
∴AB＝13.44m，
∴教学楼AB的高度为13.44m．
故答案为：13.44m．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据题意得出△BAE∽△DCE，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．
10．（2024 金安区校级期末）如图，在 ABCD中，连接AC，点E是AD上一点，AE：DE＝1：2，连接BE交AC于点F，若S△BCF＝9，则四边形CDEF的面积是 　11　．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】11．
【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由AE：DE＝1：2得AE：BC＝1：3，证明△AFE∽△CFB得，进而得到△AFB，△AEF的面积，即可得△ABC的面积，再根据平行四边形的性质即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE：DE＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∵AD＝BC，
∴AE：BC＝1：3，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴，
∴，3，
∵S△BCF＝9，
∴S△AEF＝1，
∴S△ACD＝S△ABC＝S△BCF+S△AFB＝12，
∴S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12﹣1＝11．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 斗门区校级模拟）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）利用∠ABC＝∠ACD，加上∠CAB＝∠DAC，则根据相似三角形的判定方法可得到结论；
（2）由于△ABC∽△ACD，则利用相似比可求出AC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠CAB＝∠DAC，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，即，
∴AC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．利用相似三角形的性质可以计算相应线段的长．
12．（2024 桂林期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）AC＝4，AB＝5且AD＝3，求AE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）由DE⊥AB得到∠DEA＝∠C＝90°，然后得到△DEA∽△BCA；
（2）利用相似三角形的性质求得AE的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵AC＝4，AB＝5，AD＝3，
∴，
∴AE．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
13．（2024春 东营区期末）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
【解答】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴，
∴，
∴EM＝6，
∵AB＝MF＝1.7米，
∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出△ACN∽△AEM是解题的关键．
14．（2024 鞍山模拟）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，且CN∥BM，MA的延长线与CN交于点P，若AM＝3，．
（1）求证：△ABM∽△CBN；
（2）求AP的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）AP＝2．
【分析】（1）由旋转易得AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，进而可得，∠ABM＝∠CBN，以此即可证明△ABM∽△CBN；
（2）由△ABM∽△CBN得∠BMA＝∠BNC，由CN∥BM得∠BMA＝∠APN，由BC＝BN得∠BNC＝∠BCN，以此可得∠APN＝∠BCN，则BC∥MP，于是可知四边形BCPM为平行四边形，BC＝PM，利用△ABM∽△CBN的对应边成比例，求得CB＝5＝PM，则AP＝PM﹣AM．
【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，
∴AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，
∴，
∴∠MBN+∠ABN＝∠ABC+∠ABN，即∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM∽△CBN；
（2）解：由（1）知，△ABM∽△CBN，
∴∠BMA＝∠BNC，
∵CN∥BM，
∴∠BMA＝∠APN，
∴∠APN＝∠BNC，
又∵BC＝BN，
∴∠BNC＝∠BCN，
∴∠APN＝∠BCN，
∴BC∥MP，
∴四边形BCPM为平行四边形，
∴BC＝PM，
∵△ABM∽△CBN，
∴，即，
∴CB＝5＝PM，
∴AP＝PM﹣AM＝5﹣3＝2．
【点评】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是：（1）利用旋转的性质找出两三角形相似的条件；（2）利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质推出四边形BCPM为平行四边形，以此得到CB＝PM，再利用相似三角形的性质解决问题．
15．（2024 杨浦区四模）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．
（1）求证：△AEF∽△DAC；
（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根据垂直定义可得∠FAE＝90°，从而可得∠BAF＝∠DAE，进而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠AFE＝∠CFE，从而证明△AFE≌△CFE，进而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再证△AFG≌△CFG，从而可得∠FAG＝∠FCG，再结合（1）的结论可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，从而可得AE∥CG，进而利用菱形的判定方法即可解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∵∠D＝∠ABF＝90°，
∴△ABF∽△ADE，
∴，
∴，
∵∠D＝∠FAE＝90°，
∴△AEF∽△DAC；
（2）如图：
∵FE平分∠AFB，
∴∠AFE＝∠CFE，
∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，
∴△AFE≌△CFE（AAS），
∴AF＝CF，AE＝EC，
∵FG＝FG，
∴△AFG≌△CFG（SAS），
∴∠FAG＝∠FCG，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠FCG，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠BCG+∠DCG＝90°，
∴∠DCG＝∠AED，
∴AE∥CG，
∵AB∥CD，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AGCE为菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)