1.3《全等三角形的判定》复习题（含答案）八年级数学上册苏科版

1.3《全等三角形的判定》复习题
考点一、用ASA证全等
1．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2．如图，点D是 ABC的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：．
3．如图，，，，求证：．
考点二、用AAS证全等
1．如图．已知是 ABC边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与 BDF全等的理由．
2．如图，点在同一直线上，，，．
求证：．
3．如图，．求证：．
考点三、用SSS证全等
1．如图，四边形中，，，，
(1)求证：；
(2)求证：；
2．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
3．如图，在 ABC中，，，为延长线上一点，点在上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度；
(3)若，，求的度数．
考点四、用HL证全等
1．如图，．求证：．
2．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，．
(1)求证：．
(2)求证：G是线段的中点．
3．如图，于，于，若，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
考点五、特殊的SSA证全等
1．【问题呈现】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？
【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点C，使，这样的点C有____________个，说明符合条件的三角形有____________种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形____________全等；
【拓展思考】如图2，已知，若且，那么一定是____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
2．
如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种
(1)【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使；
(2)【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）；
(3)【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确的是（ ）

A．一定是钝角三角形 B．
C． D．的面积与的面积相等
3．如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形．
　　　
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？
(1)[操作发现]
如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）．
(2)[探究证明]阅读并补全证明
已知：如图（2），在 ABC和中，，，．
求证：．
证明：在上取一点G，使，
∵，
∴______，
又∵，而，
∴______，
∵，
∴______，
又∵______，
∴（______），
∴（______）．
考点六、全等模型———线三等角
1．如图，在 ABC中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
(1)；
(2)．
2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．
3．已知， ABC中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
考点七、全等模型——手拉手
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．

2．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
3．如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
考点八、全等模型——倍长中线
1．安安同学遇到这样一个问题：如图， ABC中，，，是中线，求的取值范围.
宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答：
(1)和全等吗？请说明理由；
(2)求出的取值范围.
2．（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围；
（2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
3．【发现问题】
（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在 ABC中，，．是的中线，求的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是 ABC的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________．
考点一、用ASA证全等
1．（1）证明：∵，
∴，
在 ABC与中
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
2．证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在 ABC和中
，
∴．
考点二、用AAS证全等
1．解：与全等的理由如下：
∵是边的中线，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．证明：，
，
，
，
，
在 ABC和中，，
．
3．证明：，
，
，
，即，
∵，
，
在 ABC与中，
，
．
考点三、用SSS证全等
1．（1）证明：，
，
即，
在和中，
（2）证明：由（1）可知，，
，
在和中，
，
，
，
即．
2．（1）
在 ABC与中
（2）
3．（1）证明：在和 CBF中，
，
；
（2）解：，
．
∵，
∴．
又，
．
，
，
；
（3）解：，，，，
，
，
，
，
，
．
考点四、用HL证全等
1．证明：，
，
即．
，
和都是直角三角形，
在和中，，
∴．
2．（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
即G是线段的中点．
3．（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，，
，
在和中，
，
，
．
考点五、特殊的SSA证全等
1．解：[问题探究]
如图，这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等；
[拓展思考]
∵是钝角三角形，，
∴一定是钝角三角形；
故答案为：[问题探究]2，2，不一定；[拓展思考]钝角．
2．（1）解：如图所示：
点及即为所求；
（2）解：由（1）中所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等，
故答案为：2，2，不一定；
（3）解：，是钝角三角形，
一定是钝角三角形，
故选：A．
3．（1）解：如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等，
故答案为：不一定；
（2）证明：在上取一点G，使，
∵，
∴，
又∵，而，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴（全等三角形对应边相等），
故答案为：，，，，，全等三角形对应边相等．
考点六、全等模型———线三等角
1．（1）证明：，，
.
在和中，
，
.
∵∠EAC+∠ACE=90°，
，
即.
（2）解：，
.
又，，
.
2．（1））解：于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故答案为：，．
（2）证明：如图2，作于点，
∵于点，于点E，
∴，
由，
同理（1）得，
∴，
在和中，
∴，
∴．
3．（1）证明：如图2，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．
如图1时，，
如图2时，，
如图3时，，（证明同理）
考点七、全等模型——手拉手
1．（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
2．解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
3．解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
(SAS)．
．
即AE=BD，
（2）成立；理由如下：
如图2中，、均为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
．
考点八、全等模型——倍长中线
1．（1）解：∵是中线，
∴，
延长到，使，
又，
∴
（2）由（1）可知，，，
在中，，，
∴，即，
∴.
2．（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，
在和中，
∴(SAS)，
∴DE=MF=3，
∵DF -MF＜DM＜DF+MF，
∴7-3＜DM＜7+3，
即4＜DM＜10，
∵，
∴4＜2DG＜10，
∴2＜DG＜5；
（2）AD=CD+AB，理由如下：
解：延长AE，DC相交于点F，
∵，
∴∠BAE=∠F，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
在和中，
∴（AAS），
∴AB=CF，
∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=FD，
∵FD=CD+CF，CF=AB，
∴AD=CD+AB．
3．（1）解：如图1中，延长至点，使．
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
是中线，
，
又，，
，
，，
，，
，
为中线，
，
，
，
又，
，
，，
，
∴正确选项的序号是：②④；
（3）证明：如图3，延长至，使，连接，
是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
与互补，
，
，
又，，
，
，
；
（4），，
，，，
，
∵∠AOB=∠COD=90°，
，
，
，
，，
，
．