1.4《线段垂直平分线与角平分线》复习题（含答案）八年级数学上册苏科版

1.4《线段垂直平分线与角平分线》复习题
考点一、线段垂直平分线的性质
1．如图，在 ABC中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（ ）
A．17 B．16 C．18 D．20
2．如图，在 ABC中，是的垂直平分线，，如果的周长为，则的周长是 ．
3．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
考点二、角平分线的性质
1．如图，在 ABC中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
2．如图，在 ABC中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ．
3．如图所示，点O是 ABC的角平分线和的交点，，，，，，求 ABC的面积是多少？
考点三、线段垂直平分线的逆定理
1．如图，已知：，，点E在的延长线上．
(1)求证：垂直平分；
(2)求证： BDE
2．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证：
(1)；
(2)是的垂直平分线．
3．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ；
(2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明；
(3)如图，若，，求筝形的面积．
考点四、角平分线的逆定理
1．如图，，M是的中点，平分．求证：平分．
2．在等腰 ABC与等腰 ADE中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
3．如图， ABC中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)的度数是 ；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
考点五、尺规作图
1．尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等．
2．如图，已知 ABC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明．
3．如图所示，和是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在C处修建一个货运站，使C到两条道路的距离相等，且到A、B两个销售点的距离相等，请作出点C的位置（已知点C在的区域内）．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
考点六、网格作图
1．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上．
(1)在图中作出 ABC关于直线对称的．
(2)在直线上找一点Q，使的值最小．
(3)图中若有格点P满足．请你用尺规画图（保留作图痕迹）找到这样的点，并标注出来．
2．图①，图②，图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P，Q均为格点．只用直尺在给定的网格中，按下列要求画图．
(1)在图①中，画出 ABC关于直线l的轴对称图形；
(2)在图②中，找出格点O，使它到P，Q两点的距离相等，且到的距离相等；
(3)在图③中，在直线l上找出一点M，使得MA+MB的值最小．
3．如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若，，三点是格点．
(1)在图1中，画出的中点；
(2)在图1中，画出的垂直平分线；
(3)在图2中，在边上找点，使；
(4)在（3）的基础上，请在上画点，使．
考点七、双垂直平分线
1．如图所示，在 ABC中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，求的度数．
2．如图，在 ABC中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，求：
(1)的度数
(2)的周长
3．【问题发现】
（1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________．
【问题探究】
（2）如图②，在 ABC中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，
连接、，求 ADE的周长；
【拓展应用】
（3）如图③， ABC是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由．
考点八、垂直平分线与角平分线结合
1．如图， ABC中，的角平分线与边的垂直平分线交于点D，于点E，于点F．
求证：
(1)
(2)
2．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．

(1)求证：；
(2)求证：．
3．已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，．

(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
参考答案
考点一、线段垂直平分线的性质
1．D
【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可．
【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分，
，
，
故选：D．
2．
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质得到和，根据三角形的周长公式计算即可求解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长，
的周长，
故答案为：．
3．（1）证明：∵，垂足为D，且，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，交于点F，交于点E，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴的周长．
考点二、角平分线的性质
1．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作于F，由角平分线的性质得到，再由三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于F，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，过点G作于点M，于点N．利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点G作于点M，于点N．
由作图可知平分，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．解：∵点O是的角平分线和的交点，，
∴点O到，的距离均，
∴；
故答案为：.
考点三、线段垂直平分线的逆定理
1．（1）证明：∵，，
∴点A和D都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
（2）证明：由（1）知垂直平分，
∴，
在 BDE和中，
，
∴．
2．（1）证明：∵是平分线上的一点，，，
∴，，又，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴点O、P在线段的垂直平分线上，
即是的垂直平分线；
3．（1）解：观察可知：垂直平分，；
故答案为：垂直平分，；
（2）性质1：∵，，
∴点均在线段的中垂线上，
∴垂直平分；
性质2：∵，
∴；
（3）∵垂直平分，
∴．
考点四、角平分线的逆定理
1．证明：过M作于E，
∵平分，，，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵∠B=90°，，
∴平分．
2．（1）证明：，
，
又，，
．
（2）证明：过点作，，如图，
由（1）可知，
，，
，
，
又，，
平分．
3．（1）解：，
，
，
，
．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，

平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在的内部，
平分．
（3）解：如图，过点作于点，作于点，

由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．
考点五、尺规作图
1．解：如图：点P即为所求．
2．（1）解；如图所示，射线，直线即为所求．
（2）解：，证明如下：
∵为的平分线，
∴，
∵垂直平分，
∴．
又∵，
∴．
3．解：如图所示
考点六、网格作图
1．（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，点即为所求；
（3）如图，点即为所求；
2．（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，点即为所作；
（3）解：如图，点M即为所作；
3．（1）解：如图，根据网格的特点，点即为所求：
（2）如图所示，分别找到的格点，则四边形是正方形，取与网格线的交点，作直线，则即为所求
（3）构造等腰直角三角形，交一点，点即为所求；
（4）如图，根据对称性，构造等腰，，交于点，连接交于点，点即为所求．
考点七、双垂直平分线
1．解：∵，
∴．
∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
2．（1）解：在 ABC中，
，
的垂直平分线交于点，
，
同理可得，，
，，
答：的度数为；
（2）解：的垂直平分线交于点，交于点，
，
又的垂直平分线交于点，交于点，
，
的周长为：，
答：的周长为．
3．（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：4．
（2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴，
∴ ADE的周长为．
（3）解∶∵，，
∴，
∵平分，
∴，
如图∶作线段，使， ，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．，
∵ 的最小值为，即
∴．
如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则
∵平分，点F关于的对称点R，
∴点R在直线上，
∵，
∴当共线且直线垂直于，
∴点R和点O重合，即时，有最小值，
∵平分，点R在直线上，点F关于的对称点R，
∴
考点八、垂直平分线与角平分线结合
1．（1）证明：连接，
平分，
，，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：在和中
，
，
，
，，
，
，
．
2．（1）证明：连接，

垂直平分，
，
平分，，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）证明：在和中，
，
∴，
，
，
，
．
3．（1）证明：连接，

∵D在的中垂线上，
∴，
∵，，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴ ABC的周长为：．