1.5《等腰三角形》复习题（含答案）八年级数学上册苏科版

1.5《等腰三角形》复习题
考点一、等边对等角
1．如图，在 ABC中，，过点作，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
3．如图，平分，，，垂足分别为，．求证：．
考点二、三线合一
1．如图，分别是 ABC的中线和高线．若则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．加图，在 ABC中，是 ABC的中线，于点，若，则的度数为 ．
3．如图，已知：，，．求度数．
考点三、等角对等边
1．如图，在 ABC中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为 ．
3．如图，是 ABC的角平分线，在上取点使．
(1)求证：是等腰三角形
(2)若，，求的度数．
考点四、等边三角形的性质
1．如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线，等边 ABC的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ．
3．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：．
考点五、两个斜边的一半——30°对应的直角边
1．如图， ABC是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
2．如图，在等腰三角形 ABC中，，若腰，则的底边长为 ．
3．如图，在 ABC中，，在右侧作等边三角形．
(1)求的度数；
(2)若，求的长度．
考点六、两个斜边的一半——直角三角形斜边上的中线
1．如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ．
3．如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形．
考点七、等边三角形的判定
1．如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接．
(1)证明：；
(2)若，证明：是等边三角形．
2．如图， ABC是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形．
3．如图，在 ABC中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点．
(1)求证：；
(2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由．
考点八、格点三角形
1．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，请在下图的网格中画出符合条件的格点三角形．
(1)在图①中画出以为边且面积为2的等腰；
(2)在图②中画出以为边的等腰直角．
2．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中，以为边画一个等腰三角形，且三角形是钝角三角形；
(2)在图②中，以为斜边画一个等腰直角三角形；
(3)在图③中，以为边画一个四边形，使其是轴对称图形．
3．阅读与理解
下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务．
巧用正方形网格
由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图1，已知 ABC是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造 ABC的角平分线．
方法一：延长到格点D，使．连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为 ABC的角平分线．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵点F是的中点，
∴平分（依据），
即为 ABC的角平分线．
方法二：如图2，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使BE=BC，连接交于点P，连接，线段即为 ABC的角平分线．理由如下：
同方法一可得，，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
…
(1)请写出方法一中“依据”的内容： ；
(2)请将方法二中的说理过程补充完整；
(3)按照材料中的思路，请你在图3中作出 ABC的角平分线．
考点九、等腰(边)三角形的手拉手
1．如图， ABC和 ADE都是等边三角形，连接，延长交于点F，连接，保持 ABC不动，将 ADE绕点A旋转．当点D，F重合时，请直接写出之间的数量关系，并说明理由．
2．如图， ABC和 ADE都是等边三角形，和交于点， ADE绕点旋转．
（1）如图1所示，求证：；
（2）如图2所示，求证：平分．
3．在等边 ABC中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边 ADE，连接．

【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______．
【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明．
【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决．
【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边 ABC中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边 ADE，连接，请直接写出周长的最小值．
考点十、三线合一与斜中定理结合
1．如图，已知 ABC的高、相交于点O，M、N分别是、的中点，求证：垂直平分．
2．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：．
3．如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明．
参考答案
考点一、等边对等角
1．B
【分析】本题考查的知识点是两直线平行内错角相等、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握等边对等角．
根据两直线平行内错角相等求出，再由等边对等角得，最后由三角形内角和定理即可得解．
【详解】解：，，
，
，
，
中，．
故选：．
2．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理；
设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为，然后根据三角形内角和定理列方程求出底角的度数，进而可得顶角的度数．
【详解】解：设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为，
由题意得：，
解得：，
∴这个等腰三角形顶角的度数为，
故答案为：．
3．证明：∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
考点二、三线合一
1．D
【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，三线合一求出的度数即可．
【详解】解：∵是高线，
∴，
∵
∴，
∵，是的中线，
∴；
故选D．
2．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等据三角形的性质是解决问题的关键．
根据三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质可得是的平分线，即可求出的度数．
【详解】于点，
，
，
，
是的中线，
是的角平分线，
．
故答案为：．
3．解：延长到点E，使得，
在和 ADE中，
，
，
，
，
，
，
即点C为的中点，
，
∴DA=DE，
∴ ADE是等腰三角形，
是 ADE底边上的中线，
，
．
考点三、等角对等边
1．C
【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可．
【详解】解：平分交于，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
2．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由平分，，证明，可得，，再由等角对等边可得，代入数值进行计算即可得到答案．
【详解】解：平分，，
∴
∵
∴
，，
，
，
，
，
故答案为：．
3．（1）解：∵是 ABC的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是 ABC的角平分线，
∴．
考点四、等边三角形的性质
1．B
【分析】先由等边三角形性质得到，，进而由正五边形性质得到相关角度与边的关系，再由等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理求出相关角度，数形结合表示出要求的角，代值求解即可得到答案．
【详解】解：以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，
，，
是正五边形，
，且，
，，，
在等腰中，，则，
，
故选：B．
2．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∵，
，
故答案为：．
3．证明： ABC为等边三角形，是中线，
，
又，
，
，
∵，
，
， ABC为等边三角形，
，
∴，
，
，
．
考点五、两个斜边的一半——30°对应的直角边
1．A
【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
由等边三角形的性质及中点的定义得，，再根据直角三角形两锐角互余得，最后根据含角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵ ABC是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：A．
2．
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．
过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，即可求出的度数，的长，再根据勾股定理即可求出的长，于是得出的长．
【详解】如图，过点A作于点，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得
，
，
故答案为：．
3．（1）解：，，
．
为等边三角形，
，
，
，
（2）如图，作于点E．
，，，
．
∵CE⊥BD
，
．
，
，
．
考点六、两个斜边的一半——直角三角形斜边上的中线
1．B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的性质可得，从而得到是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵在中，E是的中点， ，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
故选：B
2．3
【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解．
【详解】解：∵，点O是对角线的中点，
∴，
故答案为：3．
3．（1）证明：，垂足为D，，垂足为，
在和中，
（）.
；
（2）证明：由（1）可知，
，
，点是的中点，
，
，
又，
是等边三角形．
考点七、等边三角形的判定
1．（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵于点M，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
2．证明：∵ ABC是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
3．（1）证明：，且，
，
在和中，
，
，
，
，
∴垂直平分线段，
；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
，点为中点，
，
，
是等边三角形．
考点八、格点三角形
1．（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图：即为所求．
2．（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，即为所求，
；
（3）解：如图，四边形即为所求，
．
3．（1）解：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合；(或等腰三角形“三线合一”)；
（2）解：∴，
∵， ，
∴，
∴，
即是的角平分线
（3）解：如图， 即为△ABC的角平分线．
考点九、等腰(边)三角形的手拉手
1．解：，理由如下：
和 ADE都是等边三角形，
，，，
，，
，
∴，
，
，，
．
2．证明：（1）∵ ABC和 ADE都是等边三角形
∴，，
∴，即
在和中，
∴．
（2）过点作交于点，过点作交于点，
由（1）可得：，
∴，
∴
∴平分．
3．（1）证明：， ADE都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
.
故答案为：；
（2）解：.
证明：与 ABC都是等边三角形，
，，，
.
即.
在和中，
，
.
，
.
（3）解：如图，连接，
， ADE都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
等边 ABC中，是中线，且，
，，，
点E在射线上运动（），
作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值.
考点十、三线合一与斜中定理结合
1．证明：连接，
∵，，
∴，
∵M、N是、的中点，
∴，
∴，，
∴M、N在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
2．解：连接、，
，是的中点，
，
点是的中点，
．
3．解：，证明如下：
∵在中，，为的中点，
∴，
∵在中，，为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∴（等腰三角形的三线合一）．