第1章《三角形》单元测试（含解析）八年级数学上册苏科版

第1章《三角形》单元测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．下列图形中，是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，6，9 C．2，9，6 D．2，2，4
3．下列能表示 ABC的边上的高的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）

A．21 B．14 C．13 D．9
6．如图，在中，，平分，，垂足为点E，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．如图，在 ABC中，分别是的中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与 CQP全等的时间为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ．
10．如图，已知，要使，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是 （只需要填写一个）．
11．如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度．
12．如图，在的正方形网格中， ．
13．如图，在中，，平分交于D，若，，则点D到边的距离是 ．
14．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ．
15．一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ．
16．如图， ABC为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，点D、C在线段上，，，．求证：．
18．如图，在边长是1的正方形网格中有一个三角形．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在直线上找一点，使的长最小，并说明理由；
(2)找出格点（网格线的交点），使．
(3)若，则四边形的面积是_____．
19．如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
20．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)如图①，作的平分线，交于点D；
(2)如图②，作一条直线l，使得点A关于l的对称点为点P．
21．如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：．
22．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：．
23．如图，为 ABC的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若 ABC的面积为40，，则点到边的距离为多少？
24．（1）如图1，在 ABC中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在 ABC中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
25．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________．
（2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________．
（3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题。
1．D
【分析】本题主要考查了全等图形，解题时注意：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．认真观察图形，找出大小或形状都一致的图形即可．
【详解】
解：由全等形的概念可知，是全等图形的是，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两较短长度之和与较长的长度之间的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：A．，不能构成三角形，不符合题意；
B．，能构成三角形，符合题意；
C．，不能构成三角形，不符合题意；
D．，不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键．
从所对的顶点A向或的延长线作垂线段即可．
【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意；
B．是 ABC的边上的高，故符合题意；
C．是 ABC的边上的高，故不符合题意；
D．不是任何边上的高，故不符合题意；
故选B．
4．C
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
5．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出，再利用线段的和差关系可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，得到，，求出，得到，即可得到答案．
【详解】解：分别是的中点，，
，
，，
，
，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．设能够使与 CQP全等的时间为，则，，，分两种情况分别讨论即可得解：①；②．
【详解】解：，，
，
设能够使与 CQP全等的时间为，
则，，，
分两种情况考虑：
①时，
，
即，
解得，
此时，
时能够使与 CQP全等；
②，
，
即，
解得，
此时，，
即，与矛盾（舍去）；
综上，能够使与 CQP全等的时间为．
故选：．
二、填空题。
9．三角形具有稳定性
【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
10． （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得有一角一边相等，结合全等三角形的判定定理添加条件即可．
【详解】解：添加的条件是，证明如下：
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据三线合一可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：∵在等腰三角形中，点是边的中点，
∴，则，
∵，
∴
故答案为：．
12．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据网格特点，证明，得到，进而得到即可．
【详解】解：如图，由图可知：
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
13．6
【分析】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．首先得出，然后利用角平分线的性质可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，平分，
∴D到边的距离．
故答案为：6．
14．4
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可推出，则可得到，再由线段的和差关系求解即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
15．2
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解、三角形的三边关系和等腰三角形的定义，正确分类、熟练掌握相关基础知识是关键．
设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6与当腰和腰的一半的和为12时，分别列出方程组结合三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况：
当腰和腰的一半的和为6时，则，
解得，
此时三角形的三边为4，4，10，不能构成三角形，故舍去；
当腰和腰的一半的和为12时，则，
解得，
此时三角形的三边为8，8，2，能构成三角形；
所以三角形的底边长是2；
故答案为：2．
16．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，连接，可证，得到，，可知当时，线段的值最小，进而解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵ ABC为等边三角形，，，
∴，，，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在 BCF和中，
，
∴，
∴，，
∴当时，线段的值最小，
此时，，
∴，
故答案为：．
三、解答题。
17．证明：，
，
，
在 ABC和中，
，
．
18．（1）如图点P即为所求．
理由：在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．
（2）如图，点H即为所求．
（3）四边形的面积是．
故答案为：9．
19．（1）证明：，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，
．
20．（1）解：如图，射线即为所求．
（2）如图，直线l即为所求．
21．证明：如图，连接、，
，是的中点，
，
点是的中点，
．
22．证明：如图所示，连接，，
垂直平分，
，
，，平分，
，，
，
．
23．（1）解：为 ABC的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为 ABC的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
24．（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，
∴∠EAB=∠ADB+∠DBA，
∴∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴∠AGB=∠M=90°，
∴，
∵，
∴∠BAG+∠DAM=90°，
∴∠ABG=∠DAM，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，，
∴．
25．解：（1），理由如下：
设，则，
如图1，延长到点，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）三条线段间的数量关系为：，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）同理得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3），理由如下：
如图3，在上截取，连接，
同理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．