前郭县 2024—2025 学年度第二学期期末考试
八年级数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 3 分，共 18 分）
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
7. > 8. -7 9.86 10.20 米 11.9
三、解答题（共 11 小题，共 87 分）
解 分
..............................................................6 分
13. （6 分）（1）解：如图所示，正方形 ABDC 即为所求；
1
..................................
3 分
（2）解：如图所示，中线 AE 即为所求；
................................
6 分
14.（6 分）（1）解：由图象可得，小明家与图书馆的距离为2000m ，
小明骑自行车的速度为：(2000 800) ÷ 6 = 200(m/min) .............................1 分 （2）解：小明从图书馆回到家用的时间为： 2000 ÷ 200 = 10(min) ， 36 +10 = 46(min) ，
小明从图书馆返回家的过程中，设 y 与 x 的函数解析式为y = kx +b (k ≠ 0) ， ∵点(36, 2000) ， (46, 0) 在该函数图象上，
解得
即小明从图书馆返回家的过程中，y 与 x 的函数解析式为： y = 200x + 9200(36 ≤ x ≤ 46)
...........................................................................4 分 （3）解：当小明从食堂去图书馆离家的距离为1000m时，
此时他距离食堂200m ，所用的时间x = 200 ÷ 200 = 1 ...............................5 分 小明从图书馆返回家的过程中，当y = 1000 时，
1000 = 200x + 9200 ，解得x = 41 ...............................................6 分 综上，当小明离家的距离为1000m时，x 的值为 1 或 41．
15.（7 分）（1）证明： :上ACB = 90。，
:AC 丄 BC ， :DE 丄 BC ， :AC ⅡDE ，
: 四边形 ABCD 是平行四边形，点E 在BC 的延长线上，
: AD ⅡCE ，
: 四边形 ACED 是平行四边形， : 上ACE = 90。，
: 四边形 ACED 是矩形．.....................................................3 分
（2）解：: 四边形 ACED 是矩形，四边形 ABCD 是平行四边形， \ AE = CD = AB ， AF = EF = CF = DF = 5 ，
:上ABC = 60。，
:△ABE 是等边三角形， :上AEB = 60。，
:△CEF 是等边三角形，
:BF 丄 AE ， AB = AE = BE = 2CE = 2CF = 2 × 5 = 10 ，
:BF 的长是5 ．..........................................................7 分
2
16.（7 分）（1）解： x + y = 2 — 2 + 2 + 2 = 4 .............................1 分
xy = (2·、 — 2)(2·、 + 2)
= (2 )2 — 22
= 12 — 4
= 8 ．.....................................................................3 分
（2）解： ∵ x — y = 2s3 — 2 — (2、 + 2) = 2·、 — 2 — 2 ·、— 2
= —4 .
∴ x2 — xy + y2
= x2 — 2xy + y2 + xy
= (x — y )2 + xy = (—4)2 + 8
= 16 + 8
= 24 ．.....................................................................7 分
17.（7 分）（1）解：七年级 10 名学生的成绩中 90 分的最多有 2 人，所以众数a = 90
...........................................................................1 分 把八年级 10 名学生的测试成绩排好顺序为：75， 76， 78，79，87，87，87，88，90，93， 根据中位数的定义可知中位数 ...................................2 分 由于 A 同学得了86 分大于 85 分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为 85，八 年级中位数为 87，由此可判断他是七年级的学生.................................3 分
解 ........................................5 分 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀 ”的学生总人数为 220 人；
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由：因为七、八年级 测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的 学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．...................................7 分
18.（8 分）（1）解： ∵ ∠B = 90O, AB = 12 米，BC = 16 米 ∴AC = AB2 + BC2 = 20 米
∵AC2 + AE2 = 202 + 152 = 625 = 252 = CE2 ∴△ ACE是直角三角形，且∠CAE = 90O
∴ 四边形ABCE 的面积为S△ABC + S△AEC = AB × BC + AC × AE = × 12 × 16 + × 20 ×
3
15 = 96 + 150 = 246 平方米..................................................4 分
（2）解：由（1）可得△ ACE是直角三角形， ∠CAE = 90。
依题意，ED + DC = EA + AC = 15 + 20 = 35 米，
设DE = x米，则CD = (35 - x)米
在 Rt△ACD中，CD2 = AC2 + AD2
∴(35 - x)2 = 202 + (15 + x)2
解得：x = 6 ，即线段DE的长度为 6 米． 8 分
19.（8 分） (1)解： 由题意得， 4 +(—2) = 2 ， 5 — ·、 + (—3+ 、)= 2 ，
:4 与 —2 是关于 1 的平衡数，5 — 、/2 与 —3+ ·、 是关于 1 的平衡数，.................2 分
(
:
{
l
m
+
3
+
2
n
—
1
=
2
，解得
{
l
n
=
—
2
..........
....................................4
分
)(2)解：: m 与n 是关于 1 的平衡数， m + 3 与2n —1也是关于 1 的平衡数， 〔m + n = 2 〔 m = 4
(3)解：不是，理由如下，
:(m + ) × (1 — ) = m — m +3 —3， (m + y3 ) × (1 — v3 ) = —5 + 3s3 ，
: m — 、m + 、/3 — 3= —5+ 3 、 ，
:m — m = —2 + 2 ，即m (1 — )= —2 (1 — )， :m = —2 ，
: (m + ·、)+ (5 — 、i3 )= (—2+ ·、)+ (5 — ·、)= 3 ，
: (m + )与(5 — )不是关于 1 的平衡数．.....................................8 分
20.（10 分）（1）解：当点 E 与点 A 重合时，如图，
∵四边形 ABC’D’为矩形，
∴ 上ABC = 90。，
由折叠可知， 上CBP = 上C’BP ，
∵ 上CBP + 上C’BP = 上ABC = 90。， ∴ 上CBP = 45。，
∴ 上CBP 为45。时，点 E 与点 A 重合...........................................3 分
4
（2）解：如图，
由折叠知， 上CBP = 上C/BP ， ∵ AD/ ⅡBC/ ，
∴ 上EPB = 上CBP ，
∴ 上EPB = 上CBP ， 即上EPB = 上EBP ， ∴ BE = EP ，
的长度不变， ∴当PE 最大时， △BEP 的面积最大，
又∵PE = BE ，
∴ BE 最大时， △BEP 的面积最大，
而在 △ABE 中，只要当 AE 最大时， BE 就最大， ∴当 AE 最大时， AP 最大= AD/ = 8 ，
设PE = BE = x ，则 AE = 8 — x ，
在Rt△ABE 中， AB2 + AE2 = BE2 ， ∴ 42 + (8 — x )2 = x2 ，
解得： x = 5 ， ∴ PE = 5 ，
10 ，
∴当 AP = 8 时， △BEP 的面积最大值为 10．...................................10 分
21.（10 分）（1）解： B (0, 2) ................................................1 分
（2）解：过点 B 作x 轴的对称点B/ ，连接PB/, CB/ ，
由对称得B/ (0, —2) ,PB/ = PB ，
5
∴ PB + PC = PB, + PC ≥ B,C ，
当点P, B,, C 三点共线时，取得最小值，此时点P 为直线B,C 与 x 轴交点， 设直线B,C 的表达式为y = k1x + b1 ，
代入点B,, C 坐标得 解得： ， ∴设直线B,C 的表达式为y = 3x - 2 ，
当 y = 0 时， 3x - 2 = 0 ，
解得x = ，
(
(
2
)
)∴此时P(| 3 , 0, ．............................................................4 分 （3）解：①为平行四边形APBQ1 时，则BQ1 ∥AP, BQ1
∴Q1 (|( - , 2), ................................................................6 分
②为平行四边形 APQ3 B 时，则BQ3 ∥AP, BQ3
∴Q3 (|( , 2), .................................................................8 分 ③为平行四边形 ABPQ2 时，
∵BA∥PQ2,BA=PQ2 ，
∴点 B 向点 P 的平移方式与点 A 向点Q2 的平移方式一样，
∴点 B 向右平移个单位，向下平移 2 个单位得到向点 P，
∴点 A 向右平移个单位，向下平移 2 个单位得到向点Q2 P 而 A(-2, 0)，
6
..............................................................10 分 综上所述，点 Q 的坐标为 或 或
22.（12 分）（1）解： ∵在平行四边形 ABCD 中， LC = 60。， AB = 4·、 , AD = 4 ，
∴ AB = CD = 4·、 , AD = BC = 4 ， LABC = 120。，
∵ BE 丄 CD ，
∴ LBEC = 90。，
∴ LCBE = 30。，
∴ BE = ·、 = ·、 = 2·、 ，
∵点P 从点A 出发，以每秒 ·、个单位的速度沿折线 A → B → E 运动，到达点E 时停止， ∴当点P 到达点B 时 秒，当点P 到达点E 时秒，
∴ 当 0 ≤ x ≤ 4 时 ， 点 P 在 线 段 AB 上 ， 此 时 AP = ·、x ， y = S△ 分 当4 < x ≤ 6 时，点P 在线段BE 上，
此时PE = 6 - ， y = S△
；.....................................................5 分
解 函数图象如图：
7
由函数图象可得，当x = 4 时，函数有最大值12 （答案不唯一，合理即可）；........7 分
（3）解：平移直线 y = -x ，与 相交，函数图象如图：
把(0, 0) 代入y1 = -x + b 可得b = 0 ；
把(6, 0) 代入y1 = -x + b 可得0 = -6 +b ，解得b = 6 ；..............................10 分 把(4, 12)代入y1 = -x + b 可得12 = -4 +b ，解得b = 16 ；
由函数图象可得，直线 y1 = -x + b 与该函数图象恰有一个交点，则常数 b 的取值范围是
0 ≤ b < 6 或b = 16 ．..........................................................12 分
8前郭县 2024—2025 学年度第二学期期末考试
八年级数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 3 分，共 18 分）
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
7. 8. -7 9.86 10.20 米 11.9
三、解答题（共 11 小题，共 87 分）
2
12.（6 分）（1）解：① 3 2 3 4；② 3 2 3 2；③ 27 1 9.........3 分3
1 2
（2） 4 27 1 3 22 3 3 2
4 2 1 27 3 4 3 4 2 3 2 3
2 2 3 7 4 3 2 3
2 2 8 5 3 ..............................................................6 分
13. （6 分）（1）解：如图所示，正方形 ABDC即为所求；
..................................3 分
（2）解：如图所示，中线 AE即为所求；
................................6 分
1
14.（6 分）（1）解：由图象可得，小明家与图书馆的距离为 2000m，
小明骑自行车的速度为：(2000 800) 6 200(m/min) .............................1 分
（2）解：小明从图书馆回到家用的时间为： 2000 200 10(min)，36 10 46(min)，
小明从图书馆返回家的过程中，设 y 与 x 的函数解析式为 y kx b k 0 ，
∵点 36, 2000 ， 46,0 在该函数图象上，
36k b 2000 k 200
解得 ，
46k b 0
b 9200
即小明从图书馆返回家的过程中，y 与 x 的函数解析式为： y 200x 9200(36 x 46)
...........................................................................4 分
（3）解：当小明从食堂去图书馆离家的距离为1000m时，
此时他距离食堂 200m，所用的时间 x 200 200 1...............................5 分
小明从图书馆返回家的过程中，当 y 1000时，
1000 200x 9200，解得 x 41...............................................6 分
综上，当小明离家的距离为1000m时，x 的值为 1 或 41．
15.（7 分）（1）证明： ACB 90 ，
AC BC，
DE BC，
AC∥DE，
四边形 ABCD是平行四边形，点 E在BC的延长线上，
AD∥CE ，
四边形 ACED是平行四边形，
ACE 90 ，
四边形 ACED是矩形．.....................................................3 分
（2）解： 四边形 ACED是矩形，四边形 ABCD是平行四边形，
\ AE = CD = AB， AF EF CF DF 5，
ABC 60 ，
ABE是等边三角形，
AEB 60 ，
CEF是等边三角形，
BF AE， AB AE BE 2CE 2CF 2 5 10，
1
AFB 90 ， AF AE
1
10 5，
2 2
BF AB2 AF 2 102 52 5 3，
BF 的长是5 3．..........................................................7 分
2
16.（7 分）（1）解： x y = 2 3 2 2 3 2 4 3 .............................1 分
xy = 2 3 2 2 3 2
= 22 3 22
12 4
8．.....................................................................3 分
（2）解：∵ x y = 2 3 2 2 3 2
= 2 3 2 2 3 2
4 .
∴ x2 xy y2
x2 2xy y2 xy
x y 2 xy
= 4 2 8
16 8
24．.....................................................................7 分
17.（7 分）（1）解：七年级 10 名学生的成绩中 90 分的最多有 2人，所以众数 a 90
...........................................................................1 分
把八年级 10 名学生的测试成绩排好顺序为：75， 76， 78，79，87，87，87，88，90，93，
87 87
根据中位数的定义可知中位数 b 87 ...................................2 分
2
由于 A 同学得了 86 分大于 85 分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为 85，八
年级中位数为 87，由此可判断他是七年级的学生.................................3 分
5 200 6（2）解： 200 220（人）........................................5 分
10 10
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为 220 人；
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由：因为七、八年级
测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的
学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．...................................7 分
18.（8 分）（1）解：∵∠ = 90°, = 12米， = 16米
∴ = 2 + 2 = 20米
∵ 2 + 2 = 202 + 152 = 625 = 252 = 2
∴△ 是直角三角形，且∠ = 90°
∴四边形 1 1 1 1的面积为 △ + △ = × + × = × 12 × 16 + × 20 ×2 2 2 2
3
15 = 96 + 150 = 246平方米..................................................4 分
（2）解：由（1）可得△ 是直角三角形，∠ = 90°
依题意， + = + = 15 + 20 = 35米，
设 = 米，则 = 35 米
在 Rt△ 中， 2 = 2 + 2
∴ 35 2 = 202 + 15 + 2
解得： = 6，即线段 的长度为 6米．.......................................8 分
19.（8 分）(1)解：由题意得， 4 2 2，5 2 3 2 2 ，
4与 2是关于 1 的平衡数，5 2 与 3 2是关于 1的平衡数，.................2 分
(2)解： m与 n是关于 1 的平衡数，m 3与 2n 1也是关于 1 的平衡数，
m n 2 m 4
m 3 2n 1 2 ，解得 ..............................................4 分 n 2
(3)解：不是，理由如下，
m 3 1 3 m 3m 3 3， m 3 1 3 5 3 3，
m 3m 3 3 5 3 3 ，
m 3m 2 2 3，即m 1 3 2 1 3 ，
m 2，
m 3 5 3 2 3 5 3 3 ，
m 3 与 5 3 不是关于 1的平衡数．.....................................8 分
20.（10 分）（1）解：当点 E与点 A 重合时，如图，
∵四边形 ABC D 为矩形，
∴ ABC 90 ，
由折叠可知， CBP C BP，
∵ CBP C BP ABC 90 ，
∴ CBP 45 ，
∴ CBP为 45 时，点 E 与点 A重合...........................................3 分
4
（2）解：如图，
由折叠知， CBP C BP，
∵ AD ∥BC ，
∴ EPB CBP，
∴ EPB CBP，
即 EPB EBP，
∴ BE EP，
1
∵ S BEP PE AB，而 AB的长度不变，2
∴当 PE最大时，△BEP的面积最大，
又∵ PE BE，
∴ BE最大时，△BEP的面积最大，
而在 ABE中，只要当 AE最大时， BE就最大，
∴当 AE最大时， AP最大 AD 8，
设 PE BE x，则 AE 8 x，
在Rt△ABE中， AB2 AE2 BE2，
∴ 42 2 8 x x2，
解得： x 5，
∴ PE 5，
S 1 PE AB 1∴ BEP 5 4 10，2 2
∴当 AP 8时，△BEP的面积最大值为 10．...................................10 分
21.（10 分）（1）解： B 0,2 ................................................1 分
（2）解：过点 B 作 x轴的对称点 B ，连接 PB ,CB ，
由对称得 B 0, 2 ,PB PB，
5
∴ PB PC PB PC B C，
当点 P,B ,C三点共线时，取得最小值，此时点 P 为直线B C与 x 轴交点，
设直线B C的表达式为 y k1x b1，
2k1 b1 4 k1 3
代入点 B ,C坐标得， b 2 ，解得： ， 1 b1 2
∴设直线 B C的表达式为 y 3x 2，
当 y 0时，3x 2 0，
2
解得 x ，
3
P 2 ,0 ∴此时 ．............................................................4 分
3
（3）解：①为平行四边形 APBQ1时，则 BQ1∥AP,BQ AP
2 8
1 2 ，3 3
Q 8 ∴ 1 , 2 ................................................................6 分
3
②为平行四边形 APQ3B
2 8
时，则 BQ3∥AP,BQ3 AP 2 ，3 3
8
∴Q3 , 2
.................................................................8 分
3
③为平行四边形 ABPQ2时，
∵ BA∥PQ2 ,BA=PQ2 ，
∴点 B向点 P 的平移方式与点 A 向点Q2的平移方式一样，
∵ B 0,2 ,P 2 ,0 3 ，
2
∴点 B向右平移 个单位，向下平移 2 个单位得到向点 P，
3
2
∴点 A向右平移 个单位，向下平移 2 个单位得到向点Q P
3 2
而 A 2,0 ，
6
Q 4 , 2 ∴ 2 ..............................................................10分
3
8 8 4
综上所述，点 Q的坐标为： , 2 或 , 2 或 , 2 ．
3 3 3
22.（12 分）（1）解：∵在平行四边形 ABCD中， C 60 ， AB 4 3, AD 4，
∴ AB CD 4 3, AD BC 4， ABC 120 ，
∵ BE CD，
∴ BEC 90 ，
∴ CBE 30 ，
CE 1∴ BC 2， ABE ABC CBE 90 ，
2
∴ BE BC 2 CE 2 42 22 2 3，
∵点 P从点A出发，以每秒 3个单位的速度沿折线 A B E运动，到达点 E时停止，
AB AB BE 4 3 2 3
∴当点 P到达点 B时 x 4秒，当点 P到达点 E时 x 6秒，
3 3 3
∴ 当 0 x 4 时 ， 点 P 在 线 段 AB 上 ， 此 时 AP = 3x ，
y S 1 AP BE 1 APE 3x 2 3 3x；.......................................3 分2 2
当 4 x 6时，点 P在线段 BE上，
1 1
此时 PE 6 3 3x ， y S APE AB PE 4 3 2 2 6 3 3x 36 6x；
3x 0 x 4
∴ y 36 6x 4 x 6 ；.....................................................5 分
3x 0 x 4
（2）解： y
36
函数图象如图：
6x 4 x 6
7
由函数图象可得，当 x 4时，函数有最大值12（答案不唯一，合理即可）；........7 分
3x 0 x 4
（3）解：平移直线 y x，与 y 相交，函数图象如图：
36 6x 4 x 6
把 0,0 代入 y1 x b可得b 0；
把 6,0 代入 y1 x b可得0 6 b，解得b 6；..............................10 分
把 4,12 代入 y1 x b可得12 4 b，解得b 16；
由函数图象可得，直线 y1 x b与该函数图象恰有一个交点，则常数 b的取值范围是
0 b 6或b 16．..........................................................12 分
8
