综合·融通(二) 抛体运动的综合问题
(融会课主题串知综合应用)
平抛运动是高中物理中的一种重要的模型,是运动的合成与分解在实际问题中的具体应用,体现了化难为易的物理思想。此知识在高考中多次涉及,尤其是在近几年高考中更是频繁考查。考查内容涉及平抛运动与斜面相结合的问题、平抛运动的临界极值问题及“类平抛”运动等,研究的内容有平抛运动时间的求解、径迹的分析、水平位移与竖直位移的计算等。
主题(一) 与斜面结合的平抛运动
[知能融会通]
平抛运动与斜面结合的两类模型比较
类型 对着斜面平抛 沿着斜面平抛
情境 图例 如图甲所示,做平抛运动的物体垂直打在斜面上 如图乙所示,物体从斜面上某一点水平抛出以后,又重新落在斜面上
关联 关系 速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角 位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角
处理 方法 抓住速度的分解 抓住位移的分解
几个 重要 关系 (1)速度方向与斜面垂直 (2)水平分速度与竖直分速度的关系: tan θ== (3)运动时间: t= (1)水平位移和竖直位移的关系: tan θ=== (2)速度方向与斜面夹角(α-θ)是恒定的 (tan α=2tan θ) (3)运动时间: t=
[例1·对着斜面平抛] 如图所示,若质点以初速度v0正对倾角为θ=37°的斜面水平抛出,要求质点到达斜面时位移最小,则质点的飞行时间为重力加速度为g,tan 37°= ( )
A. B.
C. D.
听课记录:
[例2·沿着斜面平抛] 滑板是许多年轻人喜爱的一项体育运动。如图为一段滑板赛道,斜坡OA长为10 m,倾角θ=37°,一位滑板运动员从平台上的O点以一定的初速度水平滑出,重力加速度大小为10 m/s2,不计空气阻力,运动员可以看成质点,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)要使运动员从O点滑出后,直接落到水平面AB上,运动员从O点滑出的速度至少为多大
(2)若运动员从O点滑出的速度只有5 m/s,则运动员在空中做平抛运动的时间为多长
(3)若运动员从O点滑出的速度只有5 m/s,落到斜坡上时沿垂直斜坡方向的速度减为零,沿斜坡方向的速度不变,此后以此速度匀速下滑到A点,则运动员落到斜坡上后在斜坡上运动的时间为多长
尝试解答:
[题点全练清]
1.如图,某人在斜坡滑雪,从最高点水平滑出,先后落在M、N两点,所用时间分别为tM、tN,初速度大小分别为vM、vN,则 ( )
A.tMC.vM>vN D.vM2.(2024·青岛高一检测)如图所示,某一可看成质点的物体以v0=10 m/s的速度水平抛出,飞行一段时间后撞在斜面上,速度方向与斜面方向成60°,已知斜面倾角θ=30°,下列说法正确的是 ( )
A.物体飞行的时间为 s
B.物体撞击斜面时的速度大小为20 m/s
C.物体下降的高度为 m
D.物体飞行的水平位移为 m
主题(二) 平抛运动的临界极值问题
[知能融会通]
1.与平抛运动相关的临界情况
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在临界点。
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述过程中存在着极值,这些极值也往往是临界点。
2.平抛运动的临界极值问题的解题关键
分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹。当受水平位移限制时,其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线;当受下落高度限制时,其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线,确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。
[典例] (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方,俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”,一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力,重力加速度大小为g)
尝试解答:
[题点全练清]
1.(多选)在排球比赛中,如果运动员沿水平方向击球,在不计空气阻力的情况下,要使排球既能过网,又不出界,需要考虑的因素有 ( )
A.击球后排球的初速度
B.人的高度
C.网的高度
D.击球点的高度
2.(2024·湖北黄冈高一阶段练习)(多选)如图所示,一艘小船正沿垂直于河岸的直线靠岸,岸上的人若找准时机,水平抛出一个小球,就能将球抛入小船内。假设小球和小船在同一平面内运动,已知抛球点与小船甲板面竖直高度差为h=5 m,小船的长度为1 m。当小船运动至距离河岸L=22 m处时,小船的速度v0=10 m/s,其将以大小为a=2 m/s2的加速度向河岸做匀减速运动,同时河岸上的人将手上的小球水平抛出,结果小球落入小船中。重力加速度g取10 m/s2,小球大小和空气阻力可忽略不计,则小球抛出时的初速度大小可能为 ( )
A.12 m/s B.13.5 m/s
C.13.8 m/s D.15 m/s
主题(三) 类平抛运动
[知能融会通]
1.受力特点
物体所受的合外力为恒力,且与初速度方向垂直。
2.研究方法
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向的初速度为零的匀变速直线运动。
3.运动规律
初速度v0方向上:vx=v0,x=v0t。
合外力方向上:a=,vy=at,y=at2。
[典例] 如图所示,光滑斜面长L=10 m,倾角为30°,一小球从斜面的顶端以v0=10 m/s的初速度水平射入,求:(g取10 m/s2)
(1)小球从斜面顶端到底端时沿初速度方向的位移x;
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
尝试解答:
[思维建模]
解决类平抛运动问题的步骤
(1)分析物体的初速度与受力情况,确定物体做类平抛运动,并明确物体两个分运动的方向。
(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度和位移。
(3)根据题目的已知条件和要求解的未知量,充分利用运动的等时性、独立性、等效性解题。
[题点全练清]
1.如图所示,A、B两个质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正方向抛出,A在竖直平面内运动,落地点为P1,B紧贴光滑的斜面运动,落地点为P2,P1、P2在同一水平面内,P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2,不计空气阻力。下列说法正确的是 ( )
A.x1=x2 B.x1>x2
C.x12.(2024·湖南邵阳高一期末)如图所示,一物体在某液体中运动时只受到重力G和恒定的浮力F的作用,且F=。如果物体从M点以水平初速度v0开始运动,最后落在N点,M、N两点间的竖直高度为h,则下列说法正确的是 ( )
A.从M点运动到N点的时间为
B.M点与N点之间的水平距离为v0
C.从M点运动到N点的运动轨迹为抛物线
D.减小水平初速度v0,运动时间将变长
综合·融通(二) 抛体运动的综合问题
主题(一)
[例1] 选C 要使质点到达斜面时位移最小，由几何关系可知质点的位移方向应垂直斜面，如图所示，有x＝v0t，y＝gt2，且tan θ＝＝＝，所以t＝＝，选项C正确。
[例2] 解析：(1)运动员在空中做平抛运动，设运动员从O点滑出的速度至少为v0，运动时间为t1，则Lsin θ＝gt，Lcos θ＝v0t1
解得v0＝ m/s。
(2)运动员在空中做平抛运动，由于5 m/s＜ m/s，运动员会落到斜坡上，设其运动时间为t2，则有x＝v1t2，y＝gt，tan θ＝
解得t2＝0.75 s。
(3)若运动员从O点滑出的速度只有5 m/s，落到斜面上的位置离A点距离s＝L－＝ m
落到斜面上时沿斜面方向的速度大小为
v2＝v1cos θ＋gsin θ·t2＝8.5 m/s
则运动员落到斜坡上后在斜坡上运动的时间为t3＝＝ s。
答案：(1) m/s (2)0.75 s (3) s
[题点全练清]
1．选C 人在空中做平抛运动，根据平抛运动的特点可知，人下落的高度为h＝gt2，则下落的时间为t＝，由题图可知hM＞hN，则tM＞tN，故A、B错误；设斜面与水平面的夹角为θ，根据平抛运动特点可知tan θ＝＝＝，斜面倾角不变，由tM＞tN可知vM＞vN，故C正确，D错误。
2．选C 由几何关系可知，物体的竖直方向分速度为vy＝v0tan 30°＝gt，代入数据解得物体飞行的时间为t＝ s，故A错误；根据运动的分解，可得物体撞击斜面时的速度大小为v＝＝ m/s＝ m/s，故B错误；在竖直方向上，根据位移与时间的关系，可得物体下降的高度为h＝gt2＝×10×2 m＝ m，故C正确；在水平方向上，根据运动学公式，可得物体飞行的水平位移为x＝v0t＝10× m＝ m，故D错误。
主题(二)
[典例] 解析：石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh＝v，
可得石子落到水面上时的竖直速度vy＝，
由题意可知，≤tan θ，
即v0≥，石子抛出速度的最小值为。
答案：
[题点全练清]
1.
选ACD 设网高为h，球场的长度为s，重力加速度为g，击球点的高度为H，水平初速度为v，不计空气阻力且排球可看成质点，场地与排球运动示意图如图所示。排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，有x＝vt，y＝gt2，排球要能过网，则需满足x≥，y≤H－h。同理，要使排球不出界，则需满足x≤s，y＝H。可见，要保证排球既能过网又不出界，与排球的初速度、击球点的高度、网的高度都有关系，故A、C、D正确，B错误。
2．选BC 由题意可得，小球从抛出到落入小船所用时间为t＝＝1 s，设小球抛出时的初速度为v，则小球的水平位移为x1＝vt，小船向左运动的位移为x2＝v0t－at2＝9 m。当小球恰好落入小船左端时，满足x1＋x2＝L，解得v1＝13 m/s；当小球恰好落入小船右端时，满足x1＋x2＝L＋l船，解得v2＝14 m/s。综上小球抛出时的初速度大小范围为13 m/s≤v≤14 m/s，故选B、C。
主题(三)
[典例] 解析：(1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿斜面向下方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有
mgsin 30°＝ma，又由运动学公式有L＝at2
解得t＝ ＝2 s
所以小球从斜面顶端到底端时沿初速度方向位移
x＝v0t＝20 m。
(2)设小球到达斜面底端时的速度大小为v，则有
v＝
又vx＝v0＝10 m/s，v＝2aL＝2gsin 30°·L＝gL
解得v＝10 m/s。
答案：(1)20 m (2)10 m/s
[题点全练清]
1．选C 设A、B质点抛出时的水平初速度为v0，下落高度为h。A质点做平抛运动，运动的时间为tA＝；B质点做类平抛运动，沿斜面向下的方向有＝gtsin θ(θ为斜面与水平面的夹角)，解得tB＝，可知tB>tA；质点沿x轴方向的位移为x＝v0t，可得x12．选C 对物体受力分析可知F合＝G－F＝，由牛顿第二定律可知a＝＝＝，方向竖直向下，与初速度方向垂直，故该物体做类平抛运动，所以在竖直方向上有h＝at2，解得t＝，故A错误；M点与N点之间的水平距离为x＝v0t＝v0，故B错误；该物体做类平抛运动，所以从M点到N点的运动轨迹为抛物线，故C正确；做类平抛运动的物体的运动时间与初速度无关，故D错误。
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抛体运动的综合问题
(融会课——主题串知综合应用)
综合 融通(二)
平抛运动是高中物理中的一种重要的模型,是运动的合成与分解在实际问题中的具体应用,体现了化难为易的物理思想。此知识在高考中多次涉及,尤其是在近几年高考中更是频繁考查。考查内容涉及平抛运动与斜面相结合的问题、平抛运动的临界极值问题及“类平抛”运动等,研究的内容有平抛运动时间的求解、径迹的分析、水平位移与竖直位移的计算等。
1
主题(一) 与斜面结合的平抛运动
2
主题(二) 平抛运动的临界极值问题
3
主题(三) 类平抛运动
4
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一) 与斜面结合的平抛运动
平抛运动与斜面结合的两类模型比较
知能融会通
类型 对着斜面平抛 沿着斜面平抛
情境图例 如图甲所示,做平抛运动的物体垂直打在斜面上 如图乙所示,物体从斜面上某一点水平抛出以后,又重新落在斜面上
关联关系 速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角 位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角
处理方法 抓住速度的分解 抓住位移的分解
几个重要关系 (1)速度方向与斜面垂直 (2)水平分速度与竖直分速度的关系:tan θ== (3)运动时间:t= (1)水平位移和竖直位移的关系:
tan θ===
(2)速度方向与斜面夹角(α-θ)是恒定的(tan α=2tan θ)
(3)运动时间:t=
续表
[例1·对着斜面平抛] 如图所示,若质点以初速度v0正对倾角为θ=37°的斜面水平抛出,要求质点到达斜面时位移最小,则质点的飞行时间为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 要使质点到达斜面时位移最小,由几何关系可知质点的位移方向应垂直斜面,如图所示,有x=v0t,y=gt2,且tan θ===,所以t==,选项C正确。
[例2·沿着斜面平抛] 滑板是许多年轻人喜爱的一项体育运动。如图为一段滑板赛道,斜坡OA长为10 m,倾角θ=37°,一位滑板运动员从平台上的O点以一定的初速度水平滑出,重力加速度大小为10 m/s2,不计空气阻力,运动员可以看成质点,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)要使运动员从O点滑出后,直接落到水平面AB上,运动员从O点滑出的速度至少为多大
[答案] m/s
[解析] 运动员在空中做平抛运动,设运动员从O点滑出的速度至少为v0,运动时间为t1,则Lsin θ=g,Lcos θ=v0t1
解得v0= m/s。
(2)若运动员从O点滑出的速度只有5 m/s,则运动员在空中做平抛运动的时间为多长
[答案] 0.75 s
[解析] 运动员在空中做平抛运动,由于5 m/s< m/s,运动员会落到斜坡上,设其运动时间为t2,则有x=v1t2,y=g,tan θ=
解得t2=0.75 s。
(3)若运动员从O点滑出的速度只有5 m/s,落到斜坡上时沿垂直斜坡方向的速度减为零,沿斜坡方向的速度不变,此后以此速度匀速下滑到A点,则运动员落到斜坡上后在斜坡上运动的时间为多长
[答案] s
[解析] 若运动员从O点滑出的速度只有5 m/s,落到斜面上的位置离A点距离
s=L-= m
落到斜面上时沿斜面方向的速度大小为
v2=v1cos θ+gsin θ·t2=8.5 m/s
则运动员落到斜坡上后在斜坡上运动的时间为
t3== s。
1.如图,某人在斜坡滑雪,从最高点水平滑出,先后落在M、N两点,所用时间分别为tM、tN,初速度大小分别为vM、vN,则 ( )
A.tMC.vM>vN D.vM题点全练清
√
解析:人在空中做平抛运动,根据平抛运动的特点可知,人下落的高度为h=gt2,则下落的时间为t=,由题图可知hM>hN,则tM>tN,故A、B错误;设斜面与水平面的夹角为θ,根据平抛运动特点可知tan θ===,斜面倾角不变,由tM>tN可知vM>vN,故C正确,D错误。
2.(2024·青岛高一检测)如图所示,某一可看成质点的物体以v0=
10 m/s的速度水平抛出,飞行一段时间后撞在斜面上,速度方向与斜面方向成60°,已知斜面倾角θ=30°,下列说法正确的是 ( )
A.物体飞行的时间为 s
B.物体撞击斜面时的速度大小为20 m/s
C.物体下降的高度为 m
D.物体飞行的水平位移为 m
√
解析:由几何关系可知,物体的竖直方向分速度为vy=v0tan 30°=gt,代入数据解得物体飞行的时间为t= s,故A错误;根据运动的分解,可得物体撞击斜面时的速度大小为v== m/s= m/s,故B错误;在竖直方向上,根据位移与时间的关系,可得物体下降的高度为h=gt2=×10
× m= m,故C正确;在水平方向上,根据运动学公式,可得物体飞行的水平位移为x=v0t=10× m= m,故D错误。
主题(二) 平抛运动的临界极值问题
1.与平抛运动相关的临界情况
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在临界点。
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述过程中存在着极值,这些极值也往往是临界点。
知能融会通
2.平抛运动的临界极值问题的解题关键
分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹。当受水平位移限制时,其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线;当受下落高度限制时,其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线,确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。
[典例] (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方,俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”,一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力,重力加速度大小为g)
[答案]
[解析] 石子做平抛运动,竖直方向做自由落体运动,则有2gh=,
可得石子落到水面上时的竖直速度vy=,
由题意可知,≤tan θ,
即v0≥,石子抛出速度的最小值为。
1.(多选)在排球比赛中,如果运动员沿水平方向击球,在不计空气阻力的情况下,要使排球既能过网,又不出界,需要考虑的因素有 ( )
A.击球后排球的初速度
B.人的高度
C.网的高度
D.击球点的高度
题点全练清
√
√
√
解析:设网高为h,球场的长度为s,重力加速度为g,
击球点的高度为H,水平初速度为v,不计空气阻力且排
球可看成质点,场地与排球运动示意图如图所示。排
球做平抛运动,在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上做自由落体运动,有x=vt,y=gt2,排球要能过网,则需满足x≥,y≤H-h。同理,要使排球不出界,则需满足x≤s,y=H。可见,要保证排球既能过网又不出界,与排球的初速度、击球点的高度、网的高度都有关系,故A、C、D正确,B错误。
2.(2024·湖北黄冈高一阶段练习)(多选)如图所示,一艘小船正沿垂直于河岸的直线靠岸,岸上的人若找准时机,水平抛出一个小球,就能将球抛入小船内。假设小球和小船在同一平面内运动,已知抛球点与小船甲板面竖直高度差为h=5 m,小船的长度为1 m。当小船运动至距离河岸L=22 m处时,小船的速度v0=10 m/s,其将以大小为a=2 m/s2的加速度向河岸做匀减速运动,同时河岸上的人将手上的小球水平抛出,结果小球落入小船中。重力加速度g取10 m/s2,小球大小和空气阻力可忽略不计,则小球抛出时的初速度大小可能为 ( )
A.12 m/s B.13.5 m/s
C.13.8 m/s D.15 m/s
√
√
解析:由题意可得,小球从抛出到落入小船所用时间为t==1 s,设小球抛出时的初速度为v,则小球的水平位移为x1=vt,小船向左运动的位移为x2=v0t-at2=9 m。当小球恰好落入小船左端时,满足x1+x2=L,解得v1=13 m/s;当小球恰好落入小船右端时,满足x1+x2=L+l船,解得v2=14 m/s。综上小球抛出时的初速度大小范围为13 m/s≤v≤14 m/s,故选B、C。
主题(三) 类平抛运动
1.受力特点
物体所受的合外力为恒力,且与初速度方向垂直。
2.研究方法
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向的初速度为零的匀变速直线运动。
知能融会通
3.运动规律
初速度v0方向上:vx=v0,x=v0t。
合外力方向上:a=,vy=at,y=at2。
[典例] 如图所示,光滑斜面长L=10 m,倾角为30°,一小球从斜面的顶端以v0=10 m/s的初速度水平射入,求:(g取10 m/s2)
(1)小球从斜面顶端到底端时沿初速度方向的位移x;
[答案] 20 m
[解析] 小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动,沿斜面向下方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,根据牛顿第二定律有
mgsin 30°=ma,又由运动学公式有L=at2
解得t==2 s
所以小球从斜面顶端到底端时沿初速度方向位移
x=v0t=20 m。
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
[答案] 10 m/s
[解析] 设小球到达斜面底端时的速度大小为v,则有
v=
又vx=v0=10 m/s,=2aL=2gsin 30°·L=gL
解得v=10 m/s。
[思维建模]
解决类平抛运动问题的步骤
(1)分析物体的初速度与受力情况,确定物体做类平抛运动,并明确物体两个分运动的方向。
(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度和位移。
(3)根据题目的已知条件和要求解的未知量,充分利用运动的等时性、独立性、等效性解题。
1.如图所示,A、B两个质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正方向抛出,A在竖直平面内运动,落地点为P1,B紧贴光滑的斜面运动,落地点为P2,P1、P2在同一水平面内,P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2,不计空气阻力。下列说法正确的是 ( )
A.x1=x2 B.x1>x2
C.x1题点全练清
√
解析:设A、B质点抛出时的水平初速度为v0,下落高度为h。A质点做平抛运动,运动的时间为tA=;B质点做类平抛运动,沿斜面向下的方向有=gsin θ(θ为斜面与水平面的夹角),解得tB=,可知tB>tA;质点沿x轴方向的位移为x=v0t,可得x12.(2024·湖南邵阳高一期末)如图所示,一物体在某液体中运动时只受到重力G和恒定的浮力F的作用,且F=。如果物体从M点以水平初速度v0开始运动,最后落在N点,M、N两点间的竖直高度为h,则下列说法正确的是( )
A.从M点运动到N点的时间为
B.M点与N点之间的水平距离为v0
C.从M点运动到N点的运动轨迹为抛物线
D.减小水平初速度v0,运动时间将变长
√
解析:对物体受力分析可知F合=G-F=,由牛顿第二定律可知a===,方向竖直向下,与初速度方向垂直,故该物体做类平抛运动,所以在竖直方向上有h=at2,解得t=,故A错误;M点与N点之间的水平距离为x=v0t=v0,故B错误;该物体做类平抛运动,所以从M点到N点的运动轨迹为抛物线,故C正确;做类平抛运动的物体的运动时间与初速度无关,故D错误。
课时跟踪检测
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(选择题1~10小题,每小题5分。本检测卷满分80分)
1.跳台滑雪是冬奥会的传统项目,其运动过程可以简化成如图所示模型。跳台斜坡AC与水平面的夹角θ=30°,滑雪运动员从斜坡的起点A以v0=5 m/s的初速度水平飞出,最后落到斜坡上的B点。不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则运动员从A点运动至B点的时间为( )
A.1 s B.1.5 s
C.2 s D.3 s
√
6
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11
12
解析:滑雪运动员从斜坡的起点A运动到B点过程,根据平抛运动规律有xABcos θ=v0t,xABsin θ=gt2,解得t=1 s,故选A。
1
2
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5
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9
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2.(2024·济南高一检测)如图所示,直角坐标系xOy的x轴水平向右、y轴竖直向下,一挡板的曲线形状满足方程y=4-1.25x2,现从坐标原点以速率v0=1 m/s竖直向上抛出小球甲,经过时间t1返回到坐标原点,再从坐标原点以速率v0=1 m/s水平向右抛出小球乙,经过一段时间t2落到挡板上,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则t1∶t2为 ( )
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶4 D.1∶6
2
3
4
√
1
5
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解析:由竖直上抛运动的规律可得t1==0.2 s,由平抛运动的规律x=v0t2,y=g,结合y=4-1.25x2,综合可得t2=0.8 s,则有t1∶t2=1∶4,选项C正确,A、B、D错误。
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3.(2024年1月·贵州高考适应性演练)无人机在一斜坡上方沿水平方向向右做匀速直线运动,飞行过程中先后释放甲、乙两个小球,两小球释放的初始位置如图所示。已知两小球均落在斜坡上,不计空气阻力,比较两小球分别从释放到落在斜坡上的过程,下列说法正确的是 ( )
A.乙球的位移大
B.乙球下落的时间长
C.乙球落在斜坡上的速度大
D.乙球落在斜坡上的速度与竖直方向的夹角大
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解析:根据题意可知,甲、乙两球均做平抛运动,但由于甲球先释放,乙球后释放,且两球均落在斜坡上,则可知乙球在斜坡上的落点比甲球在斜坡上的落点高,而平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动,在水平方向的分运动为匀速直线运动,由于乙球的落点高,则乙球在竖直方向的位移小,根据h=gt2,可得t=,由此可知乙球下落的时间小于甲球下落的时间,即t甲>t乙,根据x=vxt,乙球在水平方向的位移小于甲球在水平方向的位移,而甲、乙两球的位移s=, 由于h甲>h乙,x甲>x乙,因此可知s甲>s乙,
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即乙球的位移小于甲球的位移,故A、B错误;落在斜坡上时竖直方向的分速度vy=gt,小球落在斜坡上时的速度v=,由于甲球下落时间大于乙球下落时间,可知乙球落在斜坡上的速度小于甲球落在斜坡上的速度,故C错误;设小球落在斜坡上时速度方向与竖直方向的夹角为θ,则小球落在斜坡上时速度与竖直方向夹角的正切值tan θ=,由于vy甲>vy乙,因此tan θ甲2
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4.如图所示,窗子上、下沿间的高度H=1.6 m,墙的厚度d=0.4 m。某人在离墙壁距离L=1.4 m、距窗子上沿高h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出,小物体直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,则v的取值范围是 ( )
A.v>7 m/s
B.v>2.3 m/s
C.3 m/sD.2.3 m/s2
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解析:小物体做平抛运动,恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大,此时有L=vmaxt,h=gt2,解得vmax=7 m/s;小物体恰好擦着窗子下沿左侧穿过时速度v最小,则有L+d=vmint',H+h=gt'2,解得vmin=3 m/s;故v的取值范围是3 m/s
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5.(2024·四川泸州高一期末)如图所示,足够宽的光滑斜面与水平面的夹角为θ。小球从O点以水平速度v0抛出,落地点为P。保持OO'的距离不变,逐渐增大夹角θ,将小球仍然从O点以相同水平速度v0抛出。不计一切阻力,增大θ的过程中,小球落地点与P点的关系正确的是( )
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A.落地点在P点左侧,且落地点离P点的距离在变大
B.落地点在P点左侧,且落地点离P点的距离在变小
C.落地点在P点右侧,且落地点离P点的距离在变大
D.落地点在P点右侧,且落地点离P点的距离在变小
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解析:小球在光滑斜面上做类平抛运动,小球的运动可以分解为沿初速度方向和沿斜面方向,沿初速度方向有x=v0t,沿斜面方向有y=at2,a=gsin θ,倾角θ变大,小球下滑的加速度变大,下滑时间变短,所以沿初速度方向的位移变小,落地点会在P点的右侧,且落地点离P点的距离在变大,A、B、D错误,C正确。
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6.(多选)如图所示,乒乓球桌中间球网上沿高出桌面H,网到桌边的距离为L。某人在乒乓球训练中,从左侧离桌边处将乒乓球沿垂直于网的方向水平击出,乒乓球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘。设乒乓球的运动为平抛运动,则乒乓球( )
A.在水平方向做匀加速直线运动
B.在竖直方向做匀变速运动
C.在网的右侧运动的时间是左侧的2倍
D.击球点的高度是网高的2倍
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解析:乒乓球的运动为平抛运动,在水平方向做匀速直线运动,竖直方向做自由落体运动,故A错误,B正确;乒乓球在网的左侧运动的时间为t1=,乒乓球在网的右侧运动的时间为t2==2t1,可知乒乓球在网的右侧运动的时间是左侧的2倍,故C正确;设击球点的高度为h,则有h-H=g,h=gt2,又t=t1+t2,联立解得h=H,故D错误。
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7.(2024·江西南昌高一期末)(多选)如图所示,在倾角为θ=30°的足够大的光滑斜面上,将小球a、b同时沿水平方向以相同的速率相对抛出。已知初始时a、b在同一水平面上(距斜面底端足够高),不计空气阻力,下列说法正确的是 ( )
A.抛出后的一段时间内,a的运动轨迹是直线
B.抛出后的一段时间内,b的运动轨迹是抛物线
C.无论速率为多少,a、b一定能相遇
D.无论速率为多少,a、b不可能相遇
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解析:由于小球a、b在斜面上均受到沿着斜面向下的重力的分力,未相遇前,小球a、b在斜面上做类平抛运动,运动轨迹为抛物线,A错误,B正确;由于两小球沿平行斜面向下的加速度相同,运动情形相同,故两小球无论速率为多少总能相遇,C正确,D错误。
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8.一战士正在训练投弹,他从斜坡上某处将手榴弹以大小为v0的速度水平抛出,手榴弹落回斜坡上,如图所示。不计空气阻力。若从手榴弹刚被抛出时开始计时,手榴弹在t时刻落在斜坡上,则下列关系式正确的是 ( )
A.t∝ B.t∝v0
C.t∝ D.t∝
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解析:设斜坡的倾角为θ,则有tan θ=,解得t=v0,故t与v0成正比,即t∝v0,B正确。
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9.(2024·北京西城高一期中)如图,在一个足够长的斜面上,有很多个台阶,每一个台阶高均为15 cm,宽均为20 cm,从上到下将台阶标记为第1、第2、第3……号台阶。现在从第1号台阶末端沿水平方向抛出一个小球,抛出的初速度为5 m/s,小球在空中运动的轨迹平面与过抛出点的台阶纵切面在同一个竖直平面内,不计空气阻力,小球第一次将落在第n号台阶上。则n= ( )
A.17 B.18 C.19 D.20
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解析:如图作一条连接各台阶端点的直线,只要小球越过该直线,则小球落到台阶上。小球在空中做平抛运动,设小球落到斜线上的时间为t,则水平方向有x=v0t,竖直方向有y=gt2,且==,联立解得t=0.75 s,则小球运动的水平距离x=5×0.75 m=3.75 m,则小球飞过的台阶数n'==18.75,由于小球是从第1号台阶末端抛出,可知小球抛出后首先落到的台阶为第20号台阶。故选D。
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10.(2024·安徽安庆高一期中)现代技术条件下的无人机被广泛使用。一小型无人机携带炸弹,保持海拔高度h不变以某一速度匀速水平飞行(如图甲所示),无人机在B点时无动力投弹,炸弹正好垂直击中前方海拔高度为b的阵地A(如图乙所示)。已知阵地所在山坡倾角为θ,重力加速度为g。不计空气阻力,下列计算错误的是 ( )
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A.无人机的飞行速度为tan θ
B.炸弹的飞行时间为
C.炸弹击中阵地时的速度为
D.投弹点B距阵地A的直线距离为a=
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解析:根据题意可知,炸弹做平抛运动,竖直方向上有h-b=gt2,解得炸弹的飞行时间为t=,故B正确;竖直方向上有vy=gt,可得炸弹击中阵地时的竖直分速度为vy=,由几何关系可得v0=vytan θ=tan θ,
炸弹击中阵地时的速度为v==,故A正确,C错误;炸弹水平位移大小为x=v0t=2tan θ,竖直位移的大小为y=h-b,由勾股定理可得投弹点B距阵地A的直线距离为a=,故D正确,该题选计算错误的,故选C。
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11.(12分)排球比赛时,某运动员进行了一次跳发球,若击球点恰在发球处底线上方3.04 m高处,击球后排球以25.0 m/s的速度水平飞出,排球的初速度方向与底线垂直,排球场的有关尺寸如图所示,试计算说明:(不计空气阻力,g取10 m/s2)
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(1)此排球能否过网
答案:排球能过网
解析:设排球下降到网的上端所在高度时所用时间为t1,则Δh=g,x=v0t1,
其中Δh=(3.04-2.24)m=0.8 m
联立解得x=10 m>9 m,故此排球能过网。
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(2)排球是落在对方界内,还是界外
答案:排球落在对方界外
解析:当排球落地时h=g,x'=v0t2
代入数据解得x'≈19.5 m>18 m,故排球落在对方界外。
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12.(18分)中国选手在北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台比赛中以绝对优势夺得金牌。现将某段比赛过程简化成如图可视为质点小球的运动,小球从倾角为α=30°的斜面顶端O点以v0飞出,已知v0=20 m/s,且与斜面夹角为θ=60°。图中虚线为小球在空中的运动轨迹,且A为轨迹上离斜面最远的点,B为小球在斜面上的落点,C是过A作竖直线与斜面的交点,不计空气阻力,重力加速度取g=10 m/s2。求:
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(1)小球从O运动到A点所用时间t;
答案:2 s
解析:垂直斜面方向v1=v0sin θ,a1=gcos α,t=,
解得t=2 s。
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(2)小球离斜面最远的距离L;
答案:10 m
解析:垂直斜面方向v1匀减速至0时有L=
代入数据得L=10 m。
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(3)O、C两点间距离x。
答案:40 m
解析:解法1:由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等,平行斜面方向a2=gsin α,xOB=v2·2t+a2(2t)2。
小球在水平方向做匀速直线运动,C为OB中点,则x=xOB,代入数据解得x=40 m。
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解法2:小球在水平方向做匀速直线运动
xOA=v0cos(θ-α)t
由几何关系可得x=,解得x=40 m。
2
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4课时跟踪检测(五) 抛体运动的综合问题
(选择题1～10小题，每小题5分。本检测卷满分80分)
1.跳台滑雪是冬奥会的传统项目，其运动过程可以简化成如图所示模型。跳台斜坡AC与水平面的夹角θ＝30°，滑雪运动员从斜坡的起点A以v0＝5 m/s的初速度水平飞出，最后落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则运动员从A点运动至B点的时间为( )
A．1 s B．1.5 s
C．2 s D．3 s
2.(2024·济南高一检测)如图所示，直角坐标系xOy的x轴水平向右、y轴竖直向下，一挡板的曲线形状满足方程y＝4－1.25x2，现从坐标原点以速率v0＝1 m/s竖直向上抛出小球甲，经过时间t1返回到坐标原点，再从坐标原点以速率v0＝1 m/s水平向右抛出小球乙，经过一段时间t2落到挡板上，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则t1∶t2为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶6
3．(2024年1月·贵州高考适应性演练)无人机在一斜坡上方沿水平方向向右做匀速直线运动，飞行过程中先后释放甲、乙两个小球，两小球释放的初始位置如图所示。已知两小球均落在斜坡上，不计空气阻力，比较两小球分别从释放到落在斜坡上的过程，下列说法正确的是( )
A．乙球的位移大
B．乙球下落的时间长
C．乙球落在斜坡上的速度大
D．乙球落在斜坡上的速度与竖直方向的夹角大
4.如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m。某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是( )
A．v>7 m/s B．v>2.3 m/s
C．3 m/s5.(2024·四川泸州高一期末)如图所示，足够宽的光滑斜面与水平面的夹角为θ。小球从O点以水平速度v0抛出，落地点为P。保持OO′的距离不变，逐渐增大夹角θ，将小球仍然从O点以相同水平速度v0抛出。不计一切阻力，增大θ的过程中，小球落地点与P点的关系正确的是( )
A．落地点在P点左侧，且落地点离P点的距离在变大
B．落地点在P点左侧，且落地点离P点的距离在变小
C．落地点在P点右侧，且落地点离P点的距离在变大
D．落地点在P点右侧，且落地点离P点的距离在变小
6．(多选)如图所示，乒乓球桌中间球网上沿高出桌面H，网到桌边的距离为L。某人在乒乓球训练中，从左侧离桌边处将乒乓球沿垂直于网的方向水平击出，乒乓球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘。设乒乓球的运动为平抛运动，则乒乓球( )
A．在水平方向做匀加速直线运动
B．在竖直方向做匀变速运动
C．在网的右侧运动的时间是左侧的2倍
D．击球点的高度是网高的2倍
7．(2024·江西南昌高一期末)(多选)如图所示，在倾角为θ＝30°的足够大的光滑斜面上，将小球a、b同时沿水平方向以相同的速率相对抛出。已知初始时a、b在同一水平面上(距斜面底端足够高)，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．抛出后的一段时间内，a的运动轨迹是直线
B．抛出后的一段时间内，b的运动轨迹是抛物线
C．无论速率为多少，a、b一定能相遇
D．无论速率为多少，a、b不可能相遇
8.一战士正在训练投弹，他从斜坡上某处将手榴弹以大小为v0的速度水平抛出，手榴弹落回斜坡上，如图所示。不计空气阻力。若从手榴弹刚被抛出时开始计时，手榴弹在t时刻落在斜坡上，则下列关系式正确的是( )
A．t∝ B．t∝v0
C．t∝ D．t∝v02
9．(2024·北京西城高一期中)如图，在一个足够长的斜面上，有很多个台阶，每一个台阶高均为15 cm，宽均为20 cm，从上到下将台阶标记为第1、第2、第3……号台阶。现在从第1号台阶末端沿水平方向抛出一个小球，抛出的初速度为5 m/s，小球在空中运动的轨迹平面与过抛出点的台阶纵切面在同一个竖直平面内，不计空气阻力，小球第一次将落在第n号台阶上。则n＝( )
A．17 B．18
C．19 D．20
10．(2024·安徽安庆高一期中)现代技术条件下的无人机被广泛使用。一小型无人机携带炸弹，保持海拔高度h不变以某一速度匀速水平飞行(如图甲所示)，无人机在B点时无动力投弹，炸弹正好垂直击中前方海拔高度为b的阵地A(如图乙所示)。已知阵地所在山坡倾角为θ，重力加速度为g。不计空气阻力，下列计算错误的是( )
A．无人机的飞行速度为 tan θ
B．炸弹的飞行时间为
C．炸弹击中阵地时的速度为
D．投弹点B距阵地A的直线距离为a＝
11．(12分)排球比赛时，某运动员进行了一次跳发球，若击球点恰在发球处底线上方3.04 m高处，击球后排球以25.0 m/s的速度水平飞出，排球的初速度方向与底线垂直，排球场的有关尺寸如图所示，试计算说明：(不计空气阻力，g取10 m/s2)
(1)此排球能否过网？
(2)排球是落在对方界内，还是界外？
12．(18分)中国选手在北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台比赛中以绝对优势夺得金牌。现将某段比赛过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以v0飞出，已知v0＝20 m/s，且与斜面夹角为θ＝60°。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
(1)小球从O运动到A点所用时间t；
(2)小球离斜面最远的距离L；
(3)O、C两点间距离x。
课时跟踪检测(五)
1．选A 滑雪运动员从斜坡的起点A运动到B点过程，根据平抛运动规律有xABcos θ＝v0t，xABsin θ＝gt2，解得t＝1 s，故选A。
2．选C 由竖直上抛运动的规律可得t1＝＝0.2 s，由平抛运动的规律x＝v0t2，y＝gt，结合y＝4－1.25x2，综合可得t2＝0.8 s，则有t1∶t2＝1∶4，选项C正确，A、B、D错误。
3．选D 根据题意可知，甲、乙两球均做平抛运动，但由于甲球先释放，乙球后释放，且两球均落在斜坡上，则可知乙球在斜坡上的落点比甲球在斜坡上的落点高，而平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，在水平方向的分运动为匀速直线运动，由于乙球的落点高，则乙球在竖直方向的位移小，根据h＝gt2，可得t＝，由此可知乙球下落的时间小于甲球下落的时间，即t甲>t乙，根据x＝vxt，乙球在水平方向的位移小于甲球在水平方向的位移，而甲、乙两球的位移s＝，由于h甲>h乙，x甲>x乙，因此可知s甲>s乙，即乙球的位移小于甲球的位移，故A、B错误；落在斜坡上时竖直方向的分速度vy＝gt，小球落在斜坡上时的速度v＝，由于甲球下落时间大于乙球下落时间，可知乙球落在斜坡上的速度小于甲球落在斜坡上的速度，故C错误；设小球落在斜坡上时速度方向与竖直方向的夹角为θ，则小球落在斜坡上时速度与竖直方向夹角的正切值tan θ＝，由于vy甲>vy乙，因此tan θ甲4．选C 小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L＝vmaxt，h＝gt2，解得vmax＝7 m/s；小物体恰好擦着窗子下沿左侧穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint′，H＋h＝gt′2，解得vmin＝3 m/s；故v的取值范围是3 m/s5．选C 小球在光滑斜面上做类平抛运动，小球的运动可以分解为沿初速度方向和沿斜面方向，沿初速度方向有x＝v0t，沿斜面方向有y＝at2，a＝gsin θ，倾角θ变大，小球下滑的加速度变大，下滑时间变短，所以沿初速度方向的位移变小，落地点会在P点的右侧，且落地点离P点的距离在变大，A、B、D错误，C正确。
6．选BC 乒乓球的运动为平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，故A错误，B正确；乒乓球在网的左侧运动的时间为t1＝，乒乓球在网的右侧运动的时间为t2＝＝2t1，可知乒乓球在网的右侧运动的时间是左侧的2倍，故C正确；设击球点的高度为h，则有h－H＝gt，h＝gt2，又t＝t1＋t2，联立解得h＝H，故D错误。
7．选BC 由于小球a、b在斜面上均受到沿着斜面向下的重力的分力，未相遇前，小球a、b在斜面上做类平抛运动，运动轨迹为抛物线，A错误，B正确；由于两小球沿平行斜面向下的加速度相同，运动情形相同，故两小球无论速率为多少总能相遇，C正确，D错误。
8．选B 设斜坡的倾角为θ，则有tan θ＝，解得t＝v0，故t与v0成正比，即t∝v0，B正确。
9．选D 如图作一条连接各台阶端点的直线，只要小球越过该直线，则小球落到台阶上。小球在空中做平抛运动，设小球落到斜线上的时间为t，则水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2，且＝＝，联立解得t＝0.75 s，则小球运动的水平距离x＝5×0.75 m＝3.75 m，则小球飞过的台阶数n′＝＝18.75，由于小球是从第1号台阶末端抛出，可知小球抛出后首先落到的台阶为第20号台阶。故选D。
10．选C 根据题意可知，炸弹做平抛运动，竖直方向上有h－b＝gt2，解得炸弹的飞行时间为t＝，故B正确；竖直方向上有vy＝gt，可得炸弹击中阵地时的竖直分速度为vy＝，由几何关系可得v0＝vytan θ＝tan θ，炸弹击中阵地时的速度为v＝＝，故A正确，C错误；炸弹水平位移大小为x＝v0t＝2tan θ，竖直位移的大小为y＝h－b，由勾股定理可得投弹点B距阵地A的直线距离为a＝，故D正确，该题选计算错误的，故选C。
11．解析：(1)设排球下降到网的上端所在高度时所用时间为t1，则Δh＝gt，x＝v0t1，
其中Δh＝(3.04－2.24)m＝0.8 m
联立解得x＝10 m＞9 m，故此排球能过网。
(2)当排球落地时h＝gt，x′＝v0t2
代入数据解得x′≈19.5 m＞18 m，故排球落在对方界外。
答案：(1)排球能过网 (2)排球落在对方界外
12．解析：(1)垂直斜面方向v1＝v0sin θ，a1＝gcos α，t＝，解得t＝2 s。
(2)垂直斜面方向v1匀减速至0时有L＝
代入数据得L＝10 m。
(3)解法1：由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等，平行斜面方向a2＝gsin α，xOB＝v2·2t＋a2(2t)2。
小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则x＝xOB，
代入数据解得x＝40 m。
解法2：小球在水平方向做匀速直线运动xOA＝v0cos(θ－α)t
由几何关系可得x＝，解得x＝40 m。
答案：(1)2 s (2)10 m (3)40 m
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