2024-2025学年广东省潮州市湘桥区八年级（下）期末数学试卷（学生版+详解版）

2024-2025学年广东省潮州市湘桥区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣5 B．x≥﹣5 C．x≤﹣5 D．x≠﹣5
2．（3分）12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班9位学生的成绩如下（单位：分）：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这9位学生竞赛成绩的众数是（　　）
A．4分 B．7分 C．9分 D．10分
3．（3分）下列四组数为一个三角形的三边长，其中不能作为直角三角形三条边的是（　　）
A．6，8，10 B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，2，3
4．（3分）如图，平行四边形ABCD中，已知AB＝6，则CD的值是（　　）
A．8 B．12 C．6 D．4
5．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．﹣a+b B．a﹣b C．﹣b D．b
6．（3分）已知直角三角形的两条直角边长分别为1和2，则斜边长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．（3分）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为30m
C．乙无人机上升的速度为6m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
8．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
9．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边的中点，连接CE，点F是CE的中点，连接BF并延长，交CD边于点G，点H在AD边上，已知AB＝6，AH＝1，则GH的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）计算的结果是 　 　 ．
12．（3分）小明参加某公司招聘考试，他的笔试成绩是80分，面试成绩是70分，其中笔试成绩占综合成绩的60%，面试成绩占综合成绩的40%，则小明的综合成绩为 　 　 ．
13．（3分）如图，直线l1：y＝﹣3x+b与直线l2：y＝kx﹣2在同一平面直角坐标系中相交于点A（2，1），则不等式﹣3x+b≥kx﹣2的解集是　 　 ．
14．（3分）如图，四边形AOBC是菱形，点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为 　 　 ．
15．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝6，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 　 　 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分．
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（6分）已知数a，b，c满足，请求2a﹣b+c的值．
18．（7分）本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：
小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：
根据图表，解答问题：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 7.5 7 7 2.8
八年级 a 8 b 2.35
（1）填空：表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）你认为 　 　 年级的成绩更加稳定，理由是 　 　 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）小明以如图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度y（cm）与纸杯的个数x（个）之间是一次函数关系，有关数据如表．
纸杯个数x（个） 1 2 3 4 …
纸杯高度y（cm） 9 9.5 10 10.5 …
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）小明把杯子叠成如图1的一摞，放入高42.3cm的柜子里（如图2）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？
20．（9分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，∠ABE＝120°，求DE的长．
21．（9分）综合与实践
某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表．
课题 测量游乐园秋千
成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红
工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器
测量示意图 如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，OM垂直于地面，点A为秋千静止时在OM上的位置．过平台B、C分别作OM的垂线段BD、CE，即BD⊥OM于点D，CE⊥OM于点E．
测量数据 测量项目 测量大小
点B距地面高度 1m
BD的长度 1.8m
CE的长度 2.4m
∠BOC的大小 90°
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千OB的长度．
（2）请求出秋千离地面的最小距离．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（13分）如图1，直线yx+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线yx+6相交于点E（﹣2，n）．
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S△PDE，求点P的坐标；
（3）如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
23．（14分）请你对以下正方形进行探究．
如图，BD为正方形ABCD的一条对角线，点E为BD上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为DE中点，过点E作EF⊥BC交BC边于点F，延长FE交AD于点H．
（1）问题探究：如图①，连接HG，请写出HG与DE的位置关系和数量关系，并说明你的理由；
（2）问题解决：如图②，连接AG，FG，求证：∠AGH＝∠FGE；
（3）拓展延伸：如图③，连接AG并延长交CD于点M、连接FM，AM交HF于点N，探究线段DM，FM，BF之间的数量关系，并说明理由．
2024-2025学年广东省潮州市湘桥区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C A D B D C C
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣5 B．x≥﹣5 C．x≤﹣5 D．x≠﹣5
【解答】解：由题意得，x+5≥0，
解得x≥﹣5．
故选：B．
2．（3分）12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班9位学生的成绩如下（单位：分）：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这9位学生竞赛成绩的众数是（　　）
A．4分 B．7分 C．9分 D．10分
【解答】解：7、9、7、9、7、9、10、8、9，
∵9出现的次数最多，
∴这9位学生竞赛成绩的众数是9（分）．
故选：C．
3．（3分）下列四组数为一个三角形的三边长，其中不能作为直角三角形三条边的是（　　）
A．6，8，10 B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，2，3
【解答】解：∵62+82＝102；32+42＝52；52+122＝142；12+22≠32，
∴选项A、B、C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
4．（3分）如图，平行四边形ABCD中，已知AB＝6，则CD的值是（　　）
A．8 B．12 C．6 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝6．
故选：C．
5．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．﹣a+b B．a﹣b C．﹣b D．b
故原式＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b．
故选：A．
6．（3分）已知直角三角形的两条直角边长分别为1和2，则斜边长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：根据勾股定理可以得出：斜边长．
故选：D．
7．（3分）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为30m
C．乙无人机上升的速度为6m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【解答】解：由图象可得，
A．5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了40﹣30＝10（m），故错误；
B．10s时，两架无人机的高度差为：（8×10）﹣（30+2×10）＝30（m），故正确；
C．甲无人机的速度为：40÷5＝8（m/s），乙无人机的速度为：（40﹣30）÷5＝2（m/s），故错误；
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10＝80（m），故错误；
故选：B．
8．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【解答】解：∵由图象得y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴b＜0，
故选：D．
9．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝4，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边的中点，连接CE，点F是CE的中点，连接BF并延长，交CD边于点G，点H在AD边上，已知AB＝6，AH＝1，则GH的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝6，∠D＝∠ABC＝90°，CD∥AB，
∴∠GCF＝∠BEF，
∵F是CE的中点，
∴EF＝FC，
在△GCF与△EBF中，
，
∴△GCF≌△EBF（ASA），
∴GC＝BEAB＝6，
∴DG＝DC﹣GC＝6﹣3＝3，
∵AH＝1，
∴DH＝AD﹣AH＝6﹣1＝5，
∴GH，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）计算的结果是 　2　 ．
【解答】解：
＝2．
故答案为：2．
12．（3分）小明参加某公司招聘考试，他的笔试成绩是80分，面试成绩是70分，其中笔试成绩占综合成绩的60%，面试成绩占综合成绩的40%，则小明的综合成绩为 　76分　 ．
【解答】解：设小明的综合成绩为x分，
由题意得：x＝80×60%+70×40%，
解得：x＝76，
故答案为：76分．
13．（3分）如图，直线l1：y＝﹣3x+b与直线l2：y＝kx﹣2在同一平面直角坐标系中相交于点A（2，1），则不等式﹣3x+b≥kx﹣2的解集是　x≤2　 ．
【解答】解：由题意得．不等式﹣3x+b≥kx﹣2的解集为函数y＝﹣3x+b的图象在函数y＝kx﹣2的图象上方时对应的自变量的取值范围．
又∵直线l1：y＝﹣3x+b与直线l2：y＝kx﹣2在同一平面直角坐标系中相交于点A（2，1），
∴结合图象可得，x≤2．
故答案为：x≤2．
14．（3分）如图，四边形AOBC是菱形，点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为 　（5，0）　 ．
【解答】解：∵点A的坐标是（3，4），
∴AO5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝AO＝5，
∴点B的坐标为（5，0），
故答案为：（5，0）．
15．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝6，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 　1　 ．
【解答】解：因为小正方形的面积为，
所以小正方形边长为1，
故答案为：1．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分．
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
＝5﹣2
＝3；
（2）原式
．
17．（6分）已知数a，b，c满足，请求2a﹣b+c的值．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，c﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝1，
∴2a﹣b+c＝2×3﹣（﹣2）+1＝9．
18．（7分）本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：
小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：
根据图表，解答问题：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 7.5 7 7 2.8
八年级 a 8 b 2.35
（1）填空：表中的a＝　7.5　 ，b＝　7.5　 ；
（2）你认为 　八　 年级的成绩更加稳定，理由是 　八年级成绩的方差小于七年级　 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【解答】解：（1）由表可知，八年级成绩的平均数a7.5，
所以其平均数a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b7.5，
故答案为：7.5、7.5；
（2）八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级；
（3）估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是12001080（人）．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）小明以如图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度y（cm）与纸杯的个数x（个）之间是一次函数关系，有关数据如表．
纸杯个数x（个） 1 2 3 4 …
纸杯高度y（cm） 9 9.5 10 10.5 …
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）小明把杯子叠成如图1的一摞，放入高42.3cm的柜子里（如图2）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将x＝1，y＝9和x＝2，y＝9.5分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为y＝0.5x+8.5．
（2）根据题意，得0.5x+8.5≤42.3，
解得x≤67.6，
∵x为非负整数，
∴一摞最多能叠67个杯子，可以竖着一次性放进柜子里．
20．（9分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，∠ABE＝120°，求DE的长．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，
理由：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴AO＝CO，
∵AD∥BE，
∴∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BO平分∠ABC，∠ABE＝120°，
∴∠DBC∠ABE＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB＝4，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝4，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠DBC＝30°，
∴BE＝2BD＝8，
∴DE4，
∴DE的长为4．
21．（9分）综合与实践
某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表．
课题 测量游乐园秋千
成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红
工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器
测量示意图 如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，OM垂直于地面，点A为秋千静止时在OM上的位置．过平台B、C分别作OM的垂线段BD、CE，即BD⊥OM于点D，CE⊥OM于点E．
测量数据 测量项目 测量大小
点B距地面高度 1m
BD的长度 1.8m
CE的长度 2.4m
∠BOC的大小 90°
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千OB的长度．
（2）请求出秋千离地面的最小距离．
【解答】解：（1）∵BD⊥OM于点D，CE⊥OM于点E，
∴∠CEO＝∠BDO＝90°，
∴OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD＝2.4m，
在Rt△OBD中，OB3（m）；
（2）由题意知，DM＝1m，OA＝OB＝3m，
∴AM＝OD+DM﹣OA
＝2.4+1﹣3
＝0.4（m），
答：秋千离地面的最小距离为0.4m．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（13分）如图1，直线yx+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线yx+6相交于点E（﹣2，n）．
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S△PDE，求点P的坐标；
（3）如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
【解答】解：（1）把点E（﹣2，n）代入yx+6得n（﹣2）+6＝3，
∴E（﹣2，3），
把E（﹣2，3）代入y＝﹣x+m得3＝2+m，
∴m＝1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1；
（2）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1，
∴D（1，0），
在yx+6中，令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
设P（a，a+6），
∵S△PDE，
∴S△PDE＝S△ADP﹣S△ADEAD Pyy5×（a+6）5×3，或S△PDE＝S△ADE﹣S△ADPy﹣AD Py5×35×（a+6），
解得a或a，
∴P（，4）或（，2）；
（3）在yx+6中，令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
设Q（b，b+6），
过Q作QE⊥x轴于E，
∵△BHQ是等腰直角三角形，∠BHQ＝90°，
∴HQ＝BH，
∵∠QEH＝∠BHQ＝∠BOH＝90°，
∴∠HBO+∠BHO＝∠BHO+∠QHE＝90°，
∴∠HBO＝∠QHE，
∴△BHO≌△HQE（AAS），
∴EQ＝OHb﹣6，HE＝OB＝6，
∴﹣b+（b﹣6）＝6，
解得b，
∴Q点的坐标为（，）．
23．（14分）请你对以下正方形进行探究．
如图，BD为正方形ABCD的一条对角线，点E为BD上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为DE中点，过点E作EF⊥BC交BC边于点F，延长FE交AD于点H．
（1）问题探究：如图①，连接HG，请写出HG与DE的位置关系和数量关系，并说明你的理由；
（2）问题解决：如图②，连接AG，FG，求证：∠AGH＝∠FGE；
（3）拓展延伸：如图③，连接AG并延长交CD于点M、连接FM，AM交HF于点N，探究线段DM，FM，BF之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）解：HG⊥DE，；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°，∠A＝∠ABF＝90°，
∵EF⊥BC，
∴四边形ABFH为矩形，
∴FH⊥AD，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∵点G为DE中点，
∴HG⊥DE，；
（2）证明：在正方形ABCD和矩形ABFH中，
∴∠DBC＝45°，∠BFE＝∠AHF＝90°，AH＝BF，
∴∠FEB＝45°＝∠BEF，
∴∠FEG＝135°，EF＝BF＝AH，
∵HG⊥DE，，
∴∠EHG＝45°，
∴∠AHG＝∠AHF+∠EHG＝135°，
∴∠AHG＝∠FEG，
又∵AH＝EF，HG＝EG，
∴△AHG≌△FEG（SSS），
∴∠AGH＝∠FGE；
（3）解：DM+BF＝FM，理由如下：连接HG，FG，
∵△HEG为等腰直角三角形，
∴∠HED＝∠HDE＝45°＝∠BDC，
∵G为ED的中点，
∴EG＝DG，
∵∠NGE＝∠MGD，
∴△NGE≌△MGD（ASA），
∴NG＝MG，NE＝DM，
∵∠HGA＝∠EGF，
∴∠HGA+∠NGE＝∠EGF+∠NGE，
即：∠FGN＝∠HGE＝90°，
∴FG⊥MN，
∵NG＝MG，
∴FG垂直平分MN，
∴FN＝MF，
∵FN＝EF+NE，
由（2）知：BF＝EF，
∴DM+BF＝FM．