湖北省黄冈市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷（含答案）

黄冈市2025年春季高一年级期末质量监测
数学
全卷满分：150分，用时1202分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法正确的（ ）
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 圆锥的轴截面都是等腰三角形
D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
2. 如图所示为水平位置的正方形，在平面直角坐标系中，点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（ ）
A. 1 B. 9 C. D.
4. 已知100个数据的上四分位数是93，则下列说法正确的是（ ）
A. 将这100个数据从小到大排列后，第25个数据是93
B. 将这100个数据从小到大排列后，第75个数据是93
C. 将这100个数据从小到大排列后，第25个数据和第26个数据的平均数是93
D. 将这100个数据从小到大排列后，第75个数据和第76个数据的平均数是93
5. 已知为异面直线，平面，平面.直线满足，则（ ）
A.，且 B. ，且
C. 与相交，且交线垂直于 D. 与相交，且交线平行于
6. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正四棱台，，其侧面积为，则该棱台的体积为（ ）
A. 18 B. 27 C. D.
8. 已知，在函数与图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若，则
D.
10. 关于平面向量，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则存在，使得
B. 向量与不共线，则与都是非零向量
C. 若，则
D. 若向量与同向，且，则
11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正主形的中心，分别为侧棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.平面
B.
C. 直线与直线所成角的大小为90°
D. 设平面底面，则二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________.
13. 在中，角的对边分别为，已知，的周长为7，则边长为______________.
14. 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（本小题满分15分）
如图，在平面四边形中，已知，，，若.
（1）当时，求的值；
（2）求取得最小值时的值.
17.（本小题满分15分）
在中，角对应的边分别为，已知，.
（1）求角和边；
（2）若，求.
18.（本小题满分17分）
已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为.
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数，方差为180，女生600人，体重平均数为，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差.
19. （本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，.
（1）证明：三棱柱是直三棱柱；
（2）若，求平面截三棱柱所得截面的面积；
（3）是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C B D D A C D AC AB ABD
三、填空题
12. 3 13. 3 14.
8. 解析：由题根据三角函数图象与性质可得距离最短的交点坐标可以为，
，∴.
11. 解析：选ABD.连接（图略），易得，因为平面，，所以平面，故A正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以，又，所以，故正确.由于分别为侧棱的中点，所以.又四边形为正方形，所以，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即.又为等边三角形，所以，故C错误.平面平面，二面角与二面角相等，易得二面角的余弦值为，故D正确.
14. 解析：易得当面时体积最大，即，从而.
四、解答题
15.【解析】
（1）依题意，，则；
（2）
16.【解析】（1）依题意为线段的中点，则
，，
从而
又因为，则有，
从而.
（2）因为，则有，
，，
从而
，
当且仅当时，最小.
17.【解析】（1）依题意，由知：，从而
，代入化简得：
，由余弦定理可知：
从而.
（2），则有，由知，为锐角，则，
由，，知，
从而有.
18.证明：（1）.
（2）
由可得
同理
∴
（3）由（1）可知，，即该校所有学生体重的平均数为，
由（2）可知
19. 【解析】（1）在上任取一点，过作交于，
在上任取一点，过作交于，
由平面平面可知，平面，
同理有平面，从而有，则平面，又因为平面平面，从而有，即平面，
从而三棱柱是直三棱柱.
（2）
当是地，连延长交直线于，易得为线段上靠近的一个三等分点，过作交于点，连，易证面从而截面为直角梯形，易得，从而直角梯形的面积为.
（3）
延长交于点，过作于，从而有平面连，则
即为与平面所成的角，由，，可知，，
若直线与平面所成角的正切值为，即，从而，即，，从而易得，即点为上靠近的一个三等分点，.