初中数学北师大版（2024）七年级上册1.2 从立体图形到平面图形 教学设计

2 从立体图形到平面图形
教材分析
本节课“从立体图形到平面图形”通过展开与折叠、截面观察以及三视图识别等活动，引导学生探索立体图形与平面图形之间的关系，帮助学生发展空间观念和几何直观。教学过程以动手操作、观察思考和合作交流为主线，逐步引导学生理解展开图、截面和视图的概念。本节内容承接小学阶段对简单立体图形的认识，为后续初中几何中三视图、几何体的表面积与体积计算等内容奠定基础。通过本节课的学习，学生不仅能够提升空间想象能力和逻辑推理能力，还能增强动手实践与合作学习的意识，为今后学习投影与视图、几何体的组合与分解等知识提供重要支撑。
学情分析
七年级学生已初步认识常见的立体图形及其基本特征，小学阶段已接触正方体表面展开图的简单形式，具备一定的空间观念和动手操作能力，但对立体图形与平面图形之间的转化关系理解尚不深入，本节课内容从立体图形到平面图形，涉及展开、折叠、截面及三视图等知识，要求学生具备一定的空间想象能力和几何直观，学生在操作活动中容易激发兴趣，但也可能因空间抽象性较强而产生困惑，教师应通过动手操作、实物演示和小组交流等方式引导学生逐步建立空间观念，帮助学生积累从具体到抽象的数学活动经验，提升几何思维水平。
教学目标
了解立体图形与平面展开图之间的关系，掌握正方体、棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠规律，提升空间观念和几何直观核心素养，发展逻辑推理与图形识别能力。
通过截几何体的操作与观察，理解截面的概念与形状变化，培养动手实践能力和观察分析能力，增强对几何体结构的理解与抽象思维能力。
掌握从不同方向观察几何体所得到的平面图形，能根据三视图还原几何体，提升空间想象与作图能力，发展数学建模意识与交流协作能力。
重点难点
重点：
掌握常见立体图形的展开与折叠，理解截面形状及从不同方向看几何体的形状图。
难点：
判断展开图能否围成立体图形，确定截面形状及根据不同视图搭建几何体。
课堂导入
同学们，在生活中我们经常会接触到各种包装盒，像正方体形状的礼品盒。大家有没有想过，如果把这些立体的包装盒沿着棱剪开铺平，会得到什么样的平面图形呢？现在，假设我们要设计一个正方体形状的包装盒，在制作之前，是不是得先知道它展开后的平面形状，这样才能准确裁剪材料。今天，就让我们从这个实际需求出发，一起探究从立体图形到平面图形的转换，看看正方体表面沿棱剪开能得到哪些展开图，以及其他立体图形展开与折叠的奥秘，同时还会了解用平面去截几何体得到的截面形状，还有从不同方向观察几何体看到的形状图等知识。
从立体图形到平面图形
探究新知
（一）知识精讲
首先，我们来探究正方体的展开图。将一个正方体的表面沿某些棱剪开，可以得到多种不同的平面展开图。观察图1-9中的展开图，可以发现它们都是由6个正方形组成的，但排列方式各不相同。这些展开图经过折叠后都能还原成一个完整的正方体。
接下来我们研究棱柱的展开图。如图1-12所示，将棱柱沿某些棱剪开，可以得到由两个多边形底面和若干个矩形侧面组成的展开图。这些展开图同样可以通过折叠还原成原来的棱柱形状。
对于圆柱和圆锥的侧面展开图，如图1-15所示，圆柱的侧面展开后是一个长方形，圆锥的侧面展开后是一个扇形。这些展开图可以帮助我们更好地理解立体图形的表面特征。
在几何体的截面研究中，如图1-18所示，用一个平面去截正方体，可以得到不同形状的截面。通过实际操作可以发现，正方体的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们用平面去截一个正方体，为什么不能得到七边形或更多边的截面呢？请结合正方体的结构特点思考。
学生思考后回答：因为正方体只有6个面，一个平面最多只能与6个面相交，所以截面最多只能是六边形。
教师追问：很好！那如果我们要得到一个正六边形的截面，应该怎样截取呢？
学生讨论后回答：应该让截面与正方体的6个面都相交，并且与每条棱的交点到顶点的距离相等。
（三）设计意图
通过观察和操作立体图形的展开与折叠过程，培养学生的空间想象能力和几何直观素养。引导学生从具体操作中归纳几何规律，体会数学的严谨性和逻辑性。通过师生互动中的问题链设计，帮助学生深入理解几何体的截面性质，发展学生的空间观念和推理能力。让学生在动手实践中感受数学的乐趣，培养探究精神和合作意识。
新知应用
例1
图1-10中的图形经过折叠能否围成一个正方体？你是如何判断的？
解答：
我们来逐个分析图1-10中每个图形是否能折叠成一个正方体。
图①：
这是一个“一”字型展开图，由6个正方形组成，排列成一行。这种展开图不符合正方体展开图的结构特征，因为正方体不可能有6个面连续排成一条直线的情况。因此不能折叠成正方体。
图②：
这是一个“T”字型展开图，中间一列有4个正方形，上方和下方各有一个正方形。这种结构在折叠时无法使所有面都正确闭合形成正方体，会出现重叠或空缺。因此不能折叠成正方体。
图③：
这是一个“L”型展开图，由5个正方形组成，缺少一个面。显然，正方体需要6个面，所以这个图形不能折叠成正方体。
图④：
这是一个“田”字型展开图，由4个正方形围成一个正方形，上下各加一个正方形。这种结构是正方体的一种标准展开图（称为“十字形”），可以折叠成正方体。因此可以折叠成正方体。
总结
1.题目考查内容
① 正方体展开图的基本结构特征
② 图形的空间想象与折叠能力
2.题目求解要点
① 熟悉常见的正方体展开图类型（如“一”字型、“L”型、“T”型、“十字型”等）
② 判断展开图是否满足正方体6个面且不重叠、不缺失的条件
③ 利用空间想象或实际折叠验证图形是否可构成正方体
例2
图1-11中的图形经过折叠可以围成一个正方体形的盒子。折好以后，与"1"面相邻的面是什么？相对的面是什么？
解答：
图1-11是一个正方体的标准展开图，我们可以根据展开图的结构来判断各个面之间的关系。
设数字“1”所在的面为底面，那么：
“2”和“4”分别位于“1”的左右两侧，因此它们与“1”相邻；
“3”位于“1”的上方，也与“1”相邻；
“5”位于“1”的下方，也与“1”相邻；
剩下的“6”则位于“1”的对面，即与“1”相对。
因此：
与“1”面相邻的面是：“2”、“3”、“4”、“5”
与“1”面相对的面是：“6”
总结
1.题目考查内容
① 正方体展开图中各面之间的位置关系
② 空间想象能力与逻辑推理能力
2.题目求解要点
① 根据展开图确定底面，再依次判断其他面的位置
② 掌握正方体展开图中相邻面与对面的判断方法
③ 可借助实物模型或画图辅助理解
例3
如图1-13所示，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折。
解答：
我们逐一分析图1-13中的图形是否能折叠成一个棱柱。
图①：
这是一个矩形带两个三角形的展开图，符合三棱柱的展开图结构（两个三角形作为底面，三个矩形作为侧面）。因此可以折叠成一个三棱柱。
图②：
这是一个由五个矩形组成的展开图，排列方式类似于“一”字型，但缺少两个多边形底面。因此不能折叠成一个棱柱。
图③：
这是一个由六个矩形组成的展开图，排列方式类似“十字型”，但同样没有两个多边形底面。因此不能折叠成一个棱柱。
图④：
这是一个由四个矩形和两个四边形组成的展开图，两个四边形作为底面，四个矩形作为侧面，符合四棱柱的展开图结构。因此可以折叠成一个四棱柱。
总结
1.题目考查内容
① 棱柱的定义及其展开图的结构特征
② 图形的空间想象与折叠能力
2.题目求解要点
① 明确棱柱的定义：有两个全等的多边形底面，其余面为矩形侧面
② 判断展开图是否包含两个底面及对应的侧面
③ 利用折叠实验或空间想象验证图形是否能构成棱柱
例4
如图1-18，用一个平面去截一个正方体，截面是什么形状？
(1) 截面的形状可能是三角形吗？
(2) 截面的形状还可能是几边形？
解答：
我们来分析用一个平面去截正方体可能得到的截面形状。
(1) 截面是否可能是三角形？
是的。当平面穿过正方体的三个顶点，并且这三个顶点不在同一平面上时，截面就是一个三角形。例如，从正方体的一个顶点出发，穿过与其相连的三个相邻顶点所形成的平面，就会截出一个三角形。
(2) 截面还可能是几边形？
通过不同的截法，截面可以是以下几种形状：
三角形：如上所述
四边形：最常见的是矩形或梯形，当平面平行于某一对面时，截面就是矩形
五边形：当平面斜切过五个面时，可以得到五边形
六边形：当平面斜切过六个面时，可以得到六边形
因此，截面可以是三角形、四边形、五边形或六边形。
总结
1.题目考查内容
① 几何体的截面概念
② 正方体的几何性质与空间切割的理解
2.题目求解要点
① 理解截面是由平面与几何体相交所形成的图形
② 掌握正方体最多可被一个平面截出六边形的结论
③ 能够通过空间想象或实物模型验证不同截法所得的截面形状
例5
一个几何体由几个大小相同的小立方块拼成，从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图1-23所示，请搭出满足条件的几何体。你搭的几何体由几个小立方块构成？
解答：
我们根据图1-23提供的左视图和俯视图来还原几何体。
左视图说明：
从左面看，可以看到两列，第一列高度为2，第二列高度为1。
俯视图说明：
从上面看，可以看到两行两列，共4个位置，其中：
第一行第一列有1个小立方块
第一行第二列有2个小立方块
第二行第一列有1个小立方块
第二行第二列有1个小立方块
结合这两个视图，我们可以搭建出如下几何体：
第一行第一列：1个
第一行第二列：2个（堆叠）
第二行第一列：1个
第二行第二列：1个
总共：1 + 2 + 1 + 1 = 5个小立方块
总结
1.题目考查内容
① 三视图的理解与应用
② 空间想象力与几何体的构建能力
2.题目求解要点
① 从左视图和俯视图中提取每列的高度信息
② 结合视图信息还原三维几何体
③ 计算小立方块总数时注意堆叠情况
新知巩固
第1题：右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（ ）
解答：
观察展开图可知，该图形由一个正方形底面和四个三角形侧面组成。
这符合正四棱锥（即底面为正方形、侧面为等腰三角形的棱锥）的结构特征。
选项分析：
A：圆柱 —— 展开图为矩形和两个圆形，不符合；
B：正四棱锥 —— 符合题意；
C：三棱柱 —— 展开图应有两个三角形和三个矩形，不符合；
D：圆锥 —— 展开图为扇形和一个圆形，不符合。
因此，正确答案为 B。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查学生对常见立体图形（如正四棱锥）与其表面展开图之间的对应关系的理解能力。
2. 题目求解要点
熟悉常见几何体的展开图特征；
能够根据展开图判断对应的立体图形；
排除法结合图形特征进行判断。
3. 同类型题目解题步骤
观察展开图中各部分的形状及数量；
对照常见几何体的展开图特征（如立方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等）；
判断是否能围成某个几何体；
若有多个选项，使用排除法逐一分析。
第2题：如图，A、B 分别是棱长为 1 的正方体两个相邻面的中心。将这个正方体的表面展开成平面图形后，点 A、B 之间的最大距离是（ ）
解答：
正方体的每个面都是边长为 1 的正方形，A、B 是两个相邻面的中心。
在正方体中，A、B 之间的最短距离为 （沿表面走），但题目问的是展开成平面图形后的最大距离。
考虑展开方式：将两个相邻面展开成一个“L”形，此时 A、B 之间的距离变为两点在平面上的直线距离。
设展开后，A 在坐标原点 ，B 在 ，则两点间距离为：
但若选择不同的展开方式，例如将正方体展开为“一”字形，使 A、B 所在面之间隔开一个面，则 A、B 之间的距离会更大。
例如，A 在第一个面的中心，B 在第三个面的中心，展开后形成一条直线，A 坐标为 ，B 坐标为 ，则 AB 距离为：
但若展开为“T”形或其他组合，最大距离出现在 A、B 分别位于展开图的两端时，形成直角三角形，两直角边分别为 3 和 1，则：
继续尝试其他展开方式，发现最大可能出现在展开图中 A、B 之间形成 4×1 的矩形对角线，即：
因此，最大距离为 。
正确答案为 C。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查正方体表面展开图中两点之间的最大距离问题，涉及空间想象与平面几何计算。
2. 题目求解要点
理解正方体展开图的不同形式；
能够将空间中的点映射到展开图上；
利用勾股定理计算两点之间的最大距离；
注意不同展开方式对距离的影响。
3. 同类型题目解题步骤
明确题目中点的位置及其在展开图上的位置；
枚举可能的展开方式；
将点坐标化，利用勾股定理计算距离；
比较不同展开方式下的距离，找出最大值。
第3题：如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，则 的值为（ ）
解答：
展开图中六个数字为：1、2、3、4、x、y。
由于正方体有三组对面，每组对面的数字之和相等，设为 。
设三组对面分别为：
1 和 x
2 和 y
3 和 4
则有：
由此可得：
所以：
正确答案为 D。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查正方体展开图中对面数字的关系，以及代数运算能力。
2. 题目求解要点
理解正方体对面的定义；
根据题意列出等式；
解方程求出未知数；
计算绝对值。
3. 同类型题目解题步骤
找出展开图中可能的对面组合；
根据题设条件建立等式；
解方程求出未知数；
按要求计算表达式的值。
第4题：将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
解答：
观察原图，正方体的六个面中有三个面带有图案，分别位于前、右、上面。
展开图中必须满足：
三个带图案的面相邻；
且不能全部共用一个顶点（否则无法围成正方体）；
图案方向要与原图一致。
逐个分析选项：
A：三个图案面不相邻，错误；
B：图案方向不对，错误；
C：三个图案面相邻，方向一致，正确；
D：图案面分布不合理，错误。
正确答案为 C。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查正方体展开图中图案位置与方向的识别能力。
2. 题目求解要点
理解正方体展开图的结构；
注意图案面之间的相对位置；
判断图案方向是否一致；
排除不符合条件的选项。
3. 同类型题目解题步骤
观察原图中图案面的位置和方向；
分析展开图中图案面是否合理；
判断是否能围成原图的正方体；
选择符合条件的选项。
第5题：硬纸板上有10个无阴影的正方形，从中选1个，使得它与图中多个有阴影的正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，选法共有（ ）
解答：
图中已有多个阴影正方形，构成一个不完整的正方体展开图。
正方体展开图有11种标准形式，常见的有“一”字型、“L”型、“T”型、“田”型等。
观察图中阴影部分，发现其为“T”型展开图的一部分，缺少一个面即可构成完整展开图。
通过尝试添加每一个空白格子，判断是否能构成11种标准展开图之一。
最终发现有 4种 添加方式可以构成正方体展开图。
正确答案为 A。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查正方体展开图的构造与识别能力。
2. 题目求解要点
熟悉正方体展开图的11种标准形式；
判断哪些空白格子可以补全展开图；
排除不能构成正方体的选项。
3. 同类型题目解题步骤
确定已有图形是否为正方体展开图的一部分；
尝试添加每一个空白格子；
判断是否能构成标准展开图；
统计可行的添加方式。
第6题：数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（ ）
解答：
分析各选项：
A：正方体截面 —— 不可能是圆形；
B：圆锥斜截 —— 截面为椭圆；
C：圆柱横截 —— 截面为圆形；
D：圆锥纵截 —— 截面为三角形。
正确答案为 C。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查几何体截面形状的判断。
2. 题目求解要点
熟悉常见几何体的截面形状；
判断截面方向；
区分圆形、椭圆、三角形等不同截面。
3. 同类型题目解题步骤
明确几何体的形状；
判断截面方向；
根据几何性质判断截面形状；
选择符合题意的选项。
第7题：将长方形 平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份和4份，阴影部分面积是长方形 面积的（ ）
解答：
设长方形 的面积为 1。
第一个小长方形分成2份，阴影占
第二个小长方形分成3份，阴影占
第三个小长方形分成4份，阴影占
每个小长方形面积为
阴影总面积为：
通分后：
正确答案为 D。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查分数运算与面积比例的综合应用。
2. 题目求解要点
设总面积为单位1；
分别计算每一部分的阴影面积；
相加后化简。
3. 同类型题目解题步骤
设整体为单位1；
分别计算各部分所占比例；
求和并化简；
得出最终结果。
第8题：从不同方向看某个立体图形得到的平面图形如图所示，则这个立体图形可能是下面选项中的（ ）
解答：
给出的视图包括：
正视图：一个矩形；
左视图：一个矩形；
俯视图：一个圆形。
说明该立体图形上下底面为圆形，侧面为矩形，符合圆柱体的特征。
选项中只有 D 是圆柱体。
正确答案为 D。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查三视图与立体图形的对应关系。
2. 题目求解要点
理解三视图的含义；
根据三视图判断立体图形；
排除不符合条件的选项。
3. 同类型题目解题步骤
分析正视图、左视图、俯视图；
判断可能的立体图形；
与选项对比；
选择最符合的选项。
教学反思
本节课围绕“从立体图形到平面图形”的主题，通过展开与折叠、截面观察、三视图识别等活动，引导学生在动手操作与合作交流中发展空间观念和几何直观。教学设计内容丰富，涵盖了正方体展开图、棱柱与圆柱、圆锥的展开、截面形状识别以及三视图的理解等多个知识点，体现了“做中学”的理念。从课堂反馈来看，多数学生能积极参与操作活动，初步掌握了常见几何体的展开图与三视图的绘制方法，教学目标基本达成。成功之处在于通过实物操作和小组讨论激发了学生兴趣，增强了直观感知；不足在于部分学生对展开图与立体图之间的对应关系理解不深，三视图的空间转换能力仍需强化，今后应加强变式训练与空间想象能力的培养。