1.1节菱形的性质与判定第三课时同步练习（含解析） 北师大版数学九年级上册

菱形的性质与判定第三课时
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．6
2．如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．40 C．24 D．20
3．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
4．菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ ）
A．6 cm B．1.5 cm C．3 cm D．0.75 cm
5．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分
B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD
D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
6．能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直
7．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作交于点E，下列结论不一定正确的是（　　）
A． B．平分 C． D．
8．菱形中，，对角线，则菱形的边长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
9．菱形的两条对角线长分别为5和8，则这个菱形的面积为 ．
10．如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若，则菱形ABCD的面积为 ．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DEAC，CEBD．若AD＝2，AB＝3，则四边形CODE的周长是 ．
12．如图，在菱形中，，，与交于点O，点N在上且，点M在上且，P为对角线上一点，则的最大值为 ．
13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从(1)AB＝CD；(2)AB∥CD；(3)OA＝OC；(4)OB＝OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如(1)(2)(5) 四边形ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： 四边形ABCD是菱形； 四边形ABCD是菱形．
三、解答题
14．求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
下面是嘉嘉的做法：
已知：平行四边形的对角线互相垂直，垂足为，
求证：______________．
(1)请把“求证”补充完整，并根据题意画出图形；
(2)写出证明过程．
15．如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点．

(1)求证：．
(2)若，，则的长为________．
16．已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形．
菱形的性质与判定第三课时
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C B C A D B
1．C
【解析】略
2．C
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形对角线垂直即可解答，熟知菱形的面积等于对角线相乘除以2，是解题的关键．
【详解】解：，四边形是菱形，
菱形的面积=，
故选：C．
3．C
【分析】根据菱形的性质求得边长为12，根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴AD=12cm，AC⊥BD，
∵E是AD的中点，
∴OE=AD=6（cm）．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质；三角形中位线定理，掌握以上知识是解题的关键．
4．B
【详解】试题分析：作AE⊥BC，根据菱形的周长可以计算菱形的边长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到AB=2AE，从而得到结果．
作AE⊥BC，
菱形的周长为12cm，则AB=3cm，
相邻两角之比为5：1，且两角之和为180°，
∴∠B=30°，
在Rt△ABE中，AB=3cm，∠B=30°
∴AE=1.5cm，
故选 B．
考点：本题考查的是菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握菱形各边长相等的性质，直角三角形中30°角所对的直角边是斜边一半.
5．C
【详解】解：A、根据AC与BD互相平分得四边形ABCD是平行四边形，再有AC⊥BD ，可得此四边形是平行四边形；
B、根据AB=BC=CD=DA ，可知四边形是平行四边形；
C、由AB=BC，AD=CD，不能得到此四边形是平行四边形，所以不能判定四边形ABCD是菱形；
D、由AB=CD，AD=BC得四边形是平行四边形，再有AC⊥BD，可得四边形是菱形．
故选C．
【点睛】本题考查菱形的判定．
6．A
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可解决问题．
【详解】A．因为四边形的对角线互相平分，所以这个四边形是平行四边形，又因为对角线互相垂直，所以四边形是菱形，故符合题意．
B．因为对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形，故不符合题意．
C．对角线相等且垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意．
D．对角线互相垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和菱形、矩形的判定等知识点，解题的关键是熟练的掌握菱形的判定方法．
7．D
【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
根据菱形的性质和平行四边形的判定与性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴， ，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选项A不符合题意；
∵为四边形是菱形，
∴平分，
故选项B不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故选项C不符合题意；
∵不能得出四边形是菱形，
∴不一定等于，故选项D符合题意；
故选：D．
8．B
【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD =60°，可得△ABD为等边三角形，由勾股定理得OD= 2，AB=2OD=4，即可得出答案．
【详解】解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，OD=OB=BD
∵
∴△ADB为等边三角形，
∴BD=AD，
∴OD=OB =AD，
在Rt△ADO中，，即
∴，
∴AD=2OD=4，
∴菱形ABCD的边长=4；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9．20
【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为5和8，
∴菱形的面积：．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了菱形的面积，解题的关键是掌握菱形面积的求解方法有两种：①底乘以高，②对角线积的一半．
10．80
【分析】根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接AP
四边形ABCD是菱形
菱形ABCD的周长为40
菱形ABCD的面积
菱形ABCD的面积
故答案为：80．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．2
【分析】首先由CEBD，DEAC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【详解】解：∵CEBD，DEAC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC＝AC，
∴四边形CODE是菱形，
∵AD＝2，AB＝3，
∴AC＝，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝2AC＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
12．2
【详解】遇到“求或的最大值”，先利用轴对称将点M和点N转化到点P所在直线的同一侧.本题中作点N关于的对称点，连接，，当P，M，在同一直线上时，的值最大.
【解析】如解图，以为对称轴作N的对称点，连接，，根据轴对称性质可知，，，当P，M，三点共线时，取“=”，∵在菱形中，，，，，∵，，，，，∵，，，，，∵，为等边三角形，，即的最大值为2.
13． (1)(2)(6) (3)(4)(5)
【详解】(1)(2)可以得到四边形ABCD是平行四边形，AC平分∠BAD，可以得到ABCD是菱形；(3)(4) 可以得到四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD,可以得到四边形ABCD是菱形.
14．(1)平行四边形是菱形，图形见解析．
(2)见解析．
【分析】（1）根据题目要求即可写出答案并画出图形．
（2）利用线段垂直平分线的性质证明平行四边形相邻两边相等即可．
【详解】（1）根据题目要求，可知答案为：平行四边形是菱形．
图形如图所示．

（2）四边形是平行四边形，
．
又，
为线段的垂直平分线．
．
平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查菱形的定义和线段垂直平分线的定义及性质，牢记菱形的定义和线段垂直平分线的定义及性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据“”证明即可；
（2）根据三角形全等的性质得出，求出，得出，求出，根据勾股定理求出．
【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
16．证明见解析．
【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据两直线平行，内错角相等求出，等量代换可得， 根据等角对等边的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键．