数列求和
一、单选题
1．设，且，则数列的前项和是（ ）
A． B．
C． D．
2．数列中，，，设其前项和为，则( )
A． B． C． D．
3．对于下列数排成的数阵：
它的第行所有数的和为（ ）
A． B． C． D．
4．在数列中，已知，且，则其前项和的值为（ ）
A． B． C． D．
5．数列满足，则它的前20项和等于（ ）
A．-10 B．-20 C．10 D．20
6．在等差数列中，，，对任意的n，设，则满足的最小正整数的取值等于（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
二、多选题
7．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A． B．数列的通项公式为：
C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列
8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知数列中，，，则其前项和 ．
10．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为
11．若数列的通项公式为，其前项和为，则
12．已知数列，其前项和为，则
四、解答题
13．记，已知数列和分别满足：．
(1)求的通项公式；
(2)求．
14．已知等差数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：．
15．已知数列的前n项和为，，公差不为0的等差数列满足，
证明：数列为等比数列．
记，求数列的前n项和．
16．已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】利用裂项相消法求和.
【详解】，
故.
故选：A
2．A
【分析】构造法确定是等比数列，进而求出数列的通项公式，利用分组求和法进行求和即可.
【详解】将式子变形为：
又因为，所以，，所以，
所以是等比数列，以为首项，2为公比，
故得，所以
所以
故选:A．
3．B
【分析】根据数阵的规则找到第12行第1个数为，最后一个数为，再利用并项求和法计算可得；
【详解】解：根据数阵可知，第一行有1个数，第2行有2个数，，则第12行有个数，前行一共有个数，故第12行第1个数为，最后一个数为，所以设第12行所有数的和为，则
故选：B
4．C
【分析】采用并项求和的方式，自第二项起每两项作和，结合等差数列求和公式可求得结果.
【详解】.
故选：C.
5．D
【分析】根据，利用并项求和法即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以
.
故选：D.
6．C
【分析】根据等差数列的基本量的运算可得，进而可得，然后结合条件即得.
【详解】设等差数列的公差为，因为，，，
所以，，，
所以，
所以
，
所以，即，
所以最小正整数的值为18，
故选：C.
7．ACD
【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选:ACD.
8．ABD
【分析】利用等差数列求和，分别求出，，进而结合裂项求和法逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】三角形数构成数列，易得；
正方形数构成数列，，易得；
对于A：，故A正确；
对于B：令，解得；
令，解得.故B正确；
对于：∵，
∴，故C错误；
对于D：取，且，则，即，
故，总存在，使得成立，故D正确.
故选：ABD.
9．
【分析】利用累加法求出，从而可得，再利用裂项相消求和法可求得答案
【详解】∵，，，…，，
累加得，得，
∴，
∴．
故答案为：
10．
【详解】试题分析：依题意，易求得，所以，从而，设数列的前项和为，则.
考点：等差数列知识以及特殊数列求和的方法之一：拆项相消法.
11．
【解析】结合三角函数周期性，利用分组求和方法得结果.
【详解】因为的周期为
所以
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数周期性以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．.
【分析】先用裂项相消法求出，再求其极限即可.
【详解】
，
.
故答案为：
13．(1)；
(2)
【分析】(1)根据题意可知数列的前项和，进而可求解的通项公式；而即可求解；
(2) 由（1）知，结合错位相减法求解即可.
【详解】（1）设，则
当时，；
当时，．
经检验，当时，满足，所以；
当时，；当时，，
当时，满足，所以．
（2）由（1）知，则
，①
，②
由①-②相减得：
故
14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列通项性质求解即可.
（2）首先根据题意得到，再利用裂项求和求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为，∴，，
则，
∴，，解得，，
∴数列的通项公式为．
（2）∵，
∴，
∵，∴.
15．(1) 证明见解析 (2)．
【分析】直接利用已知条件和等比数列的定义的应用求出结果．
利用的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．
【详解】数列的前n项和为，，
当时，解得．
当时，
得，
整理得常数，
所以数列是以1为首项2为公比的等比数列．
由得，解得．
公差d不为0的等差数列满足，，
解得，
解得或舍去，
所以，
则，
所以
，
得，
所以，
整理得，
故．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）错位相减法求数列的和.
【详解】（1）因为，令，则，又，所以，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，故；
（2）由（1）得：
所以，
则，
两式相减得，
所以，
故.
答案第8页，共8页
答案第1页，共8页数列综合练习题
一、单选题
1．已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．或
2．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为 ( )
A． B．3 C．± D．±3
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
4．设等比数列，是数列的前项和，，且依次成等差数列，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知是等差数列,公差,且成等比数列,则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=（ ） A． B． C． D．
二、多选题
7．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ）
A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
8．在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（ ）
A．等比数列一定是比等差数列，且比公差
B．等差数列一定不是比等差数列
C．若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列
D．若数列满足，，则该数列不是比等差数列
三、填空题
9．已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，则数列的通项公式 为 ．
10．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若，，且，则
数列{bn}的公比为 ．
11．已知数列1，，，4是等差数列，数列1，，，，4成等比数列，且，，均为实数，则 .
12．已知，，成等差数列，，，成等比数列，那么该等差数列的公差为 ．
四、解答题
13．各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和.
14．已知正项数列是公差为2的等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.
15．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16．已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
参考答案：
1．C
【分析】由等差数列的通项公式求出公差，则可求，由等比数列的通项公式求出公比，则可求，从而得到结论．
【详解】解：由，，，成等差数列，设公差为，则．
由，，，，成等比数列，则，．又因为是等比数列的奇数项，应与第一项和第三项符号一致，故
．
故选C．
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了计算能力，是基础题．
2．B
【分析】由已知条件设出首项与公差，利用等比中项列式求出其关系，表示出第2、3项即可求出公比.
【详解】设等差数列公差为d，首项为，则，，，
由等比中项公式：，化简可得：.
所以：，，作比可得公比为：3.
故选B.
【点睛】本题考查等差数列的通项以及等比中项，根据题意列出等量关系式，由公比的定义即可求出结果.
3．B
【详解】由及等比数列的性质知，解得；又因为a4与2a7的等差中项为，有,解之得，,而，易知
所以
故选B
4．C
【详解】设等比数列的首项为，公比为，…….①，又依次成等差数列，则，即……②，①②两式相加得：，代入①得：，两式相比：，解得：或，则 或 ，
当时，，
当时，，选C .
5．B
【详解】∵成等比数列，
∴，
∴
整理得，
又
∴
∴选B．
6．A
【详解】分析：累加法求解．
详解：，，
解得
点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法．
7．BCD
【解析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确.
【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；
若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；
若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；
若等比数列是等差比数列，则，
，所以D选项正确.
故选：BCD
【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：
（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；
（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
8．ABC
【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A；令，依定义验证可判断B；令，，然后依定义验证可判断C；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断D.
【详解】若为等比数列，公比，则，，
所以，故选项A错误；
若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误；
令，，则，此时无意义，故选项C错误；
因为数列满足，，
所以，，故，
所以不是比等差数列，故选项D正确.
故选：ABC.
9．
【分析】设数列的公差为，由，，成等比数列可得，由等差数列的通项公式可求得的值，进而求出数列的通项公式.
【详解】设数列的公差为，由，，成等比数列可得，
且，
即，
则，
所以．
故答案为:.
10．
【详解】设等差数列的公差为，由可知为正数，
∵是等比数列，∴，又∵，
∴或，
若：则不合题意，舍去，若，
则，，化简得，
经检验，由，故舍去，
∴.
11．
【分析】根据题目条件，由等差数列性质，可得a1+a2=5，由等比数列性质，可得b2=2，代入比值可求．
【详解】依题意,因为数列1，a1，a2，4是等差数列，所以a1+a2=1+4=5，
数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，所以b22=1×4，
又b2和1，4同为正数，所以b2=2，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查等差数列的性质、等比数列的性质应用，解题关键是对等差数列中项性质及等比数列中项性质的灵活掌握，属于简单题.
12．2
【分析】设等差数列的公差为，则，，再由题意代入计算可得或，再将和代入题目验证即可得出答案.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
∵，，成等比数列，
∴，即，
解得或，
当时，，，，不能构成等比数列，
所以应舍去，
当时，等差数列为：，等比数列为，符合题意.
故．
故答案为：2.
13．（1）；（2）
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得，则可得通项公式.
（2）根据（1）的结论可得，然后利用裂项相消求和，可得结果.
【详解】（1）因为各项均不相等，所以公差
由等差数列通项公式
且，
所以，
又成等比数列，所以，
则，化简得，
所以
即
可得
即
（2）由（1）可得
化简可得
由
所以
【点睛】本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题.
14．（1）；（2）
【详解】分析：（1）利用已知条件可列出的两个方程，联立，解出，从而再由是等差数列得通项公式；
（2）数列的前项和可用错位相减法求得.
详解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，
则，
又成等比数列，所以，
解得或，因为数列为正项数列，所以.
所以，
故.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
即 ，
故.
点睛：解决数列求和问题首先要掌握等差数列和等比数列的前项和公式，其次要掌握一些特殊数列的求和方法，设是等差数列，是等比数列，则数列用分组求和法求和，数列用错位相减法求和，数列用裂项相消法求和.
15．（1）an＝－n＋9（2）
【详解】分析：（1）设的公差为. 由题意可得d(a1＋8d)＝0，即可求出d，从而求得的通项公式；
（2）使用裂项相消法求和即可.
详解：(1)设的公差为. 由题意，，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋6d)．
于是d(a1＋8d)＝0. 又a1＝8，所以d＝0（舍去），d＝－1.
故an＝－n＋9.
(2)由(1)知＝，
从而数列的前n项和为
点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
16．（I）略
（II）
（III）略
【详解】（I）证明：
是以为首项，2为公比的等比数列．
（II）解：由（I）得
（III）证明：
①
②
②－①，得
即 ③
④
④－③，得
即
是等差数列．
答案第8页，共8页
答案第1页，共8页等比数列练习题
一、单选题
1．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．9 B．27 C．81 D．
2．下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4 C．q，2q，4q，8q D．，，，
3．在正项等比数列中，，则的公比等于（ ）
A． B．2 C．4 D．2
4．已知是实数等比数列前项和，则在数列中（ ）
A．必有一项为零 B．可能有无穷多项为零 C．至多一项为零 D．任何一项均不为零
5．数列是等差数列，，且，，构成公比为q的等比数列，则（ ）
A．1或3 B．0或2 C．3 D．2
6．已知，，，……，是各项不为零的项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．无法确定
二、多选题
7．若在和中间插入个数，使这个数成等比数列，则公比为（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
8．若直线与圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列为等比数列
C．数列的前10项和为23 D．圆不可能经过坐标原点
三、填空题
9．数列的前n项和为，，，（，），则的值为 .
10．若数列对任意正整数，有（其中，为常数，），则称数列 是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为 .
11．公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 等于 .
12．等比数列中，，．则的前9项之和为 ．
四、解答题
13．在等差数列中，已知前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)令，的前n项和，求使得成立的n的最小值．
14．已知数列的首项，其前n项的和为且，求的值．
15．设数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式．
（2）设，是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值．
16．已知数列的前项和为，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)，求证：.
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.
【详解】设等比数列的公比为q.
由，得，解得或.
因为.且数列递增，所以.
又，解得，
故.
故选：A
【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．D
【分析】根据等比数列的定义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A、B、C： 当q＝0时不是等比数列，故A、B、C错误；
对于D：由题意可得，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确，
故选：D
3．B
【分析】设数列的公比为，利用计算可得答案.
【详解】设数列的公比为，则，
解得（负值舍去）.
故选：B.
4．B
【解析】设等比数列的公比为，分、两种情况讨论，结合等比数列的求和公式可验证各选项的正误.
【详解】设等比数列的公比为.
对于A选项，当时，则，A选项错误；
对于B选项，当时，，即在数列中可能存在无穷多项为零，B选项正确；
对于C选项，由B选项可知，C选项错误；
对于D选项，由B选项可知，D选项错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列前项和的取值情况，解题的关键就是对等比数列的公比分类讨论，注意分、、且讨论，结合等比数列求和公式进行分析.
5．A
【分析】根据等比中项的性质列方程，由此求得，进而求得，从而求得的值
【详解】设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴，
即，解得或2，
所以或，所以或3，
故选：A
6．A
【解析】可以使用排除法进行判断．当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意。当时，经过运算可得，不符合题意．经过进一步验证，当存在数列符合题意。
【详解】当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则或．当时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时，不满足题意．故．验证过程如下：
当时，有，，，．
将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．
如果删去，或，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意．
故可以知道删去的是，或．
如果删去的是，则，故，
整理得到，即，故即．
如果删去的是，则，故，
整理得到即，故即．
可得或1．
故答案为：A．
【点睛】关键点点睛：等差数列中有等比数列，常用基本量来展开计算，注意根据项数来分类讨论．
7．CD
【分析】由等比数列的性质，即可求解.
【详解】由条件可知，，，所以，解得：.
故选：CD
8．AC
【分析】先求得圆心和半径，根据点到直线的距离公式、等差等比数列、圆等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
由直线与圆相切得，，
∴，，
∴是首项为，公差为的等差数列，
前10项和为；
令，解得，此时圆C经过坐标原点.
综上所述，AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC
9．
【分析】由，得，，
再得通项公式，进而求和.
【详解】由，得，，
又，，，所以是等比数列
所以，.
故答案为：.
10．
【分析】利用分组求和法可求数列前21项的和.
【详解】由题意可知，，且，
故
.
故答案为：1090.
11．
【分析】利用等差数列的性质和等比数列的性质求解.
【详解】因为是等差数列，所以，
所以，解得或，
又因为等比数列的，所以，所以，
所以，
故答案为: .
12．9或21
【分析】利用解出公比，即可求解.
【详解】,
即，，
若，则，
若，则，
故答案为：9或21.
13．(1)
(2)3
【分析】（1）已知数列类型，待定系数列式求解即可.
（2）新数列，通项已知，可以求和，是定值，直接解不等式即可.
(1)
设公差为d，
由已知得，
解得，
所以，
即的通项公式为．
(2)
，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以成立的n的最小值为3．
14．
【解析】利用和的关系，证出是公比为2的等比数列，再利用等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】由，且．
作差，得
又，即．
故是公比为2的等比数列．
则．
所以．
【点睛】本题考查了和的关系，等比数列的前项和公式，属于基础题.
15．（1）（2）5
【分析】（1）当时，根据求得判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得．
（2）根据（1）中求得利用裂项法求得，进而根据，进而根据求得m的范围．判断出m的最大正整数.
【详解】（1）依题意，，故，
当时， ①
又 ②
②―①整理得：，故为等比数列，
所以，
⑵由⑴知，，，
=
，依题意有，解得，
故所求最大正整数的值为5．
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（Ⅰ）根据题意得到，两式作差化简得到，得到数列为等比数列，进而求得数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，结合，得到，利利用等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，其中，
则，整理得，
所以，
令，可得，解得，所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即.
（2）解：由，可得，
因为，所以，
则
.
答案第8页，共8页
答案第1页，共8页等差数列
一、单选题
1．已知等差数列满足，则其前项和等于（ ）
A．2300 B．2400 C．2600 D．2500
2．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为等差数列的前项和，且，，若，则的最小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
4．在等差数列中，，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（ ）
A．-17 B．-15 C．17 D．15
6．设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则 的最大值是（ ）
A．310 B．212 C．180 D．121
二、多选题
7．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A． B．数列的通项公式为：
C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列
8．已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列 B．
C． D．当最小时，
三、填空题
9．等差数列前n项和为，且，则 .
10．数列满足，则 .
11．设是等差数列的前项和，且则 ．
12．公差d不为零的等差数列的前n项和为，已知，为整数，且对于一切正整数n都有成立，则公差d的值是 ．
四、解答题
13．已知等差数列的首项为，公差为，且，，试判断该数列从第几项开始为正数.
14．已知是等差数列，其前n项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和为．
15．已知等差数列满足：，.
（1）求数列的通项公式及前7项的和；
（2）记为数列的前项和，求使得成立的的最小值.
16．记为数列的前项和已知.
(1)求，并证明是等差数列
(2)从下面个条件中选个作为本小题的条件，证明：.
① ②.
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
参考答案：
1．D
【解析】先由通项公式求出，再由等差数列求和公式即可求出.
【详解】由，
得，解得，
所以．
故选：D.
2．A
【分析】由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量的关系式，计算，然后代入等差数列前项和公式计算.
【详解】由题意，数列为等差数列，所以，，联立得，所以.
故选：A
3．B
【分析】由和的值可计算，的值，代入前项和公式可计算出的的最小值.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，又，
所以，解得，
所以，
，
由得.
又，故的最小值为17.
故选：B.
4．B
【分析】设等差数列的公差为，然后根据已知条件列方程组可求出
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，
，解得，
故选：B
5．D
【分析】结合等差数列的通项公式可求得，进而可求出结果.
【详解】因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为，
又，，且，则，
即，所以，
故选：D.
6．D
【分析】设数列的公差为，得到，，然后利用数列为等差数列，得到，解得，即可得到，根据数列的增减性即可得到.
【详解】解：∵等差数列满足，，设公差为，则，
其前项和为，
∴，，，，
∵数列也为等差数列，
∴，
∴，
解得．
∴，，
∴，
由于为单调递减数列，
∴，
故选：D．
7．ACD
【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选:ACD.
8．BCD
【分析】由数列前项和为，可求数列通项，然后逐个验证选项.
【详解】，当时，；
当时，
注意到时也满足，
所以数列的通项公式为，，
，是递增数列，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项正确；
，，当最小时，，D选项正确.
故选：BCD.
9．7
【分析】根据等差数列的性质即可获解
【详解】因为是等差数列，所以
所以
故答案为：7
10．
【分析】将变形得到，然后逐项列举，累加可得到，又，代入即可得出结果
【详解】由题意可得，
所以，， ，
上式累加可得
，
又，所以.
故答案为：
11．25
【分析】先利用题意得到公差，然后利用等差数列的求和公式即可得到答案
【详解】解：由得公差，则，
故答案为：25
12．
【分析】根据为整数，则，由，则，求得的范围，从而求得的值.
【详解】解：根据题意，等差数列中，，为整数，则，则，
，则，即，得，又，则.
故答案为：.
13．25
【分析】先求出数列的通项公式，令an＞0，即可得出．
【详解】由题意，
得解得
所以
令，得，
又,所以从第25项开始，各项为正数.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（Ⅰ）（）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列性质可以得到，再根据已知可以得到数列的通项公式；
（Ⅱ）根据已知可以得到，由此可得．
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由等差数列的性质可得，则，
则，即，
所以数列的通项公式为（）；
（Ⅱ），
，
．
【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.
15．（1），；（2）13.
【分析】（1）利用等差通项公式计算基本量，从而可得通项及前7项的和；
（2）由（1）得到，然后解一元二次不等式得到结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，.
∴
；
（2）由（1）得.
令，即，
解得或（舍去），又，
∴使得的的最小值为13.
16．(1)，，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知直接求，由递推公式可得，根据等差数列的定义即可证明；
（2）由（1）得，化简，利用裂项相消法求和即可证明不等式.
【详解】（1）解：在中，
令得所以，则，
令，得，即，所以，
下面证明为等差数列.
证明：由，得①，
所以②，
两式②-①得，所以③，
当时，④，
③-④得，即，
所以是等差数列.
（2）证明：由（1）得是等差数列，且，，
所以的公差，则.
若选
所以
，
所以，
因为，所以，
所以.
若选
所以
所以.
答案第8页，共8页
答案第1页，共8页数列概念练习题
一、单选题
1．数列中，，则16是这个数列的（ ）
A．第16项 B．第8项 C．第4项 D．第2项
2．设数列满足，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．9
3．观察下列数的特点1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，其中x为（ ）
A．12 B．－12 C．11 D．－11
4．数列满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．函数，数列满足，且（为正整数）．则 （ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
7．一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知数列的通项公式是则 .
10．已知数列满足，，是数列的前n项和，则 ．
11．已知数列满足，，，则 .
12．数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题
13．数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.
14．数列中，.
（1）是数列中的第几项？ （2）为何值时，有最小值？并求最小值.
15．已知数列的通项公式为，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性．
16．设函数定义域为，当时，，且对于任意的，有成立．数列满足，且．
（1）求的值； （2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正数，使对一切均成立，若存在，求出的最大值，并证明，否则说明理由．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件求出16对应的项数n值即可.
【详解】依题意，由，解得，
所以16是这个数列的第4项.
故选：C
2．D
【分析】运用代入法进行求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
3．D
【分析】观察数字的变化特征和规律，写出x即可.
【详解】观察下列数的特点1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，可知：，，，，得.
故选：D．
4．A
【分析】由递推公式可得数列是的周期数列，从而得解.
【详解】，且，
，，
，，
所以数列是的周期数列，
所以.
故选：A
5．C
【分析】根据单调性分析出数列的正数项有哪些即可求解.
【详解】由条件有，
当时，，即；
当时，，即.
即，
所以取得最大值时n的值为.
故选：C
6．C
【分析】将进行整理，可以求出其通项公式，再代入可得答案.
【详解】由，
，
故选：C
7．AD
【分析】根据各选项的通项公式，分别求出、、判断是否符合题意，即可知正确选项.
【详解】对于A，若，则，，，符合题意；
对于B，若，则，不符合题意；
对于C，若，当时，，不符合题意；
对于D，若，则，，，符合题意.
故选：AD.
8．ACD
【分析】计算出数列的前几项可判断AC，再寻找规律可判断BD．
【详解】由题意，，故A正确，
，故C正确；
，，，∴数列是周期数列，周期为3．
，故B错误；
，故D正确．
故选：ACD．
9．
【分析】根据数列的通项公式代入求解即可.
【详解】因为，，
所以，所以.
故答案为：
10．-1.
【详解】试题分析：由已知数列满足，，得，，，，，，；所以数列是从首项开始，每四项为一组的循环数列.则.
考点：数列的通项公式与前n项和公式.
11．
【分析】依题意可得，即可得到为常数数列，从而求出数列的通项公式.
【详解】因为，，所以，
所以为常数数列，且，所以.
故答案为：.
12．
【解析】记，设，
根据即可求出，从而得到，再根据题意可得，分参利用基本不等式即可求出实数k的取值范围．
【详解】记，设，
当时，；
当时，．
当时，也满足上式，所以，即．
显然当时，，，当时，，因此的最大值若存在，必为正值．
当时，，因为，当且仅当时取等号．
所以的最大值为．故，变形得，，
而，当且仅当时取等号，所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查与的关系应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记，设，利用通项与前项和的关系求出通项，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出．
13．最大项为
【详解】试题分析：设是该数列的最大项，根据建立关于n的不等式，通过解不等式求得n的范围，确定n的值，进而求出最大项．
试题解析：
设是该数列的最大项，则
∴
解得
∵，
∴，
∴最大项为
点睛：求数列最大项或最小项的方法
（1）可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式找到数列的最小项．
（2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．
14．（1）第项；（2）或时，最小值为
【解析】（1）令且，解方程可得的值.
（2）利用二次函数的单调性和最值可得有最小值以及对应的的值.
【详解】令，即，
解得：或（舍）
（2）由，因为，开口向上，对称轴
所以或时，有最小值为 .
【点睛】本题主要考查了判断数列中的项，以及求数列的最小项，属于基础题.
15．图象见解析；它既不是递增的，也不是递减的．
【分析】根据数列的通项公式，分别求出，，，，，…，描点画出该数列的图象，从而可知该数列的增减性.
【详解】解：由题可知，数列的通项公式为，
，，，，，…，
则数列的图象如图所示，所以该数列既不是递增的，也不是递减的．
16．（1）；（2）；（3）存在；；证明见解析.
【分析】（1）令，，得，由此能求出的值；
（2）先证明函数的单调性，由，得，即，即，可得是等差数列，其首项为1，公差为，由等差数列的通项公式求；
（3）令，利用作商法判断函数的单调性，求出的最小值，由此能求出的最大值．
【详解】（1）函数定义域为，当时，，
且对于任意的，，有成立．
令，，
得，
得；
（2）证明函数的单调性
当时，
，，
时，
任取，则
，
时，，
，
是定义域上的减函数；
由，得，
，又是定义域上的减函数，
则，即，
是等差数列，其首项为1，公差为，
；
（3）存在正数，对一切均成立．
证明如下：记，
则，
为关于的增函数，
（1）为的最小值等于，
由恒成立，知，
的最大值为．
【点睛】易错点睛，由得到，必须说明函数的单调性，否则二者不一定相等.
答案第6页，共9页
答案第1页，共7页
