贵州省遵义市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试卷(含详解)

贵州省遵义市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．样本数据2，7，9，13，18，24，30的分位数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．24
5．被誉为中国现代数学之父的华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.例如：函数图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知向量，，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．在矩形中，，点满足，则（ ）
A． B．1 C．3 D．9
8．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若正实数a，b满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．的最小值是 D．的最小值是
11．现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥
三、填空题
12．不等式的解集为 ．
13．已知，，则 .
14．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，且，则外接圆的面积为 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和对称轴；
(2)已知函数，求函数的单调递增区间．
16．为响应国家“体重管理年”三年行动的号召，某单位开展健步走活动，现统计该单位400名员工5月4日至5月10日的步数信息.其中甲、乙两位员工这7天的步数折线图如图1所示：
(1)求从这7天中随机选取一天，该天甲比乙的步数多的概率；
(2)整理这400名员工7天的健步走数据，得到频率分布直方图如图2所示.现将该单位员工每天的步数从多到少进行排名，已知某天甲与乙的步数排名分别为第283名和第130名，试判断这是哪一天的数据，并说明理由.
17．在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，
(1)求角A；
(2)若，，求的周长.
18．已知函数，.
(1)若，证明：为偶函数；
(2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值；
（ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.
19．已知平面向量，，、的夹角为.
(1)若，求的值.
(2)已知，.
（i）求的解析式；
（ii）若，证明：不等式恒成立.
贵州省遵义市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A A D D C B AC BCD
题号 11
答案 BD
1．C
【详解】集合，，则.
故选：C
2．D
【详解】，
故选：D．
3．A
【详解】因为，故是第一象限角，且，
故，又，
，
解得：，（舍去），
故选：A．
4．A
【详解】由题意此数据可知共个数，则，
所以样本数据的第分位数是，故A项正确.
故选：A.
5．D
【详解】函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故排除AC，
，故排除B，只有D满足条件.
故选：D
6．D
【详解】由，在，
由，则，即，
所以.
故选：D.
7．C
【详解】，
由于在矩形 中，，且相邻边互相垂直，
因此 ，所以，
所以，
又因为，所以 ，
代入得：.
故选：C
8．B
【详解】当时，在上单调递增，且值域为，
所以必有唯一解；
所以当时，有两个不同的根，
即有两个不同非正根，并设其两根为，
即，解得，
由，则，解得，
综上所述：的取值范围为，故B项正确.
故选：B.
9．AC
【详解】由条件可知，，所以，，，故A正确，B错误；
所以，，故C正确，D错误.
故选：AC
10．BCD
【详解】A：由题意得，则，当且仅当时取等号，故A项错误；
B：由，则，当且仅当时取等号，故B项正确；
C：由，当且仅当，即时取等号，故C项正确；
D：由，则，
则，
当且仅当时，即时取等号，此时，故D项正确.
故选：BCD.
11．BD
【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误；
事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确；
，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误；
事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确.
故选：BD
12．
【详解】，即，
解得：或，
故不等式的解集为：，
故答案为：．
13．0
【详解】，
则.
故答案为：0
14．
【详解】，则，
根据正弦定理，则，
所以外接圆的面积为.
故答案为：
15．(1)最小正周期为，对称轴；
(2)的单调递增区间为
【详解】（1）由已知，的最小正周期，
令，得，
所以的对称轴为．
（2）由题意，，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
16．(1)
(2)这一天是5月6日的数据
【详解】（1）由折线图可知，只有第5日和第9日，甲比乙的步数多，
所以从这7天中随机选取一天，该天甲比乙的步数多的概率为；
（2）由频率分布直方图可知，
步数在的有人，
步数在的有人，
步数在的有人，
步数在的有人，
步数在的有人，
步数在的有人，
因为这一天甲的步数的排名是283名，乙的步数排名是130名，
所以甲的步数在区间，乙的步数在区间，
根据折线图可知， 5月6日的数据符合，所以这一天是5月6日.
17．(1)
(2)6
【详解】（1）由正弦定理边化角可知，，
即，因为，
得，且，则；
（2），得，
由余弦定理可知，，
即，所以，则，
所以的周长为6.
18．(1)见解析
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【详解】（1）时，，定义域为，且，
所以函数是偶函数；
（2）（ⅰ）当时，，
当时，，得，在区间单调递减，最小值时取得，为2，所以，
的对称轴是，
当时，即时，函数单调递增，最小值是，所以函数的最小值是
当时，即，函数的最小值是，的最小值是，
综上可知，当时，的最小值是，时，的最小值是
（ⅱ）由题意可知，，
，，设，则，
函数的最小值是，
由（ⅰ）可知，当时，的最小值是，，成立，
当时，的最小值是，则
则，，则，
综上可知，
19．(1)或
(2)（i）（ii）证明见解析
【详解】（1）因为，
所以，即，
所以或，
解得或，.
（2）（i）
，
因为，所以，，
所以.
（ii）因为，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，，
所以，
即，
所以不等式恒成立.