九年级上册人教版数学培优讲义（无答案）
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文档简介
初中九年级数学培优讲义（20讲全）
目录
第1讲 二次根式的性质和运算(P2----7)
第2讲 二次根式的化简与求值(P7----12)
第3讲 一元二次方程的解法(P13----16)
第4讲 根的判别式及根与系数的关系(P16----22)
第5讲 一元二次方程的应用(P23----26)
第6讲 一元二次方程的整数根(P27----30)
第7讲 旋转和旋转变换（一）(P30----38)
第8讲 旋转和旋转变换（二）(P38----46)
第9讲 圆的基本性质(P47----51)
第10讲 圆心角和圆周角(P52----61)
第11讲 直线与圆的位置关系（P62----69）
第12讲 圆内等积证明及变换((P70----76)
第13讲 弧长和扇形面积(P76----78)
第14讲 概率初步(P78----85)
第15讲 二次函数的图像和性质(P85----91)
第16讲 二次函数的解析式和综合应用(P92----98)
第17讲 二次函数的应用(P99----108)
第18讲 相似三角形的性质 (P109----117)
第19讲 相似三角形的判定(P118-----124)
第20讲 相似三角形的综合应用(P124-----130)
第1讲 二次根式的性质和运算
考点·方法·破译
1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；
2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；
3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.
经典·考题·赏析
【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.
【变式题组】
1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
⑵①；②；③；④，最简二次根式是（ ）
A．①,② B．③,④ C．①,③ D．①,④
【例２】(黔东南)方程，当y＞0时，m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.
【变式题组】
2．（宁波）若实数x、y满足，则xy的值是__________.
3．（荆门）若，则x－y的值为（ ）
A．－ 1 B．1 C．2 D．3
4．（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
5.（怀化），则a－b－c＝________.
【例３】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A．； B． 不能化简；C.；D．，而.故本题应选D.
【变式题组】
6．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a＝________．
7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8．已知最简二次根式和是同类二次根式，则a＝_______，b＝______.
【例４】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解法指导】正确运用二次根式的性质①；②；③ ；④ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. .故本题应选C.
【变式题组】
9. （聊城）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．计算：_____________
11．_____________
12．(济宁)已知a为实数，那么＝（ ）
A．a B．－a C．－1 D．0
13．已知a＞b＞0，a＋b＝6，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【例５】已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0知x＜0. 故原式.选D.
【变式题组】
14．已知a、b、c为△ABC三边的长，则化简的结果是_______.
15．观察下列分母有理化的计算：，，，算果中找出规律，并利用这一规律计算：
_________.
16．已知，则0＜x＜1，则_________.
【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中，.
⑵已知，，那么代数式值为________.
【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy、x＋y的值，再代入求值.
【解】⑴原式＝，当，时，ab＝1，a＋b＝,原式＝.
⑵由题意得：xy＝1，x＋y＝10, 原式＝.
【变式题组】
17．（威海）先化简，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中,.
18．（黄石）已知a是的小数部分，那么代数式的值为________.
【例７】已知实数x、y满足，则3x2－2y2＋3x－3y－2007的值为（ ）
A．－2008 B．2008 C．－1 D．1
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a、b的关系，再代入求值.
解:∵，
∴，
，由以上两式可得x＝y.
∴, 解得x2＝2008，所以3x2－2y2＋3x－3y－2007＝3x2－2x2＋3x－3x－2007＝x2－2007＝1，故选D.
【变式题组】
19．若a＞0，b＞0，且，求的值.
演练巩固·反馈提高
01．若，则估计m的值所在的范围是（ ）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
02．（绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
03．（黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
06．（常德）设a＝20， b＝(－3)2, , , 则a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
A．c＜a＜d＜b B．b＜d＜a＜c C．a＜c＜d＜b D．b＜c＜a＜d
07．（十堰）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
08．如果把式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
09．（徐州）如果式子化简的结果为2x－3，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x＞0
10．（怀化）函数中自变量的取值范围是________.
11．（湘西）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算a※b＝.那么12※4＝________.
12．（荆州）先化简，再求值：，其中.
13．（广州）先化简，再求值：，其中.
培优升级
01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数是________.
02．已知a、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有________对.
03．（全国）设，则________.
04．（全国）设,a是x的小数部分,b是x的小数部,则a3＋b3＋3ab＝________.
05．（重庆）已知，则x2＋y2＝________.
06．（全国）已知，，，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
07．（武汉）已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
A． B．3 C． D．
08．（全国）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
09．（全国）等于（ ）
A． B． C．5 D．1
10．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，求a＋b＋c的值.
12．已知与的小数部分分别是a和b，求ab－3a＋4b＋8的值.
第2讲 二次根式的化简与求值
考点·方法·破译
1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.
2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.
3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.
经典·考题·赏析
【例１】（河北）已知，那么的值等于__________
【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用表示或化简变形.
解：两边平方得，， ，两边同乘以x得， ，∵，，∴原式==
【变式题组】
若（0＜a＜1），则________
设，则的值为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【例２】（全国）满足等式
＝2003的正整数对（x,y）的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.
解：可化为，
∴
∵，∴，则xy＝2003，且2003是质数，
∴正整数对（x,y）的个数有2对，应选B.
【变式题组】
3．若a＞0，b＞0，且，求的值.
【例３】（四川）已知：，求代数式
的值.
【解法指导】视x－2，x2-4x为整体，把平方，移项用含a的代数式表示x－2，x2-4x，注意0＜a＜1的制约.
解：平方得，，∴，，
，
∴化简原式＝
＝
【变式题组】
4．（武汉）已知，求代数式的值.
5．（五羊杯）已知，，且，则a的值等于（ ）
A．－5 B．5 C．－9 D．9
【例４】（全国）如图，点A、C都在函数的图像上，点B、D都在x轴上，且使得△OAB、△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为________.
【解法指导】解：如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F.设
OE=a，BF=b，则AE=a，CF=b，所以，点A、C的坐标为（a,a）、
（2a＋b,b），所以，解得，
因此，点D的坐标为（,0）
【变式题组】
6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
； （一） ； （二）
； （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简：
； （四）
（1）请你用不同的方法化简；
①参照（三）试得：=_____________________________；（要有简化过程）
②参照（四）试得：=_____________________________；（要有简化过程）
（2）化简：
【例５】（五羊杯）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积.
【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么 )，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.
解：如图，作长方形ABCD，使AB＝b－a，AD＝c，延长DA至E，使DE＝d，延长DC至F，使DF＝b，连结EF、FB、EB，则BF＝，EF＝，BE=，从而知△BEF就是题设的三角形，而S△BEF＝S长方形ABCD＋S△BCF＋S△ABE－S△DEF＝(b－a)c＋(d－c)(b－a)－bd＝(bc－ad)
【变式题组】
7．(北京)已知a、b均为正数，且a＋b＝2，求U＝
演练巩固·反馈提高
01．已知，，那么代数式值为__________
02．设，则＝（ ）
A． 24 B．25 C． D．
03．（天津）计算__________
04．（北京）若有理数x、y、z满足，则__________
05．（北京）正数m、n满足，则__________
06．（河南）若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
07．已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
08．设，，，则a、b、c之间的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
09．已知，化简
培优升级
01．（信利）已知，那么__________
02．已知，则__________
03．（江苏）已知，则__________
04．（全国），则x＝__________
05．已知，，那么__________
06．（武汉）如果，，，那么的值为（ ）
A． B．2001 C．1 D．0
07．（绍兴）当时，代数式的值是（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．
08．（全国）设a、b、c为有理数，且等式成立，则的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定
09．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
10．已知实数a、b满足条件，化简代数式，将结果表示成不含b的形式.
11．已知，化简：
12．已知自然数x、y、z满足等式，求x＋y＋z的值.
第3讲 一元二次方程的解法
考点·方法·破译
1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；
2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；
3．会应用一元二次方程解实际应用题。
经典·考题·赏析
【例１】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A.(m-2)x2-2x-1=0 B.k2x+5k+3=0
C. D.
【解法指导】A、B选项中的二次系数可以为0，不是；D的分母中含字母，不符合.故选C.
【变式题组】
1．（威海）若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2，则另一个根是___________.
【例2】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1，那么代数式2m2+4n2-4n+1998=___________.
【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.
解：由题意，2m2=4m+2，4n2=8n+2，则原式=(4m+2)+(8n+2)-4n+1998=(4m+4n)+4+1998，又由根与系数关系得m+n=2，∴原式=2010.
【变式题组】
2．（南昌）若3a2-a-2=0，则5+2a-6a2=___________.
3．（烟台）设a、b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【例3】关于x的一元二次方程(m-3)x2+4x+m2-9=0有一个根为0，m的值为___________.
【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.
解：依题意m2-9=0，∴m=±3，根据方程是一元二次方程得m≠3，综合知m=-3.
【变式题组】
4．（庆阳）若关于x的方程x2+2x+k-1=0的一个根是0，则k=___________.
5．（东营）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【例4】（连云港）解方程：x2+4x-1=0.
【解法指导】解：
解法一：∵a=1，b=4,c=-1，∴x=.即x=-2±.∴原方程的根为.
解法二：配方，得(x+2)2=5，直接开平方，得,∴原方程的根为.
【变式题组】
6．（清远）方程x2=16的解是（ ）
A．x=±4 B．x=4 C．x=-4 D．x=16
7.（南充）方程(x-3)(x+1)=x-3的解是（ ）
A.x=0 B.x=3 C.x=3或x=-1 D.x=3或x=0
8.（咸宁）方程3x(x+1)=3x+3的解为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x1=0，x2=-1 D．x1=1，x2=-1
9.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.
①x2-3x+1=0；②(x-1)2=3；③x2-3x=0；④x2-2x=4.
【例5】（山西）解方程：6x2-x-12=0
【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得x2-x=2，配方得x2-x+(-)2=2+(-)2,(x-)2==()2，即x-=±，∴x1=,x2=.
【变式题组】
10．（仙桃）解方程：x2+4x+2=0.
11．（武汉）解方程：x2-3x-1=0.
12．（山西）解方程：x2-2x-3=0.
演练巩固·反馈提高
01．（宁德）方程x2-4x=0的解是___________.
02．（十堰）方程(x+2)(x-1)=0的解为___________.
03．（大兴安岭）方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（ ）
A．x=5 B．x=或x=6 C．x=7 D．x=5或x=7
04．（太原）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）
A．(x+1)2=6 B．(x-1)2=6 C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=9
05．（云南）一元二次方程5x2-2x=0的解是（ ）
A． B．
C． D．
06．（黄石）已知a、b是关于x的一元二次方程x2+nx-1=0的两实数根，则式子的值是（ ）
A．n2+2 B．-n2+2 C．n2-2 D．-n2-2
07．（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
08．（台州）用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（ ）
A．(x+2)2=1 B．(x-2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=9
09．（义乌）解方程x2-2x-2=0.
10．（兰州）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x.
11．（新疆）解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.
12．（梧州）解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0.
13．（长春）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.
14．（上海）解方程：
培优升级
01．（鄂州）已知α、β为方程x2+4x+2=0的两个实根，则α3+14β+50=___________.
02．已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，那么代数式的值为___________.
03．（苏州）若x2-x-2=0，则的值等于（ ）.
A． B． C． D．或
04．（全国）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．3
05．（全国）已知实数x、y满足：，y4+y2=3，则的值为（ ）.
A．7 B． C． D．5
06．（全国）已知m=1+，n=1-，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，则a的值等于（ ）.
A．-5 B．5 C．-9 D．9
07．（毕节）三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________.
08．（滨州）观察下列方程及其解的特征：
⑴的解为x1=x2=1；⑵的解为x1=2，x2=；⑶的解为x1=3，x2=；……
解答下列问题：
⑴请猜想：方程的解为________；⑵请猜想：关于x的方程________的解为x1=a，x2=（a≠0）；⑶下面以解方程为例，验证⑴中猜想结论的正确性.
解：原方程可化为5x2-26x=-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
09．（泸州）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…△PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3、…An-1An都在x轴上.
⑴求P1的坐标；
⑵求y1+y2+y3+…+y10的值.
第4讲 根的判别式及根与系数的关系
考点·方法·破译
1．掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；
2．理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.
经典·考题·赏析
【例1】（成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-1 B. C.k<1 D.
【解法指导】 由题意得
【变式题组】
1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B. C. D.=0
2．(潍坊)关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．6 B.7 C.8 D.9
【例２】 （荆州）关于x的方程 QUOTE QUOTE 只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ）
A．a=0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2
【变式题组】
3．(成都)设x1,x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________.
4．(南通)设x1,x2是一元二次方程的两个实数根，则,则a=______
【例３】 （包头）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且=7,则的值是（ ）
A．1 B.12 C.13 D.25
【解法指导】 本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足.由题意知：
又∵
,
而当m=5时，原方程的判别式,此时方程无解，不合题意舍去.
,故选C.
【变式题组】
5．（潍坊）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是,则k的值是（ ）
A．8 B.-7 C.6 D.5
6．（鄂州）设是关于x的一元二次方程的两实根，当a为何值时，有最小值？最小值是多少？
【例４】 （兰州）已知关于x的一元二次方程.
如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
如果此方程的两个实数根为,且满足,求a的值.
【解法指导】 解：（1）.∵方程有两个不相等的实数根，.(2)由题意得：
【变式题组】
7．(绵阳)已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【例５】 （中山）已知关于x的方程.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根.
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.
【解法指导】 证明方程有两个不相等的实数根，一般要把化为完全平方加正常数的形式.
（1）证明:因为△==
所以无论取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根.
（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，根据方程的根与系数的关系得，解得，所以原方程可化为，解得，
【变式题组】
8．(中山)已知一元二次方程.
(1)若方程有两个实数根，求m的值；（2）若方程的两个实数根为，且+,求m的值.
【例６】 设实数s,t分别满足,并且st≠1，
求的值.
【解法指导】 本题要观察s,t的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.
解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为： ,又∵st≠1，
∴t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有 ,即st + 1 =－99s，t = 19s．
∴
演练巩固·反馈提高
01．(东营)若n（n≠0）是关于x的方程的根，则m+n的值为
A.1 B.2 C.-1 D.-2
02．(株洲)定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
03．（崇左）一元二次方程的一个根为-1，则另一个根为 ．
04．(贺州)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
05．（上海）如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ．
06．（泰安）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
07．（淄博）已知关于x的方程．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
08．已知关于x的一元二次方程
(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若方程的两个实数根之积等于,求的值.
09．（孝感）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
10．（鄂州）关于x的方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由
11．（北京）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．
12．（淄博）已知是方程的两个实数根，且．
(1)求及a的值；
(2)求的值．
培优升级
01．（全国）设，，且，则代数式的值为 （ ）
A 5. B7. C 9. D.11.
02．（延边）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A．2016 B.2017 C.2018 D.2019
03．如果a、b都是质数，且,那么的值为（ ）
A． B. C. D或2
04．（全国）已知实数，且满足的值为（ ）
A．23 B.-23 C.-2 D.-13
05.(全国)设是关于x的方程的两个实数根，则的最大值为___________
06．已知是方程的两个实数根，则
07．（全国）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作,则__
08．已知关于x的方程：.
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根为，满足,求m的值及相应的.
09．（全国竞赛）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)若,求m的值；
（2）求的最大值.
第5讲 一元二次方程的应用
考点·方法·破译
1．能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程；
2．会建立一元二次方程模型解实际应用题．
经典·考题·赏析
【例l】 (南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【解法指导】 构建一元二次方程模型求解．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,第一轮被传染人数为x，患流感人数为x+l；第二轮被传染人数为x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9．应选B．
【变式题组】
1．(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x，则关于x的方程为 ．
2．(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2。提高到12．1 m2。，若每年的年增长率相同，则年增长率为( )
A．9％ B．10％ C．1l％ D．12％
3．(太原)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 ．
【例2】 (黄石)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2一12x+35=0的根，则该三角形的周长为( )
A．14 B．12 C．12或14 D。以上都不对
【解法指导】 方程x2一12x+35=0可化为(x一7)(x一5)=0，解得x=7或x=5，当x=7时，三边不能构成三角形，所以第三边的长只能取5，该三角形的周长为12．应选B．
【变式题组】
4．(青海)方程x2一9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
5．(襄樊)如图，在平行四边形ABCD中，AE上BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x一3=0的根，则平行四边形ABCD的周长是( )
A、 B、
C、 D、或
【例3】 (莆田)已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程（x—1)(x一2)=0的两根，且O1O2=2，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ．
【解法指导】 依题意，⊙O1和⊙O2的半径分别为1和2，∵l【变式题组】
6．(兰州)两圆的圆心距为l，两圆的半径分别是方程x2一5x+6=0的两个根，则两圆的位置关系是( )
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
7．(江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程
8．(庆阳)如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部
分作为耕地．若耕地面积需要55 l米。，则修建的路宽应为( )
A、1米 B、1．5米 C、2米 D、2．5米
【例4】 (白银)在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：a b=a2 - b2，求方程(4 3) x=24的解．
【解法指导】 解此类题要严格按照定义进行变换．
解：∵a b=a2 - b2∴(4 3) x=7 x=72-x2 ∴72-x2 =25．∴x=±5．
【变式题组】
9．(全国)对于实数u、v，定义一种运算“※”为：u ※v=uv+v,若关于x的方程x ※(a ※x)= 一有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 ．
【例5】 (十堰)如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地．
怎样围才能使矩形场地的面积为750m2 ，(2)能否使所围矩形场地的面积为8l0 m2 ，为什么
【解法指导】 解：(1)设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 (80一x)米．依题意，得x· (80一x)=750，即x2一80x+1500=0．解此方程，得x1=30，x2=50．
∵ 墙的长度不超过45m, ∴ x2=50不合题意，应舍去．当x=30时，(80一x)= ×(80—30)=25．所以，当所围矩形长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2．
(2)不能．因为由x· (80一x)=810，得x2一80x+1620=0．又∵b2-4ac=(一80)2一4×1×1620= - 80<0∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为8l0 m2．
【变式题组】
10．(广东)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有8l台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台
演练巩固·反馈提高
1．(南通)某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，20l0年该市计划投资“改水工程”1176万元．
(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
(2)从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万
2．(长沙)当m为何值时，关于z的一元二次方程x2—4x+m一=0有两个相等的实数根 此时这两个实数根是多少
3．(贵阳)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。
(1)该公司2006年盈利多少万元
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元
4．(庆阳)某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
(1)该企业2007年盈利多少万元
(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元
培优升级
1．(河南)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2—6x+k=0的两个实数根，且x12x22—x1—x2=115．
(1)求k的值；(2)求x12+x22 +8的值．
2．(临沂)为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18．59万元．
(1)求该学校为新增电脑投资的每年平均增长率；
(2)从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元
3．(南宁)如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．
(1)用含x的式子表示横向甬道的面积为 平方米；
(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽．
4．(厦门)某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系：P=100—2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元 每天要售出这种商品多少件
5．(庆阳)如图．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米2的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱
6．(益阳)如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路。探究并解答下列问题：
(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
7．(全国)某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有同学多少人
第6讲 一元二次方程的整数根
考点·方法·破译
1．方程的整数根问题是各级各类竞赛的热点内容，重点考查含参方程，一般要求参数的值；
2．基本方法有：分解求根法、消参法、判别式法、反客为主法、综合法，
经典·考题·赏析
【例l】 （全国）已知方程a2x2 (3a2 8a)x +2a2 13a +15 =0（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=____．
【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况．对于二次，可用分解求根法．
解：①a=0时，则需2a2 13a +15 =0，矛盾．所以此时无整数解；②a≠0，分解得（ax +3 2a）（ax +5 a）=0．∴a≠0，解得 ，．则a是3或5的约数，故a可取±l，±3或±5．
【变式题组】
1．（全国）已知关于x的方程(a l)x2 +2x a 1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a有 ____个．
2．（全国）设关于x的二次方程（k2 6k +8）x2＋（2k2 6k 4）x＋k2 =4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．
【例2】 （全国）试确定一切有理数r，使得关于石的方程rx2+(r+2)x+r 1 =0有且只有整数根．
【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况．对于二次，可用消参法，
解：(1)若r=0，x=，原方程无整数根；
(2)当r≠0时，，，消去r得：，得（2x1 1）（2x2 1）=7，令xl【变式题组】
3．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程kx2+（k+l）x+（k l）=0的根都是整数．
【例3】 （海南）已知20102011 20102009= 2010x×2009×2011，那么x的值是( )．
A. 2008 B.2009 C.2010 D.2011
【解法指导】 本题运用分解因式法，由20102011 20102009= 2010x×2009×2011，，则有20102009（2010 1）（2010＋1）= 2010x×2009×2011，则有x=2009，本题应选B．
【变式题组】
4．（全国）若l00a +64和201a +64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是____．
【例4】 （全国）已知a是正整数，如果关于并的方程x3+ (a +17)x2+（38 a）x-56 =0
数，求a的值及方程的整数根．
【解法指导】本题可用综合法，解：观察易知，方程有一个整数根x1=1，将方程的左边分解因式得(x 1)[x2+(a+18)x+56]=0因为a是正整数，所以关于x的方程x2+(a+18)x+56 =0 (1)
(l)的判别式△=(a+18)2 224 >0，它一定有两个不同的实数根而原方程的根都是整数，所以方
都是整数，因此它的判别式△= (a+18)2 224应该是一个完全平方数，设(a+18)2 224 =k2（其
整数），则(a +18)2 - k2= 224，即（a+18 +k）（a+18 -k）=224.显然a+18 +k与a+18 -k的奇偶性相同，且
a+18 +k≥18．而224 =112×2 =56×4 =28 ×8，所以或
或解得或或
而a是正整数，所以只可能或
当a=39时，方程(l)即x2 +57x +56 =0，它的两根分别为－1和－ 56.此时原方程的三个根为1，－1，－56． 当a= 12时，方程(1)即x2 +30x +56 =0，它的两根分别为-2和- 28.此时原方程的三个根为1，－2，－28．
【变式题组】
5．（全国）设a是正整数，二次函数y=x2+(a+17)x+38 -a，反比例函数y=，如果两个函数图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值，
【例5】 （全国）关于x，y的方程x2 +xy+2y2= 29的整数解（x，y）的组数为( )
A．2组 B．3组 C．4组 D．无穷多组
【解法指导】 本题可用判别式法．解：可将原方程视为关于算的二次方程，将其变形为x2+xy+(2y2 29)=0．由于该方程有整数根，则判别式△≥0，且是完全平方数．由A =y2 4（2y2 29）=－7y2 +116≥0，解得y2≤≈16. 57．于是
0 1 4 9 16
△ 116 109 88 53 4
显然，只有=16时，△=4是完全平方数，符合要求．当y=4时，原方程为x2+4x +3 =0．此时x1=－l，x2=－3；当y=－4时，原方程为x2 4x +3 =0，此时x3 =1，x4=3．
所以，原方程的整数解为
【变式题组】
6．（武汉）整数a使得关于x、y的方程组 对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值．
演练巩固·反馈提高
1．（全国）关于x、y，的方程x2+y2= 208（x y）的所有正整数解为______．
2．若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程x2 (m+2)x+4m =0的根，求m及三角形三边长．
3．已知方程ax2 (a-3)x+a 2=0中的a取整数，试求出能使此方程的解至少有一个是整数时a的值．
4．（全国）设a是正整数，如果二次函数y =2x2+ (2a +23)x+10 7a和反比函数） 的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共点．
5．（全国）已知p、q都是质数，且使得关于x的二次方程x2 (8p l0q)x +5pq =0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q) ．
培优升级
1．（全国）已知a、b都是正整数，试问关于x的方程x2 abx+(a +b)=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
2．（全国）(1)是否存在正整数m、n，使得m(m+2)=n(n+1) (2)设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n,，使得m（m+k）=n(n+1)
3.（全国）如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2+2（k-2）x十k=0（k是整数）的最大整数根．P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点．若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2+ PB2+ PC2的值．
4．（全国）设整数a、b、c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2 ab ac bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．
5．（全国）已知二次函数y=x2+bx c的图象经过两点P(l，a)，Q(2，l0a)．
(1)如果a、b、c都是整数，且c(2)设二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C．如果关于石的方程x2+ bx c=0的两个根都是整数，求△ABC的面积．
第7讲 旋转和旋转变换（二）
考点·方法·破译
1．掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角；
2．会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；
3．能利用旋转性质进行开放探究。
经典·考题·赏析
【例１】（咸宁）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（ ）
A． ②④ B． ①④ C． ②③ D. ①③
【解法指导】本题解题可利用旋转的性质切入
解：由旋转性质知，∠FAD=∠FBC=900，且AF=AD，∵∠DAE=450，∴∠FAE=450，由AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AD，得△AED≌△AEF，①正确；由勾股定理得BF2+BE2=FE2，将BF=DC，FE=DE代入得，BE2+DC2=DE2，④正确；且知③不正确；若∠AFB≠∠ADC，则②不正确，故本题选B
【变式题组】
1．如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=450，记AM=m,MN=x,BN=n,则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（ ）
A． 锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变
【例２】 （孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转900，得△A1OB1。已知∠AOB=900，∠B=900，AB=1，则B1点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】 根据旋转的性质得∠A1OB1=300，OB1=OB=，过B1作B1H垂直Y轴于H。可得B1H=，OH=，则B1点的坐标为，本题选A。
【变式题组】
1．（泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿X轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，…P2008的位置，则点P2008的横坐标为_________
．
【例３】（邵阳）如图将Rt△ABC(其中∠B=340，∠C=900)绕点A按顺时针方向旋转到△A1B1C1的位置，使得点C、A1，B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）
【解法指导】 可以选择∠BAB1为旋转角，由三角形外角和定理得∠BAB1=340+900=1240，应选B。
【变式题组】
3．（津州）如图，△OAB绕点O逆时针旋转800得到△OCD，若∠A=1100，∠D=400，则∠а的度数是（ ）
A． 300 B． 400 C． 500 D．600
4．（陕西）如图，∠AOB=900，∠B=300，△A1OB1可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转а角度得到的，若点A1在AB上，则旋转角а的大小可以是（ ）
A． 300 B． 450 C． 600 D． 900
5．（株洲）如图是“大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的，测得AB=BC，OA=OC，OA⊥OC，∠ABC=360，则∠OAB的度数是（ ）
A． 1160 B． 1170 C．1180 D．1190
【例４】（昆明）在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4cm，AC=3㎝，把△ABC绕点A顺时针旋转900后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．5
【解法指导】 点B所走过的路径是以AB为半径、圆心角为900的圆弧，又AB=5cm，所以路径长为，应选C
【变式题组】
6．（丽水）把一副三角板按如图（1）位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合，已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转600后如图（2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是________cm2(结果精确到0.1,).
【例５】(南宁)已知△ABC在平面坐标系中的位置如图所示。
分别写出图中点A和点C的坐标；
画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转900后的△A1B1C1；
求点A旋转到点A1所经过的路线长（结果保留）
【解法指导】解：（1）A（0，4）、C（3，1）（2）图略
（3）AC=，弧
【变式题组】
1．（武汉）如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1。0）
（1）请直接写出点A关于Y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转900，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标。
2．（齐齐哈尔）如图，在平面坐标系，△ABC的顶点坐标为A（-2，3）、B（-3，2）、C（-1，1）。
（1）若将△ABC向右平移3个单位，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1
（2）画出△A1B1C1绕原点旋转1800后得到的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：_________;
(4)顺次连结C、C1、C1、C2所得到的图形是轴对称图形吗？
【例６】（全国）如图在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1）、B（2，-1），C（-2，-1）、D（-1，1），Y轴上一点P（0，2）绕点A旋转1800得到P1，点P1绕点B旋转1800得到P2；点P2绕点C旋转1800得点P3，点P3绕点D旋转1800得到P4，……，重复操作依次得到P1、P2、……，则点P2010的坐标是（ ）
A、（2010，2） B、（2010，-2） C、（2012，-2） D.（0，2）
【解法指导】由已知可以得到，点P1、P2的坐标分别为（2，0），（2，-2），记P2（a2,b2），其中a2=2,b2=-2,根据对称关系，依次可以求得：P3（-4-a2,-2-b2）,P4(2+a2,4+b2),P5(-a2,-2-b2),P6(4+a2,b2)，令P6(a6,b2),同样可以求得，点P10的坐标（4+a6,b2）即P10(4×2+a2,b2),由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标为（2010，-2），本题应选B。
【变式题组】
1．（东莞）如图①，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小；（2）如图②，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小。
2．（衡阳）如图，圆心角都是900的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD。（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是OA=2cm，求OC的长。
演练巩固·反馈提高
01．（广州）将左图所示的图案按顺时针方向旋转900后可以得到的图案是（ ）
02．（黑龙江）如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边上的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
03．（扬州）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ABP1重合，如果AP=3，那么线段PP1的长等于________.
04．(达州)如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线l滚动，则A点从开始至结束所走过的路线长为：___________（结果保留准确值）
05．（青岛）如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转450，则这个两个正方形重叠部分的面积是_______.
06．(莆田)如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答下列问题：
（1）网格中每个小三角形的面积为_________
（2）将顶点在格点上的四边形ABCD绕点O顺时针旋转120两次所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为____________ (结果保留)
07．（温州）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上。（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形。
培优升级
01．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转400后得到的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=900，则∠B的度数是________.
02．(黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转900至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是_______cm2.
03．(延边)如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P在矩形ABCD内。若AB=4cm，BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为______cm2.
04．(嘉兴)如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为_____.
05．如图，已知：P是等边△ABC内的一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7,则以PA、PB、PC的长为三角形的三个内角的大小之比（ ）
A． 2：3：4 B．3：4：5 C． 4：5：6 D．5：6：7
06．（河北）有一个四等转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1，若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转900，则完成一次变换。图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换，按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）
A． 上 B．下 C．左 D．右
07．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC。（1）将△PAB绕点B顺时针旋转900到△P1CB的位置（如图1）。①设AB的长为a , PB的长为b(b08．（枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=900，∠A=450，∠D=300，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转150得到△D1CE1；（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F。（1）求∠OFE1的度数；（2）求线段AD1的长；（3）若把三角形D1CE1绕点C顺时针再旋转300得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部，还是边上？说明理由。
第8讲 旋转和旋转变换（二）
考点·方法·破译
1．能利用旋转性质进行开放探究；
2．能运用类比推理思想进行开放探究；
3．学会在旋转变换中寻找不变几何关系。
经典·考题·赏析
【例１】（山西）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC.
试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG,你认为（1）的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。
【解法指导】解：（1）答：AE⊥GC.证明：延长GC交AE于点H.在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG,∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°
∴AE⊥GC
（2）答：成立
证明：延长AE和GC相交于点H.
在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG.
∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDC=90°
∴∠1=∠2=90°-∠3
∴△ADE≌△CDG
∴∠5=∠4.
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°
∴∠6=∠7.
又∵∠AEB+∠6=90°, ∠AEB=∠CEH
∴∠CEH+∠7=90°,∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC
【变式题组】
1．（烟台）如图，直角梯形ABC中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，∠BCD的平分线于点E,连接BE.
（1）求证：BC=CD
（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG。求证：CD垂直平分EG。
（3）延长BE交CD于点P.求证：P是CD的中点。
【例２】（台州）如图1，Rt△ABC≌△Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°。△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE、DF分别交线段AC于点M、K
（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．
②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．
（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值．
【解法指导】（1）① = ② ＞ （2）＞
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．
∵ 30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK =60°．
∴∠ADM=∠GDM，∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．
（3）∠CDF=15°，=
【变式题组】
2．填空或解答：点B 、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于点F.
（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB=_____；如图②，若∠BAC=90°，则∠AFB=_____；
（2）如图③，若∠BAC=，则∠AFB=_____（用含的式子表示）；
（3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤，在图④中，∠AFB=与∠的数量关系是______；在图⑤中，∠AFB=与∠的数量关系是______，请你任选其中一个结论证明。
【例３】已知将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转（0°＜＜90°），在旋转的过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N,分别过M、N作直线AB的垂线垂足为G、H。
当=30°时，（如图2），求证：AG=DH；
当=60°时，（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的结论，并说明理由；
当0°＜＜90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论并根据图4说明理由。
【解法指导】本题属于旋转类动态问题，是开放探究题，在旋转变化中，始终有两组三角形全等（或相似）。
（1）证明：∵∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD.又MG⊥AD于点G，
∴AG=AD.
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD.
∴C与N重叠.又NH⊥DB于点H，
∴DH=DB.
∵AD=DB，
∴AG=DH.
(2)解：结论成立.
∵∠ADM=60°，
∴∠NDB=90°-60°=30°.
∴∠MAD=∠NDB.
又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，
∴△MAD≌△NDB.
∴MA=ND.
∵MG，NH分别是△MAD，△NDB的对应高，
∴Rt△MAG≌Rt△NDH.
∴AG=DH.
(3)解 ：结论成立.
在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG＝60°＝∠B.
又∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB.
∴.
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH.
又∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN.
∴
∴
∴
∴AG=DH.
【变式题组】
3．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
【例４】如图①，两个图形（与比2：1），∠BAD=120°，对角线均在轴上，抛物线y=
x2经过AD中点M．
（1）填空：A点坐标为_____，D点坐标为______；
（2）操作：如图②，固定，将绕点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长E交AD于P，延长H交CD于Q．
探究1：在旋转过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α值；若不存在，说明理由；
探究2：设AP=x，四边形OPDQ面积s，求s与x之间函数关系式，并指出x取值范围．
【解法指导】
（1）A（0，2），D（，0）．（2）探究1：当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．理由如下：∵两菱形的位似比为2﹕1，OA=2，OD=，菱形ABCD边长为4，∠BAO=60°∴菱形EFGH的边长EF=AD=2，∠FEO=60°∵在旋转过程中EF的长和∠FEO的大小始终不变∴当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2△AOP为等边三角形，∠APO=∠AOP=60°那么，∠APO=∠FEO=60°，则EF∥AP又∵EF=AM=2∴当旋转角度α=∠AOP=60°时，EF平行且等于AP∴α=60°时，四边形AFEP为平行四边形．探究2：过P点作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T，设TQ=y，则：PR=AP sin60°=，OR=OA﹣AR=2﹣AP cos60°=2﹣x，OT=OD﹣DT=﹣TQ tan60°=2﹣y∵它绕对称中心O旋转时∠POR=∠QOT∴Rt△POR∽Rt△QOT∴∴，化简得：y=∴S=S△OPD+S△ODQ=×2（2﹣x）+×2×=2﹣x+．即S与x的函数关系式为：S=2﹣x+．（0＜x＜4）
【变式题组】
4．（宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时OA′、B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OA′B′C′的形状是________矩形，当α=90°时， 的值是________；
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.（武汉）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，S则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
演练巩固·反馈提高
01．（茂名）如图，把抛物线y=x2与直线y=1围成图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的是（ ）
A． 点O1的坐标是（1,0） B．点C1的坐标是（2，-1）
C．四边形O1BA1B1是矩形 D．若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3
02．（河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2,0）和（2,0）.月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（2,2） B．（2,4） C． （4,2） D．（1,2）
03．（包头）如图，已知△ACB与△的DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小的锐角为30°，将两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为______cm（保留根号）.
04．（河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
（1）①当α______度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD长为______；
②当α______度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD长为______；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.
培优升级
01．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
02．（武汉）如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3.则PC所能达到的最大值为（ ）
A． B． C． 5 D．6
03．（常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
04．（随州）如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
05．如图等边△ABC的边长为a=，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2=PC2,若PC=5，求PA、PB的长.
第9讲 圆的基本性质
考点·方法·破译
1．掌握点与圆的三种位置关系及相应数量关系，能进行判别及应用；
2．理解掌握垂径定理及其推论，能根据垂径定理作辅助线，会用垂径定理及其推论解实际问题；
3．会用圆的对称性解释数学问题．
经典·考题·赏析
【例1】（江西）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外
【解法指导】作图知，数轴上在⊙A上的点，最左边的表示的实数为1，最右边的表示的实数为5，在1、5之间的数的点在⊙A内，所以，B、C、D都对，A不正确．本题选A．
【变式题组】
1． （盐城）如图，⊙O的半径OA＝10cm，弦AB＝16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为________cm．
第1题图第2题图例2图
2． 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8．则⊙O上到弦AB所在的直线的距离为1的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． （资阳）已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A、C、D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
【例2】（全国）已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在⊙O内作正△ABC，点D为⊙O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交⊙O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
【解法指导】如图，连结OE、OA、OB．设∠D＝α，则∠ECA＝120°－α＝∠EAC．又因为∠ABO＝∠ABD＝（60°＋180°－2α）＝120°－α，所以△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1．本题应选B．
【变式题组】
4． 如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l2的一个交点；…，按照这样的规律进行下去，点An的坐标为___________．
第4题图
【例3】（钦州）已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为．求⊙O1的半径．
【解法指导】解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，则有AC＝BC．由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．在Rt△A O1C中，∵O1的纵坐标为，∴O1C＝，∴⊙O1的半径O1A＝．
【变式题组】
5． （黄石）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1、h2，则| h1－h2|等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6． （河南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆⊙M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
第5题图 第6题图 例4图
【例4】（巴中）已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A、B、D三点的圆的圆心．
【解法指导】本题实质上是要证明AE＝BE＝DE．
证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1＝∠2，又∵DE∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，∵过A、B、D三点确定一个圆，又∠ADB＝90°，∴AB是A、B、D所在的圆的直径．∴点E是A、B、D所在圆的圆心．
【变式题组】
7． （荆门）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．
题7题图 例5图
【例5】（全国）如图，已知四边形ABCD的内接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD的面积．
【解法指导】解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB︰AC＝AE︰AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD．连结AO，交BD于H，则BH＝HD＝，∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1．∴S△ABD=BD·AH＝，∵E是AC中点，∴S△ABE＝S△CBE，S△ADE＝S△CDE，∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2．
【变式题组】
8． 如图，⊙O半径为2，弦BD＝2，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上．求四边形ABCD的面积．
第8题图 第9题图
9． （哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连结CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．
演练巩固·反馈提高
1． 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB＝10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2． 一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3． 如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（ ）
A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C． D．OD＝DE
4． 如图，已知AB为⊙O的弦，直径MN与AB相交于⊙O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN＝20，AB＝8，则MC－ND＝________．
5． （广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC＝AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．求证：EF平分∠CEN．
第5题图
培优升级
1． 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
第1题图 第2题图 第3题图
2． （邵阳）如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连结BC、BD，AB＝5，AC＝4，则BD＝________．
3． 如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE＝1cm，EF＝3cm，则AB＝___________cm．
4． （遵义）如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，sinA＝，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．4 D．
第4题图 第5题图
5． （安徽）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6． 如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、CD、EF，如果，那么AB＋CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB＋CD＝EF B．AB＋CD＞EF C．AB＋CD＜EF D．不能确定
第6题图
7． （河北）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第7题图 第8题图
8． 如图，用三个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（ ）
A． B． C． D．
9． 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8．0级大地震，地震发生后，全国人民积极投入抗震救灾工作之中，图为某军区空投物资用的某种降落伞及其轴截面示意图，△ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，现测得EO的长为1．04m，那么降落伞的直径AB为（ ）
A．6m B．6．24m C．6．30m D．7．0m
10．（南昌）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为___________．
第9题图 第10题图
11．（全国）如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB＝BD，且PC＝0.6，求四边形ABCD的周长．
第11题图
第10讲 圆心角和圆周角
考点·方法·破译
1．理解掌握圆心角、圆周角的概念，能依据定义进行辨别；
2．理解掌握圆周角相关的定理和推论，并能根据己知条件添加所需要的辅助线；
3．能灵活进行圆内角的代换、转化和求值（角度）．
经典·考题·赏析
【例1】（成都）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BD=_________．
【解法指导】连接OB．根据垂径定理推论可得∠ABO=∠OBC=60°．∴∠BAC=60°．由AD为⊙O的直径知∠ABD＝90°．∴AB=3，BD=3cm
【变式题组】
1．（河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（芜湖）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为__________．
3．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为___________．
【例2】（盐城）如图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动．设运动时间为t（s），∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
【解法指导】本题要从O—C、C—D、D—O三种情况进行探究，其中从O—C，y从90逐渐减小到45；从C—D、∠APB＝45°，即y恒为45；从D—O，y从45逐渐增大到90．综合知本题应选C．
【变式题组】
4．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A＝∠B=60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
5．（威海）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是（ ）
A．∠BOD＝∠BAC B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠C＝∠D
6．（青岛）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝42°，则∠BAD=_______．
【例3】（柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．
【解法指导】
证明：（1）连结AC，如图，
∵C是弧BD的中点，∴∠BDC＝∠DBC，又∠DBC＝∠BAC，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE＝∠BAC，∠BCE＝∠DBC，∴，因此，CF=BF；
（2）作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点，∴∠CAG＝∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线，∴CE=CG，AE=AG，在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD，∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴BE=DG，∴AE=AB－BE=AG=AD+DG，即6－BE=2+DG，∴2BE=4，即BE=2，又△BCE∽△BAC，∴BC2=BE·AB=12，BC=±2（舍去负值），∴BC=2
【变式题组】
7．（广州）如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC=2cm．
（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长．
8．（沈阳）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．
【例4】如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于____________．
【解法指导】解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM=∠MAB=×（180°－36°－128°）=8°，∵∠AMC＝44°．又AN为切线，∴∠NAC=∠B=36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°=92°，∴△ANM的最小角为44°．
【变式题组】
9．如图，已知点A、B、C、D 顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．
演练巩固·反馈提高
1．（孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．（泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
3．（绍兴）如图，⊙O是正三角形ABC的外接圆，点P在劣弧AB上，∠ABP＝22°，则∠BCP的度数为_____．
4．（肇庆）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
5．（泰州）如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm、1cm，则AC、BD所夹的锐角=_____．
6．（安徽）△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B125° C．135° D．150°
7．（十堰）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．（丽水）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是的中点，已知∠AOB＝98°，∠COB＝120°，则∠ABD的度数是___________．
9．（云南）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠OAC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
10．（枣庄）如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
11．（株洲）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE＝30°，求PE的长．
12．（荆门）如图①，直线AM⊥AN，⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点，连络OC、BC，则有∠ACB＝∠OCB；（请思考：为什么？）如果测得AB=a，则可知⊙O的半径r=a．（请思考：为什么？）（1）将图①中直线AN向右平移，与⊙O相交于C1、C2两点，⊙O与AM的切点仍记为B，如图②．请你写出与平移前相应的结论，井将图②补充完整；判断此结论是否成立，且说明理由．（2）在图②中，若只测得AB=a，能否求出⊙O的半径r？若能求出，请你用a表示r；若不能求出，请补充一个条件（补充条件时不能添加辅助线．若补充线段请用b 表示，若补充角请用表示），并用a和补充的条件表示r.
培优升级
1．（武汉）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
2．（眉山）如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P．则∠P=_______度．
3．（成都）如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD＝∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC＝60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为________．
4．（铁岭）如图所示，AB为⊙O的直径，P点为其半圆上一点，∠POA＝40°，C为另一半圆上任意一点（不含A，B）．则∠PCB=_______度．
5．（衢州）如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是_______，∠B2度数是_______；
（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
（3）如图③，垂直于AD 的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度教（只需直接写出答案）．
6．（中山）如图l，圆内接△ABC中，AB=BC=AC，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点C．
（1）求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的．（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变．求证：当∠DOE绕着O点旋转时．由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC面积的．
7．（宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
第11讲 直线与圆的位置关系
考点·方法·破译
理解掌握圆的切线、割线的概念，懂得直线与圆的三种位置关系及判别依据；
理解掌握切线的性质定理、判定定理，能熟练运用会根据需要添加辅助线；
理解掌握切线长定理，能利用切线相关定理进行推理论证。
经典·考题·赏析
【例1】（泉州）已知直线y=kx（k≠0）经过点（3,-4），（1）求k的值；（2）将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），试求m的取值范围
【变式题组】
1.（辽宁）如图，直线y=x+与x轴、y轴分别相交于A,B两点，圆心P的坐标为（1,0），⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有 个
2.（永州）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，A点的坐标为（-3,0），经过A、O两点作半径为的⊙O，交y轴的负半轴于点B
（1）求B点的坐标；
（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式
【例2】（襄樊）如图所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）
A. 40° B.50° C.60° D.70°
【变式题组】
3.（徐州、南京）如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（ ）
A.4cm B. 5cm C. 6cm D.8cm
4.（南充）如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A，B,若PA=8cm，C是AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PED的周长是 .
5.（徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=18°，则∠CDA= .
6.（荆门）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,则△ABC的内切圆半径r= .
【例3】（日照）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2,过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E
（1）求∠AEC的度数;
（2）求证：四边形OBEC是菱形
【解法指导】本题（2）根据垂径定理证AC=CE=2，再证BE=2即可。
解:（1）在△AOC中，AC=2，∵AO=OC=2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠AEC=30°
（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l，∴OC∥BD，∴∠ABD=∠AOC=60°，∵AB为⊙O的直径，∴△AEB为直角三角形，∠EAB=30°，∴∠EAB∠=∠AEC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵OB=OC=2，∴四边形OBEC是菱形。
【变式题组】
7.（宁波）已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，=，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，
（1）求证:CD∥BF
（2）连结BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD=，求线段AD、CD的长
【例4】（安顺）如图，AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，（1）求证:DE是⊙O的切线;
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A=30°，AB=8，求弦DG的长
【解法指导】本题（1）根据切线的判定定理要连接OD，证明OD⊥DE即可，
（2）用等面积法求DF
证明:连结，OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO.∵BA=BC,∴∠A=∠C.∴∠ADO=∠C.∴DO∥BC,∵DE⊥BC,∴DO⊥DE.又点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线.
（2）解:∠DOF=∠A+∠ADO=60°，在Rt△DOF中，OD=4DF=OD·sin∠DOF=4·sin60°=2,∵直径AB⊥弦DG，∴DF=FG,∴DG=2DF=4.
【变式题组】
8.（十堰）如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB
（1）求证:DB为⊙O的切线;
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长
9.（大连）如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°.（1）判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；（2）若CD=3，求BC的长.
【例5】（本溪）如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB，
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长
【变式题组】
10.（仙桃）如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE
（1）请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，BD=，求BC的长.
11.（德化）如图，已知在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径.
演练巩固·反馈提高
1.（佳木斯）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连结AD，则下列结论：①AD⊥BC ② ∠EAD=∠B ③OA=AC ④DE是⊙O的切线。正确的个数是（ ）
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个
2.（衡阳）如图，直线AB切⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠EDC=30°，弦EF∥AB，连结OC交EF于点H，连结CF，且CF=2，则HE的长为
3.（门头沟）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（ ）
A.-1≤x≤1 B.-≤x≤ C. 0≤x≤ D.x＞
4.（武汉）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连结DE，
（1）求证:直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值.
5.（北京）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径
（1）求证:AE与⊙O相切;
（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径.
6.（无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示点P的坐标；
（2）过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥轴于D,问：为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．
7.（陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P，（1）求证:AP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长.
8.（贺州）如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE.
（1）求证:DE是⊙O的切线
（2）如果⊙O的半径是cm，ED=2 cm，求AB的长
培优升级
1.（义乌）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G，
（1）求证:点E是的中点；
（2）求证:CD是⊙O的切线；
（3）若sin∠BAD=,⊙O的半径为5，求DF的长.
2.（衡阳）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2㎝，∠ABC=60°，（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．
3.（深圳）如图，在平面直角坐标系，直线l:y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P（O,k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4.（全国）如图：直线AB与⊙O相交于点E、F，EF为⊙O的直径，且AE=EF=FB，直线AP与⊙O的半径OD垂直于D，求证：∠ADE=∠PDB.
5.（江苏）如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．
（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．
第12讲 圆内等积证明及变换
考点·方法·破译
理解掌握切割线定理和相交弦定理.并能用切割线定理和相交弦定理进行推理论证；
能运用分析法和综合法用三角形相似证明等积式.
经典·考题·赏析
【例1】⑴如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C 为圆心、CD为半径的圆与⊙O相交于P、Q两点，弦PQ交CD于E，则PE EQ的值是（ ）
A、24 B、9 C、6 D、27
⑵如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA＝a,PM＝a,那么△PMB的周长为 .
【解法指导】⑴延长DC交⊙C于F，由相交弦定理得PE EQ＝DE EF，∵CD⊥直径AB于D，根据相交弦定理推论得CD CD＝AD BD＝9×4，∴CD＝6.延长CD交⊙O于M，由相交弦定理得PE EQ＝CE EM，∴DE EF＝CE EM，而CM＝DF＝12，设CE＝x,则x （12－x）＝（6－x）(x＋6),解得x＝3.∴PE EQ＝27.应选D.
⑵方法一：连接OM，则∠OMP＝90°.∵PM切⊙O于M，由切割线定理得PM2＝PB PA，∵PM＝a，∴a a＝PB（PB＋2a）,解得PB＝a,在Rt△OMP中，MB＝OP÷2＝a，则△PMB的周长为a＋2a.
方法二：连接OM，则∠OMP＝90°，由勾股定理得PO2＝3a2＋a2,∴PO＝2a.后面的解法与方法一相同.
【变式题组】
1.如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝ .
2.如图，已知A、B、C、D在同一圆上，BC＝CD，AC与BD交于E，若AC＝8，CD＝4，且线段BE、ED为正整数，则BD＝ .
【例2】如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，且PC2＝PE PO.
求证：PC是⊙O的切线；⑵OE︰EA＝1︰2，且PA＝6，求⊙O的半径；⑶求sin∠PCA的值.
【解法指导】⑴证明：连接CD.∵PC2＝PE PO，∴PC︰PE＝PO︰PC，且∠P公用，∴△PEC∽△PCO，∴∠PEC＝∠PCO，又∵CD⊥AB，∴∠PEC＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC⊥OC于C，∴PC是⊙O的切线.
⑵设OE＝ k,则EA＝2k,⊙O的半径为3k,在Rt △PCO中，∵CE⊥PO于E，则射影定理得：OC2＝OE OP，
∴（3k）2＝k （3k＋6）,∵k＞0，解得k＝1.∴⊙O的半径为3.
⑶连接BC，由弦切角定理得∠PCA＝∠ABC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.有Rt△ABC中，∵ CE⊥AB，∴由射影定理得AC2＝AE AB，∴AC2＝2×6，∴AC＝2，∴sin∠ABC＝＝＝，∴sin∠ABC＝.
【变式题组】
1.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB.⑴求证：PC是⊙O的切线；⑵求证：BC＝AB；⑶点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN MC的值.
【例3】如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线，分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX，求证：＝cos∠BAC.
【解法指导】证明：设AX与⊙O相交于点A1，连接OB，OC，O A1..又M为BC的中点，所以，连接OX，它过点M，因为OB⊥BX，OX⊥BC，所以XB2＝XM XO①.又由切割除线定理得XB2＝XA1 XA②.由①，②得＝，于是△XMA∽△XA1O，所以＝＝.又∠BOC＝2∠BAC，所以∠BOX＝∠BAC，于是＝＝cos∠BAC.
【变式题组】
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC
目录
第1讲 二次根式的性质和运算(P2----7)
第2讲 二次根式的化简与求值(P7----12)
第3讲 一元二次方程的解法(P13----16)
第4讲 根的判别式及根与系数的关系(P16----22)
第5讲 一元二次方程的应用(P23----26)
第6讲 一元二次方程的整数根(P27----30)
第7讲 旋转和旋转变换（一）(P30----38)
第8讲 旋转和旋转变换（二）(P38----46)
第9讲 圆的基本性质(P47----51)
第10讲 圆心角和圆周角(P52----61)
第11讲 直线与圆的位置关系（P62----69）
第12讲 圆内等积证明及变换((P70----76)
第13讲 弧长和扇形面积(P76----78)
第14讲 概率初步(P78----85)
第15讲 二次函数的图像和性质(P85----91)
第16讲 二次函数的解析式和综合应用(P92----98)
第17讲 二次函数的应用(P99----108)
第18讲 相似三角形的性质 (P109----117)
第19讲 相似三角形的判定(P118-----124)
第20讲 相似三角形的综合应用(P124-----130)
第1讲 二次根式的性质和运算
考点·方法·破译
1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；
2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；
3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.
经典·考题·赏析
【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.
【变式题组】
1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
⑵①；②；③；④，最简二次根式是（ ）
A．①,② B．③,④ C．①,③ D．①,④
【例２】(黔东南)方程，当y＞0时，m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.
【变式题组】
2．（宁波）若实数x、y满足，则xy的值是__________.
3．（荆门）若，则x－y的值为（ ）
A．－ 1 B．1 C．2 D．3
4．（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
5.（怀化），则a－b－c＝________.
【例３】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A．； B． 不能化简；C.；D．，而.故本题应选D.
【变式题组】
6．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a＝________．
7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8．已知最简二次根式和是同类二次根式，则a＝_______，b＝______.
【例４】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解法指导】正确运用二次根式的性质①；②；③ ；④ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. .故本题应选C.
【变式题组】
9. （聊城）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．计算：_____________
11．_____________
12．(济宁)已知a为实数，那么＝（ ）
A．a B．－a C．－1 D．0
13．已知a＞b＞0，a＋b＝6，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【例５】已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0知x＜0. 故原式.选D.
【变式题组】
14．已知a、b、c为△ABC三边的长，则化简的结果是_______.
15．观察下列分母有理化的计算：，，，算果中找出规律，并利用这一规律计算：
_________.
16．已知，则0＜x＜1，则_________.
【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中，.
⑵已知，，那么代数式值为________.
【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy、x＋y的值，再代入求值.
【解】⑴原式＝，当，时，ab＝1，a＋b＝,原式＝.
⑵由题意得：xy＝1，x＋y＝10, 原式＝.
【变式题组】
17．（威海）先化简，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中,.
18．（黄石）已知a是的小数部分，那么代数式的值为________.
【例７】已知实数x、y满足，则3x2－2y2＋3x－3y－2007的值为（ ）
A．－2008 B．2008 C．－1 D．1
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a、b的关系，再代入求值.
解:∵，
∴，
，由以上两式可得x＝y.
∴, 解得x2＝2008，所以3x2－2y2＋3x－3y－2007＝3x2－2x2＋3x－3x－2007＝x2－2007＝1，故选D.
【变式题组】
19．若a＞0，b＞0，且，求的值.
演练巩固·反馈提高
01．若，则估计m的值所在的范围是（ ）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
02．（绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
03．（黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
06．（常德）设a＝20， b＝(－3)2, , , 则a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
A．c＜a＜d＜b B．b＜d＜a＜c C．a＜c＜d＜b D．b＜c＜a＜d
07．（十堰）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
08．如果把式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
09．（徐州）如果式子化简的结果为2x－3，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x＞0
10．（怀化）函数中自变量的取值范围是________.
11．（湘西）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算a※b＝.那么12※4＝________.
12．（荆州）先化简，再求值：，其中.
13．（广州）先化简，再求值：，其中.
培优升级
01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数是________.
02．已知a、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有________对.
03．（全国）设，则________.
04．（全国）设,a是x的小数部分,b是x的小数部,则a3＋b3＋3ab＝________.
05．（重庆）已知，则x2＋y2＝________.
06．（全国）已知，，，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
07．（武汉）已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
A． B．3 C． D．
08．（全国）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
09．（全国）等于（ ）
A． B． C．5 D．1
10．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，求a＋b＋c的值.
12．已知与的小数部分分别是a和b，求ab－3a＋4b＋8的值.
第2讲 二次根式的化简与求值
考点·方法·破译
1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.
2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.
3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.
经典·考题·赏析
【例１】（河北）已知，那么的值等于__________
【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用表示或化简变形.
解：两边平方得，， ，两边同乘以x得， ，∵，，∴原式==
【变式题组】
若（0＜a＜1），则________
设，则的值为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【例２】（全国）满足等式
＝2003的正整数对（x,y）的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.
解：可化为，
∴
∵，∴，则xy＝2003，且2003是质数，
∴正整数对（x,y）的个数有2对，应选B.
【变式题组】
3．若a＞0，b＞0，且，求的值.
【例３】（四川）已知：，求代数式
的值.
【解法指导】视x－2，x2-4x为整体，把平方，移项用含a的代数式表示x－2，x2-4x，注意0＜a＜1的制约.
解：平方得，，∴，，
，
∴化简原式＝
＝
【变式题组】
4．（武汉）已知，求代数式的值.
5．（五羊杯）已知，，且，则a的值等于（ ）
A．－5 B．5 C．－9 D．9
【例４】（全国）如图，点A、C都在函数的图像上，点B、D都在x轴上，且使得△OAB、△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为________.
【解法指导】解：如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F.设
OE=a，BF=b，则AE=a，CF=b，所以，点A、C的坐标为（a,a）、
（2a＋b,b），所以，解得，
因此，点D的坐标为（,0）
【变式题组】
6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
； （一） ； （二）
； （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简：
； （四）
（1）请你用不同的方法化简；
①参照（三）试得：=_____________________________；（要有简化过程）
②参照（四）试得：=_____________________________；（要有简化过程）
（2）化简：
【例５】（五羊杯）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积.
【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么 )，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.
解：如图，作长方形ABCD，使AB＝b－a，AD＝c，延长DA至E，使DE＝d，延长DC至F，使DF＝b，连结EF、FB、EB，则BF＝，EF＝，BE=，从而知△BEF就是题设的三角形，而S△BEF＝S长方形ABCD＋S△BCF＋S△ABE－S△DEF＝(b－a)c＋(d－c)(b－a)－bd＝(bc－ad)
【变式题组】
7．(北京)已知a、b均为正数，且a＋b＝2，求U＝
演练巩固·反馈提高
01．已知，，那么代数式值为__________
02．设，则＝（ ）
A． 24 B．25 C． D．
03．（天津）计算__________
04．（北京）若有理数x、y、z满足，则__________
05．（北京）正数m、n满足，则__________
06．（河南）若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
07．已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
08．设，，，则a、b、c之间的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
09．已知，化简
培优升级
01．（信利）已知，那么__________
02．已知，则__________
03．（江苏）已知，则__________
04．（全国），则x＝__________
05．已知，，那么__________
06．（武汉）如果，，，那么的值为（ ）
A． B．2001 C．1 D．0
07．（绍兴）当时，代数式的值是（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．
08．（全国）设a、b、c为有理数，且等式成立，则的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定
09．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
10．已知实数a、b满足条件，化简代数式，将结果表示成不含b的形式.
11．已知，化简：
12．已知自然数x、y、z满足等式，求x＋y＋z的值.
第3讲 一元二次方程的解法
考点·方法·破译
1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；
2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；
3．会应用一元二次方程解实际应用题。
经典·考题·赏析
【例１】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A.(m-2)x2-2x-1=0 B.k2x+5k+3=0
C. D.
【解法指导】A、B选项中的二次系数可以为0，不是；D的分母中含字母，不符合.故选C.
【变式题组】
1．（威海）若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2，则另一个根是___________.
【例2】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1，那么代数式2m2+4n2-4n+1998=___________.
【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.
解：由题意，2m2=4m+2，4n2=8n+2，则原式=(4m+2)+(8n+2)-4n+1998=(4m+4n)+4+1998，又由根与系数关系得m+n=2，∴原式=2010.
【变式题组】
2．（南昌）若3a2-a-2=0，则5+2a-6a2=___________.
3．（烟台）设a、b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【例3】关于x的一元二次方程(m-3)x2+4x+m2-9=0有一个根为0，m的值为___________.
【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.
解：依题意m2-9=0，∴m=±3，根据方程是一元二次方程得m≠3，综合知m=-3.
【变式题组】
4．（庆阳）若关于x的方程x2+2x+k-1=0的一个根是0，则k=___________.
5．（东营）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【例4】（连云港）解方程：x2+4x-1=0.
【解法指导】解：
解法一：∵a=1，b=4,c=-1，∴x=.即x=-2±.∴原方程的根为.
解法二：配方，得(x+2)2=5，直接开平方，得,∴原方程的根为.
【变式题组】
6．（清远）方程x2=16的解是（ ）
A．x=±4 B．x=4 C．x=-4 D．x=16
7.（南充）方程(x-3)(x+1)=x-3的解是（ ）
A.x=0 B.x=3 C.x=3或x=-1 D.x=3或x=0
8.（咸宁）方程3x(x+1)=3x+3的解为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x1=0，x2=-1 D．x1=1，x2=-1
9.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.
①x2-3x+1=0；②(x-1)2=3；③x2-3x=0；④x2-2x=4.
【例5】（山西）解方程：6x2-x-12=0
【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得x2-x=2，配方得x2-x+(-)2=2+(-)2,(x-)2==()2，即x-=±，∴x1=,x2=.
【变式题组】
10．（仙桃）解方程：x2+4x+2=0.
11．（武汉）解方程：x2-3x-1=0.
12．（山西）解方程：x2-2x-3=0.
演练巩固·反馈提高
01．（宁德）方程x2-4x=0的解是___________.
02．（十堰）方程(x+2)(x-1)=0的解为___________.
03．（大兴安岭）方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（ ）
A．x=5 B．x=或x=6 C．x=7 D．x=5或x=7
04．（太原）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）
A．(x+1)2=6 B．(x-1)2=6 C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=9
05．（云南）一元二次方程5x2-2x=0的解是（ ）
A． B．
C． D．
06．（黄石）已知a、b是关于x的一元二次方程x2+nx-1=0的两实数根，则式子的值是（ ）
A．n2+2 B．-n2+2 C．n2-2 D．-n2-2
07．（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
08．（台州）用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（ ）
A．(x+2)2=1 B．(x-2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=9
09．（义乌）解方程x2-2x-2=0.
10．（兰州）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x.
11．（新疆）解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.
12．（梧州）解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0.
13．（长春）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.
14．（上海）解方程：
培优升级
01．（鄂州）已知α、β为方程x2+4x+2=0的两个实根，则α3+14β+50=___________.
02．已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，那么代数式的值为___________.
03．（苏州）若x2-x-2=0，则的值等于（ ）.
A． B． C． D．或
04．（全国）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．3
05．（全国）已知实数x、y满足：，y4+y2=3，则的值为（ ）.
A．7 B． C． D．5
06．（全国）已知m=1+，n=1-，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，则a的值等于（ ）.
A．-5 B．5 C．-9 D．9
07．（毕节）三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________.
08．（滨州）观察下列方程及其解的特征：
⑴的解为x1=x2=1；⑵的解为x1=2，x2=；⑶的解为x1=3，x2=；……
解答下列问题：
⑴请猜想：方程的解为________；⑵请猜想：关于x的方程________的解为x1=a，x2=（a≠0）；⑶下面以解方程为例，验证⑴中猜想结论的正确性.
解：原方程可化为5x2-26x=-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
09．（泸州）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…△PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3、…An-1An都在x轴上.
⑴求P1的坐标；
⑵求y1+y2+y3+…+y10的值.
第4讲 根的判别式及根与系数的关系
考点·方法·破译
1．掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；
2．理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.
经典·考题·赏析
【例1】（成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-1 B. C.k<1 D.
【解法指导】 由题意得
【变式题组】
1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B. C. D.=0
2．(潍坊)关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．6 B.7 C.8 D.9
【例２】 （荆州）关于x的方程 QUOTE QUOTE 只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ）
A．a=0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2
【变式题组】
3．(成都)设x1,x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________.
4．(南通)设x1,x2是一元二次方程的两个实数根，则,则a=______
【例３】 （包头）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且=7,则的值是（ ）
A．1 B.12 C.13 D.25
【解法指导】 本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足.由题意知：
又∵
,
而当m=5时，原方程的判别式,此时方程无解，不合题意舍去.
,故选C.
【变式题组】
5．（潍坊）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是,则k的值是（ ）
A．8 B.-7 C.6 D.5
6．（鄂州）设是关于x的一元二次方程的两实根，当a为何值时，有最小值？最小值是多少？
【例４】 （兰州）已知关于x的一元二次方程.
如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
如果此方程的两个实数根为,且满足,求a的值.
【解法指导】 解：（1）.∵方程有两个不相等的实数根，.(2)由题意得：
【变式题组】
7．(绵阳)已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【例５】 （中山）已知关于x的方程.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根.
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.
【解法指导】 证明方程有两个不相等的实数根，一般要把化为完全平方加正常数的形式.
（1）证明:因为△==
所以无论取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根.
（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，根据方程的根与系数的关系得，解得，所以原方程可化为，解得，
【变式题组】
8．(中山)已知一元二次方程.
(1)若方程有两个实数根，求m的值；（2）若方程的两个实数根为，且+,求m的值.
【例６】 设实数s,t分别满足,并且st≠1，
求的值.
【解法指导】 本题要观察s,t的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.
解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为： ,又∵st≠1，
∴t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有 ,即st + 1 =－99s，t = 19s．
∴
演练巩固·反馈提高
01．(东营)若n（n≠0）是关于x的方程的根，则m+n的值为
A.1 B.2 C.-1 D.-2
02．(株洲)定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
03．（崇左）一元二次方程的一个根为-1，则另一个根为 ．
04．(贺州)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
05．（上海）如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ．
06．（泰安）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
07．（淄博）已知关于x的方程．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
08．已知关于x的一元二次方程
(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若方程的两个实数根之积等于,求的值.
09．（孝感）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
10．（鄂州）关于x的方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由
11．（北京）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．
12．（淄博）已知是方程的两个实数根，且．
(1)求及a的值；
(2)求的值．
培优升级
01．（全国）设，，且，则代数式的值为 （ ）
A 5. B7. C 9. D.11.
02．（延边）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A．2016 B.2017 C.2018 D.2019
03．如果a、b都是质数，且,那么的值为（ ）
A． B. C. D或2
04．（全国）已知实数，且满足的值为（ ）
A．23 B.-23 C.-2 D.-13
05.(全国)设是关于x的方程的两个实数根，则的最大值为___________
06．已知是方程的两个实数根，则
07．（全国）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作,则__
08．已知关于x的方程：.
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根为，满足,求m的值及相应的.
09．（全国竞赛）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)若,求m的值；
（2）求的最大值.
第5讲 一元二次方程的应用
考点·方法·破译
1．能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程；
2．会建立一元二次方程模型解实际应用题．
经典·考题·赏析
【例l】 (南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【解法指导】 构建一元二次方程模型求解．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,第一轮被传染人数为x，患流感人数为x+l；第二轮被传染人数为x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9．应选B．
【变式题组】
1．(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x，则关于x的方程为 ．
2．(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2。提高到12．1 m2。，若每年的年增长率相同，则年增长率为( )
A．9％ B．10％ C．1l％ D．12％
3．(太原)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 ．
【例2】 (黄石)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2一12x+35=0的根，则该三角形的周长为( )
A．14 B．12 C．12或14 D。以上都不对
【解法指导】 方程x2一12x+35=0可化为(x一7)(x一5)=0，解得x=7或x=5，当x=7时，三边不能构成三角形，所以第三边的长只能取5，该三角形的周长为12．应选B．
【变式题组】
4．(青海)方程x2一9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
5．(襄樊)如图，在平行四边形ABCD中，AE上BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x一3=0的根，则平行四边形ABCD的周长是( )
A、 B、
C、 D、或
【例3】 (莆田)已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程（x—1)(x一2)=0的两根，且O1O2=2，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ．
【解法指导】 依题意，⊙O1和⊙O2的半径分别为1和2，∵l
6．(兰州)两圆的圆心距为l，两圆的半径分别是方程x2一5x+6=0的两个根，则两圆的位置关系是( )
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
7．(江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程
8．(庆阳)如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部
分作为耕地．若耕地面积需要55 l米。，则修建的路宽应为( )
A、1米 B、1．5米 C、2米 D、2．5米
【例4】 (白银)在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：a b=a2 - b2，求方程(4 3) x=24的解．
【解法指导】 解此类题要严格按照定义进行变换．
解：∵a b=a2 - b2∴(4 3) x=7 x=72-x2 ∴72-x2 =25．∴x=±5．
【变式题组】
9．(全国)对于实数u、v，定义一种运算“※”为：u ※v=uv+v,若关于x的方程x ※(a ※x)= 一有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 ．
【例5】 (十堰)如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地．
怎样围才能使矩形场地的面积为750m2 ，(2)能否使所围矩形场地的面积为8l0 m2 ，为什么
【解法指导】 解：(1)设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 (80一x)米．依题意，得x· (80一x)=750，即x2一80x+1500=0．解此方程，得x1=30，x2=50．
∵ 墙的长度不超过45m, ∴ x2=50不合题意，应舍去．当x=30时，(80一x)= ×(80—30)=25．所以，当所围矩形长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2．
(2)不能．因为由x· (80一x)=810，得x2一80x+1620=0．又∵b2-4ac=(一80)2一4×1×1620= - 80<0∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为8l0 m2．
【变式题组】
10．(广东)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有8l台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台
演练巩固·反馈提高
1．(南通)某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，20l0年该市计划投资“改水工程”1176万元．
(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
(2)从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万
2．(长沙)当m为何值时，关于z的一元二次方程x2—4x+m一=0有两个相等的实数根 此时这两个实数根是多少
3．(贵阳)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。
(1)该公司2006年盈利多少万元
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元
4．(庆阳)某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
(1)该企业2007年盈利多少万元
(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元
培优升级
1．(河南)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2—6x+k=0的两个实数根，且x12x22—x1—x2=115．
(1)求k的值；(2)求x12+x22 +8的值．
2．(临沂)为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18．59万元．
(1)求该学校为新增电脑投资的每年平均增长率；
(2)从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元
3．(南宁)如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．
(1)用含x的式子表示横向甬道的面积为 平方米；
(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽．
4．(厦门)某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系：P=100—2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元 每天要售出这种商品多少件
5．(庆阳)如图．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米2的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱
6．(益阳)如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路。探究并解答下列问题：
(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
7．(全国)某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有同学多少人
第6讲 一元二次方程的整数根
考点·方法·破译
1．方程的整数根问题是各级各类竞赛的热点内容，重点考查含参方程，一般要求参数的值；
2．基本方法有：分解求根法、消参法、判别式法、反客为主法、综合法，
经典·考题·赏析
【例l】 （全国）已知方程a2x2 (3a2 8a)x +2a2 13a +15 =0（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=____．
【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况．对于二次，可用分解求根法．
解：①a=0时，则需2a2 13a +15 =0，矛盾．所以此时无整数解；②a≠0，分解得（ax +3 2a）（ax +5 a）=0．∴a≠0，解得 ，．则a是3或5的约数，故a可取±l，±3或±5．
【变式题组】
1．（全国）已知关于x的方程(a l)x2 +2x a 1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a有 ____个．
2．（全国）设关于x的二次方程（k2 6k +8）x2＋（2k2 6k 4）x＋k2 =4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．
【例2】 （全国）试确定一切有理数r，使得关于石的方程rx2+(r+2)x+r 1 =0有且只有整数根．
【解法指导】 本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况．对于二次，可用消参法，
解：(1)若r=0，x=，原方程无整数根；
(2)当r≠0时，，，消去r得：，得（2x1 1）（2x2 1）=7，令xl
3．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程kx2+（k+l）x+（k l）=0的根都是整数．
【例3】 （海南）已知20102011 20102009= 2010x×2009×2011，那么x的值是( )．
A. 2008 B.2009 C.2010 D.2011
【解法指导】 本题运用分解因式法，由20102011 20102009= 2010x×2009×2011，，则有20102009（2010 1）（2010＋1）= 2010x×2009×2011，则有x=2009，本题应选B．
【变式题组】
4．（全国）若l00a +64和201a +64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是____．
【例4】 （全国）已知a是正整数，如果关于并的方程x3+ (a +17)x2+（38 a）x-56 =0
数，求a的值及方程的整数根．
【解法指导】本题可用综合法，解：观察易知，方程有一个整数根x1=1，将方程的左边分解因式得(x 1)[x2+(a+18)x+56]=0因为a是正整数，所以关于x的方程x2+(a+18)x+56 =0 (1)
(l)的判别式△=(a+18)2 224 >0，它一定有两个不同的实数根而原方程的根都是整数，所以方
都是整数，因此它的判别式△= (a+18)2 224应该是一个完全平方数，设(a+18)2 224 =k2（其
整数），则(a +18)2 - k2= 224，即（a+18 +k）（a+18 -k）=224.显然a+18 +k与a+18 -k的奇偶性相同，且
a+18 +k≥18．而224 =112×2 =56×4 =28 ×8，所以或
或解得或或
而a是正整数，所以只可能或
当a=39时，方程(l)即x2 +57x +56 =0，它的两根分别为－1和－ 56.此时原方程的三个根为1，－1，－56． 当a= 12时，方程(1)即x2 +30x +56 =0，它的两根分别为-2和- 28.此时原方程的三个根为1，－2，－28．
【变式题组】
5．（全国）设a是正整数，二次函数y=x2+(a+17)x+38 -a，反比例函数y=，如果两个函数图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值，
【例5】 （全国）关于x，y的方程x2 +xy+2y2= 29的整数解（x，y）的组数为( )
A．2组 B．3组 C．4组 D．无穷多组
【解法指导】 本题可用判别式法．解：可将原方程视为关于算的二次方程，将其变形为x2+xy+(2y2 29)=0．由于该方程有整数根，则判别式△≥0，且是完全平方数．由A =y2 4（2y2 29）=－7y2 +116≥0，解得y2≤≈16. 57．于是
0 1 4 9 16
△ 116 109 88 53 4
显然，只有=16时，△=4是完全平方数，符合要求．当y=4时，原方程为x2+4x +3 =0．此时x1=－l，x2=－3；当y=－4时，原方程为x2 4x +3 =0，此时x3 =1，x4=3．
所以，原方程的整数解为
【变式题组】
6．（武汉）整数a使得关于x、y的方程组 对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值．
演练巩固·反馈提高
1．（全国）关于x、y，的方程x2+y2= 208（x y）的所有正整数解为______．
2．若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程x2 (m+2)x+4m =0的根，求m及三角形三边长．
3．已知方程ax2 (a-3)x+a 2=0中的a取整数，试求出能使此方程的解至少有一个是整数时a的值．
4．（全国）设a是正整数，如果二次函数y =2x2+ (2a +23)x+10 7a和反比函数） 的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共点．
5．（全国）已知p、q都是质数，且使得关于x的二次方程x2 (8p l0q)x +5pq =0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q) ．
培优升级
1．（全国）已知a、b都是正整数，试问关于x的方程x2 abx+(a +b)=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
2．（全国）(1)是否存在正整数m、n，使得m(m+2)=n(n+1) (2)设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n,，使得m（m+k）=n(n+1)
3.（全国）如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2+2（k-2）x十k=0（k是整数）的最大整数根．P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点．若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2+ PB2+ PC2的值．
4．（全国）设整数a、b、c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2 ab ac bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．
5．（全国）已知二次函数y=x2+bx c的图象经过两点P(l，a)，Q(2，l0a)．
(1)如果a、b、c都是整数，且c
第7讲 旋转和旋转变换（二）
考点·方法·破译
1．掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角；
2．会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；
3．能利用旋转性质进行开放探究。
经典·考题·赏析
【例１】（咸宁）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（ ）
A． ②④ B． ①④ C． ②③ D. ①③
【解法指导】本题解题可利用旋转的性质切入
解：由旋转性质知，∠FAD=∠FBC=900，且AF=AD，∵∠DAE=450，∴∠FAE=450，由AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AD，得△AED≌△AEF，①正确；由勾股定理得BF2+BE2=FE2，将BF=DC，FE=DE代入得，BE2+DC2=DE2，④正确；且知③不正确；若∠AFB≠∠ADC，则②不正确，故本题选B
【变式题组】
1．如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=450，记AM=m,MN=x,BN=n,则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（ ）
A． 锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变
【例２】 （孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转900，得△A1OB1。已知∠AOB=900，∠B=900，AB=1，则B1点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】 根据旋转的性质得∠A1OB1=300，OB1=OB=，过B1作B1H垂直Y轴于H。可得B1H=，OH=，则B1点的坐标为，本题选A。
【变式题组】
1．（泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿X轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，…P2008的位置，则点P2008的横坐标为_________
．
【例３】（邵阳）如图将Rt△ABC(其中∠B=340，∠C=900)绕点A按顺时针方向旋转到△A1B1C1的位置，使得点C、A1，B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）
【解法指导】 可以选择∠BAB1为旋转角，由三角形外角和定理得∠BAB1=340+900=1240，应选B。
【变式题组】
3．（津州）如图，△OAB绕点O逆时针旋转800得到△OCD，若∠A=1100，∠D=400，则∠а的度数是（ ）
A． 300 B． 400 C． 500 D．600
4．（陕西）如图，∠AOB=900，∠B=300，△A1OB1可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转а角度得到的，若点A1在AB上，则旋转角а的大小可以是（ ）
A． 300 B． 450 C． 600 D． 900
5．（株洲）如图是“大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的，测得AB=BC，OA=OC，OA⊥OC，∠ABC=360，则∠OAB的度数是（ ）
A． 1160 B． 1170 C．1180 D．1190
【例４】（昆明）在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4cm，AC=3㎝，把△ABC绕点A顺时针旋转900后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．5
【解法指导】 点B所走过的路径是以AB为半径、圆心角为900的圆弧，又AB=5cm，所以路径长为，应选C
【变式题组】
6．（丽水）把一副三角板按如图（1）位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合，已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转600后如图（2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是________cm2(结果精确到0.1,).
【例５】(南宁)已知△ABC在平面坐标系中的位置如图所示。
分别写出图中点A和点C的坐标；
画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转900后的△A1B1C1；
求点A旋转到点A1所经过的路线长（结果保留）
【解法指导】解：（1）A（0，4）、C（3，1）（2）图略
（3）AC=，弧
【变式题组】
1．（武汉）如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1。0）
（1）请直接写出点A关于Y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转900，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标。
2．（齐齐哈尔）如图，在平面坐标系，△ABC的顶点坐标为A（-2，3）、B（-3，2）、C（-1，1）。
（1）若将△ABC向右平移3个单位，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1
（2）画出△A1B1C1绕原点旋转1800后得到的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：_________;
(4)顺次连结C、C1、C1、C2所得到的图形是轴对称图形吗？
【例６】（全国）如图在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1）、B（2，-1），C（-2，-1）、D（-1，1），Y轴上一点P（0，2）绕点A旋转1800得到P1，点P1绕点B旋转1800得到P2；点P2绕点C旋转1800得点P3，点P3绕点D旋转1800得到P4，……，重复操作依次得到P1、P2、……，则点P2010的坐标是（ ）
A、（2010，2） B、（2010，-2） C、（2012，-2） D.（0，2）
【解法指导】由已知可以得到，点P1、P2的坐标分别为（2，0），（2，-2），记P2（a2,b2），其中a2=2,b2=-2,根据对称关系，依次可以求得：P3（-4-a2,-2-b2）,P4(2+a2,4+b2),P5(-a2,-2-b2),P6(4+a2,b2)，令P6(a6,b2),同样可以求得，点P10的坐标（4+a6,b2）即P10(4×2+a2,b2),由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标为（2010，-2），本题应选B。
【变式题组】
1．（东莞）如图①，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小；（2）如图②，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小。
2．（衡阳）如图，圆心角都是900的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD。（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是OA=2cm，求OC的长。
演练巩固·反馈提高
01．（广州）将左图所示的图案按顺时针方向旋转900后可以得到的图案是（ ）
02．（黑龙江）如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边上的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
03．（扬州）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ABP1重合，如果AP=3，那么线段PP1的长等于________.
04．(达州)如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线l滚动，则A点从开始至结束所走过的路线长为：___________（结果保留准确值）
05．（青岛）如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转450，则这个两个正方形重叠部分的面积是_______.
06．(莆田)如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答下列问题：
（1）网格中每个小三角形的面积为_________
（2）将顶点在格点上的四边形ABCD绕点O顺时针旋转120两次所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为____________ (结果保留)
07．（温州）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上。（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形。
培优升级
01．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转400后得到的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=900，则∠B的度数是________.
02．(黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转900至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是_______cm2.
03．(延边)如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P在矩形ABCD内。若AB=4cm，BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为______cm2.
04．(嘉兴)如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为_____.
05．如图，已知：P是等边△ABC内的一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7,则以PA、PB、PC的长为三角形的三个内角的大小之比（ ）
A． 2：3：4 B．3：4：5 C． 4：5：6 D．5：6：7
06．（河北）有一个四等转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1，若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转900，则完成一次变换。图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换，按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）
A． 上 B．下 C．左 D．右
07．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC。（1）将△PAB绕点B顺时针旋转900到△P1CB的位置（如图1）。①设AB的长为a , PB的长为b(b
第8讲 旋转和旋转变换（二）
考点·方法·破译
1．能利用旋转性质进行开放探究；
2．能运用类比推理思想进行开放探究；
3．学会在旋转变换中寻找不变几何关系。
经典·考题·赏析
【例１】（山西）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC.
试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG,你认为（1）的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。
【解法指导】解：（1）答：AE⊥GC.证明：延长GC交AE于点H.在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG,∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°
∴AE⊥GC
（2）答：成立
证明：延长AE和GC相交于点H.
在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG.
∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDC=90°
∴∠1=∠2=90°-∠3
∴△ADE≌△CDG
∴∠5=∠4.
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°
∴∠6=∠7.
又∵∠AEB+∠6=90°, ∠AEB=∠CEH
∴∠CEH+∠7=90°,∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC
【变式题组】
1．（烟台）如图，直角梯形ABC中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，∠BCD的平分线于点E,连接BE.
（1）求证：BC=CD
（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG。求证：CD垂直平分EG。
（3）延长BE交CD于点P.求证：P是CD的中点。
【例２】（台州）如图1，Rt△ABC≌△Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°。△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE、DF分别交线段AC于点M、K
（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．
②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．
（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值．
【解法指导】（1）① = ② ＞ （2）＞
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．
∵ 30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK =60°．
∴∠ADM=∠GDM，∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．
（3）∠CDF=15°，=
【变式题组】
2．填空或解答：点B 、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于点F.
（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB=_____；如图②，若∠BAC=90°，则∠AFB=_____；
（2）如图③，若∠BAC=，则∠AFB=_____（用含的式子表示）；
（3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤，在图④中，∠AFB=与∠的数量关系是______；在图⑤中，∠AFB=与∠的数量关系是______，请你任选其中一个结论证明。
【例３】已知将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转（0°＜＜90°），在旋转的过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N,分别过M、N作直线AB的垂线垂足为G、H。
当=30°时，（如图2），求证：AG=DH；
当=60°时，（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的结论，并说明理由；
当0°＜＜90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论并根据图4说明理由。
【解法指导】本题属于旋转类动态问题，是开放探究题，在旋转变化中，始终有两组三角形全等（或相似）。
（1）证明：∵∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD.又MG⊥AD于点G，
∴AG=AD.
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD.
∴C与N重叠.又NH⊥DB于点H，
∴DH=DB.
∵AD=DB，
∴AG=DH.
(2)解：结论成立.
∵∠ADM=60°，
∴∠NDB=90°-60°=30°.
∴∠MAD=∠NDB.
又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，
∴△MAD≌△NDB.
∴MA=ND.
∵MG，NH分别是△MAD，△NDB的对应高，
∴Rt△MAG≌Rt△NDH.
∴AG=DH.
(3)解 ：结论成立.
在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG＝60°＝∠B.
又∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB.
∴.
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH.
又∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN.
∴
∴
∴
∴AG=DH.
【变式题组】
3．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
【例４】如图①，两个图形（与比2：1），∠BAD=120°，对角线均在轴上，抛物线y=
x2经过AD中点M．
（1）填空：A点坐标为_____，D点坐标为______；
（2）操作：如图②，固定，将绕点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长E交AD于P，延长H交CD于Q．
探究1：在旋转过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α值；若不存在，说明理由；
探究2：设AP=x，四边形OPDQ面积s，求s与x之间函数关系式，并指出x取值范围．
【解法指导】
（1）A（0，2），D（，0）．（2）探究1：当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．理由如下：∵两菱形的位似比为2﹕1，OA=2，OD=，菱形ABCD边长为4，∠BAO=60°∴菱形EFGH的边长EF=AD=2，∠FEO=60°∵在旋转过程中EF的长和∠FEO的大小始终不变∴当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2△AOP为等边三角形，∠APO=∠AOP=60°那么，∠APO=∠FEO=60°，则EF∥AP又∵EF=AM=2∴当旋转角度α=∠AOP=60°时，EF平行且等于AP∴α=60°时，四边形AFEP为平行四边形．探究2：过P点作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T，设TQ=y，则：PR=AP sin60°=，OR=OA﹣AR=2﹣AP cos60°=2﹣x，OT=OD﹣DT=﹣TQ tan60°=2﹣y∵它绕对称中心O旋转时∠POR=∠QOT∴Rt△POR∽Rt△QOT∴∴，化简得：y=∴S=S△OPD+S△ODQ=×2（2﹣x）+×2×=2﹣x+．即S与x的函数关系式为：S=2﹣x+．（0＜x＜4）
【变式题组】
4．（宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时OA′、B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OA′B′C′的形状是________矩形，当α=90°时， 的值是________；
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.（武汉）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，S则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
演练巩固·反馈提高
01．（茂名）如图，把抛物线y=x2与直线y=1围成图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的是（ ）
A． 点O1的坐标是（1,0） B．点C1的坐标是（2，-1）
C．四边形O1BA1B1是矩形 D．若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3
02．（河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2,0）和（2,0）.月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（2,2） B．（2,4） C． （4,2） D．（1,2）
03．（包头）如图，已知△ACB与△的DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小的锐角为30°，将两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为______cm（保留根号）.
04．（河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
（1）①当α______度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD长为______；
②当α______度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD长为______；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.
培优升级
01．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
02．（武汉）如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3.则PC所能达到的最大值为（ ）
A． B． C． 5 D．6
03．（常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
04．（随州）如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
05．如图等边△ABC的边长为a=，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2=PC2,若PC=5，求PA、PB的长.
第9讲 圆的基本性质
考点·方法·破译
1．掌握点与圆的三种位置关系及相应数量关系，能进行判别及应用；
2．理解掌握垂径定理及其推论，能根据垂径定理作辅助线，会用垂径定理及其推论解实际问题；
3．会用圆的对称性解释数学问题．
经典·考题·赏析
【例1】（江西）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外
【解法指导】作图知，数轴上在⊙A上的点，最左边的表示的实数为1，最右边的表示的实数为5，在1、5之间的数的点在⊙A内，所以，B、C、D都对，A不正确．本题选A．
【变式题组】
1． （盐城）如图，⊙O的半径OA＝10cm，弦AB＝16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为________cm．
第1题图第2题图例2图
2． 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8．则⊙O上到弦AB所在的直线的距离为1的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． （资阳）已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A、C、D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
【例2】（全国）已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在⊙O内作正△ABC，点D为⊙O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交⊙O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
【解法指导】如图，连结OE、OA、OB．设∠D＝α，则∠ECA＝120°－α＝∠EAC．又因为∠ABO＝∠ABD＝（60°＋180°－2α）＝120°－α，所以△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1．本题应选B．
【变式题组】
4． 如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l2的一个交点；…，按照这样的规律进行下去，点An的坐标为___________．
第4题图
【例3】（钦州）已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为．求⊙O1的半径．
【解法指导】解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，则有AC＝BC．由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．在Rt△A O1C中，∵O1的纵坐标为，∴O1C＝，∴⊙O1的半径O1A＝．
【变式题组】
5． （黄石）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1、h2，则| h1－h2|等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6． （河南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆⊙M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
第5题图 第6题图 例4图
【例4】（巴中）已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A、B、D三点的圆的圆心．
【解法指导】本题实质上是要证明AE＝BE＝DE．
证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1＝∠2，又∵DE∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，∵过A、B、D三点确定一个圆，又∠ADB＝90°，∴AB是A、B、D所在的圆的直径．∴点E是A、B、D所在圆的圆心．
【变式题组】
7． （荆门）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．
题7题图 例5图
【例5】（全国）如图，已知四边形ABCD的内接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD的面积．
【解法指导】解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB︰AC＝AE︰AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD．连结AO，交BD于H，则BH＝HD＝，∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1．∴S△ABD=BD·AH＝，∵E是AC中点，∴S△ABE＝S△CBE，S△ADE＝S△CDE，∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2．
【变式题组】
8． 如图，⊙O半径为2，弦BD＝2，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上．求四边形ABCD的面积．
第8题图 第9题图
9． （哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连结CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．
演练巩固·反馈提高
1． 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB＝10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2． 一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3． 如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（ ）
A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C． D．OD＝DE
4． 如图，已知AB为⊙O的弦，直径MN与AB相交于⊙O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN＝20，AB＝8，则MC－ND＝________．
5． （广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC＝AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．求证：EF平分∠CEN．
第5题图
培优升级
1． 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
第1题图 第2题图 第3题图
2． （邵阳）如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连结BC、BD，AB＝5，AC＝4，则BD＝________．
3． 如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE＝1cm，EF＝3cm，则AB＝___________cm．
4． （遵义）如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，sinA＝，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．4 D．
第4题图 第5题图
5． （安徽）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6． 如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、CD、EF，如果，那么AB＋CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB＋CD＝EF B．AB＋CD＞EF C．AB＋CD＜EF D．不能确定
第6题图
7． （河北）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第7题图 第8题图
8． 如图，用三个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（ ）
A． B． C． D．
9． 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8．0级大地震，地震发生后，全国人民积极投入抗震救灾工作之中，图为某军区空投物资用的某种降落伞及其轴截面示意图，△ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，现测得EO的长为1．04m，那么降落伞的直径AB为（ ）
A．6m B．6．24m C．6．30m D．7．0m
10．（南昌）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为___________．
第9题图 第10题图
11．（全国）如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB＝BD，且PC＝0.6，求四边形ABCD的周长．
第11题图
第10讲 圆心角和圆周角
考点·方法·破译
1．理解掌握圆心角、圆周角的概念，能依据定义进行辨别；
2．理解掌握圆周角相关的定理和推论，并能根据己知条件添加所需要的辅助线；
3．能灵活进行圆内角的代换、转化和求值（角度）．
经典·考题·赏析
【例1】（成都）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BD=_________．
【解法指导】连接OB．根据垂径定理推论可得∠ABO=∠OBC=60°．∴∠BAC=60°．由AD为⊙O的直径知∠ABD＝90°．∴AB=3，BD=3cm
【变式题组】
1．（河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（芜湖）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为__________．
3．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为___________．
【例2】（盐城）如图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动．设运动时间为t（s），∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
【解法指导】本题要从O—C、C—D、D—O三种情况进行探究，其中从O—C，y从90逐渐减小到45；从C—D、∠APB＝45°，即y恒为45；从D—O，y从45逐渐增大到90．综合知本题应选C．
【变式题组】
4．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A＝∠B=60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
5．（威海）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是（ ）
A．∠BOD＝∠BAC B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠C＝∠D
6．（青岛）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝42°，则∠BAD=_______．
【例3】（柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．
【解法指导】
证明：（1）连结AC，如图，
∵C是弧BD的中点，∴∠BDC＝∠DBC，又∠DBC＝∠BAC，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE＝∠BAC，∠BCE＝∠DBC，∴，因此，CF=BF；
（2）作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点，∴∠CAG＝∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线，∴CE=CG，AE=AG，在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD，∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴BE=DG，∴AE=AB－BE=AG=AD+DG，即6－BE=2+DG，∴2BE=4，即BE=2，又△BCE∽△BAC，∴BC2=BE·AB=12，BC=±2（舍去负值），∴BC=2
【变式题组】
7．（广州）如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC=2cm．
（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长．
8．（沈阳）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．
【例4】如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于____________．
【解法指导】解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM=∠MAB=×（180°－36°－128°）=8°，∵∠AMC＝44°．又AN为切线，∴∠NAC=∠B=36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°=92°，∴△ANM的最小角为44°．
【变式题组】
9．如图，已知点A、B、C、D 顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．
演练巩固·反馈提高
1．（孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．（泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
3．（绍兴）如图，⊙O是正三角形ABC的外接圆，点P在劣弧AB上，∠ABP＝22°，则∠BCP的度数为_____．
4．（肇庆）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
5．（泰州）如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm、1cm，则AC、BD所夹的锐角=_____．
6．（安徽）△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B125° C．135° D．150°
7．（十堰）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．（丽水）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是的中点，已知∠AOB＝98°，∠COB＝120°，则∠ABD的度数是___________．
9．（云南）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠OAC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
10．（枣庄）如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
11．（株洲）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE＝30°，求PE的长．
12．（荆门）如图①，直线AM⊥AN，⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点，连络OC、BC，则有∠ACB＝∠OCB；（请思考：为什么？）如果测得AB=a，则可知⊙O的半径r=a．（请思考：为什么？）（1）将图①中直线AN向右平移，与⊙O相交于C1、C2两点，⊙O与AM的切点仍记为B，如图②．请你写出与平移前相应的结论，井将图②补充完整；判断此结论是否成立，且说明理由．（2）在图②中，若只测得AB=a，能否求出⊙O的半径r？若能求出，请你用a表示r；若不能求出，请补充一个条件（补充条件时不能添加辅助线．若补充线段请用b 表示，若补充角请用表示），并用a和补充的条件表示r.
培优升级
1．（武汉）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
2．（眉山）如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P．则∠P=_______度．
3．（成都）如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD＝∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC＝60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为________．
4．（铁岭）如图所示，AB为⊙O的直径，P点为其半圆上一点，∠POA＝40°，C为另一半圆上任意一点（不含A，B）．则∠PCB=_______度．
5．（衢州）如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是_______，∠B2度数是_______；
（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
（3）如图③，垂直于AD 的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度教（只需直接写出答案）．
6．（中山）如图l，圆内接△ABC中，AB=BC=AC，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点C．
（1）求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的．（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变．求证：当∠DOE绕着O点旋转时．由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC面积的．
7．（宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
第11讲 直线与圆的位置关系
考点·方法·破译
理解掌握圆的切线、割线的概念，懂得直线与圆的三种位置关系及判别依据；
理解掌握切线的性质定理、判定定理，能熟练运用会根据需要添加辅助线；
理解掌握切线长定理，能利用切线相关定理进行推理论证。
经典·考题·赏析
【例1】（泉州）已知直线y=kx（k≠0）经过点（3,-4），（1）求k的值；（2）将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），试求m的取值范围
【变式题组】
1.（辽宁）如图，直线y=x+与x轴、y轴分别相交于A,B两点，圆心P的坐标为（1,0），⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有 个
2.（永州）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，A点的坐标为（-3,0），经过A、O两点作半径为的⊙O，交y轴的负半轴于点B
（1）求B点的坐标；
（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式
【例2】（襄樊）如图所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，则∠D等于（ ）
A. 40° B.50° C.60° D.70°
【变式题组】
3.（徐州、南京）如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（ ）
A.4cm B. 5cm C. 6cm D.8cm
4.（南充）如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A，B,若PA=8cm，C是AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PED的周长是 .
5.（徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=18°，则∠CDA= .
6.（荆门）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,则△ABC的内切圆半径r= .
【例3】（日照）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2,过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E
（1）求∠AEC的度数;
（2）求证：四边形OBEC是菱形
【解法指导】本题（2）根据垂径定理证AC=CE=2，再证BE=2即可。
解:（1）在△AOC中，AC=2，∵AO=OC=2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠AEC=30°
（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l，∴OC∥BD，∴∠ABD=∠AOC=60°，∵AB为⊙O的直径，∴△AEB为直角三角形，∠EAB=30°，∴∠EAB∠=∠AEC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵OB=OC=2，∴四边形OBEC是菱形。
【变式题组】
7.（宁波）已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，=，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，
（1）求证:CD∥BF
（2）连结BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD=，求线段AD、CD的长
【例4】（安顺）如图，AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，（1）求证:DE是⊙O的切线;
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A=30°，AB=8，求弦DG的长
【解法指导】本题（1）根据切线的判定定理要连接OD，证明OD⊥DE即可，
（2）用等面积法求DF
证明:连结，OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO.∵BA=BC,∴∠A=∠C.∴∠ADO=∠C.∴DO∥BC,∵DE⊥BC,∴DO⊥DE.又点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线.
（2）解:∠DOF=∠A+∠ADO=60°，在Rt△DOF中，OD=4DF=OD·sin∠DOF=4·sin60°=2,∵直径AB⊥弦DG，∴DF=FG,∴DG=2DF=4.
【变式题组】
8.（十堰）如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB
（1）求证:DB为⊙O的切线;
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长
9.（大连）如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°.（1）判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；（2）若CD=3，求BC的长.
【例5】（本溪）如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB，
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长
【变式题组】
10.（仙桃）如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE
（1）请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，BD=，求BC的长.
11.（德化）如图，已知在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径.
演练巩固·反馈提高
1.（佳木斯）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连结AD，则下列结论：①AD⊥BC ② ∠EAD=∠B ③OA=AC ④DE是⊙O的切线。正确的个数是（ ）
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个
2.（衡阳）如图，直线AB切⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠EDC=30°，弦EF∥AB，连结OC交EF于点H，连结CF，且CF=2，则HE的长为
3.（门头沟）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（ ）
A.-1≤x≤1 B.-≤x≤ C. 0≤x≤ D.x＞
4.（武汉）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连结DE，
（1）求证:直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值.
5.（北京）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径
（1）求证:AE与⊙O相切;
（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径.
6.（无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示点P的坐标；
（2）过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥轴于D,问：为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．
7.（陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P，（1）求证:AP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长.
8.（贺州）如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE.
（1）求证:DE是⊙O的切线
（2）如果⊙O的半径是cm，ED=2 cm，求AB的长
培优升级
1.（义乌）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G，
（1）求证:点E是的中点；
（2）求证:CD是⊙O的切线；
（3）若sin∠BAD=,⊙O的半径为5，求DF的长.
2.（衡阳）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2㎝，∠ABC=60°，（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．
3.（深圳）如图，在平面直角坐标系，直线l:y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P（O,k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4.（全国）如图：直线AB与⊙O相交于点E、F，EF为⊙O的直径，且AE=EF=FB，直线AP与⊙O的半径OD垂直于D，求证：∠ADE=∠PDB.
5.（江苏）如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．
（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．
第12讲 圆内等积证明及变换
考点·方法·破译
理解掌握切割线定理和相交弦定理.并能用切割线定理和相交弦定理进行推理论证；
能运用分析法和综合法用三角形相似证明等积式.
经典·考题·赏析
【例1】⑴如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C 为圆心、CD为半径的圆与⊙O相交于P、Q两点，弦PQ交CD于E，则PE EQ的值是（ ）
A、24 B、9 C、6 D、27
⑵如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA＝a,PM＝a,那么△PMB的周长为 .
【解法指导】⑴延长DC交⊙C于F，由相交弦定理得PE EQ＝DE EF，∵CD⊥直径AB于D，根据相交弦定理推论得CD CD＝AD BD＝9×4，∴CD＝6.延长CD交⊙O于M，由相交弦定理得PE EQ＝CE EM，∴DE EF＝CE EM，而CM＝DF＝12，设CE＝x,则x （12－x）＝（6－x）(x＋6),解得x＝3.∴PE EQ＝27.应选D.
⑵方法一：连接OM，则∠OMP＝90°.∵PM切⊙O于M，由切割线定理得PM2＝PB PA，∵PM＝a，∴a a＝PB（PB＋2a）,解得PB＝a,在Rt△OMP中，MB＝OP÷2＝a，则△PMB的周长为a＋2a.
方法二：连接OM，则∠OMP＝90°，由勾股定理得PO2＝3a2＋a2,∴PO＝2a.后面的解法与方法一相同.
【变式题组】
1.如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝ .
2.如图，已知A、B、C、D在同一圆上，BC＝CD，AC与BD交于E，若AC＝8，CD＝4，且线段BE、ED为正整数，则BD＝ .
【例2】如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，且PC2＝PE PO.
求证：PC是⊙O的切线；⑵OE︰EA＝1︰2，且PA＝6，求⊙O的半径；⑶求sin∠PCA的值.
【解法指导】⑴证明：连接CD.∵PC2＝PE PO，∴PC︰PE＝PO︰PC，且∠P公用，∴△PEC∽△PCO，∴∠PEC＝∠PCO，又∵CD⊥AB，∴∠PEC＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC⊥OC于C，∴PC是⊙O的切线.
⑵设OE＝ k,则EA＝2k,⊙O的半径为3k,在Rt △PCO中，∵CE⊥PO于E，则射影定理得：OC2＝OE OP，
∴（3k）2＝k （3k＋6）,∵k＞0，解得k＝1.∴⊙O的半径为3.
⑶连接BC，由弦切角定理得∠PCA＝∠ABC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.有Rt△ABC中，∵ CE⊥AB，∴由射影定理得AC2＝AE AB，∴AC2＝2×6，∴AC＝2，∴sin∠ABC＝＝＝，∴sin∠ABC＝.
【变式题组】
1.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB.⑴求证：PC是⊙O的切线；⑵求证：BC＝AB；⑶点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN MC的值.
【例3】如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线，分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX，求证：＝cos∠BAC.
【解法指导】证明：设AX与⊙O相交于点A1，连接OB，OC，O A1..又M为BC的中点，所以，连接OX，它过点M，因为OB⊥BX，OX⊥BC，所以XB2＝XM XO①.又由切割除线定理得XB2＝XA1 XA②.由①，②得＝，于是△XMA∽△XA1O，所以＝＝.又∠BOC＝2∠BAC，所以∠BOX＝∠BAC，于是＝＝cos∠BAC.
【变式题组】
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC
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