2025年人教版数学七年级下册暑期综合训练卷（含解析）

2025年人教版数学七年级下册暑期综合训练卷
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．在，，，，，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．若将东街口的位置记为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则福州十九中的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（ ）．

A． B．
C． D．
5．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）．
A．随机选取一个班的学生 B．随机选取一个体育队的学生
C．在全校女生中随机选取人 D．在全校学生中随机选取人
8．如图，在下列条件中，能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．15
10．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．
12．若是整数，满足，则的值为 ．
13．如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ．如果“马”再走一步，那么“马”的新位置位于点 ．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走）
14．已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是 ．
15．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是 ．
16．如图，直线与相交于点，，平分，且，则 ．
17．每年的6月5日为世界环境日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买节省能源的新设备，某种新设备为每套3万元，凡购买两套及以上的新设备，厂家推出两种优惠方案，第一种：一套设备按原价，其余的按原价的七五折优惠；第二种：全部按原价的八折销售．若该公司在购买相同数量新设备的情况下，要使第一种方案得到的优惠多，至少需要购买新设备
套．
18．已知实数，满足，且，若，则的最大值为 ．
三、解答题
19．用适当的方法解下列方程
(1) (2)
20．解不等式组：
21．某社区积极响应市委市政府“创建文明城市，构建美好家园”的精神．为提高居民的垃圾分类意识，该社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买4个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要740元，购买3个A型垃圾桶和10个B型垃圾桶共需要1180元．求两种型号垃圾桶的单价．
22．手机给学生带来方便的同时也带来了很大的影响．某校七年级在一次家长会上对若干家长进行了一次对“学生使用手机”现象看法的调查，将调查数据整理得如下统计图（A：绝对弊大于利，B：绝对利大于弊，C：相对弊大于利，D：相对利大于弊）：
（1）这次调查的家长总人数为多少人？
（2）本次调查的家长中表示“C：相对弊大于利”所占的百分比是多少？并补全条形统计图．
（3）求扇形统计图中表示“A：绝对弊大于利”的扇形的圆心角度数．
23．当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．
(1)求绣布的周长；
(2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3）
24．在平面直角坐标系中，对于点和点，定义为点和点的“特征积值”，其中表示，中较大的数值，表示，中较大的数值．
例如：点和点，则．
（1）已知点和点．
①________；②点是轴上的动点，且，则________．
（2）如图，正方形的四个顶点，，，，动点在正方形内部（含边界），点在第一象限且，．若，求满足条件的点运动区域的面积（用含或的式子表示）．
（3）已知点，点，求的最小值．
25．某学校开展数学实验活动，需要购买A、B两种实验器材．已知购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元；购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元．
(1)求购进一套A种实验器材和一套B种实验器材各需多少元？
(2)若学校购买A种实验器材不少于20套，购买A、B两种实验器材共45套所花费用不超过5600元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
26．如图1，已知，点在上，点在上，点在之间，连接．
（1）若，求的度数；
（2）如图2，平分，交的延长线于点，
①若，求的度数；
②若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
27．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决：
（1）在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）；
（2）若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围；
（3）若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有C选项中的图案可以有平移得到，
故选C．
2．【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，，
无理数为：，共个，
故选C．
3．【答案】A
【分析】根据第一象限的点的横纵坐标都是正数即可求解．
【详解】解：∵福州十九中位于第一象限，
故它的横纵坐标都是正数
故选A ．
4．【答案】C
【分析】先结合坐标系得三个顶点的坐标分别是，因为向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即横坐标加，纵坐标加，得出平移后三个顶点的坐标，即可作答．
【详解】解：由坐标系得三个顶点的坐标分别是，
∵将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴平移后三个顶点的坐标分别是，
故选C
5．【答案】C
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
将方程①乘以3，得：
用方程③减去方程②得：，
将代入方程①：，
解得：，
∴方程组的解为：，
故选C．
6．【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确．
【详解】解：A. 由，两边乘以正数3，得，但右边乘以负数时，不等号方向应改变，即，因此不成立，错误；
B. 由，两边同时减4，不等号方向不变，得，正确；
C. 由，两边乘以正数2，不等号方向不变，应得，但选项写为，错误；
D. 由，两边乘以负数，不等号方向改变，得，再两边加5，得，但选项写为，错误；
综上，正确选项为B，
故选B．
7．【答案】D
【分析】注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断．
【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，在全校学生中随机选取人，这些对象具有代表性和广泛性．
故选．
8．【答案】D
【分析】平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．
根据平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】A．∵和是一组邻补角，
∴不能判断直线；
B．∵与是一对同旁内角，
∴由不能判断直线；
C．∵与是一对同位角，
∴由不能判断直线；
D．∵与是一对内错角，
∴由能判断直线．
故选D．
9．【答案】B
【分析】先解该不等式组并求得符合题意的的取值范围，再解分式方程并求得符合题意的的取值范围，然后确定的所有取值，最后计算出此题结果．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
由题意得，
解关于的方程得，，
由题意得，，
解得，
的取值范围为：，且为整数，
的取值为，，0，1，2，3，4，5，6，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
为整数，且为整数，
符合条件的整数为，1，3，5，
，
符合条件的所有整数的和为8．
故选B．
10．【答案】B
【详解】解：设木长尺，绳子长尺，
由题意得，，
故选．
11．【答案】垂线段最短
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
12．【答案】7
【分析】先根据得，又因为，且是整数，故，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，且是整数，
∴.
13．【答案】或或
【分析】根据“帅”和“马”的坐标可确定原点位置和坐标轴的位置，据此建立坐标系可得“兵”的坐标，再根据马的行走规则可得“马”再走一步的坐标．
【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则“兵”位于点，
由马的行走规则可知如果“马”再走一步，那么“马”的新位置位于点或或.
14．【答案】8
【分析】注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，比较简单．首先根据频率频数总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算．
【详解】解：根据题意得：第一组到第四组的频率和是：
，
又∵第五组的频率是，
∴第六组的频率为，
∴第六组的频数为：．
15．【答案】5
【分析】把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：依题意，
得：，
∵关于的二元一次方程组的解满足，
∴，
∴，
∴.
16．【答案】
【分析】根据垂直和角平分线的定义，对顶角相等得到，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
17．【答案】6
【分析】找出题目中的等量关系，列出方程．设购买x套新设备第一种办法比第二种办法得到的更优惠，构建不等式求解即可．
【详解】解：设购买x套新设备第一种办法比第二种办法得到的更优惠．由题意得,
，
解得,
故至少需要购买6套新设备．
18．【答案】13
【分析】根据题意，可得，则，由，推导出，即可解答．
【详解】解：由得
，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
则的最大值为13．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用加减消元法解方程组即可；
（2）运用代入消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
∴原方程组的解为．
20．【答案】
【分析】分别求得各不等式的解集，然后求得公共部分即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
21．【答案】A，B两种型号垃圾桶的单价分别为60元和100元
【分析】设两种型号的单价分别为x元和y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设A，B两种型号垃圾桶的单价分别为x元和y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A，B两种型号垃圾桶的单价分别为60元和100元．
22．【答案】（1）200人
（2），见详解
（3）
【分析】（1）用B选项的人数除以其所占百分比可得总人数；
（2）先求出C选项的人数，用C选项的人数所占比例乘以可求“C：相对弊大于利”所占的百分比，最后补全统计图即可；
（3）用乘以“A：绝对弊大于利”人数所占比例即可得．
【详解】（1）解：这次调查的家长总人数为（人）；
（2）解：C选项的人数为（人），
所以本次调查的家长中表示“C：相对弊大于利”所占的百分比为，
补全条形图如下：
（3）解：扇形统计图中表示“A：绝对弊大于利”的扇形的圆心角度数为．
23．【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，由长方形的面积即可求解；
（2）设完整的圆形绣布的半径为r，由圆的面积得，进行估算比较大小，即可求解；
会利用算术平方根求解，实数的大小比较是的解题的关键．
【详解】（1）解：设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，
根据题意，得，
即，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∴绣布的长为24，宽为16．
周长为；
（2）解：不能够裁出来．
理由如下：设完整的圆形绣布的半径为r，
由题意，得，
∵π取3，
∴，
解得（负值已舍去），
∵，
∴．
∴不能够裁出来．
24．【答案】（1）16，4
（2）
（3）2
【分析】（1）①根据“特征积值”计算，即可解答；②根据“特征积值”计算，即可解答；
（2）设，可得，，由点在正方形内部（含边界），推导出，，继而得到，，则点运动区域为长方形，即，即可解答．
（3）分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：①，
②∵点是轴上的动点，且，和点，
∴，
∴．
（2）设，
，
，，
点在正方形内部（含边界）
，，
，，
，，
点运动区域为长方形，即，
满足条件的点运动区域的面积为．
（3）当且时，即时，；
当且时，即时，；
当且时，此时的值不存在；
当且时，即时，；
综上所述，的最小值为2．
25．【答案】(1)购进一套A种实验器材需要150元，一套B种实验器材需要100元
(2)方案一：购买A种实验器材20套，购买B种实验器材25套，
方案二：购买A种实验器材21套，购买B种实验器材24套，
方案三：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套；
(3)购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套费用最少，此时费用为5000元
【分析】（1）设购进一套A种实验器材需要元，一套B种实验器材需要元，根据“购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元；购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元” ，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种实验器材套，则购买B种实验器材套，根据45套所花费用不超过5600元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论；
（3）根据（2）中的方案计算出每个方案的总费用进行比较即可．
【详解】（1）解：设购进一套A种实验器材需要元，一套B种实验器材需要元，
依题意可得：，解得：，
答：购进一套A种实验器材需要150元，一套B种实验器材需要100元；
（2）设购买A种实验器材套，则购买B种实验器材套，
依题意可得：，解得，
∵为整数，
∴的值为20，21，22，
则有以下三种购买方案，
方案一：购买A种实验器材20套，购买B种实验器材25套，
方案二：购买A种实验器材21套，购买B种实验器材24套，
方案三：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套；
（3）由（2）可知：
方案一所需费用：元，
方案二所需费用：元，
方案三所需费用：元，
即：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套费用最少，此时费用为5000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．【答案】（1）
（2）①；②
【分析】（1）过点作的平行线，则，由平行线的性质可得，求出的度数即可得到答案；
（2）①过点作，则，由平行线的性质可得，则可得到，由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，据此可得答案；
②如图，过点F作，则，证明，得到，则可得到，据此可得；由（2）①可得，则，由平角的定义得到，据此求出即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作的平行线，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图2，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
②如图，过点F作，
∴，
，
，
，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
由（2）①可得，
∴
∵，
∴
．
27．【答案】（1）②
（2）
（3）
【分析】（1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案；
（2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：方程①，
解得：，
方程②：，
解得：，
不等式组，
解得：，
在范围内，
方程②是不等式组的“相伴方程”.
（2）方程，
解得：，
不等式组，
解得：，
由题意可得：，
解得：；
（3）方程，
解得：，
方程，
解得：，
，
解得：，
和都在范围内，
，
解得：．
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