3-2 万有引力定律的应用 教学设计

万有引力定律的应用
1教学目标
1．知识与技能：
（1）知道开普勒三大定律及卡文迪许测出万有引力常量G；
（2）知道并熟记三大宇宙速度的物理意义、地球同步卫星的特点；
（3）会用万有引力定律算出天体表面的重力加速度、天体质量与密度；
（4）掌握人造卫星、天体运动规律并能熟练运用；
（5）会用万有引力定律解释人造卫星变轨问题。
2．过程与方法：
（1）体会伟大科学家对理论研究的思想方法，在讨论天体质量和密度过程中，体会严谨的推理方法；
（2）体验知识点归纳与应用的复习方法。
3．情感态度与价值观：
（1）通过课堂讨论、思考、论证，培养自身严密的逻辑思维能力和求实的科学态度；
（2）通过介绍或学习人造卫星发射、运行和变轨问题，去感知科学的价值和应用。
2重点难点
1．用万有引力定律求天体的质量、密度及地球表面的重力加速度；
2．用万有引力定律分析人造卫星及天体运动规律；
3．用万有引力定律解释人造卫星变轨问题。
3教学过程
3.1
第一学时
3.1.1教学活动
活动1【导入】课堂实录
“万有引力定律”高三复习课堂教学实录（二）
一、物理学史
师：万有引力定律和天体运行这一部分知识，涉及到不少物理学史实。请同学们回忆一下，其中最有代表性的人物有哪些？
生：开普勒。
生：牛顿。
生：卡文迪许。
生：伽利略。
师：这些人分别因为什么而在天体物理历史中有了一席之地？
生：开普勒发现天体运行三定律。
生：牛顿发现了万有引力定律。
生：卡文迪许通过扭秤实验测量出了万有引力恒量G的值，证明了牛顿万有引力定律的正确性。
师：确实如此。伽利略呢？他为什么也在天体物理中有一席之地？
生：这个……还真不好说。
师：自然科学诞生的标志，就是引入了实验的方法，这是伽利略的一大贡献。伽利略对运动学进行了大量的研究，这些研究是定量描述天体运动的基础。伽利略还发明了望远镜，用来对天体的观察和测量……
师：其实关于物体之间存在万有引力的研究，还有一个非常重要的人物——胡克。
生：呵——（表现出非常熟悉的神情）
师：对，就是你们非常熟悉的、胡克定律的发现者，英国物理学家胡克。关于引力和距离平方成反比的关系，胡克一直认为是他先发现的，牛顿抢了他的发明权。我想问的一个问题是：以上这些人都在引力、天体的运行方面做出过贡献，为什么最后公认是牛顿发现了万有引力定律呢？
生：牛顿牛啊。（全班大笑）
师：呵呵，那你说说，牛顿牛在哪里呢？
生：（挠头，不知该如何回答）
师：我看不妨将目光聚焦一下，重点分析开普勒、牛顿和胡克这三个人在天体物理上的贡献，看看为什么牛顿成了最后的赢家。
师：先说开普勒，他发现了行星运动的三大定律，为什么比不上牛顿的一个万有引力定律？
生：牛顿的万有引力定律是普遍成立的。
师：难道开普勒的三大定律不是普遍成立的？
生：……
师：看来这个问题有难度。我们先想一下，力学的研究对象是什么？
生：是物体。
生：是力。
生：是运动。
生：是力和运动之间的关系。
师：呵，四位同学提出了四种不同的说法。大家仔细想想看，这其中的那一种说法更准确？
生：（在议论之后）是力和运动的关系。
师：很好。那么我现在问一下，开普勒用三大定律来描述天体的运动，这三大定律是从力的角度、运动的角度还是力和运动关系来描述的？
生：（开始有点分歧，讨论之后）是从运动的角度来描述的。
生：哦，我知道了，它没有说明力和运动的关系。
师：牛顿的万有引力定律呢？
生：描述了所有物体都受到引力的作用。
生：揭示了天体运动状态发生变化的原因。
师：也就是说，万有引力定律，揭示了天体力和运动之间的关系，显然在描述天体运动方面比开普勒的三大定律要深刻。
师：假如真的是胡克发现了引力和距离平方成反比的关系，万有引力定律的发现者是否就应改为胡克？
生：（不知该如何判断）
师：我先给大家提供一点背景资料（PPT展示）。
牛顿发现万有引力定律经历了三个阶段：
第一阶段：（1665-1676年）
主要完成了三件事：
①万有引力思想形成；
②得出引力与距离平方成反比的关系；
③进行月地检测，证明月球轨道轨道近似是个圆，月球绕地球运动遵循万有引力定律。
第二阶段：（1676-1677年）
用严格的数学方法证明：引力与距离平方成反比的关系不仅对圆，对椭圆或任意一种圆锥曲线都成立。
第三阶段：（1685年）
证明了密度均匀分布的球体或者各层密度均匀分布的球体对物体的引力，就跟把球体的质量集中在球心处产生的引力一样。
师：上述背景资料，给我们提供了哪些方面的启示呢？
生：第一阶段的工作，为牛顿日后建立万有引力定奠定了基础。
师：是日后建立起来的，还是在这个阶段万有引力定律就已经成型了？
生：（再仔细阅读文本）在第一阶段就已经建立起来了。
师：那后面两个阶段的工作有何意义或价值呢？
生：有的天体运行的轨道不是圆，是椭圆。
师：你已经快触及核心了。能否再准确表达一下你的想法？
生：牛顿想证明，万有引力定律对不同类型轨道上运行的天体都是成立的。
师：很好。在第一阶段，牛顿提出了万有引力的思想，得到了引力与距离平方成反比的关系，并通过地球和月球，印证了他的思想的正确性。但地月之间的作用仅仅是一个特例，对更多的天体来说是否都成立呢？在牛顿之前，天文学家已经观测到众多天体的运动，对它们的运动特点、运动轨道也有了具体的描述，发现天体的运动基本上是圆、椭圆和圆锥曲线等几种轨迹。牛顿证明得出“引力与距离平方成反比的关系不仅对圆，对椭圆或任意一种圆锥曲线都成立”的结论，实际上就是向世人宣告，所有天体的运行，都遵循他的万有引力定律。这是从一个特例向普适性的推广。
师：那第三阶段的工作又有什么价值呢？
生：告诉我们可以把球体简化成质点。
师：嗯。把复杂问题简化处理，是我们物理学的一个基本思想。一个球体，涉及到的分析要素太多，简化为指点之后，只要关心它的质量就可以了。能否进一步猜想一下，牛顿是在什么情况下想到要研究这一问题的呢？
生：（思考）应该是物体之间距离较近，不能看成一个点的时候吧。
师：是啊。比如说我，现在站在地面上，当分析地球和我之间的相互作用力的时候，自然就会有一个困惑，我和地球之间的距离是多大呢？
生：是地球半径。
师：是啊，我们现在知道是地球半径，但当时牛顿一定是被这个问题所困惑了。他通过数学运算，证明了密度均匀分布的球体或者各层密度均匀分布的球体对物体的引力，就跟把球体的质量集中在球心处产生的引力一样。地球可以看做是一个分层密度均匀分布的球体，因此可以将它看成是一个质点，质量集中在地心上，我和地球之间的距离就是地球半径了。
生：哇，这里面还有这样多的学问啊！
师：是啊，提出一个物理规律，绝不是一件轻而易举的事情。要能够自圆其说，就必须对规律涉及的方方面面进行论证，避免漏洞。
师：通过刚才的分析，大家已经能够回答刚才的问题了。请大家再回想一下本章教材的板块结构，是不是包括万有引力定律的提出，地面上物体的万有引力、天体的运动三大板块？
生：（频频点头）对的，对的。
师：对物理学史的研究，绝不仅仅是知道一些物理学家的趣闻轶事，它能给我们提供研究和思考问题的思路和方法，也可以帮助我们了解教材内容的编写体例。这对于我们从宏观上理解知识、整体上把握知识是非常有用的。
二、万有引力定律的应用
1.相关知识、规律和方法回顾
师：我们在高三复习中，对物理学史的关注可能不够，对物理公式的关注度一定是最高的。现在请大家回忆一下，在万有引力定律和天体运行这一部分，常常用到的物理公式有哪些？
生：万有引力定律公式：F=GMm/r2；
生：黄金替换式：GM=gR
2；
生：牛顿第二定律：F=ma；
生：向心力公式：F=mv2/r=mω2r=4π2mr/T2……
师：这些公式中，哪一个公式最为基础？
生：（开始说法不一，经过一阵的议论之后）牛顿第二定律：F=ma。
师：确实如此。天体的运行问题，本身就是牛顿第二定律应用的典型事例。如果一个天体做匀速圆周运动，天体所需的向心力由万有引力提供。根据牛顿第二定律，F引=F向，即GMm/r2=mv2/r，这一关系我们最为熟悉。
2．万有引力公式F引＝GMm/r2中的r与向心力公式F向＝mv2/r=mω2r=4π2mr/T2中的r的含义区别
师：有一个问题请大家思考：F引＝GMm/r2中的r与F向＝mv2/r中的r的含义相同吗？
生：（有些茫然，不知该如何回答）
师：看来这个问题有点难度。我们先来讨论一个问题，请大家在讨论的过程中体会两公式中r的含义。
【例题1】：一颗卫星绕椭圆形的轨道运动。在A点所具有的速度大小为v1，在B点所具有的速度大小为v2，已知OA=a，OB=b，则v1：v2=？
A．
B．
C．
D．
生：（速度很快，口算）选D
师：速度确实够快的。我还是希望知道你们分析的过程。谁上来把你的计算过程告诉展示一下。
生：在A点，有GMm/a2=
mv2/a。
生：在B点，有GMm/b2=
mv2/b，通过计算即可得到D。
师：都同意他的算法吗？谁还有其它不同的算法吗？
生：同意！
师：那么，谁还有其它不同的算法吗？
生：没有！
师：好！既然这样，那么，我们一起来分析分析它是否有什么不妥的地方？
师：为了方便，我们先给向心力公式中的a和b加上一个括号吧，
即GMm/a2=
mv2/（a）；
GMm/b2=
mv2/（b）
师：写出公式之后的数学计算很方便，关键是写公式之前，相关的概念是否清晰。万有引力公式F引＝GMm/r2中的r是什么含义？请大家依据定律的内容来回答。
生：两个质点之间的距离。
师：对。刚才的物理学史讨论，我们知道了，要用万有引力定律讨论问题，首先要进行建模，将物体等效成质点，r即两个质点之间的距离。据此来判断我们所写的万有引力公式，是否正确？
师：所以r＝a和r＝b应该没问题，是吧？
生：对！
师：好，等式的左边没有问题了吧！
师：那么，现在我们再来看等式的右边。请大家思考一下，向心力公式F向＝mv2/r是针对什么运动得来的？
生：匀速圆周运动！
师：向心力公式F向＝mv2/r式中的r的是什么含义呢？
生：圆周运动的半径。
师：请再认真看图，现在所给的运动是匀速圆周运动吗？
生：是椭圆轨迹。
师：既然不是圆周运动，那a、b也就不是其做圆周运动的半径了。将其带入到向心力的公式中进行计算，显然就会出现错误了，是吧？
生：（学生面面相觑，顿悟）是哦！
师：因此，只有运动轨迹是圆时，才能用向心力公式。
师：大家想一想，物理学中在精度要求不高的情况下，我们通常用近似计算法进行处理。那么，天体的椭圆运动在什么情况下能近似看成（等效）成圆来处理呢？
生：椭圆与圆相差不是很明显的时候。
师：这是一种情况。牛顿通过地月检测，来证明其定律的正确性，采用的就是将月球轨道近似看作是圆轨道的方法。我们平时的相关练习也是如此处理的。但在这个问题中好像不能这样处理，椭圆的长半轴和短半轴数值上的差距还是很明显的。
生：（有点茫然）
师：我们不妨将目光聚焦在A、B两点。大家想一下，如果我们在A点选取一小段运动轨迹，这一小段轨迹可以做怎样的近似处理？
生：可以近似看做圆来处理。
师：是一小段圆弧。同样的，在B点也选取很小的一段运动轨迹，它也可以看作是一段圆弧。大家有没有注意到：A、B是椭圆轨道上对称的两点，那我们选取的两小段圆弧是否也具有对称性？
生：有。
师：这两段圆弧的半径多大还不清楚，但既然具有对称性，就可以用一个统一的字母R来表示。将R带入到我们刚才列出的两个方程式的括号中，答案会是什么呢？
生：选B。
师：可能大家还有点疑惑，现在请开普勒帮着我们证明一下。开普勒告诉我们，行星在运动的过程中，在相同的时间内扫过的面积相等。如果我们在A点和B点都选择一段很小的时间Δt，在这段时间内，他们扫过的面积是什么形状？
生：扇形。
师：因为时间很短，又可以进一步简化成什么形状？
生：等腰三角形。
师：请大家验算一下，看我们刚才的分析是否正确。
生：av1Δt/2=bv2Δt/2，因此B正确。
师：万有引力公式中的r与向心力公式中的r含义不同，不仅仅是当行星做椭圆运动的时候要注意，就是行星做匀速圆周运动，也要注意。
3．用万有引力定律求中心星天体的质量和密度
【例题2】：已知某星球绕有一颗扰它做匀速圆周运动的卫星，该星球的半径为R，卫星的质量为m，线速度为v，公转周期为T，卫星到星球的球心相距r，求该星球的质量和密度？
师：谁上来展示，把自己的做法跟大家分享分享！
生：设星球质量为M，卫星受到的万有引力提供向心力，即
，可得出
，由密度公式得：
。
师：
其它同学还有不同的吗？
生：
没有！
师：请大家想一想，如果卫星环绕星球时，距离星球的表面很近，即满足r≈R时，求得的星球密度结果又会怎样，动手算一算？
生：星球的密度表达式更加简单了，只与周期有关，即：
师：很好，很快嘛！这意味着什么呢？试想想，如果叫你估测某星球的密度，而能提供给你的只是一舟宇宙飞船，你将如何估测你呢？
生：（思索了一会儿）一个学生非常兴奋说，我开飞船绕星球匀速绕行一周，并测出飞行所用时间，即得到飞行周期T,
利用关系式
即可算出了。
师：不错，思维非常活跃，可以给这同学一点儿掌声吗？（其它同学惘然大悟，兴奋鼓掌。）
师：同学们再想想，是否可以求卫星的质量呢？说说你的理由。
生：当然可以啦，一样的嘛！
生：不可以，
师：是吗？请动手试一试看。
生：不可以，等式两边卫星的质量消掉了。
生：
对，除非我们能找到绕它做圆周运动的更小的天体。比如人造卫星之类的。
师：非常好，所以希望大家注意，从已知的条件我们是无法计算卫星的质量，即环绕天体的质量。而我们计算出来的星球是中心天体的质量。
师：再想一想，如果想叫你估算地球的质量呢？怎么办。
生：
找到环绕天体，如月亮、人造卫星等即可按照刚才的方法算出。
师：很好，还有别的办法吗？
生：学生一脸茫然，继续思索
师：想想我们抛体运动常用到什么物理常量
生：
重力加速度g
师：对，怎么利用g计算呢？
生：
利用地表附近物体受到的重力近似等于万有引力，即
师：很好
生：
对，这不就是资料上说的黄金代换：
，学生异常兴奋。
师：非常正确，大家都明白怎样求星球（中心天体）的质量了吧！
生：知道了！
4．万有引力和重力的关系
师：上面我用到了，地表附近物体受到的重力近似等于万有引力，对近似等于怎么理解？
生：就说差不多相等啦。
师：就是还是有差别的意思吗？差别在何处呢？
生：
地球在自转
师：对，自转需要什么力呢？
生：
向心力
师：什么力提供向心力呢？
生：
重力
生：
万有引力
师：到底是重力还是万有引力提供？
生：
应该是万有引力提供吧！
师：地球在不停地自转，地球表面的物体随地球自转需要向心力，因此地球表面上的物体所受的万有引力有两个作用效果：一个是重力，一个是向心力。而地球表面的物体所受的万有引力的一个分力是重力，另一个分力是使该物体随星球自转所需的向心力。即
生：
哦，原来如此
师：因为地球自转较慢，地球表面的物体所受到的向心力f的大小不超过重力的0.35%，因此在计算中可以认为万有引力和重力大小相等。
生：
怪不得说是近似相等呢
师：对，在精度要求不高的情况下，我们可以认为相等。如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小，就不能再认为重力等于万有引力了。
生：那我们就只能看具体情况来判断了。
师：对，如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了（2003年高考有关中子星问题就是这种情况）。
生：好神奇
4.双星问题
【例题3】：
m1
m2
r1
r2
O
ω
如图所示，是两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量？
生：（一看到试题，就有共鸣）
师：这道试题我们很熟悉，在求两星总质量时，需要分别对两星运用牛顿第二定律，其中万有引力公式中的r就是试题中的R，而向心力公式的r则不是，且有r1+r2=R。
生：（频频点头）
师：由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。
生：是的
师：由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等。
生：由F=mrω2可得
，可得
，即固定点离质量大的星较近。
师：列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是R，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。
生：好的
师：当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。
生：原来是这样的
师：实际上，我们对月球运动进行分析时，采取了简化处理的方法。这种方式在物理学中是非常普遍的。从对一些简单的、理想化的现象分析中，了解物体运动的基本特征，然后逐渐增加变量，回到实际问题中。请大家进一步思考，在什么情况下，两个公式中r在数值上是相等的？
生：当物体做圆周运动的时候。
师：刚才的双星，不都分别做匀速圆周运动吗？
生：其中一个不能动。
师：这句话基本上说到点子上了。我们知道，所有的物体都在运动，不运动的天体是不存在的。但如果我们选择某天体为参照物，来研究别的天体围绕它的匀速圆周运动，则两个公式中r在数值上是相等的。我们研究地球的卫星时，采用的都是这样的方法。
5.人造卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星）
师：和地球表面上的物体不同，人造卫星所受的万有引力只有一个作用效果，就是使它绕地球做匀速圆周运动，因此万有引力等于向心力。又由于我们定义重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，因此可以认为对卫星而言，
，明白吗？
生：明白了
【例题4】：已知地球质量为M，万有引力常量为G,
质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星到地球球心的距离为r，求该卫星的线速度、角速度和周期？
师：谁上来展示，把自己的做法跟大家分享分享！
生：
由万有引力提供向心力得，
，线速度为
生：由万有引力提供向心力得，
，周期为
生：由万有引力提供向心力得，
得，角速度为
师：谁来分析一下以上三个等式有什么特征？
生：可以看出，线速度、加速度和周期与轨道半径r都是一一对应的。
生：其中一个量确定后，另外三个量也就唯一确定了。
生：离地面越高的人造卫星，线速度越小。
生：角速度也越小。
生：周期反而越大（有点困惑）。
师：对，周期越大意味着运动越快还是越慢呢？
生：肯定越慢了
师：对，这不就与线速度、角速度也越小对上号了，都表示运动越慢的意思。
生：哦！（惘然大悟）
师：什么叫近地卫星
生：就是离地球很近的意思，高度很低。
师：既然高度很低，是否可以忽略呢？
生：如果比地球半径小很多，我觉得是可以忽略的，这就说近似计算嘛。
师：非常好，对近地卫星，我们可以认为其轨道半径r近似地认为等于地球半径R来处理。
师：根据这种处理方法，请大家试求出第一宇宙速度？
生：第一宇宙速度，怎么可能？有点儿不知所措。
师：第一宇宙速度指的是什么速度呢？
生：是物体能环绕地球附近做匀速圆周运动的速度啊。
师：对，“地球附近”意味着什么呢？给你什么启发。
生：
哦，黄金代换！意味着重力近似等于万有引力，所以
，即
生：因为r＝R，由万有引力提供向心力得，
，
师：很好，有计算器的同学代入数据进行计算看，结果是多少？
生：
生：原来是这样子，太神奇了
师：那么可以计算第一宇宙速度对应的周期吗？
生：可以，
师：聪明，知道我们的近地卫星运动有多快了吧，85min就能绕地球一周哦！
生：这也太快了吧
师：有慢的啊，比如地球同步卫星。“同步卫星”有什么特点呢？
生：在赤道上空运行，与地球相对静止。
生：它的周期T＝24h
师：很好，那它离地面的高度是多少呢？
生：由万有引力提供向心力得，
h＝5.6R
师：很好，有计算器的同学代入数据进行计算看，结果是多少？
生：好大的数据，h=3.6×107m＝3600km（三万六千公里）
师：在上述情况下，我们可以得到卫星做匀速圆周运动的运动学参量几个很有价值的关系式。生：是的，一起有五个重要的关系。
生：在地表（或星球）附近：
生：卫星在高处的加速度g’:
生：卫星的线速度：
生：卫星的周期：
生：卫星的角速度：
得
师：由以上四个关系式可以看出，卫星做匀速圆周运动过程中，它的运动学量都唯一地取决于其运动半径r，这一点请大家深刻体会。
【例题5】：某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2，r2＜r1。以Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上绕地运动的周期，则：
A、Ek2＜Ek1，T2＜T1
B、Ek2＜Ek1，T2＞T1
C、Ek2＞Ek1，T2＜T1
D、Ek2＞Ek1，T2＞T1
生：B
师：“受高空稀薄空气的阻力作用”这句话是一个“干扰因素”，有些人会因此误认为卫星的速度因阻力而变小。这是某年的全国高考试题，就是考察我们是否知道卫星的运行速度、周期和其轨道半径之间有一一对应的关系。这点清楚了，答案也就明晰了。
师：所以应该是哪个选项
生：C
师：大家对刚才的讨论总结一下，分析天体运行问题的关键是什么？
生：明确万有引力公式和向心力公式中r的含义，不能张冠李戴。
生：知道描述卫星的运动学量和轨道半径r之间有一一对应关系，分析问题要从分析r开始。
师：可见，r是牵一发而动全身的变量，是我们解决天体运行问题的关键。这一点我们理解了，本节课的核心内容也就明确了
师：现在将最近几年的各地高考试题罗列给大家，请大家看看其中有哪些规律。
生：都涉及到地球和地球的卫星。
生：都涉及到两个系统。一个是地球和它的卫星，另一个是某行星和它的卫星。可以用处理地球和它的卫星的方法来类似处理。
生：是对四个重要关系中的某一个关系进行考察。第1题是速度和半径的关系；第2题是加速度和半径的关系；第3、第4题是周期和半径的关系。
师：大家分析的很到位，我就不重复了。有了这样的基础，后面的计算和选择应该是不成问题的。
师：这节课就上到这里，下课！