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13.2 与三角形有关的线段
第1课时 三角形的边
第13章 三角形
人教版(新教材)数学八年级上册
探索并掌握三角形的三边关系，能运用该关系判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的取值范围.
通过实验操作，理解三角形稳定性的原理，能解释其在生活中的应用.
在探究过程中，经历观察、猜想、验证的数学活动，发展推理能力与几何直观，体会数学与生活的联系.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
复习引入
1.填空 如右图：
线段 ， ， 是三角形的边；
点 ， ， 是三角形的顶点；
， ， 是三角形的角.
AB
BC
CA
A
B
C
∠A
记作△ABC
∠B
∠C
复习引入
2.三角形的分类 如图：
锐角
三角形
直角
三角形
钝角
三角形
按角分
三边都不相等的三角形
等腰
三角形
等边
三角形
按边分
合作探究
探究 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择 各条线路的长有什么关系 这说明三角形的边之间有什么关系 能证明你的结论吗
三角形两边的和大于第三边.
合作探究
探究 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择 各条线路的长有什么关系 这说明三角形的边之间有什么关系 能证明你的结论吗
答：对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，钱段最短”，可得
AB+AC>BC. ①
同理有 AC+BC>AB， ②
AB+BC>AC. ③
这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边.
进一步,由不等式②③，移项可得
BC>AB-AC， BC>AC-AB.
这就是说，三角形两边的差小于第三边.
合作探究
思考 上面的结论表明了三角形三边之间的关系.反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形
一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.
信息技术验证
典例分析
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
x
2x
2x
典例分析
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(2)因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，
所以需要分情况讨论.
①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm,则
4+2x=18.
解得 x=7.
4
x
x
典例分析
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则
2×4+y=18.
解得 y=10.
因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，
所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
y
4
4
巩固练习
1.下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么
(1)3，4，8； (2)5，6，11； (3)5，6，10.
答：（1）不能．因为3 + 4<8，不符合三角形两边的和大于第三边.
（2）不能．因为5 + 6 =11，不符合三角形两边的和大于第三边.
（3）能．因为5 + 6＞10，10 + 6＞5，10 + 5＞6，符合三角形两边的和大
于第三边.
巩固练习
2.一根4 dm长的木条和两根1 dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根4 dm长的木条和一根1 dm长的木条呢
解：一根4 dm长的木条和两根1 dm长的木条，不能组成一个等腰三角形.
因为1 + 1<4，不符合三角形两边的和大于第三边.
两根4 dm长的木条和一根1 dm长的木条能组成一个等腰三角形.
因为4 + 4＞1，4+ 1＞4，符合三角形两边的和大于第三边.
巩固练习
3.三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是 .
解：因为三角形两边的和大于第三边，
所以 2+7>a且2+a>7且7+a>2，
所以 5
5巩固练习
4.如图，为了估计池塘两岸A，B的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝9米，OB＝6米，则A，B间的距离不可能是（ ）
A．3米 B．14米 C．5米 D．9米
A
巩固练习
5.如图是折叠凳及其侧面示意图．若AC＝BC＝19 cm，则折叠凳的宽AB可能
是（ ）
A．27 cm B．38 cm C．55 cm D．73 cm
A
巩固练习
6.若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足 ，则△ABC的第三条边c的取值范围是（ ）
A．c＞4 B．c＜12
C．4＜c＜12 D．4≤c≤12
C
合作探究
探究 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗
可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，
三角形是具有稳定性的图形.
合作探究
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构，起重机的起重臂，钢架桥结构等，你能再举一些例子吗
巩固练习
7.在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是： ．
三角形具有稳定性
归纳总结
三角形的边 三角形的边 三角形两边的和 第三边.
三角形两边的差 第三边.
三角形的存在性 如果三条线段中 ，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中 ，
，那么这三条线段不能组成三角形.
三角形的稳定性 三角形是具有 的图形.
大于
小于
任意两条线段的和大于第三条线段
有两条线段的和小于或
等于第三条线段
稳定性
感受中考
1.（2024 淮安）用一根小木棒与两根长度分别为3 cm、5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A．9 cm B．7 cm
C．2 cm D．1 cm
B
感受中考
2.（2023 衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm
D
感受中考
3.（2022 西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
B
感受中考
4.（2022 广东）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形
C．长方形 D．正方形
A
感受中考
5.（2022 益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
两边之和大于第三边.
两边之差小于第三边.
小结梳理
与三角形
有关的线段
三角形的边
？
三角形具有稳定性.
布置作业
必做题：习题13.2 第5题，第6题.
1
探究性作业：
①用不同长度的小棒（或吸管）尝试拼三角形，记录哪些能拼成，哪些不能，验证“三角形两边之和大于第三边”.
②找一找生活中体现“三角形具有稳定性”的例子，拍照或画下来，下节课分享！
2
人教版八年级上册
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13.2.1 三角形的边 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课围绕三角形三边的关系与稳定性展开：探索并理解“三角形两边之和大于第三边”“两边之差小于第三边”的性质；掌握判断三条线段能否构成三角形的方法，以及已知两边求第三边取值范围；通过实验操作认识三角形的稳定性，并对比四边形的不稳定性，分析其在实际生活中的应用.
2. 内容解析
三角形三边关系是从数量角度对三角形的本质刻画，是几何图形与代数不等式的首次结合，体现数形结合思想.三边关系不仅是判断三角形存在性的依据，更为后续学习三角形全等、三角形中线段取值范围等内容奠定基础.三角形的稳定性源于三边关系的约束，是数学知识与现实应用的重要纽带，通过对比四边形的不稳定性，可深化学生对几何图形性质的理解.这部分内容的学习，有助于培养学生从实际问题抽象出数学模型、运用数学知识解决实际问题的能力.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并掌握三角形的三边关系．
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并掌握三角形的三边关系，能运用该关系判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的取值范围.
（2）通过实验操作，理解三角形稳定性的原理，能解释其在生活中的应用.
（3）在探究过程中，经历观察、猜想、验证的数学活动，发展推理能力与几何直观，体会数学与生活的联系.
2. 目标解析
（1）学生能通过测量、计算、比较等活动，自主归纳三边关系的数学表达，并能在不同情境下准确运用三边关系：如判断给定线段能否构成三角形（代数验证），或根据两边长度确定第三边的取值范围（不等式应用），体现知识的迁移与应用能力.
（2）学生能通过搭建三角形和四边形框架的实验，直观感受三角形稳定性的特点，从三边关系角度解释稳定性的数学原理，并能举例说明其在建筑、机械结构等领域的应用，同时明确四边形不稳定性的特性与用途.
（3）在探究活动中，学生能主动参与猜想与验证过程，有条理地表达推理过程，理解数学结论的严谨性；通过分析生活实例，增强用数学眼光观察世界的意识.
三、教学问题诊断分析
1. 三边关系归纳困难：学生在实验操作中，可能因测量误差或样本局限性，难以准确归纳三边关系；对“任意两边”的理解存在偏差，误认为只需验证部分边的和差关系.
2. 应用规则时逻辑混乱：在判断三条线段能否构成三角形时，学生可能遗漏验证“较小两边之和大于第三边”，或采用逐一验证三边和差关系的繁琐方法；在已知两边求第三边取值范围时，易忽略“两边之差小于第三边”，导致结果不完整.
3. 数学与生活联系薄弱：学生在分析生活实例时，可能无法准确识别三角形稳定性的应用场景，或对四边形不稳定性的合理利用（如伸缩门设计）缺乏理解，未能建立数学模型与实际问题的有效关联.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能运用三角形的三边关系判断三条线段能否组成三角形，或已知两边求第三边的取值范围.
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.填空 如右图：
线段 AB ， BC ， CA 是三角形的边；
点 A ， B ， C 是三角形的顶点；
∠A ， ∠B ， ∠C 是三角形的角.
2.三角形的分类 如图：
（二）合作探究
探究 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择 各条线路的长有什么关系 这说明三角形的边之间有什么关系 能证明你的结论吗
答：三角形两边的和大于第三边.
理由如下 对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点
(例如B，C)看成定点，由“两点之间，钱段最短”，
可得 AB+AC>BC. ①
同理有 AC+BC>AB， ②
AB+BC>AC. ③
这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边.
进一步,由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC， BC>AC-AB.
这就是说，三角形两边的差小于第三边.
思考 上面的结论表明了三角形三边之间的关系.反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形
答 一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.
信息技术验证 几何画板.
探究 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗
可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形.
追问 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构，起重机的起重臂，钢架桥结构等，你能再举一些例子吗
（三）典例分析
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
(2)因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，
所以需要分情况讨论.
①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm,则
4+2x=18.
解得 x=7.
②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则
2×4+y=18.
解得 y=10.
因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，
所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
（1）图 （2）①图 （2）②图
（四）巩固练习
1. 下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么
(1)3，4，8； (2)5，6，11； (3)5，6，10.
答：（1）不能．因为3 + 4<8，不符合三角形两边的和大于第三边.
（2）不能．因为5 + 6 =11，不符合三角形两边的和大于第三边.
（3）能．因为5 + 6＞10，10 + 6＞5，10 + 5＞6，符合三角形两边的和大于第三边.
2.一根4 dm长的木条和两根1 dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根4 dm长的木条和一根1 dm长的木条呢
解：一根4 dm长的木条和两根1 dm长的木条，不能组成一个等腰三角形.
因为1 + 1<4，不符合三角形两边的和大于第三边.
两根4 dm长的木条和一根1 dm长的木条能组成一个等腰三角形.
因为4 + 4＞1，4+ 1＞4，符合三角形两边的和大于第三边.
3.三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是 5解：因为三角形两边的和大于第三边，
所以 2+7>a且2+a>7且7+a>2，
所以 54．如图，为了估计池塘两岸A，B的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝9米，OB＝6米，则A，B间的距离不可能是（ A ）
A．3米 B．14米 C．5米 D．9米
5．如图是折叠凳及其侧面示意图．若AC＝BC＝19cm，则折叠凳的宽AB可能（ A ）
A．27cm B．38cm C．55cm D．73cm
第4题图 第5题图 第7题图
6．若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（ C ）
A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12
7．在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是： 三角形具有稳定性 ．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
感受中考
1．（2024 淮安）用一根小木棒与两根长度分别为3 cm、5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ B ）
A．9 cm B．7 cm C．2 cm D．1 cm
2．（2023 衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ D ）
A．1 cm，2 cm，3 cm B．3 cm，8 cm，5 cm
C．4 cm，5 cm，10 cm D．4 cm，5 cm，6 cm
3．（2022 西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ B ）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
4．（2022 广东）下列图形中有稳定性的是（ A ）
A．三角形 B．平行四边形
C．长方形 D．正方形
5．（2022 益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题13.2 第5题，第6题.
2.探究性作业：
①用不同长度的小棒（或吸管）尝试拼三角形，记录哪些能拼成，哪些不能，验证“三角形两边之和大于第三边”.
②找一找生活中体现“三角形具有稳定性”的例子，拍照或画下来，下节课分享！.
五、教学反思
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