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13.3 三角形的内角与外角
第1课时 三角形的内角
第13章 三角形
人教版(新教材)数学八年级上册
探索并证明三角形内角和定理.
能运用三角形内角和定理解决简单问题.
探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家借助手中的三角形纸片，回忆小学时的学习经历.
1.用度量的方法得出结论.
复习引入
问题1在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家借助手中的三角形纸片，回忆小学时的学习经历.2.通过剪拼或折叠的方法得出结论.复习引入
度量
观察
猜想
验证
证明
利用计算机度量角度
度量
拼接
复习引入
已知： 是△ABC的三个内角，
求证： .
通过推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”.
文字语言
符号语言
∠1，∠2，∠3
∠1+∠2+∠3=180°
合作探究
问题2 你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？
合作探究
证明1： 过点A作BC的平行线l.
∵l∥BC，
∴∠4=∠2，∠5=∠3.(两直线平行，内错角相等)
∵∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
求证：∠1+∠2+∠3=180°.
合作探究
证明2： 过点C作AB的平行线l，作射线BC.
∵l∥AB，
∴∠4=∠1，(两直线平行，内错角相等)
∠5=∠2.(两直线平行，同位角相等)
∵∠4+∠5+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.(等量代换)
已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
求证：∠1+∠2+∠3=180°.
合作探究
证明3： 过点A作BC的平行线AD.
∵AD∥BC，
∴∠4=∠2，(两直线平行，内错角相等)
∠DAC+∠3=180°，(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠1+∠4+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
求证：∠1+∠2+∠3=180°.
合作探究
证明4：过点D作AC的平行线交AB于点E，过点D作AB的平行线交AC于点F.
∵DF∥AB，
∴∠4=∠2，∠1=∠DFC，(两直线平行，同位角相等.)
∵DE∥AC，
∠5=∠3，(两直线平行，同位角相等)
∠6=∠DFC，(两直线平行，内错角相等)
∴∠6=∠1.
∵∠6+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
求证：∠1+∠2+∠3=180°.
合作探究
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
合作探究
解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD中，
∠ADB = 180°-∠B-∠BAD = 180°-75°-20° = 85°.
例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC的角平分线.
求∠ADB的度数.
典例分析
解：由题意得：AD∥BE，∠DAC = 50°，∠DAB = 80°，∠CBE = 40°，
∴∠CAB = ∠DAB-∠DAC = 80°-50° = 30°.
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE = 180°，
∴∠ABE = 180°-∠DAB = 180°-80° = 100°，
∴∠ABC = ∠ABE-∠CBE = 100°-40° = 60°.
在△ABC中，
∠ACB = 180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-60°=90°.
例2 如图是ABC三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
典例分析
1.如图，从A处观测C处时的仰角∠CAD = 30°，从B处观测C处时的仰角∠CBD = 45°. 则从C处观测A，B两处时的视角∠ACB = °.
15
巩固练习
2.如图，在△ABC中，∠A = 40°，则∠B+∠C+∠ADE+∠AED = °.
280
巩固练习
3.直接写出下列各图中∠1的度数.
∠1= ∠1= ∠1= .
90°
85°
85°
巩固练习
4.如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
D
巩固练习
5.如图是某模具厂的一种模具. 按规定，BA，CD的延长线的夹角应为61°，王师傅测得∠B = 42°，∠C = 79°，则可以判断该模具 （填“符合”或“不符合”）要求，理由是： .
不符合
三角形的内角和等于180°
巩固练习
6.如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M
+∠N的度数是 .
360°
巩固练习
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”？
3.你是怎么找到三角形内角和定理的证明思路的？
归纳总结
1.（2024 长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
C
感受中考
2.（2023 聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
B
感受中考
3.（2023 徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ °．
55
感受中考
4.（2023 株洲）《周礼 考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”
即：1宣=矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ 度．
22.5
感受中考
小结梳理
研究几何问题的一般路径
三角形的内角和等于180°.
观
察
度
量
猜
想
验
证
证
明
与三角形
有关的角
三角形的内角
？
布置作业
基础性作业
习题13.3第1，3，7题.
1
探究式作业
搜索资料，寻找更多三角形内角和定理的证明方法.
2
人教版八年级上册
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13.3.1 三角形的内角(第一课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
三角形内角和定理.
2. 内容解析
三角形内角和定理是本章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础. 它从“角”的角度刻画了三角形的特征. 三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性.
三角形内角和定理的证明以平行线的相关知识为基础. 定理的验证方法——剪图、拼图，不仅可以说明证明的必要性，而且也可以从中获得添加辅助线的思路和方法. 定理的证明思路是得出三角形的三个内角与组成平角的三个角分别相等.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性.
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并证明三角形内角和定理.
（2）能运用三角形内角和定理解决简单问题.
2. 目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能通过度量或剪图、拼图等实验进一步感知三角形的内角和等于180°，发现操作实验的局限性，进而了解证明的必要性；在实验的过程中能发现其中蕴含的辅助线，并能运用平行线的性质证明三角形内角和定理.
达成目标（2）的标志是：学生能运用三角形内角和定理解决简单的与三角形中角有关的计算和证明问题.
三、教学问题诊断分析
证明三角形内角和定理需要添加辅助线，这是学生第一次遇到添加辅助线证明定理的问题.由于添加辅助线是一种尝试性活动，规律性不强，学生会感到困难. 教学时，教师要让每个学生都亲自动手进行剪图、拼图，引导学生在实验的过程中感悟添加辅助线的方法，进而发现思路、证明定理.
本节课的教学难点是：如何添加辅助线证明三角形内角和定理.
四、课前准备
1.学生分组
共六组，每组组长1人，组员5人.
2.学具准备
大小适中，形状不同的三角形纸片(每人2~3张)，在纸片上标注∠1，∠2，∠3.
3.量化考核准备
记分牌六个，奖品若干.
五、教学过程设计
（一）复习引入
问题 在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家借助手中的三角形纸片，回忆小学时的学习经历.
师生活动：学生动手操作，然后汇报结果.
用度量的方法得出结论.
通过剪拼或折叠的方法得出结论.
图1 图2
图3 图4 图5
学生可能还有其他的剪拼图方法.
追问1：运用以上方法获得的结论可靠吗？
学生回答：不可靠.
追问2：你认为不可靠的原因有哪些？
1.度量法：度量的角度不准确；只能度量有限个三角形的内角度数.
2.剪拼法，折叠法：三个内角拼在一起后“像”平角，存在视觉误差；只能拼接有限个三角形的内角.
追问3：对于这些不可靠的因素，你有什么办法避免吗？
1.利用计算机度量角度，既可以提高数值的精确度，还可以度量无限个三角形的内角度数. （此方法仍不可靠）
2.通过推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”.
师生活动：小组交流，小组代表汇报交流结果，最后达成共识：需要通过推理的方法去证明.
追问4：要证明“三角形的内角和等于180°”，你能写出已知、求证吗？
师生活动：学生回答，教师板书.
已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
求证：∠1+∠2+∠3=180°.
设计意图：让学生通过实验操作，一方面发现实验操作的局限性（视觉误差、度量误差，有限性与三角形个数无限的矛盾），进而了解证明的必要性；另一方面从实验的过程（如图1，图3）中受到启发，为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法. 若有学生拼成图2，图4，拼成180°，有验证作用，但不容易形成证明思路. 若有学生利用折叠的方法（如图5），教师给予肯定，并指出在以后学习了新的几何知识（全等三角形及轴对称等内容）后我们也能说明其合理性.
（二）合作探究
讨论 你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？
师生活动：学生独立思考.
追问1：在图1中，拼接前的∠B和拼接后的∠B有什么关系？
数量关系：相等；位置关系：互为内错角.
追问2：根据这一对相等的内错角，你能得出什么结论？
拼成的“平角”所在的直线与BC平行.
追问3：由此，你能发现证明“三角形的内角和等于180°”的思路吗？
师生活动：学生独立思考，然后回答问题——通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论.
设计意图：让学生反思操作过程，体会添加辅助线的方法，获得证明思路，感悟辅助线在几何证明中的重要作用.
追问4：请写出并分享你的证明过程.
师生活动：学生独立思考，写出证明过程并上台分享，其他学生点评. 教师指出，经过证明的这个结论被称为“三角形内角和定理”.
证明1：过点A作BC的平行线l.
∵l∥BC，
∴∠4=∠2，∠5=∠3.(两直线平行，内错角相等)
∵∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.(等量代换)
设计意图：让学生通过严格的逻辑推理证明“任意一个三角形的三个内角的和都等于180°”，感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性.
追问5：通过前面的操作和证明过程，你能想出其他方法证明此定理吗？
师生活动：小组交流，汇报不同的作辅助线方法和不同的证明思路.
证明2：过点C作AB的平行线l，作射线BC.
∵l∥AB，
∴∠4=∠1，(两直线平行，内错角相等)
∠5=∠2.(两直线平行，同位角相等)
∵∠4+∠5+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.(等量代换)
证明3：过点A作BC的平行线AD.
∵AD∥BC，
∴∠4=∠2，(两直线平行，内错角相等)
∠DAC+∠3=180°，(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠1+∠4+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.(等量代换)
证明4：过点D作AC的平行线交AB于点E，过点D作AB的平行线交AC于点F.
∵DF∥AB，
∴∠4=∠2，∠1=∠DFC，(两直线平行，同位角相等.)
∵DE∥AC，
∠5=∠3，(两直线平行，同位角相等)
∠6=∠DFC，(两直线平行，内错角相等)
∴∠6=∠1.(等量代换)
∵∠6+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.(等量代换)
证法5 证法6 证法7...
设计意图：鼓励学生从不同的角度思考问题，进一步体会作辅助线的方法，丰富学生的解题经验.此处可根据学生的实际情况进行取舍.
（三） 典例分析
例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD中，
∠ADB = 180°-∠B-∠BAD = 180°-75°-20° = 85°.
师生活动：（1）教师引导学生分析解题思路：要想求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理，只要求出∠BAD的度数即可. 由于∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线，所以很容易得出∠BAD = 20°；（2）学生独立完成解题过程，一名学生板演，其他学生点评，教师总结.
设计意图：运用三角形内角和定理求相关角的度数，促进学生进一步巩固定理内容.
例2 如图是ABC三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
解：由题意得：AD∥BE，∠DAC = 50°，∠DAB = 80°，∠CBE = 40°，
∴∠CAB = ∠DAB-∠DAC = 80°-50° = 30°.
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE = 180°，
∴∠ABE = 180°-∠DAB = 180°-80° = 100°，
∴∠ABC = ∠ABE-∠CBE = 100°-40° = 60°.
在△ABC中，
∠ACB = 180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-60°=90°.
师生活动：（1）教师引导学生将实际问题转化为数学中的三角形的角的问题，即A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角；（2）教师引导学生分析解题思路：在△ABC中，若能求出∠CAB和∠ABC，根据三角形内角和定理，即可求出∠ACB，而根据已知条件，∠CAB和∠ABC很容易求出；（3）学生独立完成解题过程，分享解题思路，互相点评，教师总结.
设计意图：利用三角形内角和定理解决生活中的简单问题，提高学生的应用意识和数学表达能力.
（四）巩固练习
1.如图，从A处观测C处时的仰角∠CAD = 30°，从B处观测C处时的仰角∠CBD = 45°. 则从C处观测A，B两处时的视角∠ACB = 15 °.
第（1）题图 第（2）题图
2.如图，在△ABC中，∠A = 40°，则∠B+∠C+∠ADE+∠AED = 280 °.
3.直接写出下列各图中∠1的度数.
∠1= 90° ； ∠1= 85° ； ∠1= 85° .
设计意图：考查学生对三角形内角和定理的理解.
4.如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( D )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
设计意图：考查学生运用三角形内角和定理及平行线的性质解决几何问题.
5.如图是某模具厂的一种模具. 按规定，BA，CD的延长线的夹角应为61°，王师傅测得∠B = 42°，∠C = 79°，则可以判断该模具 不符合 （填“符合”或“不符合”）要求，理由是： 三角形的内角和等于180° .
设计意图：考查学生运用三角形内角和定理解决实际问题.
6.如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是 360° .
设计意图：考查学生运用三角形内角和定理和整体思想解决几何问题.
师生活动：学生独立完成后分享解题思路.
设计意图：第1题是让学生运用三角形内角和定理解决简单的实际问题.第2题体现了整体思想，使学生进一步熟悉三角形内角和定理.
（五）归纳总结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”？
（3）你是怎么找到三角形内角和定理的证明思路的？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——三角形内角和定理，进一步体会证明的必要性，感悟辅助线的添加方法和在几何证明中的作用.
（六）感受中考
1．（2024 长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ C ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．（2023 聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（ B ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
3．（2023 徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ 55 °．
4．（2023 株洲）《周礼 考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ 22.5 度．
（七）小结梳理
（八）布置作业
（1）基础性作业：习题13.3第1，3，7题.
（2）探究式作业：搜索资料，寻找更多三角形内角和定理的证明方法.
六、教学反思
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