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13.3.1 三角形的内角(第二课时)教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本课时主要研究直角三角形的性质与判定.性质方面，明确直角三角形的两个锐角互余，这是基于三角形内角和定理，在直角三角形这一特殊情境下的重要结论；判定方面，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形这一判定定理.
2. 内容分析
从知识体系来看，直角三角形的性质与判定是三角形内角和定理的延续与深化，是对三角形分类中直角三角形的进一步研究.它不仅为后续学习全等三角形、相似三角形等知识奠定基础，也是解决实际问题中涉及角度计算与判断的重要工具 .直角三角形的性质“两个锐角互余”体现了直角三角形内角之间的特殊数量关系，是直角三角形的重要特征之一；而判定定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”则是从角的数量关系角度，逆向判断一个三角形是否为直角三角形，实现了性质与判定的互逆转化.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理.
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理.
（2）掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.
（3）在探究性质与判定的过程中，体会数学知识的互逆性，增强逻辑推理能力和数学思维能力.
2. 目标解析
（1）学生需通过对三角形内角和定理的运用，结合直角三角形直角为90°的条件，推导出两个锐角互余的结论，并能在具体的直角三角形问题中，已知一个锐角的度数，准确求出另一个锐角的度数，或在涉及多个直角三角形的图形中，利用该性质进行角度之间的关系推导.
（2）学生要理解从“直角三角形的性质”到“直角三角形的判定”的逆向思维过程，能够在给定三角形的两个角互余的条件下，迅速判定该三角形为直角三角形，并能清晰阐述判定的依据.
（3）学生通过经历性质与判定的探究活动，感受数学知识之间的内在联系，体会从特殊到一般、从正向到逆向的数学思维方式，提升逻辑推理的严密性和条理性.
三、教学问题诊断分析
1. 性质理解与应用问题
学生在理解直角三角形两个锐角互余的性质时，可能存在仅记忆结论，而对其推导过程理解不深刻的问题.在应用性质时，若问题情境较为复杂，如涉及多个直角三角形组合、角度关系隐含在图形中等情况，学生可能难以准确提取有用信息，灵活运用性质进行角度计算和推理.
2. 复杂条件的转化困难
学生在面对多个条件混合的复杂问题时，可能无法理清条件之间的逻辑关系，导致解题思路混乱.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：运用直角三角形的性质和判定解决较复杂的几何问题.
五、教学过程设计
（一）复习引入
1. 三角形内角和定理的内容是什么？
三角形的内角和等于180°.
2.你是怎么证明三角形内角和定理的？
已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
求证：∠1+∠2+∠3=180°.
证明： 过点A作BC的平行线l.
∵l∥BC，
∴∠4=∠2，∠5=∠3.(两直线平行，内错角相等)
∵∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
（二）合作探究
利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系.
探究 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A和∠B之间有什么关系呢？
答 由三角形的内角和定理，得： ∠A+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+90°=180°，
所以∠A+∠B=90°.
也就是说，直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由.
已知：△ABC中，∠A+∠B=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：由三角形的内角和定理，得：
∠A+∠B+∠C=180°，即90°+∠C=180°，
所以∠C=90°，即△ABC是直角三角形.
也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形.
（三）典例分析
例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小.
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90°-∠AEC.(直角三角形的两个锐角互余.)
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°-∠BED.
∵∠AEC=∠BED,
∴∠CAE=∠DBE.
（四）巩固练习
1.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD=∠B.
在Rt△ADC中，
∠ACD=90°-∠A.(直角三角形的两个锐角互余. )
在Rt△ABC中，
∠B=90°-∠A.
∴∠ACD=∠B.
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形.理由如下：
在Rt△ABC中，
∠A+∠2=90°.(直角三角形的两个锐角互余..)
∵∠1=∠2，
∴ ∠A+∠1=90°.
∴△ADE是直角三角形.(有两个角互余的三角形是直角三角形.)
3．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，AD⊥AC，则∠BFD的度数为（ C ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则结论：①∠1＝∠2；②∠2＝∠A；③DE∥BC；④∠B+∠DCE＝90°中，正确的结论为 ①②③ （填序号）．
5．在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；
③∠A＝90°﹣∠B；
④∠A＝∠B＝2∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2023 遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 直角 三角形．
解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，
根据题意得：x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
∴3x°＝3×30°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形．
2．（2022 贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ A ）
A．34° B．44° C．124° D．134°
3．（2023 衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ B ）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
4．（杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ D ）
A．必有一个内角等于30°
B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°
D．必有一个内角等于90°
（七）小结梳理
（八）布置作业
（1）基础性作业：习题13.3第4，10题.
（2）探究性作业：搜索资料，寻找更多直角三角形的性质和证明方法.
六、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共24张PPT)
13.3.1 三角形的内角
(第二课时)
第13章 三角形
人教版(新教材)数学八年级上册
理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理.
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.
在探究性质与判定的过程中，体会数学知识的互逆性，增强逻辑推理能力和数学思维能力.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
1. 三角形内角和定理的内容是什么？
2.你是怎么证明三角形内角和定理的？
复习引入
三角形的内角和等于180°.
已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
求证：∠1+∠2+∠3=180°.
已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
求证：∠1+∠2+∠3=180°.
复习引入
证明： 过点A作BC的平行线l.
∵l∥BC，
∴∠4=∠2，∠5=∠3.(两直线平行，内错角相等)
∵∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系.
探究 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A和∠B之间有什么关系呢？
合作探究
答：由三角形的内角和定理，得： ∠A+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+90°=180°，
所以∠A+∠B=90°.
也就是说，直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小.
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90°-∠AEC.( )
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°-∠BED.
∵∠AEC=∠BED,
∴∠CAE=∠DBE.
典例分析
直角三角形的两个锐角互余..
解：∠ACD=∠B.
在Rt△ADC中，
∠ACD=90°-∠A.( )
在Rt△ABC中，
∠B=90°-∠A.
∴∠ACD=∠B.
1.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
巩固练习
直角三角形的两个锐角互余..
思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由.
合作探究
已知：△ABC中，∠A+∠B=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：由三角形的内角和定理，得：
∠A+∠B+∠C=180°，即90°+∠C=180°，
所以∠C=90°，即△ABC是直角三角形.
也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形.
解：△ADE是直角三角形.理由如下：
在Rt△ABC中，
∠A+∠2=90°.( )
∵∠1=∠2，
∴ ∠A+∠1=90°.
∴△ADE是直角三角形.( )
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
巩固练习
直角三角形的两个锐角互余..
有两个角互余的三角形是直角三角形..
3.一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，AD⊥AC，则∠BFD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
巩固练习
C
4.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则以下结论正确的是：
（填序号）．
①∠1＝∠2；
②∠2＝∠A；
③DE∥BC；
④∠B+∠DCE＝90°
巩固练习
①②③
5.在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；
③∠A＝90°﹣∠B；
④∠A＝∠B＝2∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固练习
C
解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°.
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
巩固练习
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
巩固练习
归纳总结
三角形的内角(2) 直角三角形的性质
直角三角形的判定
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
1.（2023 遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是
三角形．
直角
感受中考
解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，
3x°，根据题意得：
x+2x+3x＝180，
解得： x＝30，
∴3x°＝3×30°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形．
2.（2022 贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ ）
A．34° B．44° C．124° D．134°
A
感受中考
3.（2023 衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是
（ ）
A．∠BEA
B．∠DEB
C．∠ECA
D．∠ADO
B
感受中考
4.（杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30°
B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°
D．必有一个内角等于90°
D
感受中考
小结梳理
直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和等于180°.
与三角形
有关的角
三角形的内角
？
有两个角互余的三角形是直角三角形.
布置作业
基础性作业
习题13.3第4，10题.
1
探究性作业
搜索资料，寻找更多直角三角形的性质和证明方法.
2
人教版八年级上册
谢谢大家！
