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13.3.2 三角形的外角 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本课时主要研究三角形外角的性质.内容方面，首先明确三角形外角的定义，即三角形的一边与另一边的延长线组成的角；性质方面，探究并掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，这是基于三角形内角和定理推导得出的重要结论；同时，理解三角形外角和的概念，明确三角形的外角和为360°.此外，通过实际例题和练习，运用三角形外角的性质进行角度计算、角的大小比较以及简单的几何推理，加深对三角形外角性质的理解与运用.
2. 内容分析
从知识体系来看，三角形外角的知识是在三角形内角和定理基础上的延伸与拓展，是对三角形角的性质研究的进一步深化.它不仅是后续学习多边形外角和的重要基础，也是解决几何图形中角度问题的关键工具.三角形外角的性质揭示了三角形内角与外角之间的数量关系，是三角形外角的核心特征；而三角形外角和为360°的结论，则从整体角度展现了三角形外角的内在规律.通过运用外角性质进行角度计算与推理，能培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，有助于提升学生的逻辑思维与数学应用素养，实现从具体到抽象、从理论到实践的知识升华.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：深入探究并熟练掌握三角形外角的性质.
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解并掌握三角形外角的定义，能在不同几何图形中准确识别三角形的外角.
（2）能运用三角形外角的性质进行角度计算、角的大小比较以及简单的几何推理.
（3）在探究三角形外角性质和外角和的过程中，体会数学知识的内在联系，增强逻辑推理能力和数学探究能力.
2. 目标解析
（1）学生需通过观察具体的三角形图形，结合文字描述，准确理解外角的构成特点，能够在复杂的几何图形中快速、正确地找出三角形的外角，形成清晰的图形认知.
（2）学生要通过动手操作、测量、猜想、推理等过程，自主推导得出外角性质，并能在实际问题中，已知三角形的部分内角或外角的度数，利用该性质准确求出其他角的度数；在比较角的大小时，能灵活运用外角性质进行分析判断；在几何推理中，将外角性质作为重要的依据进行逻辑推导.
（3）学生通过经历从具体操作到抽象推理的过程，感受数学知识的形成过程，体会从特殊到一般的数学研究方法，理解三角形内角和定理与外角性质、外角和之间的内在逻辑联系，从而提升逻辑思维的严密性和数学探究能力.
三、教学问题诊断分析
1. 外角概念理解偏差问题
学生在理解三角形外角的概念时，可能会出现对“一边是三角形的一边，另一边是三角形另一边的延长线”这一关键特征把握不准确的情况.
2. 外角性质推导困难
在探究三角形外角的性质的过程中，部分学生难以将外角与内角建立联系，无法顺利运用三角形内角和定理进行推导.这是由于学生缺乏转化思想，不善于将未知的外角问题转化为已知的内角和问题进行思考；同时，逻辑推理能力较弱，不能清晰地梳理出从内角和定理到外角性质的推导思路和步骤，导致在推导过程中思路混乱，难以得出正确结论.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：深入探究并熟练掌握三角形外角的性质.
四、教学过程设计
（一）复习引入
（二）合作探究
三角形的外角
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.
像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
思考 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
答 ∠ACD=∠A+∠B.
追问 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？你能证明吗？
如图，在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：由三角形的内角和定理，得：
∠A+∠B+∠ACB=180°，
所以∠A+∠B=180°-∠ACB，
因为∠ACD=180°-∠ACB，
所以∠ACD=∠A+∠B.
结论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
（三）典例分析
例4 ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
信息技术 几何画板验证
解 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).
由∠1+∠2+∠3=180°，得
∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
追问 你还能给出其他解法吗？
（四）巩固练习
1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数：
（1）∠1= 40°；∠2= 140°. （2） ∠1= 110°；∠2= 70°. （3） ∠1= 50°；∠2= 140°.
（4）∠1= 70°；∠2= 55°. （5） ∠1= 80°；∠2= 40°. （6）∠1= 60°；∠2= 30°.
2.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？
解 一个三角形最多有1个直角.理由：如果一个三角形中出现2个或3个直角，那么三角形的内角和就大于
180°，与三角形内角和是180°不符.
（2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？
解 一个三角形最多有1个钝角.理由：如果一个三角形中出现2个或3个钝角，那么三角形的内角和就大于
180°，与三角形内角和是180°不符.
（3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？
解 直角三角形的外角不可以是锐角.理由：如果直角三角形的外角是锐角，就会出现内角是钝角的现象，与
三角形内角和是180°不符.
3．如图，下列判断正确的是（ B ）
A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2＝∠1
4．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠BAC的度数为（ A ）
A．85° B．95° C．100° D．110°
5．将一副三角板按如图所示的方式叠放，则∠1等于（ C ）
A．45° B．60° C．105° D．120°
第3题图 第4题图 第5题图
6．如图所示，∠1的度数为 120° ．
7．如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（ D ）
A．∠A＝∠E B．∠C＝∠E C．∠B＝∠E+∠F D．∠D＝∠A+∠B
第6题图 第7题图
8．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（ C ）
A． B． C． D．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
感受中考
1．（2021 河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（ B ）
A．90° B．80° C．60° D．40°
2．（2021 乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ C ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
第1题图 第2题图
3．（2021 辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ B ）
A．80° B．95° C．100° D．110°
4．（2021 河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 减少 （填“增加”或“减少”） 10 度．
第3题图 第4题图
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题13.3第5，6，8题.
2.探究性作业：习题13.3第11题.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
13.3 三角形的内角与外角
第2课时 三角形的外角
第13章 三角形
人教版(新教材)数学八年级上册
理解并掌握三角形外角的定义，能在不同几何图形中准确识别三角形的外角.
能运用三角形外角的性质进行角度计算、角的大小比较以及简单的几何推理.
在探究三角形外角性质和外角和的过程中，体会数学知识的内在联系，增强逻辑推理能力和数学探究能力.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
复习引入
直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和等于180°.
与三角形
有关的角
三角形的内角
？
有两个角互余的三角形是直角三角形.
三角形的外角
三角形的外角
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.
像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
合作探究
思考 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
合作探究
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
∠ACD=∠A+∠B.
证明：由三角形的内角和定理，得：
∠A+∠B+∠ACB=180°，
所以∠A+∠B=180°-∠ACB，
因为∠ACD=180°-∠ACB，
所以∠ACD=∠A+∠B.
合作探究
如图，在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD=∠A+∠B.
推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
例4 ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
典例分析
例4 ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).
由∠1+∠2+∠3=180°，得
∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
典例分析
你还能给出其他解法吗？
∠1= .
∠2= .
∠1= .
∠2= .
∠1= .
∠2= .
1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数：
巩固练习
40°
140°
110°
70°
50°
140°
∠1= .
∠2= .
∠1= .
∠2= .
∠1= .
∠2= .
1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数：
巩固练习
70°
55°
80°
40°
60°
30°
2.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？
（2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？
（3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？
巩固练习
一个三角形最多有1个直角.理由：如果一个三角形中出现2个或3个直角，那么三角形的内角和就大于180°，与三角形内角和是180°不符.
一个三角形最多有1个钝角.理由：如果一个三角形中出现2个或3个钝角，那么三角形的内角和就大于180°，与三角形内角和是180°不符.
直角三角形的外角不可以是锐角.理由：如果直角三角形的外角是锐角，就会出现内角是钝角的现象，与三角形内角和是180°不符.
3.如图，下列判断正确的是（ ）
A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2＝∠1
巩固练习
B
4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠BAC的度数为（ ）
A．85° B．95° C．100° D．110°
巩固练习
A
5.将一副三角板按如图所示的方式叠放，则∠1等于（ ）
A．45° B．60° C．105° D．120°
巩固练习
C
6.如图所示，∠1的度数为 ．
巩固练习
120°
7.如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（ ）
A．∠A＝∠E B．∠C＝∠E
C．∠B＝∠E+∠F D．∠D＝∠A+∠B
巩固练习
D
8.如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（ ）
巩固练习
C
归纳总结
三角形的外角 性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
1.（2021 河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（ ）
A．90° B．80° C．60° D．40°
B
感受中考
2.（2021 乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
C
感受中考
3.（2021 辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．95° C．100° D．110°
B
感受中考
4.（2021 河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点
为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
减少
感受中考
10
小结梳理
直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和等于180°.
与三角形
有关的角
三角形的内角
有两个角互余的三角形是直角三角形.
三角形的外角
三角形的外角等于
与它不相邻的两个内角的和.
布置作业
基础性作业
习题13.3第5，6，8题.
1
探究式作业
习题13.3第11题.
2
人教版八年级上册
谢谢大家！
