第2课时 向心力的分析与计算
(赋能课精细培优科学思维)
课标要求 层级达标
能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力。 学考层级 1.知道向心力的概念,知道向心力是根据力的作用效果命名的。 2.掌握向心力大小的表达式。 3.知道匀速圆周运动的向心力特点。 4.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点。
选考层级 1.会分析向心力的来源。 2.能够计算简单情境中的向心力大小。 3.能够处理匀速圆周运动的动力学问题。
一、向心力
1.定义:做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 ,这个指向 的力就叫作向心力。
2.方向:向心力总是沿半径指向 ,由于 时刻改变,所以向心力是变力。
3.作用效果:向心力只改变速度的 ,不改变速度的 。
4.来源:向心力是由 或者几个力的 提供的,是根据力的作用效果命名的。
5.大小表达式:Fn= 或Fn= 。
[微点拨]
向心力是效果力,分析物体受力时,切不可在性质力以外,再添一个“向心力”。
[情境思考]
如图所示,一个小球在细线的牵引下,绕光滑水平桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)小球做匀速圆周运动的向心力是由什么力提供
(2)用剪刀将细线剪断,小球将沿什么方向运动
二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1.变速圆周运动的合力:变速圆周运动的合力产生两个方向的效果,如图所示。
(1)跟圆周相切的分力Ft:改变线速度的 。
(2)指向圆心的分力Fn:改变线速度的 。
2.一般曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动:运动轨迹既不是 也不是 的曲线运动。
(2)处理方法:可以把曲线分割为许多很短的小段,质点在每小段的运动都可以看作 的一部分。这样,在分析质点经过曲线上某位置的运动时,就可以采用 运动的分析方法来处理了。
[质疑辨析]
判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动的向心力是恒力。 ( )
(2)变速圆周运动的向心力不指向圆心。 ( )
(3)一般曲线运动中弯曲程度不同的圆弧对应的圆弧半径也不同。 ( )
强化点(一) 向心力的来源与分析
任务驱动
如图所示,在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
(1)物体需要的向心力由什么力提供 物体所受摩擦力沿什么方向
(2)当转动的角速度变大后,物体仍与圆盘保持相对静止,物体受的摩擦力大小怎样变化
[要点释解明]
1.对向心力的理解
(1)向心力的作用效果是改变速度方向,不改变速度大小。
(2)向心力不是作为具有某种性质的力来命名的,而是根据力的作用效果命名的,它可以由某个力或几个力的合力提供。
(3)向心力的方向指向圆心,与线速度方向垂直,方向时刻在改变,故向心力为变力。
(4)当物体受到的合外力大小不变,方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时,物体做匀速圆周运动。
2.向心力的大小:Fn=mω2r=m=mr。
3.向心力的来源分析
在匀速圆周运动中,由某个力或几个力的合力提供向心力。
4.几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上,有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动,且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动,当小球经过最低点时 绳的拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下,在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或绳的拉力与重力的合力)提供向心力
[题点全练清]
1.下列关于向心力的说法中正确的是 ( )
A.做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B.向心力和重力、弹力一样,是性质力
C.做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
2.(2024·北京昌平高一月考)如图所示,在杂技表演中,杂技演员表演了“球内飞车”的杂技。一个由钢骨架和铁丝网构成的球壳固定在水平地面上,杂技演员骑摩托车在球壳内飞速旋转,惊险而刺激。杂技演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动,提供向心力的是 ( )
A.重力 B.支持力
C.摩擦力 D.重力与支持力的合力
3.如图所示,用长为L的细线拴住一个质量为m的小球,使小球在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向的夹角为θ,重力加速度为g,忽略空气阻力。关于小球的受力情况,下列说法正确的是 ( )
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力的大小等于细线对小球的拉力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于
强化点(二) 匀速圆周运动及实例分析
[要点释解明]
1.质点做匀速圆周运动的条件
合力的大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是仅速度的方向变化而速度大小不变的运动,所以向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。
2.匀速圆周运动的三个特点
(1)线速度大小不变、方向时刻改变。
(2)角速度、周期、频率都恒定不变。
(3)向心力的大小恒定不变,但方向时刻改变。
3.匀速圆周运动问题的求解思路
[典例] 图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施,它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上,绳子的下端连接座椅,人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点,则可简化为如图乙所示的物理模型,其中P为处于水平面内的转盘,可绕竖直转轴OO'转动,设绳长l=10 m,质点的质量m=60 kg,转盘静止时质点与转轴之间的距离d=4.0 m,转盘逐渐加速转动,经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动,此时绳与竖直方向的夹角θ=37°,不计空气阻力及绳重,且绳不可伸长,sin 37°=0.6, cos 37°=0.8,g取10 m/s2,求质点与转盘一起做匀速圆周运动时:
(1)绳子拉力的大小;
(2)转盘角速度的大小。
尝试解答:
[变式拓展] 在[典例]中,若转盘角速度变大,则绳子拉力如何变化 绳子与竖直方向的夹角如何变化
[题点全练清]
1.如图所示,摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m,运动半径为R,角速度大小为ω,重力加速度为g,则座舱 ( )
A.运动周期为
B.在最低点受摩天轮的作用力大小为mω2R
C.受摩天轮作用力的大小始终为mg
D.所受合力的大小始终为mω2R
2.甲、乙两名溜冰运动员,m甲=80 kg,m乙=40 kg,面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演,如图所示。两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为9.2 N,下列判断中正确的是 ( )
A.两人的线速度大小相等,约为4 m/s
B.两人的角速度相同,为5 rad/s
C.两人的运动半径相同,都是0.45 m
D.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m
强化点(三) 变速圆周运动和一般的曲线运动
任务驱动
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏,如图所示是荡秋千的情境。
(1)当秋千向下荡时,小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗 运动过程中,公式Fn=m=mω2r还适用吗
(3)若小朋友的质量为m,绳长为l,秋千荡到最低点的速度大小为v,则此时悬绳对秋千的拉力是多大 (秋千底板的质量可忽略不计)
[要点释解明]
1.变速圆周运动
(1)受力特点:变速圆周运动所受的合力不指向圆心,产生两个方向的效果:
(2)变速圆周运动中某一点的向心力仍可用Fn=m=mω2r等公式求解,只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度。
2.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度 特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变
受力 特点 合力方向一定指向圆心,充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力,指向圆心的分力充当向心力
周期性 有 不一定有
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn=m=mω2r都适用
[典例] 一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示,曲线上的A点的曲率圆定义:通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫作A点的曲率圆,其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出,如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是 ( )
A. C. D.
听课记录:
[题点全练清]
1.一汽车在水平地面上以恒定速率行驶,汽车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力 ( )
A.FaFb>Fc
C.Fa>Fc>Fb D.Fa=Fb=Fc
2.如图所示,物块P置于水平转盘上随转盘一起运动,图中c方向沿半径指向圆心,a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时,下列说法正确的是 ( )
A.当转盘匀速转动时,P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时,P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时,P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时,P所受摩擦力方向可能为b
第2课时 向心力的分析与计算
一、1.圆心 圆心 2.圆心 方向 3.方向 大小 4.某个力 合力 5.mω2r m
[情境思考]
提示：(1)小球做匀速圆周运动的向心力是由细线对小球的拉力提供的。
(2)小球将沿圆周运动的切线方向运动。
二、1.(1)大小 (2)方向 2.(1)直线 圆周 (2)圆周运动 圆周
[质疑辨析]
(1)× (2)× (3)√
强化点(一)
[任务驱动] 提示：(1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(2)当物体转动的角速度变大后，由Fn＝mω2r，可知需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以物体受的静摩擦力也增大。
[题点全练清]
1．选C 向心力是一个效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力，或是某个力的分力，A、B错误；做匀速圆周运动的物体所受合外力指向圆心，完全提供向心力，做非匀速圆周运动的物体由合外力指向圆心的分力提供向心力，C正确，D错误。
2．选B 杂技演员在题图中“赤道”平面做匀速圆周运动，提供向心力的是轨道对摩托车的支持力，故B正确。
3.选C 对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力，这两个力的合力提供向心力，如图1所示，也可以把细线的拉力分解，细线的拉力的水平分力提供向心力，如图2所示，A、B错误，C正确；向心力的大小Fn＝mgtan θ，D错误。
强化点(二)
[典例] 解析：(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向上Fcos 37°－mg＝0
解得F＝＝750 N。
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，设人和座椅在水平面内做匀速圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R
又由几何知识可知R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝ ＝ rad/s。
答案：(1)750 N (2) rad/s
[变式拓展] 提示：转盘角速度变大，则绳子与竖直方向的夹角变大，绳子拉力变大。
[题点全练清]
1．选D 根据角速度的定义式ω＝可知，ω＝，所以T＝，A错误；匀速圆周运动的向心力始终指向圆心，座舱在最低点时，向心力竖直向上，座舱所受摩天轮的作用力大小为FN1＝mg＋mω2R，而座舱在最高点时，向心力竖直向下，座舱所受摩天轮的作用力大小为FN2＝mg－mω2R，B、C错误；做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力，即座舱所受合力大小始终为Fn＝mω2R，D正确。
2．选D 因两人相对位置不变，两人均做圆周运动，向心力的大小相等，质量不同，角速度相同，由Fn＝mω2r知，两人的运动半径不同，由v＝ωr知，两人的线速度大小不相等，故A、C错误；设甲的运动半径为r1，则乙的运动半径为r2＝0.9 m－r1，故m甲ω2r1＝m乙ω2(0.9 m－r1)，解得r1＝0.3 m，r2＝0.6 m，再根据F测＝m甲ω2r1可知，两人的角速度ω≈0.62 rad/s，B错误，D正确。
强化点(三)
[任务驱动] 提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。公式Fn＝m＝mω2r仍然适用。
(3)由F－mg＝m，可得此时悬绳对秋千的拉力大小为
F＝mg＋m。
[典例] 选C 斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cos α做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sin α做匀减速直线运动。到最高点时，竖直方向速度为零，其速度为vP＝vx＝v0cos α，且为水平方向。这时重力提供其做圆周运动的向心力，由mg＝m，解得ρ′＝，所以C正确，A、B、D错误。
[题点全练清]
1．选A 汽车在水平地面上以恒定速率行驶，通过如题图所示的a、b、c三处时半径逐渐减小，故由向心力F＝，解得Fa2．选A 转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A正确，B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿a方向的切向力，使其线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D错误。
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向心力的分析与计算
第二课时
(赋能课——精细培优科学思维)
课标要求 层级达标
能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力。 学考层级 1.知道向心力的概念,知道向心力是根据力的作用效果命名的。
2.掌握向心力大小的表达式。
3.知道匀速圆周运动的向心力特点。
4.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点。
选考层级 1.会分析向心力的来源。
2.能够计算简单情境中的向心力大小。
3.能够处理匀速圆周运动的动力学问题。
1
课前预知教材
2
课堂精析重难
3
课时跟踪检测
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课前预知教材
一、向心力
1.定义:做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向_____,这个指向_____的力就叫作向心力。
2.方向:向心力总是沿半径指向_____,由于_____时刻改变,所以向心力是变力。
3.作用效果:向心力只改变速度的_____,不改变速度的_____。
圆心
圆心
圆心
方向
方向
大小
4.来源:向心力是由_______或者几个力的_____提供的,是根据力的作用效果命名的。
5.大小表达式:Fn=_______或Fn=______。
[微点拨]
向心力是效果力,分析物体受力时,切不可在性质力以外,再添一个“向心力”。
某个力
合力
mω2r
m
[情境思考]
如图所示,一个小球在细线的牵引下,绕光滑水平桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)小球做匀速圆周运动的向心力是由什么力提供
提示:小球做匀速圆周运动的向心力是由细线对小球的拉力提供的。
(2)用剪刀将细线剪断,小球将沿什么方向运动
提示:小球将沿圆周运动的切线方向运动。
二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1.变速圆周运动的合力:变速圆周运动的合力产生两个方向的效果,如图所示。
(1)跟圆周相切的分力Ft:改变线速度的______。
(2)指向圆心的分力Fn:改变线速度的_____。
大小
方向
2.一般曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动:运动轨迹既不是_____也不是_____的曲线运动。
(2)处理方法:可以把曲线分割为许多很短的小段,质点在每小段的运动都可以看作__________的一部分。这样,在分析质点经过曲线上某位置的运动时,就可以采用_____运动的分析方法来处理了。
直线
圆周
圆周运动
圆周
[质疑辨析]
判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动的向心力是恒力。 ( )
(2)变速圆周运动的向心力不指向圆心。 ( )
(3)一般曲线运动中弯曲程度不同的圆弧对应的圆弧半径也不同。 ( )
×
×
√
课堂精析重难
如图所示,在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
强化点(一) 向心力的来源与分析
任务驱动
(1)物体需要的向心力由什么力提供 物体所受摩擦力沿什么方向
提示:物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用,其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(2)当转动的角速度变大后,物体仍与圆盘保持相对静止,物体受的摩擦力大小怎样变化
提示:当物体转动的角速度变大后,由Fn=mω2r,可知需要的向心力增大,静摩擦力提供向心力,所以物体受的静摩擦力也增大。
1.对向心力的理解
(1)向心力的作用效果是改变速度方向,不改变速度大小。
(2)向心力不是作为具有某种性质的力来命名的,而是根据力的作用效果命名的,它可以由某个力或几个力的合力提供。
(3)向心力的方向指向圆心,与线速度方向垂直,方向时刻在改变,故向心力为变力。
要点释解明
(4)当物体受到的合外力大小不变,方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时,物体做匀速圆周运动。
2.向心力的大小:Fn=mω2r=m=mr。
3.向心力的来源分析
在匀速圆周运动中,由某个力或几个力的合力提供向心力。
4.几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上,有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动,且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动,当小球经过最低点时 绳的拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下,在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力
(或绳的拉力与重力的合力)提供向心力
续表
1.下列关于向心力的说法中正确的是 ( )
A.做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B.向心力和重力、弹力一样,是性质力
C.做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
题点全练清
√
解析:向心力是一个效果力,可以是某一个力,也可以是几个力的合力,或是某个力的分力,A、B错误;做匀速圆周运动的物体所受合外力指向圆心,完全提供向心力,做非匀速圆周运动的物体由合外力指向圆心的分力提供向心力,C正确,D错误。
2.(2024·北京昌平高一月考)如图所示,在杂技表演中,杂技演员表演了“球内飞车”的杂技。一个由钢骨架和铁丝网构成的球壳固定在水平地面上,杂技演员骑摩托车在球壳内飞速旋转,惊险而刺激。杂技演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动,提供向心力的是 ( )
A.重力 B.支持力
C.摩擦力 D.重力与支持力的合力
√
解析:杂技演员在题图中“赤道”平面做匀速圆周运动,提供向心力的是轨道对摩托车的支持力,故B正确。
3.如图所示,用长为L的细线拴住一个质量为m的小球,使小球在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向的夹角为θ,重力加速度为g,忽略空气阻力。关于小球的受力情况,下列说法正确的是 ( )
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力的大小等于细线对小球的拉力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于
√
解析:对小球受力分析可知,小球受到重力、细线的拉力,这两个力的合力提供向心力,如图1所示,也可以把细线的拉力分解,细线的拉力的水平分力提供向心力,如图2所示,A、B错误,C正确;向心力的大小Fn=mgtan θ,D错误。
1.质点做匀速圆周运动的条件
合力的大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是仅速度的方向变化而速度大小不变的运动,所以向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。
要点释解明
强化点(二) 匀速圆周运动及实例分析
2.匀速圆周运动的三个特点
(1)线速度大小不变、方向时刻改变。
(2)角速度、周期、频率都恒定不变。
(3)向心力的大小恒定不变,但方向时刻改变。
3.匀速圆周运动问题的求解思路
[典例] 图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施,它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上,绳子的下端连接座椅,人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点,则可简化为如图乙所示的物理模型,其中P为处于水平面内的转盘,可绕竖直转轴OO'转动,设绳长l=10 m,质点的质量m=60 kg,转盘静止时质点与转轴之间的距离d=4.0 m,转盘逐渐加速转动,经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动,此时绳与竖直方向的夹角θ=37°,不计空气阻力及绳重,且绳不可伸长,sin 37°=0.6, cos 37°=0.8,g取10 m/s2,求质点与转盘一起做匀速圆周运动时:
(1)绳子拉力的大小;
[答案] 750 N
[解析] 如图所示,
对人和座椅进行受力分析,图中F为绳子的拉力,在竖直方向上
Fcos 37°-mg=0
解得F==750 N。
(2)转盘角速度的大小。
[答案] rad/s
[解析] 人和座椅在水平面内做匀速圆周运动,重力和绳子拉力的合力提供向心力,设人和座椅在水平面内做匀速圆周运动的半径为R,根据牛顿第二定律有mgtan 37°=mω2R
又由几何知识可知R=d+lsin 37°
联立解得ω= = rad/s。
[变式拓展] 在[典例]中,若转盘角速度变大,则绳子拉力如何变化 绳子与竖直方向的夹角如何变化
提示:转盘角速度变大,则绳子与竖直方向的夹角变大,绳子拉力变大。
1.如图所示,摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m,运动半径为R,角速度大小为ω,重力加速度为g,则座舱 ( )
A.运动周期为
B.在最低点受摩天轮的作用力大小为mω2R
C.受摩天轮作用力的大小始终为mg
D.所受合力的大小始终为mω2R
题点全练清
√
解析:根据角速度的定义式ω=可知,ω=,所以T=,A错误;匀速圆周运动的向心力始终指向圆心,座舱在最低点时,向心力竖直向上,座舱所受摩天轮的作用力大小为FN1=mg+mω2R,而座舱在最高点时,向心力竖直向下,座舱所受摩天轮的作用力大小为FN2=mg-mω2R,B、C错误;做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力,即座舱所受合力大小始终为Fn=mω2R,D正确。
2.甲、乙两名溜冰运动员,m甲=80 kg,m乙=40 kg,面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演,如图所示。两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为9.2 N,下列判断中正确的是 ( )
A.两人的线速度大小相等,约为4 m/s
B.两人的角速度相同,为5 rad/s
C.两人的运动半径相同,都是0.45 m
D.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m
√
解析:因两人相对位置不变,两人均做圆周运动,向心力的大小相等,质量不同,角速度相同,由Fn=mω2r知,两人的运动半径不同,由v=ωr知,两人的线速度大小不相等,故A、C错误;设甲的运动半径为r1,则乙的运动半径为r2=0.9 m-r1,故m甲ω2r1=m乙ω2(0.9 m-r1),解得r1=0.3 m,r2=0.6 m,再根据F测=m甲ω2r1可知,两人的角速度ω≈0.62 rad/s,B错误,D正确。
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏,如图所示是荡秋千的情境。
任务驱动
强化点(三) 变速圆周运动和一般的曲线运动
(1)当秋千向下荡时,小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动
提示:小朋友做的是变速圆周运动。
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗 运动过程中,公式Fn=m=mω2r还适用吗
提示:小朋友荡到最低点时,绳子拉力与重力的合力指向悬挂点,在其他位置,合力不指向悬挂点。公式Fn=m=mω2r仍然适用。
(3)若小朋友的质量为m,绳长为l,秋千荡到最低点的速度大小为v,则此时悬绳对秋千的拉力是多大 (秋千底板的质量可忽略不计)
提示:由F-mg=m,可得此时悬绳对秋千的拉力大小为F=mg+m。
1.变速圆周运动
(1)受力特点:变速圆周运动所受的合力不指向圆心,产生两个方向的效果:
要点释解明
(2)变速圆周运动中某一点的向心力仍可用Fn=m=mω2r等公式求解,只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度。
2.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变
受力特点 合力方向一定指向圆心,充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力,指向圆心的分力充当向心力
周期性 有 不一定有
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn=m=mω2r都适用
续表
[典例] 一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示,曲线上的A点的曲率圆定义:通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫作A点的曲率圆,其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出,如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动:水平方向以速度vx=v0cos α做匀速直线运动,竖直方向以初速度vy=v0sin α做匀减速直线运动。到最高点时,竖直方向速度为零,其速度为vP=vx=v0cos α,且为水平方向。这时重力提供其做圆周运动的向心力,由mg=m,解得ρ'=,所以C正确,A、B、D错误。
1.一汽车在水平地面上以恒定速率行驶,汽车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力 ( )
A.FaB.Fa>Fb>Fc
C.Fa>Fc>Fb
D.Fa=Fb=Fc
题点全练清
√
解析:汽车在水平地面上以恒定速率行驶,通过如题图所示的a、b、c三处时半径逐渐减小,故由向心力F=,解得Fa2.如图所示,物块P置于水平转盘上随转盘一起运动,图中c方向沿半径指向圆心,a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时,下列说法正确的是 ( )
A.当转盘匀速转动时,P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时,P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时,P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时,P所受摩擦力方向可能为b
√
解析:转盘匀速转动时,物块P所受的重力和支持力平衡,摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力,故摩擦力方向为c,A正确,B错误;当转盘加速转动时,物块P做加速圆周运动,不仅有沿c方向指向圆心的向心力,还有沿a方向的切向力,使其线速度大小增大,故摩擦力可能沿b方向,不可能沿a方向,C错误;当转盘减速转动时,物块P做减速圆周运动,不仅有沿c方向指向圆心的向心力,还有与a方向相反的切向力,使线速度大小减小,故摩擦力可能沿d方向,不可能沿b方向,D错误。
课时跟踪检测
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(选择题1~9小题,每小题4分;11~12小题,每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1.下列关于向心力的说法正确的是( )
A.物体由于做圆周运动而产生了向心力
B.向心力就是物体受到的合力
C.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D.向心力改变做圆周运动的物体的速度方向
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解析:物体做圆周运动就需要有向心力,向心力是由外界提供的,不是由物体本身产生的,选项A错误;匀速圆周运动中由合力提供向心力,变速圆周运动中合力与向心力是不同的,选项B错误;向心力始终指向圆心,方向时刻在改变,即向心力是变化的,选项C错误;向心力的方向与速度方向垂直,不改变速度的大小,只改变速度的方向,选项D正确。
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2.(2024·济宁高一检测)如图所示,在匀速转动的圆筒内壁上,有一物体随圆筒一起转动而未滑动,当圆筒的角速度增大以后,下列说法正确的是 ( )
A.物体所受弹力增大,摩擦力也增大了
B.物体所受弹力和摩擦力都减小了
C.物体所受弹力不变,摩擦力也不变
D.物体所受弹力增大,摩擦力不变
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解析:物体做匀速圆周运动,所受合力指向圆心,对物体受力分析,物体受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的弹力,如图,重力G与静摩擦力Ff平衡,即G=Ff,与物体的角速度无关,因为弹力FN提供向心力,即FN=mrω2,所以当圆筒的角速度ω增大以后,需要的向心力变大,则物体所受弹力FN增大,故选D。
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3.如图,一圆盘可绕通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动,在圆盘上放一块橡皮,橡皮随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大,但橡皮仍相对圆盘静止,在这段时间内,关于橡皮所受摩擦力Ff的方向,下列正确的是 ( )
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解析:因为圆盘转速不断增大,所以橡皮将随圆盘一起做加速圆周运动,此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力,又要提供与运动方向相同的切向力,所以摩擦力方向应该在橡皮运动轨迹内侧且与速度方向成锐角,故选C。
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4.如图所示,内壁光滑的竖直圆桶,绕中心轴做匀速圆周运动,一物块用细绳系着,绳的另一端系于圆桶上表面圆心,且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动,则 ( )
A.绳的拉力可能为零
B.圆桶对物块的弹力不可能为零
C.随着转动的角速度增大,绳的拉力保持不变
D.随着转动的角速度增大,绳的拉力一定增大
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解析:当物块随圆桶一起做圆周运动时,绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡,因此绳的拉力为一定值,且不可能为零,故A、D错误,C正确;当绳的拉力的水平分力提供向心力的时候,圆桶对物块的弹力恰好为零,故B错误。
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5.(2024·大连高一调研)链球是奥运会比赛项目,如图甲为运动员甩动链球做匀速圆周运动的动作,简化模型如图乙所示,不计空气阻力和链重,则 ( )
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A.链球受重力、拉力和向心力三个力的作用
B.链长不变,转速越大,链条拉力越小
C.链长不变,转速越大,θ角越小
D.转速不变,链长越大,θ角越大
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解析:对链球受力分析,链球受重力、拉力两个力的作用,如图所示,有FT=,F合=mgtan θ,设链长为L,则链球做圆周运动的半径为r=Lsin θ,由牛顿第二定律有F合=m(2πn)2r,整理得cos θ=。若链长不变,转速越大,θ角越大,则链条拉力越大;若转速不变,链长越大,θ角越大。故D正确,A、B、C错误。
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6.如图所示,某物体沿光滑圆弧轨道由最高
点滑到最低点过程中,物体的速率逐渐增大,则( )
A.物体的合力为零
B.物体的合力大小不变,方向始终指向圆心O
C.物体的合力就是向心力
D.物体的合力方向始终不与其运动方向垂直(最低点除外)
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解析:物体做加速曲线运动,合力不为零,合力不指向圆心(最低点除外),合力沿半径方向的分力等于向心力,合力沿切线方向的分力使物体速度变大,即除在最低点外,物体的合力方向与其运动方向的夹角始终为锐角,A、B、C错误,D正确。
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7.(2024·浙江温州高一检测)如图是无人机绕拍摄主体飞行时,在水平面内做匀速圆周运动的示意图。已知无人机的质量为m,轨道平面距拍摄对象高度为h,无人机与拍摄对象距离为r,飞行时线速度大小为v,则无人机做匀速圆周运动时 ( )
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A.无人机所受空气作用力大小为mg
B.无人机所需的向心力大小为m
C.无人机飞行时速度不变
D.无人机绕行的周期为T=
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解析:无人机做匀速圆周运动,重力方向竖直向下,所需向心力在水平方向,则空气对无人机的作用力斜向上方,大于重力,故A错误;由几何关系可得,无人机做匀速圆周运动的半径r0=,则无人机所需的向心力大小Fn=m,故B错误;无人机飞行时速度大小不变,方向改变,故C错误;无人机绕行的周期为T==,故D正确。
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8.如图所示,完全相同的三个小球A、B、C均用长为L=0.8 m的细线悬于小车顶部,小车以v=2 m/s的速度匀速向右运动,A、C两球与小车左、右侧壁接触,由于某种原因,小车的速度突然减为0,此时悬线张力之比FA∶FB∶FC为(重力加速度g取10 m/s2) ( )
A.3∶3∶2 B.2∶3∶3
C.1∶1∶1 D.1∶2∶2
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解析:设三个小球的质量均为m,小车突然停止运动,小球C受到小车右侧壁的作用停止运动,则此时悬线张力与小球C的重力大小相等,即FC=mg,小球A和小球B由于惯性,会向右摆动,将做圆周运动,根据牛顿第二定律可得此时悬挂A、B两球的悬线张力大小为FA=FB=mg+m,代入数据解得FA∶FB∶FC=3∶3∶2,故选A。
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9.(多选)如图所示,在光滑水平面上钉有两个钉子A和B,一根长细绳的一端系一个小球,另一端固定在钉子A上,开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置),且细绳的一大部分沿顺时针方向缠绕在两钉子上(俯视)。现使小球以初速度v0在水平面上沿逆时针方向做圆周运动,使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放,在绳子完全被释放后与释放前相比,下列说法正确的是 ( )
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A.小球的速度变大 B.小球的角速度变小
C.小球的向心力变小 D.细绳对小球的拉力变大
解析:由于小球所受的拉力始终与其速度方向垂直,不改变速度的大小,故A错误;由v=ωr可知,v不变,r变大,则小球的角速度ω变小,故B正确;小球的向心力Fn=m,v不变,r变大,则小球的向心力变小,又由细绳对小球的拉力提供向心力,可知细绳对小球的拉力变小,故C正确,D错误。
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10.(10分)无动力风帽又叫球形通风器,是屋顶常见的一种通风设备。一风帽如图所示,它会在自然风的推动下绕其竖直中心轴旋转。在其边缘某处粘有一块质量为m的橡皮泥,橡皮泥到中心轴的距离为l。某段时间内,风帽做匀速圆周运动,在时间t内发现风帽旋转了n圈。重力加速度大小为g,橡皮泥可视为质点。求:
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(1)橡皮泥线速度的大小;
答案:
解析:由题意可知,橡皮泥随风帽一起做匀速圆周运动时的角速度为ω=
橡皮泥的线速度大小为v=ωl=。
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(2)风帽对橡皮泥作用力的大小。
答案:m
解析:橡皮泥做匀速圆周运动时受到的向心力大小为F向=mω2l=
对橡皮泥受力分析可知,风帽对橡皮泥的作用力的大小为F==m。
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B级——选考进阶
11.(2024·黄山高一检测)如图所示,质量相等的两小球A、B用长度相等的两根细线连接着,在光滑的水平面上以相同的角速度绕O点做匀速圆周运动,两细线上的拉力FAB∶FOB为( )
A.2∶1 B.2∶3
C.5∶3 D.3∶2
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解析:设小球A、B的质量均为m,角速度均为ω,两根细线的长度均为L,对小球A、B根据牛顿第二定律分别有FAB=mω2·2L,FOB-FAB=mω2L,联立解得FAB∶FOB=2∶3,故选B。
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12.如图所示,位于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R,质量分别为m1和m2的两带孔小球穿于圆环上。当圆环最终以角速度ω绕竖直直径匀速转动时,发现两小球均离开了原位置,它们和圆心的连线与竖直方向的夹角分别记为θ1和θ2,下列说法正确的是 ( )
A.若m1>m2,则θ1>θ2
B.若m1θ2
C.θ1和θ2总是相等,与m1和m2的大小无关
D.以上说法均错误
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解析:小球所受重力和圆环的支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律可得mgtan θ=mω2Rsin θ,解得cos θ=,可知两小球和圆心的连线与竖直方向的夹角与其质量无关,故选C。
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13.(12分)如图所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO'转动,筒内壁粗糙,筒壁与中心轴OO'的夹角θ=60°,筒内壁上的A点有一质量为m的小物块,A离中心轴OO'的距离为R。求:
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(1)当筒不转动时,物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小;
答案:mg mg
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解析:当筒不转动时,对物块进行受力分析,如图所示。则
FNsin θ+Ffcos θ=mg
FNcos θ=Ffsin θ
由以上两式解得Ff=mg,
FN=mg。
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(2)当物块在A点随筒做匀速转动,且其受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度。
答案:
解析:物块随筒匀速转动,其受到的摩擦力为零时有FNcos θ=mω2R
FNsin θ=mg
解得ω==。
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4课时跟踪检测(七) 向心力的分析与计算
(选择题1～9小题，每小题4分；11～12小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1．下列关于向心力的说法正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了向心力
B．向心力就是物体受到的合力
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．向心力改变做圆周运动的物体的速度方向
2.(2024·济宁高一检测)如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力和摩擦力都减小了
C．物体所受弹力不变，摩擦力也不变
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
3.如图，一圆盘可绕通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮所受摩擦力Ff的方向，下列正确的是( )
4.如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )
A．绳的拉力可能为零
B．圆桶对物块的弹力不可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的拉力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的拉力一定增大
5．(2024·大连高一调研)链球是奥运会比赛项目，如图甲为运动员甩动链球做匀速圆周运动的动作，简化模型如图乙所示，不计空气阻力和链重，则( )
A．链球受重力、拉力和向心力三个力的作用
B．链长不变，转速越大，链条拉力越小
C．链长不变，转速越大，θ角越小
D．转速不变，链长越大，θ角越大
6.如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终不与其运动方向垂直(最低点除外)
7．(2024·浙江温州高一检测)如图是无人机绕拍摄主体飞行时，在水平面内做匀速圆周运动的示意图。已知无人机的质量为m，轨道平面距拍摄对象高度为h，无人机与拍摄对象距离为r，飞行时线速度大小为v，则无人机做匀速圆周运动时( )
A．无人机所受空气作用力大小为mg
B．无人机所需的向心力大小为m
C．无人机飞行时速度不变
D．无人机绕行的周期为T＝
8.如图所示，完全相同的三个小球A、B、C均用长为L＝0.8 m的细线悬于小车顶部，小车以v＝2 m/s的速度匀速向右运动，A、C两球与小车左、右侧壁接触，由于某种原因，小车的速度突然减为0，此时悬线张力之比FA∶FB∶FC为(重力加速度g取10 m/s2)( )
A．3∶3∶2 B．2∶3∶3
C．1∶1∶1 D．1∶2∶2
9．(多选)如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿顺时针方向缠绕在两钉子上(俯视)。现使小球以初速度v0在水平面上沿逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( )
A．小球的速度变大
B．小球的角速度变小
C．小球的向心力变小
D．细绳对小球的拉力变大
10．(10分)无动力风帽又叫球形通风器，是屋顶常见的一种通风设备。一风帽如图所示，它会在自然风的推动下绕其竖直中心轴旋转。在其边缘某处粘有一块质量为m的橡皮泥，橡皮泥到中心轴的距离为l。某段时间内，风帽做匀速圆周运动，在时间t内发现风帽旋转了n圈。重力加速度大小为g，橡皮泥可视为质点。求：
(1)橡皮泥线速度的大小；
(2)风帽对橡皮泥作用力的大小。
B级——选考进阶
11.(2024·黄山高一检测)如图所示，质量相等的两小球A、B用长度相等的两根细线连接着，在光滑的水平面上以相同的角速度绕O点做匀速圆周运动，两细线上的拉力FAB∶FOB为( )
A．2∶1 B．2∶3
C．5∶3 D．3∶2
12．如图所示，位于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量分别为m1和m2的两带孔小球穿于圆环上。当圆环最终以角速度ω绕竖直直径匀速转动时，发现两小球均离开了原位置，它们和圆心的连线与竖直方向的夹角分别记为θ1和θ2，下列说法正确的是( )
A．若m1>m2，则θ1>θ2
B．若m1θ2
C．θ1和θ2总是相等，与m1和m2的大小无关
D．以上说法均错误
13.(12分)如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒壁与中心轴OO′的夹角θ＝60°，筒内壁上的A点有一质量为m的小物块，A离中心轴OO′的距离为R。求：
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。
课时跟踪检测(七)
1．选D 物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，不是由物体本身产生的，选项A错误；匀速圆周运动中由合力提供向心力，变速圆周运动中合力与向心力是不同的，选项B错误；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，即向心力是变化的，选项C错误；向心力的方向与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，选项D正确。
2.选D 物体做匀速圆周运动，所受合力指向圆心，对物体受力分析，物体受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的弹力，如图，重力G与静摩擦力Ff平衡，即G＝Ff，与物体的角速度无关，因为弹力FN提供向心力，即FN＝mrω2，所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力FN增大，故选D。
3．选C 因为圆盘转速不断增大，所以橡皮将随圆盘一起做加速圆周运动，此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以摩擦力方向应该在橡皮运动轨迹内侧且与速度方向成锐角，故选C。
4．选C 当物块随圆桶一起做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的拉力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的拉力的水平分力提供向心力的时候，圆桶对物块的弹力恰好为零，故B错误。
5.选D 对链球受力分析，链球受重力、拉力两个力的作用，如图所示，有FT＝，F合＝mgtan θ，设链长为L，则链球做圆周运动的半径为r＝Lsin θ，由牛顿第二定律有F合＝m(2πn)2r，整理得cos θ＝。若链长不变，转速越大，θ角越大，则链条拉力越大；若转速不变，链长越大，θ角越大。故D正确，A、B、C错误。
6．选D 物体做加速曲线运动，合力不为零，合力不指向圆心(最低点除外)，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的合力方向与其运动方向的夹角始终为锐角，A、B、C错误，D正确。
7．选D 无人机做匀速圆周运动，重力方向竖直向下，所需向心力在水平方向，则空气对无人机的作用力斜向上方，大于重力，故A错误；由几何关系可得，无人机做匀速圆周运动的半径r0＝，则无人机所需的向心力大小Fn＝m，故B错误；无人机飞行时速度大小不变，方向改变，故C错误；无人机绕行的周期为T＝＝，故D正确。
8．选A 设三个小球的质量均为m，小车突然停止运动，小球C受到小车右侧壁的作用停止运动，则此时悬线张力与小球C的重力大小相等，即FC＝mg，小球A和小球B由于惯性，会向右摆动，将做圆周运动，根据牛顿第二定律可得此时悬挂A、B两球的悬线张力大小为FA＝FB＝mg＋m，代入数据解得FA∶FB∶FC＝3∶3∶2，故选A。
9．选BC 由于小球所受的拉力始终与其速度方向垂直，不改变速度的大小，故A错误；由v＝ωr可知，v不变，r变大，则小球的角速度ω变小，故B正确；小球的向心力Fn＝m，v不变，r变大，则小球的向心力变小，又由细绳对小球的拉力提供向心力，可知细绳对小球的拉力变小，故C正确，D错误。
10．解析：(1)由题意可知，橡皮泥随风帽一起做匀速圆周运动时的角速度为ω＝
橡皮泥的线速度大小为v＝ωl＝。
(2)橡皮泥做匀速圆周运动时受到的向心力大小为
F向＝mω2l＝
对橡皮泥受力分析可知，风帽对橡皮泥的作用力的大小为
F＝＝m。
答案：(1) (2)m
11．选B 设小球A、B的质量均为m，角速度均为ω，两根细线的长度均为L，对小球A、B根据牛顿第二定律分别有FAB＝mω2·2L，FOB－FAB＝mω2L，联立解得FAB∶FOB＝2∶3，故选B。
12．选C 小球所受重力和圆环的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得mgtan θ＝mω2Rsin θ，解得cos θ＝，可知两小球和圆心的连线与竖直方向的夹角与其质量无关，故选C。
13.解析：(1)当筒不转动时，对物块进行受力分析，如图所示。则FNsin θ＋Ffcos θ＝mg
FNcos θ＝Ffsin θ
由以上两式解得Ff＝mg，FN＝mg。
(2)物块随筒匀速转动，其受到的摩擦力为零时有FNcos θ＝mω2R
FNsin θ＝mg
解得ω＝ ＝ 。
答案：(1)mg mg (2)
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