第4节 生活中的圆周运动(赋能课精细培优科学思维)
课标要求 层级达标
1.了解铁路和高速公路弯道处路面有一定倾斜度的原因。 2.了解生产生活中的离心现象及其产生的原因。 学考层级 1.了解生活中的各种圆周运动现象。 2.知道航天器中的失重现象。 3.知道离心运动产生的原因。
选考层级 1.能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象。 2.会分析火车(汽车)转弯、汽车过凸形桥和凹形路面时的有关问题。
一、火车转弯
1.火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在做 ,因而具有 加速度,由于其质量巨大,需要很大的向心力。
2.向心力来源
(1)内外轨一样高:火车转弯时,外侧车轮的轮缘挤压 ,使外轨发生 ,外轨对轮缘的 是火车转弯所需向心力的主要来源(如图甲所示)。
(2)外轨略高于内轨:如果在弯道处使外轨略高于内轨(如图乙所示),火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是 的,而是斜向弯道的 ,它与重力G的合力指向 ,为火车转弯提供了一部分向心力。
(3)适当选择内外轨的高度差,使转弯时所需的向心力几乎完全由 和 的合力来提供。
[情境思考]
铁路弯道处的外轨与内轨的高度一样吗 火车的车轮设计有什么特点
二、汽车过拱形桥
汽车过拱形桥最高点 汽车过凹形路面最低点
受力 分析
向心力 Fn= =m Fn= =m
对路面 的压力 FN'= FN'=
结论 汽车对桥的压力小于汽车所受的重力,而且汽车速度越大,对桥的压力 汽车对凹形路面的压力大于汽车的重力,而且汽车速度越大,对凹形路面的压力
状态 失重状态 超重状态
[质疑辨析]
某次演习中,一辆战车以大小不变的速度在起伏不平的路面上行进。
请对以下结论作出判断:
(1)战车在B点和C点时,向心加速度方向都是竖直向上的。 ( )
(2)战车在B点时对路面的压力大于战车的重力。 ( )
(3)战车在C点时对路面的压力小于战车的重力。 ( )
(4)战车在C点时对路面的压力可能为零。 ( )
(5)战车在D处水平路面加速行驶时,对路面的压力大于战车的重力。 ( )
三、航天器中的失重现象
1.向心力分析
航天员受到的 与飞船座舱对他的 的合力提供他绕地球做匀速圆周运动所需的向心力, =m。
2.失重状态
当v= 时座舱对航天员的支持力FN=0,航天员处于完全失重状态。
[情境思考]
物体放在水平桌面上,它会对桌面产生压力;如果航天器绕地球做匀速圆周运动,那么航天器中的物体会对航天器产生压力吗
四、离心运动
1.定义:物体沿切线方向飞出或做逐渐 的运动。
2.条件:向心力突然消失或合力不足以提供所需的 。
3.应用和防止
(1)应用:离心干燥器、洗衣机的脱水筒、离心制管技术、分离血浆和红细胞的离心机。
(2)防止:转动的砂轮、飞轮的转速不能太高;在公路弯道,车辆不允许超过 。
[微点拨]
物体做离心运动不是物体受到离心力的作用,而是外力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。
强化点(一) 火车转弯
[要点释解明]
1.火车弯道运动轨迹特点
火车在转弯过程中,运动轨迹是一圆弧,由于火车转弯过程中重心高度不变,故火车轨迹所在的平面是水平面,而不是斜面。火车的向心加速度和向心力均沿水平方向指向圆心。
2.转弯时轨道受到的侧压力与火车速度的关系
(1)若火车转弯时,火车所受支持力与重力的合力提供向心力,则mgtan θ=m,如图所示,则v0=,其中r为弯道半径,θ为轨道平面与水平面的夹角tan θ≈(θ一般很小),其中h为内、外轨的高度差,L为内、外轨间距,v0为转弯处的规定速度。此外,内外轨道对火车均无侧向挤压作用。
(2)若火车行驶速度v0>,重力和支持力的合力不足以提供向心力,外轨对轮缘有侧压力。
(3)若火车行驶速度v0<,重力和支持力的合力大于需要的向心力,内轨对轮缘有侧压力。
[典例] 某铁路转弯处的圆弧半径是300 m,铁轨的轨距是1 435 mm,火车通过这里的规定速度是72 km/h,轨道平面与水平面间的夹角很小,重力加速度g取9.8 m/s2。
(1)求内外轨的高度差。
(2)保持内外轨的这个高度差,如果列车通过转弯处的速度大于或小于72 km/h,分别会发生什么现象 说明理由。
尝试解答:
[变式拓展] 在上述[典例]中,如果该弯道的内外轨一样高,火车质量为100 t,仍以规定速度72 km/h通过该弯道,其向心力来源是什么 向心力的大小是多少 会产生什么后果
[思维建模]
火车转弯问题的解题策略
(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向,指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力,方向指向水平面内的圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时,向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。
(3)当外轨高于内轨时,向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供,这还与火车的速度大小有关。
[题点全练清]
1.如图所示,火车轨道转弯处外高内低,当火车行驶速度等于规定速度时,所需向心力仅由重力和轨道支持力的合力提供,此时火车对内、外轨道无侧向挤压作用。已知火车内、外轨之间的距离为1 435 mm,高度差为143.5 mm,转弯半径为400 m,由于内、外轨轨道平面的倾角θ很小,可近似认为sin θ=tan θ,重力加速度g取10 m/s2,则在这种情况下,火车转弯时的规定速度为 ( )
A.36 km/h B.54 km/h
C.72 km/h D.98 km/h
2.(2024·黄山高一检测)如图所示,在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时(可视为做匀速圆周运动),内、外轨均不会受到轮缘的挤压,设此时火车的速度大小为v,重力加速度为g,两轨所在平面的倾角为θ,则下列说法不正确的是 ( )
A.该弯道的半径r=
B.当火车质量改变时,规定的行驶速度大小不变
C.当火车速率大于v时,内轨将受到轮缘的挤压
D.当火车以规定的行驶速度转弯时,向心加速度大小为an=gtan θ
强化点(二) 汽车过拱形桥
任务驱动
如图甲、乙所示为汽车在拱形桥、凹形路面上行驶的示意图,汽车行驶时可以视为做圆周运动。
(1)如图甲,汽车行驶到拱形桥的最高点时:
①什么力提供向心力 汽车对桥面的压力有什么特点
②汽车对桥面最高点的压力与车速有什么关系 汽车安全通过拱形桥顶(只考虑不脱离桥面最高点)行驶的最大速度是多大
(2)当汽车行驶到凹形路面的最低点时,什么力提供向心力 汽车对路面的压力有什么特点
[要点释解明]
1.汽车驶至凹形路面的底部时,合力向上,加速度向上,处于超重状态,此时汽车对路面的压力最大;汽车驶至凸形桥面的顶部时,合力向下,加速度向下,处于失重状态,此时汽车对桥面的压力最小。
2.汽车在拱形桥最高点满足关系mg-FN=m,即FN=mg-m,有三种情形:
汽车的速度 汽车所受的支持力
v= FN=0
0≤v< 0v> 汽车将脱离桥面做平抛运动,发生危险
[典例] (2024·忻州高一检测)如图所示是一座半径为40 m的圆弧形拱形桥。一质量为1.0×103 kg的汽车,行驶到拱形桥顶端时,汽车运动速度为10 m/s;则此时汽车运动的向心加速度为多大 向心力为多大 汽车对桥面的压力为多大 (g取10 m/s2)
尝试解答:
[思维建模]
分析竖直平面内圆周运动的方法
(1)注意题目中的条件;
(2)对做圆周运动的物体过最高点或最低点时向心力的来源进行分析;
(3)受力方向不确定的情况下可用假设法,根据计算结果进行讨论,列式时要注意向心力指向圆心。
[题点全练清]
1.如图所示,当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时,车对桥顶的压力为车重的,如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时,恰好不受桥面支持力作用,则汽车通过桥顶的速度应为(g取 10 m/s2) ( )
A.15 m/s B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
2.(多选)胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压,在汽车上安装胎压监测报警器,可以预防因汽车轮胎胎压异常而引发的事故。一辆装有胎压报警器的载重汽车在高低不平的路面上行驶,其中一段路面如图所示,图中虚线是水平线。下列说法正确的是 ( )
A.若汽车速率不变,经过图中A处最容易超压报警
B.若汽车速率不变,经过图中B处最容易超压报警
C.若要尽量使胎压报警器不超压报警,应增大汽车的速度
D.若要尽量使胎压报警器不超压报警,应减小汽车的速度
强化点(三) 生活中的离心运动
任务驱动
水银体温计是我们生活中常用的体温测量工具,它的操作简单,测量准确。那你知道水银体温计使用之前为什么要甩一下吗
[要点释解明]
1.对离心运动的理解
(1)离心运动并非沿半径飞出的运动,而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
(2)离心运动的本质是物体惯性的表现,并不是受到了“离心力”的作用。
2.四种运动情况的判断
如图所示,根据物体所受合外力与所需向心力的关系,可做如下判断:
[题点全练清]
1.(多选)在人们经常见到的以下现象中,属于离心现象的是 ( )
A.舞蹈演员在表演旋转动作时,裙子会张开
B.在雨中转动一下伞柄,伞面上的雨水会很快地沿伞面运动,到达边缘后雨水将沿切线方向飞出
C.满载黄沙或石子的卡车,在急转弯时,部分黄沙或石子会被甩出
D.运动员把足球踢出后,足球在空中沿着弧线运动
2.如图所示是摩托车比赛时转弯的情境。转弯处路面常是外高内低,摩托车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题,下列论述正确的是 ( )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑动
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑动
3.(2024·重庆高一检测)航天员在空间站进行太空授课时,用细绳系住小瓶并使小瓶绕细绳一端做圆周运动,做成一个“人工离心机”成功将瓶中混合的水和食用油分离。水和油分离后,小瓶经过如图两个位置时,下列判断正确的是 ( )
A.a、d部分是油 B.a、d部分是水
C.b、d部分是油 D.b、d部分是水
第4节 生活中的圆周运动
一、1.圆周运动 向心 2.(1)外轨 弹性形变 弹力 (2)竖直 内侧 圆心 (3)重力G 支持力FN
[情境思考]
提示：铁路弯道处的外轨与内轨高度不一样，外轨高、内轨低。火车的车轮设计有突出的轮缘，车轮的轮缘卡在铁轨之间。
二、mg－FN FN－mg mg－m mg＋m 越小 越大
[质疑辨析]
(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
三、1.地球引力 支持力 mg－FN 2.
[情境思考]
提示：航天器中的物体不会对航天器产生压力。
四、1.远离圆心 2.向心力 3.(2)规定的速度
强化点(一)
[典例] 解析： (1)如图所示，
设h为内外轨的高度差，d为轨距，α为轨道平面与水平面的夹角。
72 km/h＝20 m/s，火车转弯时的向心力F＝mgtan α＝m，tan α＝
由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，可以近似地认为
tan α≈sin α＝
代入上式得＝，
所以内外轨的高度差为h＝＝ m≈0.195 m。
(2)①如果车速v>72 km/h，火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将小于需要的向心力，所差的向心力需由外轨对轮缘的弹力来弥补。这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。
②如果车速v<72 km/h，火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将大于需要的向心力，超出的合力则由内轨对内侧车轮轮缘的弹力来平衡，这样就出现内侧车轮的轮缘向里挤压内轨的现象。
答案：(1)0.195 m (2)见解析
[变式拓展] 解析：由于弯道的内外轨一样高，火车所受重力和支持力平衡，向心力由外轨对轮缘的水平向内的侧向弹力提供。其大小为F＝m＝105× N≈1.33×105 N
会使火车外侧轮缘对外轨产生巨大的弹力，可能会使火车发生脱轨或翻车事故。
答案：外轨对轮缘的水平向内的侧向弹力 1.33×105 N 火车发生脱轨或翻车事故
[题点全练清]
1．选C 由题知sin θ＝。在规定速度下，火车转弯时只受重力和支持力作用，由牛顿第二定律有mgtan θ＝，又由题意知sin θ＝tan θ，可得v0＝＝＝20 m/s＝72 km/h。A、B、D错误，C正确。
2．选C 依题意，当内、外轨均不会受到轮缘的挤压时，由重力和轨道对火车的支持力的合力提供向心力，有mgtan θ＝man＝m，解得火车的向心加速度大小及该弯道的半径为an＝gtan θ，r＝，即v＝，显然规定的行驶速度与火车质量无关，故A、B、D正确；当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供火车所需向心力，则外轨将受到轮缘的挤压，故C错误。
强化点(二)
[任务驱动] 提示：(1)①当汽车行驶到拱形桥的最高点时，汽车的重力与其所受的支持力的合力提供向心力，即mg－FN＝m，由牛顿第三定律可知，此时汽车对桥面的压力FN′＝FN＝mg－m，即汽车对桥面的压力小于汽车的重力。
②由FN′＝mg－m可知，当汽车的速度增大时，汽车对桥面的压力减小，当汽车对桥面的压力为零时，汽车的重力提供向心力，此时汽车的速度达到最大，由mg＝m，得vm＝，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面最高点。
(2)当汽车行驶到凹形路面的最低点时，汽车的重力与其所受的支持力的合力提供向心力，即FN－mg＝m，由牛顿第三定律可知，此时汽车对路面的压力FN′＝FN＝mg＋m，即汽车对路面的压力大于汽车的重力。
[典例] 解析：根据向心加速度公式可知，
汽车的向心加速度大小为
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
由牛顿第二定律可知，汽车所需的向心力
F＝ma＝1.0×103×2.5 N＝2.5×103 N。
在桥的最高点，汽车的向心力由重力和桥的支持力的合力提供，如图所示，
根据牛顿第二定律有F＝mg－FN＝ma，则FN＝m(g－a)＝1.0×103×(10－2.5)N＝7.5×103 N，
根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力
FN′＝FN＝7.5×103 N。
答案：2.5 m/s2 2.5×103 N 7.5×103 N
[题点全练清]
1．选B 设拱桥的半径为r，由题可知，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，即mg－mg＝m，解得r＝＝40 m，当支持力为零，有mg＝m，解得v1＝＝20 m/s，故B正确，A、C、D错误。
2．选AD 在题图中的A处和B处，汽车的向心加速度分别是向上和向下，所以在题图中的A处和B处汽车分别处于超重状态和失重状态，若汽车速率不变，经过题图中A处最容易超压报警，故A正确，B错误；在题图中A处，根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，得FN＝m＋mg，可知若要尽量使胎压报警器不超压报警，应减小汽车的速度，故D正确，C错误。
强化点(三)
[任务驱动] 提示：在体温计的玻璃泡上方有一段很细的缩口，水银收缩时，水银从缩口处断开，管内水银面不能下降，指示的仍然是上次测量的温度。因此使用之前需要使劲甩一下，让管内水银做离心运动，退回到玻璃泡中。
[题点全练清]
1．选ABC 舞蹈演员在表演旋转动作时，裙子张开属于离心现象，故A正确；伞面上的雨水受到的力由于不够提供向心力导致水滴做离心运动，属于离心现象，故B正确；黄沙或石子因为受到的力不够提供向心力而做离心运动，属于离心现象，故C正确；运动员踢出足球，足球在空中沿着弧线运动是因为足球在力的作用下做曲线运动，不是离心现象，故D错误。
2．选B 摩托车只受重力、地面的支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明合力小于所需的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误。
3．选D 水的密度大，单位体积水的质量大，小瓶中的油和水做匀速圆周运动的角速度相同，根据F＝mω2r，可知水做圆周运动所需要的向心力大，当合力F不足以提供向心力时，水先做离心运动，所以油和水分离后，油在水的内侧，故b、d部分是水，故选D。
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生活中的圆周运动
(赋能课——精细培优科学思维)
第 4 节
课标要求 层级达标
1.了解铁路和高速公路弯道处路面有一定倾斜度的原因。 2.了解生产生活中的离心现象及其产生的原因。 学考层级 1.了解生活中的各种圆周运动现象。
2.知道航天器中的失重现象。
3.知道离心运动产生的原因。
选考层级 1.能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象。
2.会分析火车(汽车)转弯、汽车过凸形桥和凹形路面时的有关问题。
1
课前预知教材
2
课堂精析重难
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
课前预知教材
一、火车转弯
1.火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在做__________,因而具有______加速度,由于其质量巨大,需要很大的向心力。
圆周运动
向心
2.向心力来源
(1)内外轨一样高:火车转弯时,外侧车轮的轮缘挤压_____,使外轨发生___________,外轨对轮缘的______是火车转弯所需向心力的主要来源(如图甲所示)。
外轨
弹性形变
弹力
(2)外轨略高于内轨:如果在弯道处使外轨略高于内轨(如图乙所示),火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是_____的,而是斜向弯道的_____,它与重力G的合力指向______,为火车转弯提供了一部分向心力。
(3)适当选择内外轨的高度差,使转弯时所需的向心力几乎完全由_________和____________的合力来提供。
竖直
内侧
圆心
重力G
支持力FN
[情境思考]
铁路弯道处的外轨与内轨的高度一样吗 火车的车轮设计有什么特点
提示:铁路弯道处的外轨与内轨高度不一样,外轨高、内轨低。火车的车轮设计有突出的轮缘,车轮的轮缘卡在铁轨之间。
二、汽车过拱形桥
汽车过拱形桥最高点 汽车过凹形路面最低点
受力 分析
向心力 Fn=________=m Fn=_________=m
mg-FN
FN-mg
对路面 的压力 FN'=_________ FN'=_________
结论 汽车对桥的压力小于汽车所受的重力,而且汽车速度越大,对桥的压力______ 汽车对凹形路面的压力大于汽车的重力,而且汽车速度越大,对凹形路面的压力_____
状态 失重状态 超重状态
续表
mg-m
mg+m
越小
越大
[质疑辨析]
某次演习中,一辆战车以大小不变的速度在起伏不平的路面上行进。
请对以下结论作出判断:
(1)战车在B点和C点时,向心加速度方向都是竖直向上的。 ( )
(2)战车在B点时对路面的压力大于战车的重力。 ( )
(3)战车在C点时对路面的压力小于战车的重力。 ( )
(4)战车在C点时对路面的压力可能为零。 ( )
(5)战车在D处水平路面加速行驶时,对路面的压力大于战车的重力。 ( )
×
√
√
√
×
三、航天器中的失重现象
1.向心力分析
航天员受到的__________与飞船座舱对他的_________的合力提供他绕地球做匀速圆周运动所需的向心力,_________ =m。
2.失重状态
当v=_______时座舱对航天员的支持力FN=0,航天员处于完全失重状态。
地球引力
支持力
mg-FN
[情境思考]
物体放在水平桌面上,它会对桌面产生压力;如果航天器绕地球做匀速圆周运动,那么航天器中的物体会对航天器产生压力吗
提示:航天器中的物体不会对航天器产生压力。
四、离心运动
1.定义:物体沿切线方向飞出或做逐渐___________的运动。
2.条件:向心力突然消失或合力不足以提供所需的_________。
3.应用和防止
(1)应用:离心干燥器、洗衣机的脱水筒、离心制管技术、分离血浆和红细胞的离心机。
(2)防止:转动的砂轮、飞轮的转速不能太高;在公路弯道,车辆不允许超过____________。
远离圆心
向心力
规定的速度
[微点拨]
物体做离心运动不是物体受到离心力的作用,而是外力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。
课堂精析重难
1.火车弯道运动轨迹特点
火车在转弯过程中,运动轨迹是一圆弧,由于火车转弯过程中重心高度不变,故火车轨迹所在的平面是水平面,而不是斜面。火车的向心加速度和向心力均沿水平方向指向圆心。
强化点(一) 火车转弯
要点释解明
2.转弯时轨道受到的侧压力与火车速度的关系
(1)若火车转弯时,火车所受支持力与重力的合力提供向心力,则mgtan θ=m,如图所示,则v0=,其中r为弯道半径,θ为轨道平面与水平面的夹角tan θ≈(θ一般很小),其中h为内、外轨的高度差,L为内、外轨间距,v0为转弯处的规定速度。此外,内外轨道对火车均无侧向挤压作用。
(2)若火车行驶速度v0>,重力和支持力的合力不足以提供向心力,外轨对轮缘有侧压力。
(3)若火车行驶速度v0<,重力和支持力的合力大于需要的向心力,内轨对轮缘有侧压力。
[典例] 某铁路转弯处的圆弧半径是300 m,铁轨的轨距是1 435 mm,火车通过这里的规定速度是72 km/h,轨道平面与水平面间的夹角很小,重力加速度g取9.8 m/s2。
(1)求内外轨的高度差。
[答案] 0.195 m
[解析] 如图所示,设h为内外轨的高度差,d为轨距,α为轨道平面与水平面的夹角。
72 km/h=20 m/s,火车转弯时的向心力F=mgtan α=m,tan α=
由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小,可以近似地认为tan α≈sin α=
代入上式得=,所以内外轨的高度差为h== m≈0.195 m。
(2)保持内外轨的这个高度差,如果列车通过转弯处的速度大于或小于72 km/h,分别会发生什么现象 说明理由。
[答案] 见解析
[解析] ①如果车速v>72 km/h,火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将小于需要的向心力,所差的向心力需由外轨对轮缘的弹力来弥补。这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。
②如果车速v<72 km/h,火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将大于需要的向心力,超出的合力则由内轨对内侧车轮轮缘的弹力来平衡,这样就出现内侧车轮的轮缘向里挤压内轨的现象。
[变式拓展] 在上述[典例]中,如果该弯道的内外轨一样高,火车质量为100 t,仍以规定速度72 km/h通过该弯道,其向心力来源是什么 向心力的大小是多少 会产生什么后果
答案:外轨对轮缘的水平向内的侧向弹力
1.33×105 N 火车发生脱轨或翻车事故
解析:由于弯道的内外轨一样高,火车所受重力和支持力平衡,向心力由外轨对轮缘的水平向内的侧向弹力提供。其大小为F=m=105× N≈1.33×105 N
会使火车外侧轮缘对外轨产生巨大的弹力,可能会使火车发生脱轨或翻车事故。
[思维建模]
火车转弯问题的解题策略
(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向,指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力,方向指向水平面内的圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时,向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。
(3)当外轨高于内轨时,向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供,这还与火车的速度大小有关。
1.如图所示,火车轨道转弯处外高内低,当火车
行驶速度等于规定速度时,所需向心力仅由重力和
轨道支持力的合力提供,此时火车对内、外轨道无
题点全练清
侧向挤压作用。已知火车内、外轨之间的距离为1 435 mm,高度差为143.5 mm,转弯半径为400 m,由于内、外轨轨道平面的倾角θ很小,可近似认为sin θ=tan θ,重力加速度g取10 m/s2,则在这种情况下,火车转弯时的规定速度为 ( )
A.36 km/h B.54 km/h
C.72 km/h D.98 km/h
解析:由题知sin θ=。在规定速度下,火车转弯时只受重力和支持力作用,由牛顿第二定律有mgtan θ=,又由题意知sin θ=tan θ,可得v0===20 m/s=72 km/h。A、B、D错误,C正确。
√
2.(2024·黄山高一检测)如图所示,在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时(可视为做匀速圆周运动),内、外轨均不会受到轮缘的挤压,设此时火车的速度大小为v,重力加速度为g,两轨所在平面的倾角为θ,则下列说法不正确的是 ( )
A.该弯道的半径r=
B.当火车质量改变时,规定的行驶速度大小不变
C.当火车速率大于v时,内轨将受到轮缘的挤压
D.当火车以规定的行驶速度转弯时,向心加速度大小为an=gtan θ
√
解析:依题意,当内、外轨均不会受到轮缘的挤压时,由重力和轨道对火车的支持力的合力提供向心力,有mgtan θ=man=m,解得火车的向心加速度大小及该弯道的半径为an=gtan θ,r=,即v=,显然规定的行驶速度与火车质量无关,故A、B、D正确;当火车速率大于v时,重力与支持力的合力不足以提供火车所需向心力,则外轨将受到轮缘的挤压,故C错误。
如图甲、乙所示为汽车在拱形桥、凹形路面上行驶的示意图,汽车行驶时可以视为做圆周运动。
任务驱动
强化点(二) 汽车过拱形桥
(1)如图甲,汽车行驶到拱形桥的最高点时:
①什么力提供向心力 汽车对桥面的压力有什么特点
②汽车对桥面最高点的压力与车速有什么关系 汽车安全通过拱形桥顶(只考虑不脱离桥面最高点)行驶的最大速度是多大
提示:①当汽车行驶到拱形桥的最高点时,汽车的重力与其所受的支持力的合力提供向心力,即mg-FN=m,由牛顿第三定律可知,此时汽车对桥面的压力FN'=FN=mg-m,即汽车对桥面的压力小于汽车的重力。
②由FN'=mg-m可知,当汽车的速度增大时,汽车对桥面的压力减小,当汽车对桥面的压力为零时,汽车的重力提供向心力,此时汽车的速度达到最大,由mg=m,得vm=,如果汽车的速度超过此速度,汽车将离开桥面最高点。
(2)当汽车行驶到凹形路面的最低点时,什么力提供向心力 汽车对路面的压力有什么特点
提示:当汽车行驶到凹形路面的最低点时,汽车的重力与其所受的支持力的合力提供向心力,即FN-mg=m,由牛顿第三定律可知,此时汽车对路面的压力FN'=FN=mg+m,即汽车对路面的压力大于汽车的重力。
1.汽车驶至凹形路面的底部时,合力向上,加速度向上,处于超重状态,此时汽车对路面的压力最大;汽车驶至凸形桥面的顶部时,合力向下,加速度向下,处于失重状态,此时汽车对桥面的压力最小。
要点释解明
2.汽车在拱形桥最高点满足关系mg-FN=m,即FN=mg-m,有三种情形:
汽车的速度 汽车所受的支持力
v= FN=0
0≤v< 0v> 汽车将脱离桥面做平抛运动,发生危险
[典例] (2024·忻州高一检测)如图所示是一座半径为40 m的圆弧形拱形桥。一质量为1.0×103 kg的汽车,行驶到拱形桥顶端时,汽车运动速度为10 m/s;则此时汽车运动的向心加速度为多大 向心力为多大 汽车对桥面的压力为多大 (g取10 m/s2)
[答案] 2.5 m/s2 2.5×103 N 7.5×103 N
[解析] 根据向心加速度公式可知,
汽车的向心加速度大小为
a== m/s2=2.5 m/s2。
由牛顿第二定律可知,汽车所需的向心力
F=ma=1.0×103×2.5 N=2.5×103 N。
在桥的最高点,汽车的向心力由重力和桥的
支持力的合力提供,如图所示,
根据牛顿第二定律有F=mg-FN=ma,
则FN=m(g-a)=1.0×103×(10-2.5)N=7.5×103 N,
根据牛顿第三定律可知,汽车对桥面的压力
FN'=FN=7.5×103 N。
[思维建模]
分析竖直平面内圆周运动的方法
(1)注意题目中的条件;
(2)对做圆周运动的物体过最高点或最低点时向心力的来源进行分析;
(3)受力方向不确定的情况下可用假设法,根据计算结果进行讨论,列式时要注意向心力指向圆心。
1.如图所示,当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时,车对桥顶的压力为车重的,如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时,恰好不受桥面支持力作用,则汽车通过桥顶的速度应为(g取10 m/s2)( )
A.15 m/s B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
题点全练清
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解析:设拱桥的半径为r,由题可知,根据牛顿第二定律得mg-FN=m,即mg-mg=m,解得r==40 m,当支持力为零,有mg=m,解得v1==20 m/s,故B正确,A、C、D错误。
2.(多选)胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压,在汽车上安装胎压监测报警器,可以预防因汽车轮胎胎压异常而引发的事故。一辆装有胎压报警器的载重汽车在高低不平的路面上行驶,其中一段路面如图所示,图中虚线是水平线。下列说法正确的是 ( )
A.若汽车速率不变,经过图中A处最容易超压报警
B.若汽车速率不变,经过图中B处最容易超压报警
C.若要尽量使胎压报警器不超压报警,应增大汽车的速度
D.若要尽量使胎压报警器不超压报警,应减小汽车的速度
√
√
解析:在题图中的A处和B处,汽车的向心加速度分别是向上和向下,所以在题图中的A处和B处汽车分别处于超重状态和失重状态,若汽车速率不变,经过题图中A处最容易超压报警,故A正确,B错误;在题图中A处,根据牛顿第二定律有FN-mg=m,得FN=m+mg,可知若要尽量使胎压报警器不超压报警,应减小汽车的速度,故D正确,C错误。
水银体温计是我们生活中常用的体温测量工具,它的操作简单,测量准确。那你知道水银体温计使用之前为什么要甩一下吗
任务驱动
强化点(三) 生活中的离心运动
提示:在体温计的玻璃泡上方有一段很细的缩口,水银收缩时,水银从缩口处断开,管内水银面不能下降,指示的仍然是上次测量的温度。因此使用之前需要使劲甩一下,让管内水银做离心运动,退回到玻璃泡中。
1.对离心运动的理解
(1)离心运动并非沿半径飞出的运动,而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
(2)离心运动的本质是物体惯性的表现,并不是受到了“离心力”的作用。
要点释解明
2.四种运动情况的判断
如图所示,根据物体所受合外力与所需向心力的关系,可做如下判断:
1.(多选)在人们经常见到的以下现象中,属于离心现象的是 ( )
A.舞蹈演员在表演旋转动作时,裙子会张开
B.在雨中转动一下伞柄,伞面上的雨水会很快地沿伞面运动,到达边缘后雨水将沿切线方向飞出
C.满载黄沙或石子的卡车,在急转弯时,部分黄沙或石子会被甩出
D.运动员把足球踢出后,足球在空中沿着弧线运动
题点全练清
√
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解析:舞蹈演员在表演旋转动作时,裙子张开属于离心现象,故A正确;伞面上的雨水受到的力由于不够提供向心力导致水滴做离心运动,属于离心现象,故B正确;黄沙或石子因为受到的力不够提供向心力而做离心运动,属于离心现象,故C正确;运动员踢出足球,足球在空中沿着弧线运动是因为足球在力的作用下做曲线运动,不是离心现象,故D错误。
2.如图所示是摩托车比赛时转弯的情境。转弯处路面常是外高内低,摩托车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题,下列论述正确的是 ( )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑动
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑动
√
解析:摩托车只受重力、地面的支持力和地面的摩擦力作用,没有离心力,选项A错误;摩托车正常转弯时可看作做匀速圆周运动,所受的合力等于向心力,如果向外滑动,说明合力小于所需的向心力,选项B正确;摩托车将沿曲线做离心运动,选项C、D错误。
3.(2024·重庆高一检测)航天员在空间站进行太空授课时,用细绳系住小瓶并使小瓶绕细绳一端做圆周运动,做成一个“人工离心机”成功将瓶中混合的水和食用油分离。水和油分离后,小瓶经过如图两个位置时,下列判断正确的是 ( )
A.a、d部分是油
B.a、d部分是水
C.b、d部分是油
D.b、d部分是水
√
解析:水的密度大,单位体积水的质量大,小瓶中的油和水做匀速圆周运动的角速度相同,根据F=mω2r,可知水做圆周运动所需要的向心力大,当合力F不足以提供向心力时,水先做离心运动,所以油和水分离后,油在水的内侧,故b、d部分是水,故选D。
课时跟踪检测
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(选择题1~8小题,每小题4分;10~11小题,每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1.(2023·广东1月学考)下列现象中属于防止离心现象带来危害的是( )
A.旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴
B.列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些
C.拖把桶通过旋转使拖把脱水
D.洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水
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解析:旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴,拖把桶通过旋转使拖把脱水和洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水,都是利用的离心现象;在修建铁路时,列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些,目的是由重力的分力提供一部分向心力,弥补向心力不足,防止车速过大,火车产生离心现象而发生侧翻,所以该现象属于防止离心现象带来危害,故选B。
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2.(2024·湖北荆州检测)如图所示,餐桌上的水平玻璃转盘匀速转动时,其上的物品相对于转盘静止,则以下说法正确的是 ( )
A.越靠近圆心的物品线速度越大
B.越靠近圆心的物品角速度越小
C.所有物品有相对圆心靠近的趋势
D.所有物品有相对圆心远离的趋势
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解析:水平玻璃转盘上的物品相当于同轴转动,即物品的角速度相等,由关系式v=ωR可知,当角速度相同时,线速度大小与半径成正比,越靠近圆心的物品线速度越小,故A、B错误;餐桌上的物品随餐桌上的水平玻璃转盘一起匀速转动,所有物品有相对圆心远离的趋势,故C错误,D正确。
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3.如图所示,质量相等的汽车甲和汽车乙,以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动,汽车甲在汽车乙的外侧。两车沿半径方向受到的摩擦力大小分别为f甲和f乙,以下说法正确的是 ( )
A.f甲B.f甲=f乙
C.f甲>f乙
D.f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
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解析:汽车在水平弯道做匀速圆周运动,沿半径方向的摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力,即f=F向=m,由于m甲=m乙,v甲=v乙,r甲>r乙,故f甲2
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4.(2024·河北邢台高一阶段练习)如图甲所示,在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨,具体如图乙所示。当火车以规定的行驶速度转弯(可视为在做半径为R的匀速圆周运动)时,内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压,此时的速度大小为规定转弯速度,已知弯道处斜坡的倾角为θ,重力加速度大小为g,以下说法正确的是 ( )
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A.火车在该弯道的规定转弯速度大小为
B.当火车质量增大时,规定转弯速度也增大
C.当遇雨雪天气轨道变湿滑时,规定转弯速度减小
D.当火车速度大于规定转弯速度时,外轨将受到轮缘的挤压
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解析:当火车以规定的行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压,此时mgtan θ=m,解得火车在该弯道的规定转弯速度大小为v=,可知当火车质量增大时,规定转弯速度不变,当遇雨雪天气轨道变湿滑时,规定转弯速度不变,故A、B、C错误;当火车速度大于规定转弯速度时,火车的重力和其所受的支持力的合力不足以提供火车做圆周运动的向心力,此时火车有做离心运动的趋势,则外轨将受到轮缘的挤压,故D正确。
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5.(2024·广东汕头高一阶段练习)公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时,常常要修建凹形路面,也叫“过水路面”。如图所示,汽车通过凹形路面的最低点时 ( )
A.汽车的加速度为零,受力平衡
B.汽车对路面的压力比汽车的重力大
C.汽车对路面的压力比汽车受到路面的支持力小
D.汽车的速度越大,汽车对路面的压力越小
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解析:汽车通过凹形路面的最低点时,汽车的加速度方向向上,根据牛顿第二定律可得FN-mg=m,汽车对路面的压力与汽车受到路面的支持力是一对相互作用力,大小相等,则有FN'=FN=mg+m,可知汽车对路面的压力比汽车的重力大,汽车的速度越大,汽车对路面的压力越大。故选B。
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6.如图,一同学在玩荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m,该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时,速度大小为8 m/s,重力加速度g取10 m/s2。此时每根绳子平均承受的拉力大小约为 ( )
A.200 N B.400 N
C.600 N D.800 N
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解析:取该同学与踏板为研究对象,该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计,可以把该同学与踏板看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时,由牛顿第二定律有2F-mg=m,代入数据解得F=410 N,最接近400 N,故B正确。
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7.(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀,如图是它的示意图,试管中先装水,再加入粉笔灰粉末后搅拌均匀,当试管绕竖直轴高速旋转时,两个试管几乎成水平状态,然后可观察到粉笔灰粉末沉淀在试管的远端。则 ( )
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A.旋转越快,试管的高度越低
B.粉笔灰粉末向试管的远端运动现象是一种离心现象
C.旋转越快,粉笔灰粉末的沉淀现象越明显
D.旋转越快,粉笔灰粉末的沉淀现象越不明显
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解析:对试管整体分析,整体受到的合力提供向心力,设试管中心线与竖直方向夹角为α,则所需向心力为F向=mgtan α=mrω2,当转速增大时,角速度增大,需要的向心力增大,故角度α增大,试管越高,A错误;离心沉淀器是一种离心设备,不同的物质混合液在离心沉淀器内会发生离心现象,B正确;转速越快,所需向心力越大,粉笔灰粉末沉淀越明显,C正确,D错误。
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8.在室内自行车比赛中,运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动。已知运动员的质量为m,做圆周运动的半径为R,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
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A.将运动员和自行车看作一个整体,整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B.运动员受到的合力大小为m
C.运动员做圆周运动的角速度为vR
D.如果运动员减速,运动员将做离心运动
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解析:将运动员和自行车看作一个整体,整体受重力、支持力、摩擦力,三个力的合力提供了向心力,故A错误;运动员做匀速圆周运动,所受到的合力提供向心力,再根据牛顿第二定律可得Fn=m,所以运动员受到的合力大小为m,故B正确;由圆周运动的线速度和角速度的关系式可得ω=,故C错误;如果运动员减速,需要的向心力减小,此时向心力“供”大于“需”,运动员将会做近心运动,故D错误。
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9.(12分)某高铁在通过弯道时的转弯半径R=7 000 m,设计速度v= 360 km/h(高铁以设计速度转弯时,对内外轨均无侧向的压力),两条铁轨间的距离d=1.435 m。重力加速度g取10 m/s2,求该弯道处内轨和外轨之间的高度差h。(角度较小时可认为tan θ≈sin θ)
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答案:0.205 m
解析:火车转弯时,设轨道与水平面的夹角为θ,对火车受力分析,在竖直方向有FNcos θ=mg
在水平方向有FNsin θ=m
代入数据解得tan θ=
由于角度较小,有tan θ≈sin θ=
解得h=0.205 m。
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B级——选考进阶
10.(2024·江苏高考)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎、混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台,当陶瓷匀速转动时,台面上掉有陶屑,陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大),则( )
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A.离轴OO'越远的陶屑质量越大
B.离轴OO'越近的陶屑质量越小
C.只有平台边缘有陶屑
D.离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
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解析:与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动,静摩擦力提供向心力,当静摩擦力为最大静摩擦力时,根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r,解得r=,因与台面相对静止的陶屑的角速度相同,可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO'的距离与陶屑质量无关,只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑,故A、B、C错误;离轴最远的陶屑受到的静摩擦力为最大静摩擦力,由上述分析可知最大的运动半径为R=,μ与ω均一定,故R为定值,即离轴最远的陶屑距离不会超过某一值R,故D正确。
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11.(2024·山东德州高一阶段练习)(多选)图甲是汽车通过凸形桥时的情境,图乙是汽车急转弯时的情境。若已知图甲中凸形桥圆弧半径为R;图乙中转弯圆弧半径也为R,路面外侧高内侧低,倾角为θ;重力加速度为g,则以下说法正确的是 ( )
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A.图甲中汽车通过桥顶时,速度越大,汽车对桥面的压力越大
B.图甲中如果车速v>,一定会出现“飞车现象”
C.图乙中即使车速v<,汽车也可能不会向内侧滑动
D.图乙中只要车速v>,汽车便会向外侧滑动
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解析:题图甲中汽车通过桥顶时,根据mg-FN=m,结合牛顿第三定律可知,速度越大,汽车对桥面的压力越小,如果车速v>,则此时FN为负值,即一定会出现“飞车现象”,A错误,B正确。题图乙中当满足汽车不受侧向的摩擦力时,有mgtan θ=m,解得v=,但是即使车速v<,汽车有向内运动的趋势,若汽车与地面间的侧向静摩擦力足够大,汽车也可能不会向内侧滑动;若车速v>,则汽车有向外运动的趋势,若汽车与地面间的侧向静摩擦力足够大,汽车也不会向外侧滑动,C正确,D错误。
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12.(14分)如图甲所示是饭店常见的一种可旋转餐桌,其在圆形桌面上安装有圆形的转盘,转盘的半径r为0.8 m,转盘与桌面的高度差忽略不计,圆形桌面的半径R为1 m,转盘中心与桌面中心重合,桌面与水平地面的高度差为0.8 m,在转盘边缘有一个陶瓷杯,示意图如图乙所示,陶瓷杯与转盘、桌面之间的动摩擦因数分别为μ1=0.5、μ2=0.32,重力加速度g取10 m/s2,陶瓷杯可视为质点,求:
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(1)为了不让陶瓷杯在转盘上发生相对滑动,转盘转动的最大角速度为多少
答案:2.5 rad/s
解析:为了不让陶瓷杯在转盘上发生相对滑动,则向心力不能大于最大静摩擦力,即mω2r≤μ1mg
解得ω≤2.5 rad/s
转盘转动的最大角速度为2.5 rad/s。
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(2)当转盘以(1)中的最大角速度旋转时,服务员突然抓住转盘使其停止转动,陶瓷杯滑上桌面并最终从桌面飞出(不计空气阻力),陶瓷杯落地点离桌面边缘飞出点的水平距离为多少
答案:0.16 m
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解析:陶瓷杯从转盘上滑出时的速度为v1=ωr
滑出后陶瓷杯在桌面上做匀变速直线运动,根据牛顿第二定律,有μ2mg=ma
桌面半径为R=1 m,如图所示:
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由几何关系可得陶瓷杯在桌面上滑行的距离为
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根据运动学公式可得-=-2ax
联立解得v2=0.4 m/s
陶瓷杯滑出桌面后做平抛运动,在竖直方向上h=gt2
则陶瓷杯落地点离桌面边缘飞出点的水平距离为x'=v2t,联立解得x'=0.16 m。
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4课时跟踪检测(九) 生活中的圆周运动
(选择题1～8小题，每小题4分；10～11小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1．(2023·广东1月学考)下列现象中属于防止离心现象带来危害的是( )
A．旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴
B．列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些
C．拖把桶通过旋转使拖把脱水
D．洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水
2.(2024·湖北荆州检测)如图所示，餐桌上的水平玻璃转盘匀速转动时，其上的物品相对于转盘静止，则以下说法正确的是( )
A．越靠近圆心的物品线速度越大
B．越靠近圆心的物品角速度越小
C．所有物品有相对圆心靠近的趋势
D．所有物品有相对圆心远离的趋势
3．如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧。两车沿半径方向受到的摩擦力大小分别为f甲和f乙，以下说法正确的是( )
A．f甲＜f乙
B．f甲＝f乙
C．f甲＞f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
4．(2024·河北邢台高一阶段练习)如图甲所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，具体如图乙所示。当火车以规定的行驶速度转弯(可视为在做半径为R的匀速圆周运动)时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，此时的速度大小为规定转弯速度，已知弯道处斜坡的倾角为θ，重力加速度大小为g，以下说法正确的是( )
A．火车在该弯道的规定转弯速度大小为
B．当火车质量增大时，规定转弯速度也增大
C．当遇雨雪天气轨道变湿滑时，规定转弯速度减小
D．当火车速度大于规定转弯速度时，外轨将受到轮缘的挤压
5．(2024·广东汕头高一阶段练习)公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形路面，也叫“过水路面”。如图所示，汽车通过凹形路面的最低点时( )
A．汽车的加速度为零，受力平衡
B．汽车对路面的压力比汽车的重力大
C．汽车对路面的压力比汽车受到路面的支持力小
D．汽车的速度越大，汽车对路面的压力越小
6.如图，一同学在玩荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，重力加速度g取10 m/s2。此时每根绳子平均承受的拉力大小约为( )
A．200 N B．400 N C．600 N D．800 N
7．(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，如图是它的示意图，试管中先装水，再加入粉笔灰粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔灰粉末沉淀在试管的远端。则( )
A．旋转越快，试管的高度越低
B．粉笔灰粉末向试管的远端运动现象是一种离心现象
C．旋转越快，粉笔灰粉末的沉淀现象越明显
D．旋转越快，粉笔灰粉末的沉淀现象越不明显
8．在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动。已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．将运动员和自行车看作一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．运动员受到的合力大小为m
C．运动员做圆周运动的角速度为vR
D．如果运动员减速，运动员将做离心运动
9．(12分)某高铁在通过弯道时的转弯半径R＝7 000 m，设计速度v＝360 km/h(高铁以设计速度转弯时，对内外轨均无侧向的压力)，两条铁轨间的距离d＝1.435 m。重力加速度g取10 m/s2，求该弯道处内轨和外轨之间的高度差h。(角度较小时可认为tan θ≈sin θ)
B级——选考进阶
10．(2024·江苏高考)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎、混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)，则( )
A．离轴OO′越远的陶屑质量越大
B．离轴OO′越近的陶屑质量越小
C．只有平台边缘有陶屑
D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
11．(2024·山东德州高一阶段练习)(多选)图甲是汽车通过凸形桥时的情境，图乙是汽车急转弯时的情境。若已知图甲中凸形桥圆弧半径为R；图乙中转弯圆弧半径也为R，路面外侧高内侧低，倾角为θ；重力加速度为g，则以下说法正确的是( )
A．图甲中汽车通过桥顶时，速度越大，汽车对桥面的压力越大
B．图甲中如果车速v>，一定会出现“飞车现象”
C．图乙中即使车速v<，汽车也可能不会向内侧滑动
D．图乙中只要车速v>，汽车便会向外侧滑动
12．(14分)如图甲所示是饭店常见的一种可旋转餐桌，其在圆形桌面上安装有圆形的转盘，转盘的半径r为0.8 m，转盘与桌面的高度差忽略不计，圆形桌面的半径R为1 m，转盘中心与桌面中心重合，桌面与水平地面的高度差为0.8 m，在转盘边缘有一个陶瓷杯，示意图如图乙所示，陶瓷杯与转盘、桌面之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.5、μ2＝0.32，重力加速度g取10 m/s2，陶瓷杯可视为质点，求：
(1)为了不让陶瓷杯在转盘上发生相对滑动，转盘转动的最大角速度为多少？
(2)当转盘以(1)中的最大角速度旋转时，服务员突然抓住转盘使其停止转动，陶瓷杯滑上桌面并最终从桌面飞出(不计空气阻力)，陶瓷杯落地点离桌面边缘飞出点的水平距离为多少？
课时跟踪检测(九)
1．选B 旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴，拖把桶通过旋转使拖把脱水和洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水，都是利用的离心现象；在修建铁路时，列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些，目的是由重力的分力提供一部分向心力，弥补向心力不足，防止车速过大，火车产生离心现象而发生侧翻，所以该现象属于防止离心现象带来危害，故选B。
2．选D 水平玻璃转盘上的物品相当于同轴转动，即物品的角速度相等，由关系式v＝ωR可知，当角速度相同时，线速度大小与半径成正比，越靠近圆心的物品线速度越小，故A、B错误；餐桌上的物品随餐桌上的水平玻璃转盘一起匀速转动，所有物品有相对圆心远离的趋势，故C错误，D正确。
3．选A 汽车在水平弯道做匀速圆周运动，沿半径方向的摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝m，由于m甲＝m乙，v甲＝v乙，r甲＞r乙，故f甲＜f乙，A正确。
4．选D 当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，此时mgtan θ＝m，解得火车在该弯道的规定转弯速度大小为v＝，可知当火车质量增大时，规定转弯速度不变，当遇雨雪天气轨道变湿滑时，规定转弯速度不变，故A、B、C错误；当火车速度大于规定转弯速度时，火车的重力和其所受的支持力的合力不足以提供火车做圆周运动的向心力，此时火车有做离心运动的趋势，则外轨将受到轮缘的挤压，故D正确。
5．选B 汽车通过凹形路面的最低点时，汽车的加速度方向向上，根据牛顿第二定律可得FN－mg＝m，汽车对路面的压力与汽车受到路面的支持力是一对相互作用力，大小相等，则有FN′＝FN＝mg＋m，可知汽车对路面的压力比汽车的重力大，汽车的速度越大，汽车对路面的压力越大。故选B。
6．选B 取该同学与踏板为研究对象，该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学与踏板看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有2F－mg＝m，代入数据解得F＝410 N，最接近400 N，故B正确。
7．选BC 对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则所需向心力为F向＝mgtan α＝mrω2，当转速增大时，角速度增大，需要的向心力增大，故角度α增大，试管越高，A错误；离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合液在离心沉淀器内会发生离心现象，B正确；转速越快，所需向心力越大，粉笔灰粉末沉淀越明显，C正确，D错误。
8．选B 将运动员和自行车看作一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力，三个力的合力提供了向心力，故A错误；运动员做匀速圆周运动，所受到的合力提供向心力，再根据牛顿第二定律可得Fn＝m，所以运动员受到的合力大小为m，故B正确；由圆周运动的线速度和角速度的关系式可得ω＝，故C错误；如果运动员减速，需要的向心力减小，此时向心力“供”大于“需”，运动员将会做近心运动，故D错误。
9．解析：火车转弯时，设轨道与水平面的夹角为θ，对火车受力分析，在竖直方向有FNcos θ＝mg
在水平方向有FNsin θ＝m
代入数据解得tan θ＝
由于角度较小，有tan θ≈sin θ＝
解得h＝0.205 m。
答案：0.205 m
10．选D 与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2r，解得r＝，因与台面相对静止的陶屑的角速度相同，可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO′的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑，故A、B、C错误；离轴最远的陶屑受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由上述分析可知最大的运动半径为R＝，μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不会超过某一值R，故D正确。
11．选BC 题图甲中汽车通过桥顶时，根据mg－FN＝m，结合牛顿第三定律可知，速度越大，汽车对桥面的压力越小，如果车速v>，则此时FN为负值，即一定会出现“飞车现象”，A错误，B正确。题图乙中当满足汽车不受侧向的摩擦力时，有mgtan θ＝m，解得v＝，但是即使车速v<，汽车有向内运动的趋势，若汽车与地面间的侧向静摩擦力足够大，汽车也可能不会向内侧滑动；若车速v>，则汽车有向外运动的趋势，若汽车与地面间的侧向静摩擦力足够大，汽车也不会向外侧滑动，C正确，D错误。
12．解析：(1)为了不让陶瓷杯在转盘上发生相对滑动，则向心力不能大于最大静摩擦力，即mω2r≤μ1mg
解得ω≤2.5 rad/s
转盘转动的最大角速度为2.5 rad/s。
(2)陶瓷杯从转盘上滑出时的速度为v1＝ωr
滑出后陶瓷杯在桌面上做匀变速直线运动，根据牛顿第二定律，有μ2mg＝ma
桌面半径为R＝1 m，如图所示：
由几何关系可得陶瓷杯在桌面上滑行的距离为x＝
根据运动学公式可得v－v＝－2ax
联立解得v2＝0.4 m/s
陶瓷杯滑出桌面后做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2
则陶瓷杯落地点离桌面边缘飞出点的水平距离为x′＝v2t
联立解得x′＝0.16 m。
答案：(1)2.5 rad/s (2)0.16 m
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