§1 集合的含义及表示
知识点一 集合的概念与三个特性
1、集合的概念：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集.
例如：，，
通常集合中的元素都是数字称为数集如，或者都是坐标系中的点称为点集如。也可以是数字和点的混合等。
特别要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象.例如：
集合通常用大写英文字母表示，如
集合中的元素通常用小写英文字母表示，如
2、集合中元素的3个特征：
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
【例1】下列对象能够构成集合的是（ ）
大苹果 B. C. D. 的近似值
【例2】集合A中有三个元素，则满足的条件是
考点二、元素与集合的关系
1、元素与集合间的关系
（1）如果是集合A的元素，就说属于A，记作；
（2）如果不是集合A的元素，就说不属于A，记作.
【例3】判断下列关系
（1）1 （4）
（5）
（6）
2、常用集合符号
R：实数集；Z：整数集；N：自然数集（含有0）；N*：正整数集（没有0）；Q：有理数集．
【例4】若，则实数a的取值集合为______．
【答案】
【详解】因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
变式1 已知其，则由的值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【规律总结】
已知集中和的元素求参数的值的题型，一定要把求出的参数带入集合中进行验证，验证是否满足集合的互异性。
考点三、集合的表示方法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ | }内.
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
例如偶数的集合表示为，（思考这个是偶数集吗？）
奇数的集合表示为或者，两种表示都可以是奇数，是同一个集合（注意上述两种表述中的不是同一个，不一定要相等）
【例5】（多选题）下列各组集合中M与N表示同一集合的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】BCD
【详解】对A：因为集合中的元素对应不同的两个点，故集合不相等；
对B：因为，故集合；，其定义域为，
即，故；
对C：，解得或，
又当时，不满足题意，舍去；即；
，即，，解得，故，则；
对D：集合均表示奇数构成的集合，故；故选：BCD.
变式2 已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
变式3 已知集合，用列举法表示M＝______．
【例6】 给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为；
②方程的解集为；
③集合与是不相等的．
其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③
【详解】对于①中，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点，所以①正确；
对于②中，方程的解为，解集为或，所以②不正确；
对于③中，集合，集合，这两个集合不相等，所以③正确．
【例7】设，，为非零实数，则的所有值所组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，为非零实数，
当，，时，；
当，，中有一个小于时，不妨设，，，
；
当，，中有两个小于时，不妨设，，，
；
当，，时，；
的所有值组成的集合为．
【例8】集合是由形如的数构成的，试分别判断，，与集合的关系.
【答案】，，
【详解】∵，而0， ， ，∵∴；∵，而13，，∴.
变式4 设集合．求证：
（1）一切奇数属于集合；
（2）偶数不属于；
（3）属于的两个整数，其乘积仍属于．
考点四、集合的分类
（1）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作；
（2）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集；
（3）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
注意区分下列元素与集合：①，②，③，④
0是集合中的一个元素，
是空集，表示含有元素0的一个集合
表示含有一个元素的集合，
【例9】（1）； （2）；
（3）； （4）；
以上哪些集合是空集
考点五、区间表示法
1.设a,b是两个实数，且a2.数集R也可用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。还可把满足x≥a，x>a，x≤b，x【说明】：
区间左端点必须小于右端点，即，只有这样区间表示才不是空集。
例如：，则
区间字母之间用“，”隔开；
如果区间端点可以取到，则数轴上用实心点表示，若取不到，则用空心点表示；
无穷大是一个符号，不是一个数，永远取不到，所以一定是用小括号“（”和“）”
【例10】（1）区间关于点1对称，求。
（2）区间的左端点为3，求。
（3）区间为空集，求的范围
变式5 （1）区间为空集，求的范围
（2）区间为空集，求的范围
（3）区间为空集，求的范围
考点六、集合与方程
集合与方程之间的联系表现为以下两点：
集合中的元素值等价于方程中的解；
集中中元素的个数等价于方程解的个数；
【例11】已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）且；（2）或
【详解】（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且；故实数的取值范围是且
（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
变式6 （多选题）已知集合，若集合A只有一个元素，则a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
考点七、新定义问题
【例12】定义且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，又，所以
变式7 定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
变式8 (多选题) 当一个非空数集F满足条件“若对任意a，，则，，，且当时，”时，称F为一个数域.以下四个关于数域的命题中，真命题为（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则
C．集合为数域
D．有理数集为数域
§2 集合间的关系
考点一 集合间的包含关系
1.子集
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集.记作：，当集合A不包含于集合B时，记作.
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
【例1】 对于集合A，B，以下说法与“不成立”的含义相同的是（ ）
B是A的子集；
A中的元素都不是B中的元素
A中至少有一个元素不属于B
B中至少有一个元素不属于A
2.真子集
若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集.记作： (或).
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
含有n个元素的集合共有个子集。
（2）含有n个元素的集合共有个真子集。
（3）含有n个元素的集合共有个非空子集。
（4）含有n个元素的集合共有个非空真子集。
【例2】集合，,则（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】B
【详解】,,表示奇数，表示整数，所以.故选：B
变式1 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）
A． B． C． D．
变式2 已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点二 集合中参数取值范围
【例3】已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【详解】对于集合N，因为，所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为，所以，所以．即a＝1．
【例4】 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】集合，.要使，只需，解得：.
变式3 集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4 已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围.
变式5 已知集合，，且，则实数m的取值范围是______．§1 集合的含义及表示
知识点一 集合的概念与三个特性
1、集合的概念：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集.
例如：，，
通常集合中的元素都是数字称为数集如，或者都是坐标系中的点称为点集如。也可以是数字和点的混合等。
特别要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象.例如：
集合通常用大写英文字母表示，如
集合中的元素通常用小写英文字母表示，如
2、集合中元素的3个特征：
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
【例1】下列对象能够构成集合的是（ ）
大苹果 B. C. D. 的近似值
【例2】集合A中有三个元素，则满足的条件是
考点二、元素与集合的关系
1、元素与集合间的关系
（1）如果是集合A的元素，就说属于A，记作；
（2）如果不是集合A的元素，就说不属于A，记作.
【例3】判断下列关系
（1）1 （4）
（5）
（6）
2、常用集合符号
R：实数集；Z：整数集；N：自然数集（含有0）；N*：正整数集（没有0）；Q：有理数集．
【例4】若，则实数a的取值集合为______．
【答案】
【详解】因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
变式1 已知其，则由的值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，当，即时，，集合中有相同元素，舍去；
当，即（舍）或时，，符合，
故由的值构成的集合是.
【规律总结】
已知集中和的元素求参数的值的题型，一定要把求出的参数带入集合中进行验证，验证是否满足集合的互异性。
考点三、集合的表示方法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ | }内.
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
例如偶数的集合表示为，（思考这个是偶数集吗？）
奇数的集合表示为或者，两种表示都可以是奇数，是同一个集合（注意上述两种表述中的不是同一个，不一定要相等）
【例5】（多选题）下列各组集合中M与N表示同一集合的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】BCD
【详解】对A：因为集合中的元素对应不同的两个点，故集合不相等；
对B：因为，故集合；，其定义域为，
即，故；
对C：，解得或，
又当时，不满足题意，舍去；即；
，即，，解得，故，则；
对D：集合均表示奇数构成的集合，故；故选：BCD.
变式2 已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，
变式3 已知集合，用列举法表示M＝______．
【答案】
【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.
又，所以的值分别为：4，3，2.；故集合.
【例6】 给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为；
②方程的解集为；
③集合与是不相等的．
其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③
【详解】对于①中，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点，所以①正确；
对于②中，方程的解为，解集为或，所以②不正确；
对于③中，集合，集合，这两个集合不相等，所以③正确．
【例7】设，，为非零实数，则的所有值所组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，为非零实数，
当，，时，；
当，，中有一个小于时，不妨设，，，
；
当，，中有两个小于时，不妨设，，，
；
当，，时，；
的所有值组成的集合为．
【例8】集合是由形如的数构成的，试分别判断，，与集合的关系.
【答案】，，
【详解】∵，而0， ， ，∵∴；∵，而13，，∴.
变式4 设集合．求证：
（1）一切奇数属于集合；
（2）偶数不属于；
（3）属于的两个整数，其乘积仍属于．
【详解】证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，．由的任意性知，一切奇数属于．
（2）首先我们证明如下命题：
设：，则与具有相同的奇偶性．
以下用反证法证明．
假设，则存在，使得．若与同为奇数，则（）（ ）必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则（）（ ）必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．
综上所述，形如的偶数不属于．
（3）设，则存在，使得．
=
=，
又因为，均为整数，．
考点四、集合的分类
（1）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作；
（2）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集；
（3）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
注意区分下列元素与集合：①，②，③，④
0是集合中的一个元素，
是空集，表示含有元素0的一个集合
表示含有一个元素的集合，
【例9】（1）； （2）；
（3）； （4）；
以上哪些集合是空集
考点五、区间表示法
1.设a,b是两个实数，且a2.数集R也可用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。还可把满足x≥a，x>a，x≤b，x【说明】：
区间左端点必须小于右端点，即，只有这样区间表示才不是空集。
例如：，则
区间字母之间用“，”隔开；
如果区间端点可以取到，则数轴上用实心点表示，若取不到，则用空心点表示；
无穷大是一个符号，不是一个数，永远取不到，所以一定是用小括号“（”和“）”
【例10】（1）区间关于点1对称，求。
（2）区间的左端点为3，求。
（3）区间为空集，求的范围
变式5 （1）区间为空集，求的范围
（2）区间为空集，求的范围
（3）区间为空集，求的范围
考点六、集合与方程
集合与方程之间的联系表现为以下两点：
集合中的元素值等价于方程中的解；
集中中元素的个数等价于方程解的个数；
【例11】已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）且；（2）或
【详解】（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且；故实数的取值范围是且
（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
变式6 （多选题）已知集合，若集合A只有一个元素，则a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
考点七、新定义问题
【例12】1．定义且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
又，所以
变式7 定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，故中元素的个数为.
变式8 当一个非空数集F满足条件“若对任意a，，则，，，且当时，”时，称F为一个数域.以下四个关于数域的命题中，真命题为（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则
C．集合为数域
D．有理数集为数域
【详解】若，则，A正确；
若且，则，由此，，依次类推，B正确；
，，但，不是数域，C错误；
是两个有理数，则（）都是有理数，所以有理数集是数域，D正确．
故选：ABD．
§2 集合间的关系
考点一 集合间的包含关系
1.子集
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集.记作：，当集合A不包含于集合B时，记作.
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
【例1】 对于集合A，B，以下说法与不成立的含义相同的是（ C ）
B是A的子集；
A中的元素都不是B中的元素
A中至少有一个元素不属于B
B中至少有一个元素不属于A
2.真子集
若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集.记作： (或).
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
含有n个元素的集合共有个子集。
（2）含有n个元素的集合共有个真子集。
（3）含有n个元素的集合共有个非空子集。
（4）含有n个元素的集合共有个非空真子集。
【例2】集合，,则（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】B
【详解】,,表示奇数，表示整数，所以.故选：B
变式1 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
，
，
所以.故选：B．
变式2 已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】因为，所以集合可以为：，
共8个，
考点二 集合中参数取值范围
【例3】已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【详解】对于集合N，因为，所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为，所以，所以．即a＝1．
【例4】 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】集合，.要使，只需，解得：.
变式3 集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为或，，
当时，此时，符合题意；
当时，若则，因为，所以，解得，又，所以，
若则，因为，所以，解得，又，所以，
综上可得，即实数的取值范围是.
变式4 已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围.
【答案】.
【详解】∵，，
∴，解得，∴实数的取值范围是.
变式5 已知集合，，且，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【详解】当时，即当时，，满足题意；
当时，即当时，，
由可得，解得，此时；综上所述，.
【规律总结】
1、当集合含参一定要考虑集合为空，和不为空两种情况，分情况讨论；
2、一定要借助数轴解决问题，根据所画数轴上点的位置，列出对应的不等式。
