2024-2025学年广东省江门市鹤山市八年级（下）期末数学试卷（含详解）

2024-2025学年广东省江门市鹤山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知点（2，1）是正比例函数y＝kx图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（2，4） C．（4，2） D．（﹣1，﹣2）
4．（3分）某班进行了一次英语听力测试，其中5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．28，29 B．28，28 C．28，28.5 D．28，30
5．（3分）关于直线l：y＝﹣2x﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．直线l与y轴的交点为（0，3）
B．直线l经过第二、三、四象限
C．y随x的增大而增大
D．当x＜﹣2时，y＜0
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，如果OE＝1，AD＝3，那么 ABCD的周长是（　　）
A．10 B．12 C．6 D．8
7．（3分）在2×3网格中，三角形的顶点在格点上，求α+β的值（　　）
A．45° B．90° C．100° D．不确定
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝5cm，CD＝3cm，BE平分∠ABC交边AD于点E，则ED等于（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
9．（3分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法中，不正确的是（　　）
A．x是自变量，y是x的函数
B．弹簧不挂重物时长度为0cm
C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为4.5kg时，弹簧长度为12.25cm
10．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（　　）
A．0＜x＜1 B．x＞1 C．x＞2 D．1＜x＜2
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
12．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和8，则斜边长为 　 　 ．
13．（3分）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则 　 　 （填“＞”“＜”或“＝”号）．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点D，F，AE⊥DF交DF的延长线于点E，若DF＝1，则AE＝ 　 　 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC满足点O在原点，点A坐标为（2，0），∠AOC＝60°，直线y＝﹣3x+b与菱形OABC有交点，则b的取值范围为 　 　 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）计算：（）2．
17．（7分）已知a为实数，若，分别求和的值．
18．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）当AB＝AC时，请问四边形ADCF是什么特殊的四边形？并说明理由．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）五一假期，小红与家人计划外出旅游，为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估．她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件这四项对每个酒店评分（10分制）．三个酒店的得分如表所示：
酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件
甲 7 7 9 8
乙 8 6 7 9
丙 7 7 7 8
（1）若小红认为四项同等重要，按1：1：1：1的比确定最终得分，请计算回答：小红会选择哪家酒店？
（2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，请计算回答：小红会选择哪家酒店？
（3）若你是小红，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的酒店，并简单说明设计理由．
20．（9分）一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，甲品牌书包进价是每件60元，售价是每件80元，乙品牌书包进价是每件56元，售价是每件72元，设购进甲品牌书包x个，销售完这80个书包所获得的总利润是y元．
（1）请求y关于x的函数解析式；
（2）该文具店是否会获得利润1382元？请说明理由；
（3）若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
21．（9分）综合与实践：小明同学进行了综合与实践活动，请根据下列信息回答问题．
【课题】在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 【模型抽象】 （说明：点A，B，E，D在同一平面内） 【测绘数据】步骤1：测得水平距离ED的长为15米； 步骤2：根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米； 步骤3：牵线放风筝的手到地面的距离BE的长为1.8米．
（1）求线段AD的长；
（2）若想风筝沿DA方向再上升12米，则在BE、ED长度不变的前提下，小明应该再放出多长的风筝线？
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）如图，已知函数y＝mx的图象为直线l1，函数y＝kx+b的图象为直线l2，直线l1、l2分别交x轴于点B和点C（3，0），分别交y轴于点D和E，l1和l2相交于点A（2，2）．
（1）填空：m＝　 　 ；求直线l2的解析式为 　 　 ；
（2）若点M是x轴上一点，连接AM，当△ABM的面积是△ACM面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
（3）若函数y＝nx﹣6的图象是直线l3，且l1、l2、l3不能围成三角形，直接写出n的值．
23．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6．在AD上取一点E，AE＝2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN；
（2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S关于x的函数解析式；
（3）请问：当x分别取何值时，△BFM的面积S取最大值、最小值？（提示：借助备用图）
2024-2025学年广东省江门市鹤山市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B B A B C B B
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：2，，，
只有为最简二次根式．
故选：B．
2．（3分）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意，
B中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意，
C中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意，
D中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，符合题意，
故选：D．
3．（3分）已知点（2，1）是正比例函数y＝kx图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（2，4） C．（4，2） D．（﹣1，﹣2）
【解答】解：由条件可知2k＝1，得，
∴，
当x＝1时，，故选项A不符合题意；
当x＝2时，y＝1，故选项B不符合题意；
当x＝4时，y＝2，故选项C符合题意；
当x＝﹣1时，，故选项D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）某班进行了一次英语听力测试，其中5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．28，29 B．28，28 C．28，28.5 D．28，30
【解答】解：由图可知，“善学”小组的5名同学成绩（单位：分）为28的有2人，人数最多，所以众数是28，
将5名同学成绩从小到大排列，中间的数为28，即中位数也为28．
故选：B．
5．（3分）关于直线l：y＝﹣2x﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．直线l与y轴的交点为（0，3）
B．直线l经过第二、三、四象限
C．y随x的增大而增大
D．当x＜﹣2时，y＜0
【解答】解：A、一次函数y＝﹣2x﹣3与y轴的交点坐标是（0，﹣3），原说法错误，不符合题意；
B、一次函数y＝﹣2x﹣3图象经过第二、三、四象限，原说法正确，符合题意；
C、一次函数y＝﹣2x﹣3的k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
D、一次函数y＝﹣2x﹣3中，当x＜﹣2时，y＞1，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，如果OE＝1，AD＝3，那么 ABCD的周长是（　　）
A．10 B．12 C．6 D．8
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝3，
∴AD＝BC＝3，CD＝AB，OA＝OC，
∵点E是AD的中点，
∴OE是△ACD中位线，
∴，
∴CD＝AB＝2，
∴ ABCD的周长是AD+CD+BC+AB＝3+2+3+2＝10，
故选：A．
7．（3分）在2×3网格中，三角形的顶点在格点上，求α+β的值（　　）
A．45° B．90° C．100° D．不确定
【解答】解：如图所示：
设2×3网格中的小正方形的边长为1，
则AF＝CE＝1，BF＝AE＝2，∠F＝∠E＝90°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴∠ABF＝∠CAE，
在Rt△ABF中，∠ABF+∠FAB＝90°，
∴∠CAE+∠FAB＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠CAE+∠FAB）＝90°，
在△ABC中，α+β＝180°﹣∠BAC＝90°．
故选：B．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝5cm，CD＝3cm，BE平分∠ABC交边AD于点E，则ED等于（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3cm，
∴ED＝AD﹣AE＝5﹣3＝2（cm），
故选：C．
9．（3分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法中，不正确的是（　　）
A．x是自变量，y是x的函数
B．弹簧不挂重物时长度为0cm
C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为4.5kg时，弹簧长度为12.25cm
【解答】解：由条件可知弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间函数关系式为y＝10+0.5x，
∴A，C正确；B错误；
所挂物体质量为4.5kg时，弹簧长度y＝10+0.5×4.5＝12.25cm，故D正确，
故选：B．
10．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（　　）
A．0＜x＜1 B．x＞1 C．x＞2 D．1＜x＜2
【解答】解：设函数y＝2x的图象过点A（a，2），
∴2a＝2，
∴a＝1，
∴A（1，2），
当x＞1时，kx+b＜2x，
所以不等式kx+b＜2x的解集为x＞1．
故选：B．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是　x＞2　 ．
【解答】解：根据题意得：x﹣2＞0，解得：x＞2．
故答案为：x＞2．
12．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和8，则斜边长为 　6　 ．
【分析】根据勾股定理即可求解．
【解答】解：根据勾股定理得：
斜边长为6，
故答案为：6．
13．（3分）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则 　＞　 （填“＞”“＜”或“＝”号）．
【解答】解：6位评委的打分的平均数为8，
这组数据的方差s[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]，
去掉一个最高分和一个最低分后平均数为8，
方差s[（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2]，
∵，
∴ss．
故答案为：＞．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点D，F，AE⊥DF交DF的延长线于点E，若DF＝1，则AE＝ 　　 ．
【解答】解：在Rt△BDF中，∠B＝30°，DF＝1，
则BF＝2DF＝2，
由勾股定理得：BD，
∵∠C＝90°，AE⊥DF，ED⊥CD，
∴四边形ACDE为矩形，
∴AE＝CD，
∵DF是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴AE＝BD，
故答案为：．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC满足点O在原点，点A坐标为（2，0），∠AOC＝60°，直线y＝﹣3x+b与菱形OABC有交点，则b的取值范围为 　　 ．
【解答】解：作CM⊥OA于点M，BN⊥OA于点N，
∵∠AOC＝60°，∠CMO＝90°，
∴，
∵在菱形OABC中，A（2，0），
∴OC＝OA＝2＝CB，
∴OM＝1，
∴，
∴，
∴B的横坐标为3，
∵OA∥CB，
∴BN＝CM，
∴B的纵坐标也为，即，
当y＝﹣3x+b过O（0，0）时，b最小，最小值为0，
当y＝﹣3x+b过时，b最大，
把代入y＝﹣3x+b，
解得：，
∴b的取值范围为：，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）计算：（）2．
【解答】解：（）2
＝3+44415
＝3+445
＝7．
17．（7分）已知a为实数，若，分别求和的值．
【解答】解：∵a＝2，
∴（a）2＝4，即2+a2＝4，
∴a2＝6，
∴2+a2＝8，即（a）2＝8，
∴a＝±2．
18．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）当AB＝AC时，请问四边形ADCF是什么特殊的四边形？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
又∵BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴ADBC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形．
理由：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD＝AF，
∴四边形ADCF是正方形．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）五一假期，小红与家人计划外出旅游，为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估．她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件这四项对每个酒店评分（10分制）．三个酒店的得分如表所示：
酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件
甲 7 7 9 8
乙 8 6 7 9
丙 7 7 7 8
（1）若小红认为四项同等重要，按1：1：1：1的比确定最终得分，请计算回答：小红会选择哪家酒店？
（2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，请计算回答：小红会选择哪家酒店？
（3）若你是小红，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的酒店，并简单说明设计理由．
【解答】解：（1）∵四项同等重要，
甲得分为：，
乙得分为：，
丙得分为：．
∵，
∴小红会选择酒店甲．
（2）甲得分为：7×20%+7×30%+9×10%+8×40%＝7.6，
乙得分为：8×20%+6×30%+7×10%+9×40%＝7.7，
丙得分为：7×20%+7×30%+7×10%+8×40%＝7.4．
∴小红会选择酒店乙．
（3）将安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项得分的百分比分别定为30%，15%，25%，30%，小红认为最重要的是安全保障和住宿条件，其次是地理位置，最后才考虑价格．
酒店甲得分为：7×30%+7×15%+9×25%+8×30%＝7.8，
酒店乙得分为：8×30%+6×15%+7×25%+9×30%＝7.75，
酒店丙得分为：7×30%+7×15%+7×25%+8×30%＝7.3．
∴小红选择酒店甲．
20．（9分）一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，甲品牌书包进价是每件60元，售价是每件80元，乙品牌书包进价是每件56元，售价是每件72元，设购进甲品牌书包x个，销售完这80个书包所获得的总利润是y元．
（1）请求y关于x的函数解析式；
（2）该文具店是否会获得利润1382元？请说明理由；
（3）若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）y＝（80﹣60）x+（72﹣56）（80﹣x）＝4x+1280，
∴y关于x的函数解析式为y＝4x+1280．
（2）该文具店不会获得利润1382元．理由如下：
当y＝1382时，得4x+1280＝1382，
解得x＝25.5，
∵25.5不是整数，
∴该文具店不会获得利润1382元．
（3）根据题意，得x（80﹣x），
解得x≤32，
∵4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x≤32，
∴当x＝32时y值最大，y最大＝4×32+1280＝1408，
80﹣32＝48（个）．
答：购进甲品牌书包32个、乙品牌书包48个才能获得最大利润，最大利润是1408元．
21．（9分）综合与实践：小明同学进行了综合与实践活动，请根据下列信息回答问题．
【课题】在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 【模型抽象】 （说明：点A，B，E，D在同一平面内） 【测绘数据】步骤1：测得水平距离ED的长为15米； 步骤2：根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米； 步骤3：牵线放风筝的手到地面的距离BE的长为1.8米．
（1）求线段AD的长；
（2）若想风筝沿DA方向再上升12米，则在BE、ED长度不变的前提下，小明应该再放出多长的风筝线？
【解答】解：（1）过点B作BC⊥AD于H，
则四边形BEDH是矩形，
∴BH＝ED＝15米，HD＝BE＝1.8米，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，BH＝15米，AB＝17米，
由勾股定理，得AH8（米），
则AD＝AH+HD＝8+1.8＝9.8（米）；
（2）风筝沿DA方向再上升12米后，风筝的高度为20米，
则此时风筝线的长为25（米），
25﹣17＝8（米），
答：他应该再放出8米线．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）如图，已知函数y＝mx的图象为直线l1，函数y＝kx+b的图象为直线l2，直线l1、l2分别交x轴于点B和点C（3，0），分别交y轴于点D和E，l1和l2相交于点A（2，2）．
（1）填空：m＝　　 ；求直线l2的解析式为 　y＝﹣2x+6　 ；
（2）若点M是x轴上一点，连接AM，当△ABM的面积是△ACM面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
（3）若函数y＝nx﹣6的图象是直线l3，且l1、l2、l3不能围成三角形，直接写出n的值．
【解答】解：（1）∵点A（2，2）在函数y＝mx的图象上，
∴2m2，
∴m，
∵直线过点C（3，0）、A（2，2），
可得方程组为，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
故答案为：m；y＝﹣2x+6；
（2）∵B是l1与x轴的交点，当y＝0时，x0，
∴x＝﹣4，B坐标为（﹣4，0），
同理可得，C点坐标（3，0），
设点A到x轴的距离为h
∵S△ABMBM h，S△ACMCM h，
又∵△ABM的面积是△ACM面积的2，
∴BM h＝2CM h，
∴BM＝2CM
第一种情况，当M在线段BC上时，
∵BM+CM＝BC＝7，
∴3CM＝7，CM，
∴M1坐标（，0），
第二种情况，当M在射线BC上时，
∵BC+CM＝BM
∴CM＝BC＝7
∴M2坐标（10，0），
∴M点的坐标为（，0）或（10，0），
（3）∵l1、l2、l3不能围成三角形，
∴直线l3经过点A或l3∥l1或l3∥l2，
①∵直线l3的解析式为y＝nx﹣6，A（2，2），
∴2n﹣6＝2，
∴n＝4，
②当l3∥l1时，则n，
③当l3∥l2时，则n＝﹣2，
即n的值为4或或﹣2．
23．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6．在AD上取一点E，AE＝2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN；
（2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S关于x的函数解析式；
（3）请问：当x分别取何值时，△BFM的面积S取最大值、最小值？（提示：借助备用图）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∵四边形EFMN是正方形，
∴∠FEN＝90°，EF＝EN，
∴∠AEF+∠DEN＝90°，
∴∠DEN＝∠AFE，
∴△FAE≌△EDN（AAS）；
（2）如图1，
连接NF，作MG⊥AB于G，
∴∠FGM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠D＝∠FGM，∠DNF＝∠BFN，
∵四边形EFMN是菱形，
∴EN＝FM，EN∥FM，
∴∠ENF＝∠MFN，
∴∠DNF﹣∠ENF＝∠BFN﹣∠MFN，
∴∠DNE＝∠MFG，
∴△EDN≌△MGF（AAS），
∴MG＝DE＝6﹣2＝4，
∴S；
（3）如图2，
当AF最小时，BF最大，S最大，此时EF最小，
当EF＝DE＝4时，EF最小，AF最小，
∴AF，
此时x＝9﹣2，
S最大＝18﹣24，
如图3，
当点M在BC上时，AF最大，S最小，
由EF＝FM得，
22+x2＝（9﹣x）2+42，
∴x，
∴S最小＝18﹣2．