湖南省衡阳市常宁市2024-2025学年高一下学期期末考试数学（直升班）试卷(图片版,含详解)

数 学
注意事项：
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题
绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知在等差数列 an 中, a4 a8 20 ,则 a6
A.6 B.8 C.7 D.10
x2 y2
2. 已知双曲线C： 2 2 1 a 0,b 0 的离心率为 6 ，则双曲线C的渐近线a b
方程为
A. y 5x B. y 6x y 5 6C. x D. y x
5 6
2
3．已知正四面体OABC的棱长为1，点M 在OA上，且OM OA，点N 为 BC中点，
3

则MN用基底 OA,OB,OC 表示为
2 1 1 2 1 1
A． OA OB OC OA OB OC3 2 2 B． 3 2 2
2
C． OA
1OB 1 2 1 1 OC OA OB OC
3 2 2 D. 3 2 2
4．设直线 l的方程为 x ysin 2 0，则直线 l的倾斜角 的范围是
A． 0, π π , π π , 3π π , π π 3π B． C． , 4 2 4 4 D． 4 2 2 4
5. 斜率为 3的直线过抛物线C : y2 4x的焦点，且与C交于 A, B两点，则 AB
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16 3
A. 2 B. C. 1 D.
3 2
6．数列 an a 1 a ( 1)n中 1 ， *n 1 an 2n 1（n N ），则 a2025
A．2025 B．1 C．4048 D．4050
7．已知 A 2,0 ，B 4,0 ，在直线 l :4x 3y m 0上存在点 P，使 PA PB，则m的
最大值是（ ）
A．9 B．15 C．11 D．19
8．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，M为棱 A1D1的中点，G为侧面CDD1C1的

中心，点 P，Q分别为直线 AD，AB 上的动点，且PG MQ，当 | PQ |取得最小值时，
点 Q 到平面 PMG 的距离为
6 5 3
A． B． C．1 D．
2 2 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给
出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得
0 分.
9. 点 P在圆C1： x2 y2 1上，点Q在圆C ： x2 y22 6x 8y 24 0上，则
A. PQ 的最小值为 2
B. PQ 的最大值为 7
4
C. 两个圆心所在的直线斜率为 3
D. 两个圆相交弦所在直线的方程为6x 8y 25 0
10．在平面直角坐标系中，已知直线 l : Ax By C 0（ A, B不同时为 0），P x0 , y0
Ax0 By C
到直线 l的距离为d 0 ，n (A,B) 为直线 l的法向量；推广，在空
A2 B2
间直角坐标系中，已知平面 : Ax By Cz D 0（ A,B,C不同时为 0），P x0 , y0 , z0
Ax By Cz D
到平面 的距离为 d
0 0 0
2 2 2 ， n (A,B,C) 为平面 的法向量.若平A B C
数学试题 第 2页 共 4 页
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面 : x y 2z 1 0，点P 1,1, 2 ，则
A．点M 1, 0,1 B．若O为原点，则PO
1
C．点 P到平面 的距离为 D．若 N 0, 0,1 ，则PN //
2
11．在平面直角坐标系 xOy中， 动点P x, y 到两个定点 F1 0, 1 ，F2 0,1 的距离之
积等于 4，则下列命题中正确的个数是
A.曲线C关于 x轴对称； B. x的最大值为 2；
C. PF1 PF2 的最小值为 4 3； D. OP 的最大值为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
1
12.抛物线 y x24 的焦点坐标是
13．已知 A( 2, 2),B( 2,6),C(4, 2)三点，点 P在圆 x2 y2 4上运动，则
| PA |2 | PB |2 | PC |2 的最大值是
x2 y2 x2 y2
14. 已知椭圆
a2

b2
1 a b 0 与双曲线 2 2 1(m 0,n 0)具有相同的m n
焦点 F1，F2，且在第一象限交于点 P，设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1， e2，
若 F1PF

e2 e22 ，则3 1 2
的最小值为_______
四、解答题：本题共5 小题，共计 77 分．解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
5 3
15.（13 分）在等比数列 an 中, an 0, a1 a2 , a a .1024 3 2 256
（1）求数列 an 的通项公式;
（2）设bn log4 an ,求数列 bn 的前 n项和 Sn .
16．（15 分）已知VABC三个顶点分别为 A 1,1 ， B 1, 3 ，C 3, 1 .
(1)求 AB边上的高线长；
(2)过VABC内一点 P 1,0 有一条直线 l与边 AB，AC分别交于点M ，N，且点 P平
分线段MN，求直线 l的方程.
数学试题 第 3页 共 4 页
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17.(15 分） 如图，三棱柱 ABC A1B1C1中， A1AC 60 , AC BC, A1C AB，
AC 1, AA1 2 .
（1）求证： A1C 平面 ABC；
3
（2）直线 BA1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 ，
4
求平面 A1BB1与平面 BCC1B1夹角的余弦值.
18.(17 分) 如图 1，设半圆的直径为 4 ，点 B、C三等分半圆，点M 、N 分别
是OB、OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图 2）．在图 2中完
成下列各题：
（1）求圆锥中线段MN的长；
（2）求四面体 ACMN 的体积；
（3）求三棱锥M ABC与三棱锥 N ABC 公共部分的体积．
19．（17 分）已知动点 M 到直线 x 4的距离是 M 与点 (2,0)距离的 2倍，记 M 的
轨迹为曲线 C.
（1）求曲线 C 的方程；
2
（2）动直线 l : y x m(m 0)与 C 交于两点 A，B，曲线 C 上是否存在定点 P，
2
使得直线 PA, PB的斜率和为零？若存在求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由.
数学试题 第 4页 共 4 页
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数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A D C B B C A BC AD AD
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.【详解】因为 a a 2a 20 ,所以 a 10 .故选:D.4 8 6 6
c
2. c
2 a2 b2 2 b
【详解】因为双曲线C 的离心率为 6，所以
a 1 6
，
a2 a2 a
b
可得 5，故双曲线C的渐近线方程为 y 5x．故选：A.
a

3． 【详解】如下图所示：因为 N 为 BC的中点，则 BN NC，所以，ON OB OC ON，
1 1
则ON OB OC，因此，MN ON OM
2 1 1
OA OB OC .故选：D
2 2 3 2 2
4．【详解】当 sin 0时，方程为 x
π
2，倾斜角为 当 sin 0时，直线的斜率
2
k tan 1 ，因为 sin 1,0 0,1 ，则 tan ( , 1] [1, )，
sin
π , π π , 3π π 3π 所以 ；综上所述：线 l的倾斜角 的范围是 , .故选：C． 4 2 2 4 4 4
5. 【详解】由题意，抛物线C : y2 4x的焦点为 1,0 ， p 2，
故斜率为 3且过点 1,0 的直线方程为 y 3 x 1 ，

A x , y B x , y y 3 x 1 设 1 1 ， 2 2 ，联立 2 ，整理得3x2 10x 3 0，
y 4x
x x 10 AB x x p 10 2 16根据韦达定理得 1 2 ，所以 1 2 .故选：B.3 3 3
6．【详解】令 n 2k 1，则 a2k a2k 1 2 2k 1 1 a2k a2k 1 4k 3 .
令 n 2k，则 a2k 1 a2k 4k 1，所以 a2k 1 a2k 1 4k 3 4k 1 a2k 1 a2k 1 2 .
又 a1 1，所以 a3 a5 a7 1，所以 a2025 1.故选：B
7.【详解】设以线段 AB为直径的圆为圆M ，则圆心为M 1,0 ，半径 r 3，
2
故圆M 的方程为 x 1 y 2 9 .因为 PA PB，所以点 P在圆M 上.因为点 P在直线 l 上，
（共 7 页）第 1页
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4 m
所以圆心M 到直线 l的距离 d 3，解得 19 m 11.故选：C.
16 9
1 1 1
8．【详解】如图，建立空间直角坐标系，则M , 0,1 ，G 0, ,2 2 2
，


设 P(x,0,0)，Q(1, y, 0) PG
1 1 1
，所以 x , ，MQ , y, 1

，
2 2 2
1 1 1
因为 PG MQ，所以 PG MQ x y 0，即 x y 1 0，
2 2 2

所以 y x 1，又 PQ (1 x, x 1,0)，所以

| PQ | (1 x)2 (1 x)2 2x2 2 2，

当且仅当 x 0时取等号，此时 y 1 PG 0,
1 , 1 MQ 1，所以 ， ,1,
1
1 ，PM

, 0,1

，
2 2 2 2

m
1 1
PG b c 0
m (a,b,c) 2 2

设平面 PMG 的法向量为 ，所以 ，取
m (2,1, 1)
1 ，所以当 | PQ | m PM a c 0
2
|m MQ | 3 6
取得最小值时，点Q到平面 PMG 的距离 d
|m
.故选：A
| 6 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，若只有 2 个正确选顶，每选对一个
得 3分;若只有 3 个正确选项，每选对一个得 2 分.
9. 【详解】对于 A、B选项：由题意得：C1 0,0 ，半径为 1，
C2 ： x 3 2 y 4 2 1，C2 3, 4 ，半径为 1，
2 2
圆心距为 C C1C2 3 0 4 0 5，又点 P在圆 1上，点Q在圆C2 上，
PQ C1C2 Rmin 1 R2 3， PQ CC Rmax 1 2 1 R2 7，故 A错误，B正确；
4 0 4
对于 C选项：两个圆心所在直线斜率为 kC C ，C正确；1 2 3 0 3
对于 D选项：圆心距 C1C2 5 R1 R2 2，所以无公共弦，D错误；故选：BC．
10．【详解】对于 A，因为1 0 2 1 1 0，所以点M 1,0,1 ，故 A 正确；
对于 B，由平面 : x y

2z 1 0，可得平面 的法向量为 n 1,1, 2 ，

又O 0,0,0 ，P 1,1,2 ，所以OP 1,1,2 1 1 2，又 ，
1 1 2

所以OP 1,1,2 与n 1,1, 2 不共线，故PO不垂直于平面 ，故 B 错误；
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1 1 1 1 2 2 1 6
对于 C，由点到平面的距离公式可得点 P到平面 的距离d 2 ，故 C1 12 2 2 6
uuur r
错误；对于 D，由 N 0,0,1 ，P 1,1,2 ，所以 NP 1,1,1 ，所以 NP n 1 1 1 1 2 1 0，
uuur r
所以 NP n，又1 1 2 2 1 1 0，所以 P ，所以PN // ，故 D 正确.故选：AD.
2
11．【详解】由已知 PF 21 PF2 x y 1 x2 y 1
2 4，
x, y x2 y 1 2代入点 ，则 x2 y 1 2 x2 y 1 2 x2 y 1 2 4，成立，A
正确；则 PF1 PF2 2 PF1 PF2 4，当且仅当 PF1 PF2 ，即点P 3,0 时，等号成
2 2 2
立，C错误；化简 x2 y 1 x2 y 1 4，可得 x2 y2 1 16 4y2 ，
即 x2 2 y2 4 y2 1，又 x2 2 y2 4 y2 1 0，
即 y4 2y2 15 0，解得 3 y2 5，即0 y2 5，设 t y 2 4，则 t 2,3 ，y2 t 2 4，
所以 x2 2 y2 4 y2 1 t2 2t 3 t 1 2 4 0,3 ，即 x 3, 3 ，B错误；
且 OP x2 y2 ，即 OP 2 x2 y2 2 y2 4 1 2t 1 3,5 ，
即 OP 3, 5 ，D 正确；故选：AD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
1
12. 2【详解】由抛物线 y x 可得 x2 4y，故焦点坐标为 0,1
4
13.【详解】设 P x, y ，因为 A 2, 2 ， B 2,6 ，C 4, 2 三点，
PA 2 PB 2 PC 2所以 x 2 2 y 2 2 x 2 2 y 6 2 x 4 2 y 2 2，
3x2 3y2 4y 68，因为点 P 在圆 x2 y2 4上运动，
则 x2 4 y2 0，解得 2≤ y≤ 2，所以3x2 3y2 4y 68 4y 80，
当 y= 2时， PA 2 PB 2 PC 2 取的最大值 88，
14.【详解】由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，
令 P在双曲线的右支上，由双曲线的定义 | PF1 | | PF2 | 2m，
由椭圆定义 | PF1 | | PF2 | 2a，可得 PF1 m a， | PF2 | a m，
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又 F1PF2 ， | PF |2 | PF |21 2 | PF1 | | PF 23 2
| 4c ，
可得 (m a)2 (a m)2 (m a)(a m) 4c2 ，得 a2 3m2 4c2 ，
a2 3m2 1 3
即 4，可得 2 2 4，
c2 c2 e1 e2
2 2
e 2 e 2 1则 1 2 (e
2 e 2 )( 1 3 ) 1 e2 3e1 1 2 3
4 1 2 2 2
(1 3
e e 4 e 2
2 )e (4 2 3) ，1 2 1 2 4 2
e 3e e 2 2 2 3 2 3当且仅当 2 1，上式取得等号，可得 1 e2 的最小值为 ．故答案为： ．2 2
四、解答题：本题共5 小题，共计 77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5 5

a1 a2 a1 a1q 10
15.【详解】（1）设等比数列 an 的公比为 q,则 1024 2 ,
a 3 33 a
2
2
a1q a1q 256 28
1 q 5
化简可得
2 ,整理可得 5q 3 q 4 0 ,由 an 0 ,则 q 0 ,由方程解得q q 12
q 4 ,由 a1 a2 a
5 1
1 1 q 5a1 ,则10 a .2 1 210
1 1
由数列 an 是以 为首项,以 4 为公比的等比数列,则 a 4n 1 4n 6 .210 n 210
（2）由bn log4 an log 4
n 6
4 n 6,则b1 1 6 5 ,bn 1 bn 1,
n b b n n 11
由数列 bn 是以 5为首项,以 1 为公差的等差数列,则 S n 1 n .2 2
16．【详解】（1） A 1,1 ， B 1, 3 ，C 3, 1 ， 1 3直线 的斜率 kAB 2，1 1
d 6 6 直线 的方程为 y 1 2 x 1 ,化为2x y 1 0， 点 C到直线 的距离 5，
5 5
6
即 AB边上的高线长为 5；
5
1 1
（2）由题知，直线 AC的斜率 kAC 1， 直线 AC的方程为 y 1 1 x 1 ，即1 3
x y 2 0，设M x0 , y0 ，因为点 P 1,0 平分线段MN，则 N 2 x0 , y0 ，
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x 1 2x0 y0 1 0

0
AC 3∵点 M，N 分别在直线 ， 上， 2 ，解得 ， x0 y0 2 0

y 10 3
0 1
l k 3
1 1
直线 的斜率 l ， 直线 l 的方程为 y 0 x 1 ，即 x 2 y 1 0．
1 1 2 2
3

17.【小问 1 详解】在△A1AC 中， A1AC 60 ， AC 1, AA1 2，
AC 2 2cos A AC A1A AC
2
由余弦定理可得 1
1
，
2 AC A1A
2 2
cos60 2 1 A1C
2
AC 2 3 AC 2 AC 2 2则 ，解得 1 ，由2 2 1 1
A1A ，则在△A1AC 中，

A1C AC ，因为 A1C AB， AC, AB 平面 ABC， AC AB A，
所以 A1C 平面 ABC .
【小问 2 详解】由（1）及 AC BC ，则 A1C,AC,BC两两相互垂直，以C为原点，分别
以CA,CB,CA1为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，如下图：
设 = > 0 ，由（1）知 A1C 3，
则 A1 0,0, 3 ， B 0,k,0 ，C 0,0,0 ，C1 1,0, 3 ，
则 BA1 0, k , 3 ，CB 0,k ,0 ，CC1 1,0, 3 ，

n CB 0
设平面 BCC1B1的一个法向量 = , , ，则 ，可得
n CC1 0
ky 0
，
x 3z 0

令 x 3，则 y 0， z 1，所以平面 BCC1B1的一个法向量 n 3,0,1 ，

BA 1 n
设直线 BA1与平面 BCC1B1所成角为 ，则 sin
3
，
BA 21 n k 3 3 1
3 3
则 ，解得 k 1，则 BA1 0, 1, 34 ，k 2 3 2
（共 7 页）第 5页
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在三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 / /CC1，则 BB1 CC1 1,0, 3 ，

设平面 A1BB1的一个法向量m x0 , y0 , z0 ，

m BA 0 1 y0 3z0 0
则 ，可得 ，令 z0 1，则 x 3， y 3，
m BB
0 0
1 0 x0 3z0 0

所以平面 A1BB1的一个法向量m 3, 3,1 ，
n m
BCC B cos 3 0 1 2 7设平面 A1BB1与平面 1 1的夹角为 ，则 n
.
m 2 7 7
1
18【. 小问 1 详解】在图 2中，设圆锥的底面圆半径为 r，则 2πr 2 2π，解得 r 1. 因
2
为在图 1中，点 B、C三等分半圆，所以在图 2中，点 B、C为圆锥的底面圆周的三等分
BC
点，则VABC为等边三角形，所以 2r 2，所以 BC 3 . 又因为点M 、N 分
sin 60
1 3
别是OB、OC的中点，所以MN BC .
2 2
2 S 1 3 3 3 3 3【小问 详解】因为 ，圆锥的高 h 22 ABC 2 2 4 1
2 3，
V 1 S h 1 3 3 3 3所以 O ABC 3 ABC
，
3 4 4
V 1V 1 1V 1 3 3所以 M ACN 2 M ACO

2 2 B ACO
VO ABC ，即四面体 ACMN 的体积为 .4 16 16
【小问 3 详解】连接 BN ,CM 交于点 P，连接OP并延长OP交 BC于点 E，
则三棱锥M ABC与三棱锥 N ABC 公共部分即为三棱锥 P ABC .
因为点M 、N 分别是OB、OC的中点，
1
所以 E为 BC的中点，且 PE OE， 所以V
1 1
P ABC VO ABC ，3 3 4
所以三棱锥M ABC 1与三棱锥 N ABC 公共部分的体积为 .
4
19 2．【详解】（1）设动点 M 的坐标为 (x, y)，由已知得 x 4 2· x 2 y2 ，化简整理得
2 2
x2 2y2 8 C x y，所以曲线 的方程为 1 .
8 4
2
（2）由已知 y x m(m 0)与 x2 2y2 8联立，消去 y 整理得：x 2 2mx m 2 4 0，
2
（共 7 页）第 6页
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由已知得 2m2 4(m2 4) 0，且m 0，解得：m ( 2 2,0) (0,2 2)
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，则 x1 x2 2m， x 21x2 m 4，
y0 y1 y0 y
假定曲线 C 2上存在定点 P x0 , y0 使得直线 PA, PB的斜率和为零，即 0x0 x
，
1 x0 x2
y ( 2 x m) y ( 2 x
则 0 2 1 0 2 2
m)
0，整理得
x0 x1 x0 x2
y0 m 2x0 x1 x2
2
2
x0 x1 x2 2x1x2 0 ，
2
则有 y m 0 2x0 ( 2m) x0 ( 2m) 2(m
2 4) 0，整理得：
2
( 2y0 x0 )m 2x0 y0 4 2 0，
2y x 0
因当m ( 2 2,0) (0,2 2)时恒有 ( 2y0 x0 )m 2x0 y0 4 2 0
0 0
成立，则 ，
x0 y0 2 2
x0 2 x0 2
解得 或 ，显然点 P(2, 2)或 P( 2, 2)在椭圆 C 上，
y0 2 y0 2
所以曲线 C 上存在定点 P(2, 2)或P( 2, 2)，使得直线 PA, PB的斜率和为零.
（共 7 页）第 7页
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