《26.1.2 反比例函数的图象和性质》点评
“反比例函数的图象和性质”是在学习了一次函数，二次函数的有关内容以及反比例函数概念的基础上，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，探究反比例函数的性质。反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在。本节课有以下亮点：
1. 本节课注重学法指导——类比学习。
对于反比例函数图象及性质的研究与学习，体现的函数学习的一般规律和方法，是继一次函数、二次函数学习之后的再一次强化．呈现的“函数概念——函数的图象和性质——函数的实际应用”的结构，是学习初等函数时不可或缺的，使学生逐步建立完善的认知结构，提高学生分析解决问题能力。本节课在复习反比例函数概念的基础上，类比一次函数、二次函数，研究函数的基本模式，提出探究反比例函数的图象与性质，首先使用描点法通过列表、描点、准确画出反比例函数的图象，然后依据图象，观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质。在探究反比例函数性质时，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。
2.本节课教师重视在教学过程中有效渗透数学思想方法。
反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体。其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程。本节课首先使用描点法通过列表、描点、准确画出反比例函数的图象，并借助几何画板直观演示图像变化规律，然后依据图象，观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，也充分体现了变化与对应的数学思想。本节课教学中从反比例函数的图象是什么样的？到描点法作图、探究，再到反比例函数的图象和性质，最后提出应用，充分体现了知识的“产生、发展、形成、应用”主线；此外，从学生动手作图，到引导学生观察、类比、猜想、交流、探究，再到学生的巩固练习，充分体现以学生为主体的“动手、探究、巩固”的活动主线。本节课教学中注重思想方法的培养。反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用，充分体现了变化与对应的数学思想。
3.本节课注重过程教学。
有效的课堂教学应当既有认知过程的“前半段”，也有认知过程的“后半段”．对整节课来说，认知过程前半段的主要任务是获得数学结果，后半段的主要任务是用获得的数学结果解决具体问题．对每个教学环节来说，认知过程前半段是感性到理性的认识过程，以获得数学结果(或解决问题)，认知过程后半段是理性认识的加深并反作用于实践，即通过反思来欣赏数学结果，感悟蕴含的数学思想方法等．本节课既有认知过程前半段，也有认知过程后半段，并且课内“过程”与“结果”的时间分配比较和谐。
26．1．2 反比例函数的图象和性质（1）
一、内容和内容解析
1．内容
反比例函数的图象和性质．
2．内容解析
反比例函数是这一学段教材安排的最后一类函数，与研究一次函数、二次函数的过程一样，我们得到反比例函数的概念后，研究它的图象和性质。通过图象，可以直观地得到函数的性质，结合解析式，可以进一步认识函数的性质。图象和解析式结合研究函数的性质是数形结合的重要方面。研究函数的图象，主要是研究函数的形状、位置；研究函数的性质，是对函数描述的变化规律的进一步认识。
类比研究二次函数图象和性质的过程，对反比例函数图象的研究，我们也是根据k的正负进行分类。重点研究k＞0时的情形，先从具体的k值：6，12等开始，逐步归纳k＞0时，函数的图象特征和性质；完全类比k＞0时的研究，我们研究k＜0时的情况，同样遵循从特殊到一般的过程。
我们仍然采用“描点”法画反比例函数的图象。
要对k的正负性予以区别，体现分类思想；在对图象的研究和分析时，用“描点”法画出函数图象，体现数形结合思想；在归纳反比例函数的性质时，体现从特殊到一般的思想。
探究反比例函数性质的思路是：类比前面研究函数的方法，确定从k＞0和k＜0两种情况进行研究。研究的方法是选取特殊的反比例函数，通过“描点”法画出函数图象，再通过对图象的探究，归纳得出反比例函数的性质，并加以应用。
基于以上分析，本节课的教学重点是：由反比例函数的图象，并结合解析式，探究反比例函数的性质。
二、目标和目标解析
1．目标
（1）会根据解析式画反比例函数的图象，归纳得到反比例函数的图象特征和性质。
（2）在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论”“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想。
2．目标解析：
达成目标（1）的标志是：会根据解析式使用“描点”法画出反比例函数的图象，分析图象特征，归纳得到反比例函数的性质。
达成目标（2）的标志是：画反比例函数的图像时类比画二次函数的方法，分k＞0和k＜0两种情况；在画反比例函数图象、探究反比例函数性质时，体会“数”与“形”的相互转化：解析式与图象；通过具体的图象并结合解析式，归纳得到反比例函数的性质。
三、教学问题诊断分析
授课班级的学生刚上九年级，基础扎实，思维灵活，具备一定的探索数学问题的能力。观察能力已有所发展，能按照教学的要求有意识地较长时间地观察，但观察和表达的精确性，深入性不够。抽象思维处于发展期，同时形象思维还时有表现，其抽象思维还需要感性经验的支持。在知识基础方面，学生已经学习了一次函数、二次函数，会用描点法绘制函数图象，能够借助函数图象描述出函数的性质，能够理解函数的解析式、图象和性质之间的内在联系。
对于用“描点”法画反比例函数图象时，常遇到如下问题：
（1）“列表”选点时x的取值缺乏代表性，容易忽略x≠0的条件；
（2）“连线”时，由于前面所学函数图象是直线或抛物线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线跨象限连接；
（3）对双曲线与x轴、y轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解。教学时，应注意有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（ x≠0，y≠0，k≠0）、“式”（解析式中x，y的反比例关系）的分析，进而过渡到对 “形”（图象）的认识。
在前面学习函数图象的时候，学生已经历过观察、分析图象特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质的方法也有一定的了解。因此通过类比方法，结合反比例函数的图象探究性质，从方法上不会存在障碍。但反比例函数图象与一次函数图象、二次函数图象相比，具有自变量取值不为0的特殊性，函数在x=0没有定义，对图象不过x=0这一点在认识上还存在一定的困难。教学中应注重引导学生体会由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探究活动。
基于以上分析本节课的教学难点是：对x≠0的理解，以及结合解析式理解反比例函数的性质。
四、教学支持条件分析
本节教学需要借助多媒体、几何画板。
五、教学过程设计
1．学习导入
复习提问 （1）我们学习了反比例函数的定义，什么样的函数是反比例函数？
（2）大家以前还学过哪些函数？研究这些函数时，我们是从哪几个方面入手的？
（3）我们已经学习了反比例函数的定义，接下来还应研究它哪方面的知识呢？
（4）回顾对二次函数的图象和性质的探究过程。
师生活动：教师提出问题，学生思考、回答．教师引导学生复习研究二次函数
的图象和性质的方法和过程，进而提出问题：反比例函数中比例
系数k≠0，那么应该如何分类讨论？学生回答。
设计意图：引导学生回忆解析式的形式和自变量、函数值、k值的取值范围。结合复习研究函数的一般方法，引出本节课的学习内容。同时，复习二次函数的图象和性质的学习过程时，先对a的正负不同进行分类讨论，再回忆画函数图象的步骤和注意事项，接着观察图象的特征（形状、位置、变化趋势等），最后归纳得到函数的性质。让学生类比这一过程去探究反比例函数的图象和性质，为学习反比例函数的图象和性质作好铺垫．
2．探究新知
【探究一】
同桌分工，分别画出反比例函数与的图象．
师生活动：（1）学生独立操作，用“描点”法画函数图象，教师巡视，收集并展示学生画出的典型图象．
（2）针对所展示的作图里出现的问题，让学生互相完善和补充。教师适时提问：选取自变量的值时，要注意什么？连线时要注意什么？图象延伸的趋势是怎样的？为什么？教师引导学生思考和回答。
（3）教师小结作图的注意事项，并通过课件演示作图规范。
设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用“描点”法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的、整体的感性认识。列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即x≠0）。同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象的特征；连线时按照自变量从小到大的顺序顺次连接各点，注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象。根据学生作图容易出现图象末端延伸趋势有误的问题，结合作图实例的对比，有针对性的引导学生从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（ x≠0，y≠0，k≠0）或“式”（解析式中x，y的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识。使学生初步理解双曲线与x轴、y轴“越来越靠近”但不相交的趋势。同时为探究函数的性质做好准备。
问题1 观察反比例函数和的图象，它们有哪些共同特征？
师生活动：学生观察，思考，四人小组讨论，归纳．学生代表发表观点和看法，互相交流和补充，形成统一的认识。教师引导和评价，给出双曲线的名称．
设计意图：学生感受“形”的特征，类比对二次函数图象和性质的学习，容易观察得到函数图象的形状、位置和变化趋势，对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。反比例函数具有丰富的性质，且九年级学生思维能力强，适当放开，以小组讨论的形式给学生充分交流，既激发学生探究问题的主动性和热情，又给学生一个更广阔的思维空间，培养了学生的合作交流能力。注意把握好“度”，对双曲线的渐进性、对称性以及相对于原点的位置等等，若学生有所发现，教师给予肯定，但不作基本要求。
问题2 你能由列表中数值的关系，或者由函数解析式来解释这些性质吗？
师生活动：学生先独立思考，再四人小组合作交流．学生回答，教师引导和评价．
设计意图：函数的表示法有解析式法、列表法和图象法。函数图象是研究函数性质的直观载体，从图象上较容易整体把握函数的性质，但是难以深入局部和细节；而解析式可以对函数性质进行无限“解读”，但不够直观。学生观察函数图象，归纳得到函数的性质后，引导学生结合列表中数值的关系，或者观察解析式的特点，去解释说明这些性质，这样结合函数图象和解析式去研究函数的性质，既深化了学生对函数性质的认识，又体现了数形结合的思想。
追问1 对于一般的k >0的反比例函数，是否也具有同样的性质呢？
师生活动：学生猜想，教师演示几何画板，在k＞0的前提下赋予不同的k 值，学生观察所得到的反比例函数图象的特征，引导学生发现“变化中的规律性”。
设计意图：通过几何画板演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，归纳得到k＞0时，反比例函数的图象特征和性质。
问题3 猜想反比例函数（k＜0）的图象和性质是怎样的呢？你是怎么猜的？
师生活动：学生猜想，回答．
设计意图：引导学生根据已有经验猜想，使学生巩固在探究一中获得的经验和思考方法。同时，引出对k＜0的反比例函数的图象和性质的探究。
【探究二】
请类比刚才的探究过程，探究反比例函数（k＜0）的图象和性质，验证一下你的猜想。
追问1 类比k＞0的情况，你能归纳k＜0时函数的性质吗？
师生活动：学生自选一个k＜0的反比例函数，借鉴画反比例函数或的图象的经验，自主画出函数图象，教师巡视指导。作图完成后，展示作品，学生说出函数的图象特征和性质。教师演示几何画板，赋予k不同的负值，引导学生发现“变化中的规律性”。
设计意图：通过再次画出反比例函数的图象，使学生巩固作图经验。同时，在总结说出反比例函数的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力，以及经历画出函数图象，并利用函数图象研究函数性质的过程。
问题4 反比例函数与的图象有什么共同特征？有什么不同点？
追问1 不同点由什么决定？
师生活动：教师启发学生对比、思考，引导学生关注反比例系数k的作用。
设计意图：学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图象的特征，为总结反比例函数的图象和性质做准备。
【小结归纳】
函数
图象形状
图象位置
变化趋势
师生活动：教师帮助学生梳理、归纳。
设计意图：通过归纳，培养学生的抽象概括能力。
3．应用新知
（1）下列图象中是反比例函数图象的是（ ）．
（2）如图所示的图象对应的函数解析式为（ ）．
A.
B.
C.
D. 第（2）题图 第（3）题
（3）填空：
① 反比例函数的图象在第______象限．
② 反比例函数的图象如图所示，则k____0；在图象的每一支上，y随x的增大而______．
师生活动：师生问答，引导学生关注各题对应考查的知识点。
设计意图：通过练习，实现知识向能力的转化。
4． 课堂小结
师生共同回顾本节课所学主要内容，学生回答以下问题，最后教师总结各环节的学习方法和数学思想。
（1）这节课我们从哪几个方面去研究反比例函数？
（2）在这些环节中你学到了哪些知识？
（3）从中体会到了哪些数学思想方法？
设计意图：教师引导学生回顾本节课的学习过程，梳理知识脉络，归纳知识点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为完整、全面的认识。
六、目标检测设计
1.反比例函数的图象位于（ ）。
（A）第一、第二象限 （B）第一、第三象限
（C）第二、第三象限 （D）第二、第四象限
2.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）。
3.写出一个反比例函数，使得该反比例函数的图象位于第一、第三象限，这个函数可以是__________；若点P在这个函数的图象上，则点P的坐标可以是_________。（分别写出一个即可）
4.已知双曲线，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________。
板书设计
课件20张PPT。
研究函数是从哪几个方面进行的？
定义图象性质温习旧知新课标人教版 第二十六章 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质
(1)学习导入1. 画二次函数 y = x2 的图象： 列表→描点0149149→连线y=x2 形状：是一条的______；位置：位于第_______象限，
且经过原点；抛物线一、二变化趋势：
在第二象限，从左往右看，图象逐渐______；
在第一象限，从左往右看，图象逐渐______.下降上升 2. 观察函数的图象特征： 列表→描点0149149→连线y=x2 3. 归纳函数性质： 列表→描点0149149→连线增减性：
在第二象限，y 随 x 的增大而______；
在第一象限，y 随 x 的增大而______.减小增大形状：是一条的______；位置：位于第_______象限，
且经过原点；抛物线一、二y=x2 ——首先研究 k＞0 的情况探究一 同桌分工，在材料单上，分别画出
反比例函数 与 的图象．探究新知作出反比例函数 的图象.16233241.551.261-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233241.551.261-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………Oxy126432.42-12-6-3-4-2.4-2……问题1 观察这两个函数的图象，你发现
它们有哪些共同特征？16233241.551.261-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………126432.42-12-6-3-4-2.4-2……问题2 你能由列表中数值的关系，或者
函数解析式来解释这些性质吗？猜一猜：问题3 猜想反比例函数 （k＜0）
的图象和性质是怎样的呢？ 请你用类似的方法研究反比例
函数 （k＜0）的图象和性质.
请在材料单上完成探究二. ——再来研究 k＜0 的情况探究二问题4 反比例函数 与 的
图象有什么共同特征？有什么不同点？小结归纳k＞0k＜0双
曲
线第一、三
象限第二、四
象限在每一个象限内，
y 随 x 的增大而
减小.在每一个象限内，
y 随 x 的增大而
增大. 下列图象中是反比例函数图象的是
（ ）C应用新知2. 如图所示的图象对应的函数解析式
为( ).
A. y = 5x
B. y=2x+3
C.
D.C应用新知3、填空：
（1）反比例函数 的图象在
第______象限.
（2）反比例函数 的图象如图
所示，则 k___0；在图象的每一支上，
y 随 x 的增大而______.一、三＜增大应用新知我们从哪几个方面去研究反比例函数？
在这些环节中你学到了哪些知识？
从中体会到了哪些数学思想方法？
大家来说说...定义图象性质课堂小结1. 反比例函数 的图象位于（ ）
A. 第一、第二象限 B. 第一、第三象限
C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 课后作业2.在同一直角坐标系中，函数 与
的图象大致是（ ） 课后作业3. 写出一个反比例函数，使得该反比例函数
的图象位于第一、第三象限，这个函数
可以是__________；若点P在这个函数的
图象上，则点P的坐标可以是_________。
（分别写出一个即可）4. 已知双曲线 ，当 时，
y 随x的增大而增大，则 m 的取值范围
是__________。谢谢！
