15.2.2 分式的加减(第1课时)
人教版《义务教育课程标准教科书·数学》
（八年级上册第十五章）
教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
分式的加减法法则.
2.内容解析
本节课内容属于《义务教育数学课程标准》（2011年版）中的“数与代数”领域，是在小学学习了分数的加减运算，初中学习了整式加减、多项式的因式分解、分式的基本性质和分式乘除运算的基础上，利用“数式通性”，通过类比研究整式加减的方法和分数的加减法运算，进一步研究分式的加减法运算．因此，分式的加减运算是分数加减运算的抽象和深化.同时分式的加减运算又是后续学习分式的混合运算及分式方程的基础，在本章中起着承上启下的作用.
首先，分式的加减法法则是对分数的加减法法则的抽象，两者的本质是一样的.教学中先回顾分数的加减法法则，再引申出分式的加减法法则，从而在学生的“最近发展区”得到响应，体现由“数”到“式”的发展过程.本节课的核心内容是分式的加减运算，而分式的加减运算的核心内容是“数式通性”.
其次，分式加减法法则分别用文字形式和符号形式进行了表述.类比分数加减法则首先出现文字表述，在学生理解后，适时地提出如何用符号形式表述法则的问题，引导学生运用数学符号语言表达法则.这样处理不仅可以加深学生对法则本身的理解，还可以锻炼他们用数学式子表达数学关系的能力，渗透符号意识.
再次，对于分式加减法法则的教学，不仅要清楚它们的算理，而且还要安排相应的例题进行示范，以规范学生的解题格式，培养学生良好的学习习惯.因此，本节课安排了例题及不同层次的练习，用以巩固本节课所学知识，及时反馈目标达成情况，提高学生的运算能力.
最后，分式的加减法中蕴含着丰富的数学思想和研究问题的方法：
1.本节课通过两个实际问题——工作效率问题、增长率问题，说明分式的加减法有着丰富的实际背景和广泛的应用，通过对这两个实际问题的数学化，潜移默化地向学生渗透数学模型思想.
2.在进行分式加减运算时，由于分母有相同和不同之分，所以对同分母和异分母分式的加减，得出对应的结论，即“同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减”，体现了分类讨论的研究方法.
3.由整式加减的研究思路得出分式加减的研究思路，分数的加减法法则得出分式的加减法法则,体现解决问题的基本策略即类比的研究方法.
4.将异分母分式的加减转化为同分母的分式加减,最终转化为分子的整式加减运算，体现了化归的思想方法.
基于以上分析,确定本节课的教学重点:分式的加减法法则和简单运算，以及本节课所蕴含的数学思想方法.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解分式的加减法法则，体会类比思想.
（2）会运用法则进行分式的加减运算,体会化归思想.
（3）在探究法则及运用法则解决问题的过程中，提高观察、分析、归纳及概括能力.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能类比分数的加减法法则得出分式的加减法法则，通过分数的加减法体会分式的加减法，能用文字语言和符号语言表示分式的加减法法则.
通过分数的加减运算法则抽象得到分式加减运算法则，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法.
达成目标（2）的标志是：学生能对两个或三个分式进行加减运算（含整式与分式的加减运算），明确异分母分式必须化为同分母分式才能进行加减运算，体会化归思想在异分母分式加减运算中的作用.
达成目标（3）的标志是：在探究分式的加减法法则的过程中，通过学生独立思考、互相交流，引导学生归纳概括出分式加减的法则，提高学生的归纳及概括能力；在学生自主完成练习后，通过订正习题、交流不同解法，提高学生观察及分析能力.
三、教学问题诊断分析
在进行异分母分式的加减运算时，通常要经历找最简公分母、通分、加减、化简这4个步骤，由于步骤多，运算量大，综合性强，学生很容易出错. 常遇到如下问题：
（1）找不准最简公分母.
（2）当进行分式与整式的加减计算时，不能把这个整式看作分母为1的式子.
（3）当分子相减时，若减式的分子是多项式，计算时没有将分子用括号括起来.（忽视了分数线的括号作用）
（4）运算结果没有化为最简分式或整式.
（5）进行异分母分式加减运算时，按法则先通分进行运算，不能根据题目特点约分后再进行计算，存在思维定势，不能具体问题具体分析.
教学时,应注意进行有针对性的引导，如结合题目引导学生如何找最简公分母，结果要化成最简，具体问题具体分析等.
本节课的教学难点是：异分母分式的加减运算.
四、学情分析
学生在小学已经学过分数的加减，分数的加减运算相关内容和学习方法为学习分式的加减法运算搭好了“脚手架”.
七年级已经类比数的运算，研究了整式加减运算，研究整式加减的过程和方法为研究分式的加减积累了经验.
在本章前面已学过分式的基本性质、约分与通分、分式的乘除，而这些内容的展开都非常重视分数与分式的联系，利用“数式通性”，充分考虑了“从具体到抽象，从特殊到一般”的认识过程，这些已有的知识和经验使学生具备了学习分式加减法则的基础.
八年级学生已经具备一定的运算能力，但对于运算的准确性和算法的选择存在一定的困难，如在进行分式的减法运算时，忽略分数线的括号作用，不能将分子的整式用括号括起来，从而造成运算错误.还有的学生在进行异分母分式加减运算时，只知道按法则通分进行运算，不能根据题目特点约分后再进行计算，存在思维定势，不能具体问题具体分析.
五、教学策略分析
1.“先行组织者”教学策略.在“创设情景，提出问题”这一环节，引导学生类比整式加减运算的研究路径，引出本节课学习的分式加减运算的研究路径，为新知学习提供研究线索和研究方法.
2.“问题导学”教学策略.教师通过设置“问题串”，利用类比的思想，采用启发式教学，引导学生回顾分数的加减法法则，类比得出分式的加减法法则，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，从而在学生的“最近发展区”得到响应，以确保学习知识的“正迁移”，从而体现由数到式的发展过程.
3.“多媒体辅助”教学策略.使用多媒体课件，及时反馈学生的课堂达成情况，激发学生的学习兴趣.同时，增大课堂容量，提高课堂效益.
4.“评价反思”教学策略.在归纳小结环节，引导学生回顾本节课的学习内容及研究过程，针对学习过程反思新知的研究方法，完善学生的认知结构，培养学生良好的学习习惯，从而逐步做到学会学习.
5.“分层递进”教学策略.在运用分式加减法法则环节，为学生搭建自主探索、合作交流的平台，展示学习成果，反馈学习疑难.在展示中比较优劣，通过分析题目的显著特点，来灵活运用方法技巧解决问题，从而达到“用法则而不拘泥于法则”的程度；在反馈中进行调控，通过富有针对性的提问、指导，从而面向全体，为不同层次的学生提供学习机会和恰当的帮助，提高课堂实效性．在布置作业环节，通过设置不同层次的作业让不同的学生在数学上得到不同的发展，增加学习的兴趣.
六、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，采用多媒体辅助教学.在教学过程中，利用Seewolink教学软件，通过手机拍照，将学生所做练习同步传输到电脑屏幕，结合电子白板的功能完成批注，形象、直观的呈现素材，及时反馈学生的课堂达成情况，提高课堂效率，激发学生的学习兴趣，体现数学课堂的“现代感”.
七、教学过程设计
(一)创设情境，提出问题
问题1 我们是如何研究整式的加减运算的？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考并回答问题，师生共同完成.
追问：你能类比整式加减运算的研究过程和方法，试着说出分式加减运算的过程和方法吗？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考并回答问题.
【设计意图】学生已有了研究整式加减运算的活动经验，通过问题引导学生回忆整式加减运算研究的过程与方法，然后类比整式加减的研究，启发学生勾画出分式加减运算研究的过程与方法，引导学生建构本节课的研究思路，明确类比对象，逐步养成用代数研究的“基本策略”思考问题的习惯.同时，通过类比，使学生对本节课的内容有了一个整体的认识，使他们在后续学习与研究中增强学习的预见性与主动性.
问题2 （1）甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程.请用含有的式子表示：甲工程队一天完成这项工程的 ；乙工程队一天完成这项工程的 ；两队共同工作一天完成这项工程的 .
（2）①若2009年，2010年，2011年某地的森林面积分别是10km,15km,24km,请用算式表示：2011年的森林面积增长率是 ；2010年的森林面积增长率是 .
②若2009年,2010年,2011年某地的森林面积(单位: km)分别是，，，请用含有，,的式子表示：2011年的森林面积增长率是 ；2010年的森林面积增长率是 ；2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了 .
师生活动：教师提出问题，学生独立思考并写出答案.如果学生存在问题,教师可适时启发引导.在解决问题2的第（2）组练习时,让学生明确年增长率的含义,通过具体数字帮助学生理解其意义.
【设计意图】通过这两个实际问题，说明分式的加减法有着丰富的实际背景，为引出分式的加减法作铺垫．
(二)类比探究，解决问题
1.探索同分母分式加减法法则
问题3 (1)请计算： =( )， =( ) .
(2)请思考： =( ), =( ) .
你能类比同分母分数的加减法法则说出同分母分式的加减法法则吗？
师生活动：学生回答问题,相互补充.在教师的引导下,学生给出同分母分数的加减法法则，再通过类比得出同分母分式的加减法法则: “同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减”.
追问：你能用式子表示同分母分式的加减法法则吗？
师生活动：(学生自主学习，小组讨论汇报，师生归纳总结)教师指导学生完成，得出±=.教师引导学生得出同分母分式的加减法可转化为分子整式相加减，让学生感受转化思想.
【设计意图】从学生已有的数学经验出发，经历由特殊的同分母分数加减法法则到一般的同分母分式加减法法则的类比过程，感悟数式通性，体会一般化及类比的方法在解决数学问题时的重要价值．同时，引导学生对分式的加减法法则用文字语言和符号语言分别进行表述，这样处理不仅加深学生对法则本身的理解，而且可以渗透符号意识.
2.运用同分母分式加减法法则
计算: (1) ； (2)； (3).
师生活动：学生独立完成，三名学生板书,师生共同订正.教师强调书写格式的规范性，强调计算结果一定要化成最简分式，如将（1）的结果化为1，(3)的结果化为最简分式.对于(2)，要强调当分子为多项式时，要添加括号.
【设计意图】初步运用同分母分式的加减法法则进行简单计算，规范分式加减运算的步骤和格式.通过运用同分母分式加减法法则进行计算，培养学生的运算能力.
3.探索异分母分式加减法法则
问题4 (1)请计算： =( )， =( ) .
(2)请思考： =( ), = ( ) .
你能类比异分母分数加减法法则说出异分母分式的加减法法则吗？
师生活动：学生回答问题,相互补充.在教师的引导下,学生给出异分母分数的加减法法则，再通过类比得出异分母分式的加减法法则: “异分母分式相加减，先通分,变为同分母的分式,再加减”.
追问：你能用式子表示异分母分式的加减法法则吗？
师生活动：教师与学生共同完成.得出=±=.教师引导学生得出异分母分式的加减法可转化为同分母分式相加减，让学生再次感受转化思想.
【设计意图】从学生已有的数学经验出发，经历由特殊的异分母分数加减法法则到一般的异分母分式加减法法则的类比过程，感悟数式通性，体会一般化及类比的方法在解决数学问题时的重要价值．通过用式子表示异分母分式的加减法法则，渗透符号意识.
4.运用异分母分式加减法法则
例 计算: .
师生活动：师生共同分析，解答.教师强调找准最简公分母后再通分.
【设计意图】初步运用异分母分式的加减法法则进行简单计算，规范分式加减运算的步骤和格式.
练习1 计算：(1) ； (2) .
练习2 计算：(1) ； (2) .
师生活动：学生独立完成练习,利用Seewolingk软件和白板展示运算过程,师生共同订正.教师引导学生注意解题过程中出现的问题.在计算练习1中的(1)题时，应引导学生找出正确的最简公分母；(2)中则再次强调分子是多项式时，要加括号. 在计算练习2中的(1)题时，由于是分式与整式的减法运算，应将整式看作是分母为1的“分式”，再作计算；在计算练习2中的(2)题时,通过“通分、计算、再约分”与“先约分，再计算”的解法对比，体会解法优化所带来的“运算的简捷性”.师生交流，达成共识：应注意先观察式子的特点，参与运算的分式不是最简分式，应该先将其化为最简分式，再作减法计算.
【设计意图】(1)通过练习使学生进一步理解分式的加减法法则，会运用它们进行简单分式的加减运算；(2)学生经历将异分母分式化归为同分母分式的过程，体会化归的作用；(3)在学生自己独立思考解答练习2后，教师利用Seewolingk软件和白板将学生值得集体思考的做法展示出来，在展示中比较优劣，从而把对知识的认知提升一个层面.同时，通过分析题目的特点，引导学生灵活运用方法技巧解决问题，从而提高学生的运算能力.
练习3 你能应用本节课所学的知识解决 “问题2”吗？
解：(1)=+ = .
(2)－=－==.
即2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了.
师生活动：教师提问，学生在导学案上完成并展示，教师巡视和指导，师生交流.
【设计意图】通过这个练习，让学生应用分式的加减法法则解决简单的实际问题，并在此过程中体会分式的加减法在解决实际问题时的重要作用.
（三）归纳小结，反思提高
问题5 （1）分式加减法的法则是什么？在运用法则计算的过程中，需要注意哪些问题？
（2）通过本节课的学习，你学到了哪些解决数学问题的方法？能举例说明吗？
师生活动：教师引导，学生思考、回答，师生共同完成.
【设计意图】引导学生从知识内容和思想方法等方面总结自己的收获，体会类比方法在学习分式的加减法中的作用，进一步感悟数式通性，体会化归思想，积累解题经验．同时，让学生学会反思，养成良好的学习习惯.
（四）分层作业，巩固提高
1.必做题：教科书P146习题15.2第4,5题.
2.选做题：
观察下面的变形规律：
=1－，=－，=－，…
解答下面的问题：
①若n为正整数，请你猜想= .
②证明你猜想的结论；
③求和：+++…++.
【设计意图】分层作业，使“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.”．第1题“必做题”是帮助学生巩固基础知识和基本技能；第2题“选做题”是为学有余力的学生设置的，主要是培养学生综合运用能力.
八、板书设计，突出重点
【设计意图】第一块黑板分成左右两部分，它们对课堂所起的作用分别是：左边让学生明确知识要点和相应的数学思想、方法，突出本节课的重点；右边是解题板书，给学生示范.第二块黑板以学生的板书为主，根据问题的难易程度，让不同的学生板书，激励学生上课认真听讲，吸收有价值的相关知识和方法. 该板书设计突出本节课的核心内容，能够有效利用黑板，起到辅助教学、提高课堂教学效益的作用.
九、目标检测设计
1.计算的结果为（ ）
A. B. C. －1 D.
【设计意图】考查同分母分式的加减运算.
2.化简的结果是 .
【设计意图】考查异分母分式的加减运算.
3.计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4) .
【设计意图】观察题目特点，灵活运用法则，积累解题经验，提高运算能力.
4.某单位全体员工计划在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树a棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务（用含a的代数式表示）
【设计意图】考查建模思想及运用分式加减法解决实际问题的能力.
“分式的加减（第1课时）”点评稿
本节课符合新课程教学理念：教师以学生观察、猜测、探究、归纳等活动为主线，重视学生探索、获取知识的过程，把时间和空间留给学生，让他们自主探索、相互交流.
1.重视“四基”，培养“四能”
本节课在教会学生基础知识、基本技能的同时，更重视基本思想的渗透、基本活动经验的积累.例如，从知识的形成过程看，教师引导学生回顾整式加减运算的研究路径，由此引出本节课学习的分式加减运算的研究路径，由分数的加减法法则得出分式的加减法法则,渗透了类比的数学思想；通过研究同分母和异分母分式的加减法则，深刻领会对异分母分式的加减的解决思路，渗透转化的数学思想；通过对两个实际问题的数学化，并用所学知识解决问题，潜移默化地向学生渗透数学模型思想.在学生分析问题、解决问题的同时，引导学生发现问题、提出问题. 例如，让学生自己先观察、发现=，这样就能使运算更简洁、更有效，以提高学生分析和解决问题的能力.
2.注重习题的选择与处理，提高课堂教学有效性
本节课的习题安排和作业布置，都能考虑到不同层次学生水平的差异，从基础的直接应用法则，到实际问题的解决，再到对题目本身某个分式的约分简化运算，步步落实，不断提升，使不同层次的学生得到了不同的发展，努力提高了习题的有效性. 本节课的习题由师生配合，采用板书、投影展示、seewolink软件结合电子白板展示等多种形式完成，在此过程中，教师特别关注本节课的核心内容——分式的加减运算，不仅引导学生用“分式加减法法则进行计算”，解决算理问题，而且还注重运算习惯的培养，强调“先观察，后计算”、“先约分，再计算”，以此进行运算技能的训练，提高运算能力，取得了很好的教学效果.
本节课的教学设计与实施，既符合学生的认知规律和心理特征，又重视学生已有的经验，注重学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程，突出体现转化、类比等数学思想，关注多数学生的思维训练，是一节值得借鉴的好课.
课件18张PPT。15.2.2 分式的加减(1)第十五章 分式实际问题 整式的加减 列式 类比
数的运算解决整式加减法则 创设情境 提出问题 问题1 我们是如何研究整式的加减运算的？ 问题2 （1）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程
队要比甲队多用3天才能完成这项工程. ②乙工程队一天完成这项工程的 ； ③两队共同工作一天完成这项工程的 . ①甲工程队一天完成这项工程的 ；创设情境 提出问题 问题2
（2） 2009年,2010年,2011年某地的森林面积分别
是10 km2,15 km2 ,24 km2,
① 2011年的森林面积增长率是 ___________.
(请用算式表示)
② 2010年的森林面积增长率是 ___________.
(请用算式表示). ③ 2011年与2010年相比，森林面积增长率
提高了 .
分式的加法分式的减法类比探究 解决问题 问题3请计算 ( )， ( )
同分母分数相加减，
分母不变，把分子相加减.同分母分式相加减，
分母不变，把分子相加减. 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.同分母分式加减法法则：计算: 相信你是最棒的！ ？问题4(1)请计算 ( )， ( ).
异分母分数相加减分数的通分依据：分数的基本性质转化同分母分数相加减异分母分数相加减，先通分，
变为同分母的分数，再加减 .类比探究 解决问题 问题4 请计算 ( )， ( );
依据:分数基本性质分数的通分同分母分数相加减异分母分数相加减转化异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减.异分母分式相加减分式的通分依据:分式基本性质转化同分母分式相加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.例 计算: 类比探究 解决问题 练习1 比一比，谁最棒！练习2 比一比，谁最棒！ （1）
（2）.练习3
你能应用本节课所学知识解决“问题2”吗？类比探究 解决问题实际问题 分式的加减 列式类比分数
运算 同分母分式加减法法则 异分母分式加减法法则类比分数
运算解决归纳小结 反思提高归纳小结 反思提高 问题5 （1）分式加减法的法则是什么？
在运用法则计算的过程中，需要注意哪些问题？ （2）通过本节课的学习，你学到了哪些解决数学问题的方法，能举例说明吗？ 1.必做题：教科书P146习题15.2
第4、5题.作 业 分层作业 巩固提高2.选做题：见学案.
