遂宁市高中2026届第四学期期末教学水平监测
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题（每小题5分，8小题，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C D A D B
8．解析：①当个位上的数字是0时，有个满足条件的“双耳屋三位数”；
②当个位上的数字是2时，百位是1时，十位可为3～9；百位是3时，十位可为4～9；
百位是4时，十位可为5～9；百位是5时，十位可为6～9；百位是6时，十位可为7～9；百位是7时，十位可为8～9；百位是8时，十位只能为9；故此时满足条件的个数为
③当个位上的数字是4时，百位是1，2，3时，十位均可为5～9；百位是5时，十位可为6～9；百位是6时，十位可为7～9；百位是7时，十位可为8～9；百位是8时，十位只能为9；故此时满足条件的个数为
④当个位上的数字是6时，百位是1，2，3，4，5时，十位均可为7～9；百位是7时，十位可为8～9；百位是8时，十位只能为9；故此时满足条件的个数为
⑤当个位数字是8时，百位可以是1～7，十位只能为9；故此时满足条件的个数为7
综上，没有重复数字且是偶数的“双耳屋三位数”的个数为
二、多选题（每个6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11
答案 BC ACD ABD
11. 解析：对于A选项，因为当时，，定义域为，且满足，此时函数为奇函数，故A选项正确；
对于B选项，因为，而当 时，由解得，即在上单调递减，而此时包含，故B选项正确;
对于C选项，因为，又由,得出，，则，所以，又，由，得；由，得；所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以值域为，故C选项错误；
对于D选项，①当时，有下表
+ +
单调递增 单调递减 单调递增
又当时，，当时，，且 ，又函数有三个零点，所以只需，解得；
②当时，，则在上单调递增，不会出现三个零点的情况，综上①②可知， 故D选项正确。
三 填空题（每小题5分，共15分．）
12. 13. 14.
14.解析：因为，当且仅当取等号，故有在上单调递增，又，所以， 得到，所以，解得或
四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分）
15. 解析：（1）
性别 跑步 合计
喜欢 不喜欢
男 160 80 240
女 64 96 160
合计 224 176 400
………………………………………5分（每空1分）
由表格数据可知，女性喜欢跑步的概率为…………………………………7分
(2)零假设为：性别与跑步无关联． ……………………………………………8分
根据列联表中的数据，计算得到，…………11分
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与跑步有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． ………………………………………13分
16. 解析：（1）的二项展开式中所有项的二项式系数之和，所以.……………………………………4分
所以二项式，即是，而展开式的通项为，.……………………………………………………………………6分
令，得展开式中的系数为，故该展开式中的系数为
………………………………………………………………………………………8分
由（1）知，所以，即为，，令得：①；
………………………………………10分
令得：②。……………………………………12分
则（①+②）÷2得：，故所求值为512………………………15分
17. 解析：（1）记两套导航系统能成功规避拥堵的概率分别为和，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，……………………2分
，即是系统能成功规避拥堵的概率为，系统能成功规避拥堵的概率为…………………………………………………………………………………4分
（2）记“导航系统能成功规避拥堵的概率”为事件，“导航系统能成功规避拥堵的概率”为事件，“该道路为商业区道路”为事件.
则，，，，，，
………………………………………6分
由全概率公式可得.……………………………7分
.…………………………8分
因为，所以导航系统能成功规避拥堵的概率更大，故该司机应该优先选用系统. ………………………………………9分
（3）由题意，商业区应用系统导航，居民区应用系统导航.
因为，，…………………………………………………11分
由二项分布的期望公式可得，，…………………………………………………………………12分
由二项分布的方差公式可得，，……………………………………………………………13分
因为、相互独立，则，
.………………………………………15分
18. 解析：（1）因为点和点均在直线上，所以，， ………………………………………1分
令，则，又，解得， ……………………………2分
又，所以， ………………3分
因为，所以数列中任意一项不为，又，故数列是首项为，公比为的等比数列， ………………………………………4分
故，即数列的通项为.…………………………………5分
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
所以， ………………………………………7分
即，故， ………………………………………8分
所以①，
②，……………………………………………………9分
①②可得，…………10分
故…………………………………………………………………………11分
（3）由，得，化简得。……………………………………………………………12分
当为奇数时，有，即，而，所以；………………………………14分
当为偶数时，有，而，所以。……………………………16分
综上，实数的取值范围为 ………………………………………………17分
19. 解析：（1）由题意得，又，故设，……………1分
则 …………………………………………………………………2分
当时，有， 在上单调递减；当时，有，在上单调递增；所以函数在处取得最小值，也即在处取得最小值，故函数的导函数的零点个数为个 ……………………………………………………………4分
（2）因为，所以成立，等价于成立， ………………………………………………………5分
由题意知不等式在区间上有解，即
在区间上有解，………………………………………6分
因为当时，（不同时取等号），，
所以在区间上有解，…………………………………………………7分
令，则，
因为，所以，所以，在上单调递增，
所以时，，…………………………………………10分
所以，所以实数的取值范围是．……………………11分
（3）由（1）知当时，，所以有在上单调递增，又，所以当时，，令，则，则有，即，也即，………………13分
又，且是正项数列，有，令，代入上式有，即 ……………………………………………14分
所以，得出 …………………………………15分
所以 ， 又当时，成立，即是也满足 ，所以得证…………………17分 （有其它解法酌情给分）
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数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为，，，
，则
A．丁组数据变量间的线性相关程度最强，甲组数据变量间的线性相关程度最弱
B．甲组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱
C．丁组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱
D．甲组数据变量间的线性相关程度最强，丙组数据变量间的线性相关程度最弱
2．若随机变量的分布列为
0 1
0.2 0.3 0.5
若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数的导函数为
A． B．
C． D．
4．已知等差数列的前项和为，且，，求
A．16 B．18 C．20 D．40
5．已知曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，求
A． B． C． D．
6．某市高二年级10000人参加数学学业水平考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩高于65分的人数为8000人，则此次考试数学成绩不低于85分的人数约为
A．2000人 B．3000人 C．4000人 D．5000人
7．研究变量，得到5组成对数据，如下表所示：
1 2 3 4 5
1 4 11 9 10
根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新决定系数为，新回归方程为，则以下结论错误的是
参考公式：相关系数，决定系数，经验回归方程为，其中，．
A． B．
C． D．
8. 中间高两边低的房屋在我国民间被称为“双耳屋”，已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都小于十位上的数字，那么我们称该三位数为“双耳屋三位数”，则没有重复数字且是偶数的“双耳屋三位数”的个数为
A. B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．下列说法正确的有
A．
B．某演艺公司的货架的第1层放有4件不同的老年衣装，第2层放有3件不同的中年
衣装，第3层放有2件不同的少年衣装。则从货架上任取1件衣装，有9种不同的
取法；从货架的第1层、第2层、第3层各取1件衣装，有24种不同的取法
C．小邓，小张，小吴三名高三同学毕业照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方
法种数为6种
D．某篮球队有10名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子
选手都必须在内，那么不同的选法共有120种。
10．已知等差数列与公比大于的等比数列，满足，，，记，数列的前项和为，则
A． B．
C． D．
11．已知函数，则
A．存在，使得函数为奇函数
B．当时，函数在上单调递减
C．当时，函数在处取得极值，则在上的
值域是
D．当时，若函数有三个零点，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．某学校统计学生喜欢篮球的概率为，既喜欢篮球又喜欢足球的概率为，若已知某人喜欢篮球，则他同时喜欢足球的概率为 ▲
13．若数列满足，，则 ▲ ．
14. 已知函数（其中是自然对数的底数），满足，则的取值范围是 ▲
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）
15.（13分）跑步既有助于促进心肺功能又能够缓解焦虑情绪，某公益机构为了解性别和跑步的关联性，随机调查了400人，得到如下的列联表：
性别 跑步 合计
喜欢 不喜欢
男 80 240
女 64
合计 176
（1）根据数据完成上表，并根据上表，用频率估计概率，求女性喜欢跑步的概率；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与跑步有关联？
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
▲
16.（15分）已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为，
（1）求的值和该展开式中的系数；
（2）若，求的值．
▲
17.（15分）为测试两套导航系统在城市道路中的路线规划能力，将商业区道路和居民区道路共100条复杂程度相当的行驶路线从1到100编号后随机分配给这两套导航系统规划．每条路线只被一套系统规划一次，并记录结果如下：
路线类别 系统 系统
规划路线数量 成功避堵数量 规划路线数量 成功避堵数量
商业区道路
居民区道路
（1）分别估计两套导航系统能成功规避拥堵的概率；
（2）某司机欲使用这两套系统规划明日的通勤路线（假设其复杂度与测试的100条路线相当），根据历史数据，该路线途经商业区的概率为，途经居民区的概率为．将频率视为概率，通过计算说明应优先选用哪套系统？
（3）该司机决定用这两套系统规划6条路线（商业区、居民区各3条），每类路线均采用避堵成功率更高的系统规划。将频率视为概率，该司机比较了这两套系统在避堵中的正确率，决定用表现较好的那套系统．设、分别为3条商业区路线成功避堵与3条居民区路线成功避堵的数量，求随机变量的数学期望和方差．
▲
18.（17分）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中。
（1）求证：数列是等比数列，并求；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和。
（3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。
▲
19.（17分）已知函数
（1）当时，求的导函数的零点个数；
（2）函数，若存在，使得成
立，求的取值范围；
（3）若正项数列满足，证明：
▲
高二数学试题第4页（共6页）
