1.1《探索勾股定理》小节复习题（含解析）八年级数学上册北师大版

1.1《探索勾股定理》小节复习题
【题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积】
1.以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ）
A． B．6 C． D．
2.如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．25
3.如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和为（ ）
A．64 B．40 C．16 D．8
4.如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的边长是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长】
1.在中，∠B=90°，，，则 ．
2.若直角三角形的两直角边长分别为，，则该直角三角形的斜边的长为 ．
3.若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积为 ．
4.若一个直角三角形的两条边的长分别为、，则第三条边的长是 ．
【题型3 等面积法求直接斜边上的高问题】
1.若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ．
2.直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 ．
3.如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ．
4.睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是 ABC的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出 ABC的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则 ABC的面积为 ．
【题型4 勾股定理与网格问题】
1.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为 ．
2.如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ．
3.如图，的顶点都在由边长为1的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为 ．
4.如图是由边长为1的小正方形组成的网格， ABC的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为
【题型5 勾股定理与折叠问题】
1.已知，如图折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，如，．求的长．
2.如图，在 ABC中，∠B=90°，，，将 ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为，
(1)求的长；
(2)求点B到斜边的距离；
3.如图，将长方形沿折叠，使 ABC落在的位置，且与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求．
【题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】
1.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
2.中，斜边，则的值是 ．
3.如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ．
4.如图，等腰直角 AOB，等腰直角，，连接相交于点M，则 ．
【题型7 利用勾股定理证明线段平方关系】
1.如图， ABC和都是等腰直角三角形，，D为边上一点，
求证：
(1)；
(2)．
2.如图，在 ABC中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
3.如图，已知 ABC与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．

(1)试判断与的大小关系，并说明理由；
(2)试说明三者之间的关系．
4.如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接

(1)求证：；
(2)若，，求的周长.
【题型8 勾股定理的证明方法】
1.【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：
【深入思考】
如图2，在 ABC中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，∠ABD=90°，过点作，垂足为点．
(1)求证：，．
(2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：
2.如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且．
(1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）；
(2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题：
①当，时，长方形的面积是______；
②当，时，求面积．
3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形．
(1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简）
方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________；
(2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积．
(3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积．
4.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然．
①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程）
②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理；
【方法迁移】
（1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________；
（2）如图4，在 ABC中，是边上的高，，，，设，求x的值．
参考答案
【题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积】
1.A
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算．根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
∴正方形的边长为，
故选：A．
2.B
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】此题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选：B．
3.A
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理，一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
利用勾股定理，这两个正方形的面积和等于即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴正方形和正方形的面积和为，
故选：A．
4.B
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可得，，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，由勾股定理得，
∵A、B、F都是正方形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴最大正方形E的边长是25，
故选：B．
【题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长】
1.4
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案为：4．
2.
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为即可得解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12，
∴斜边长为，
故答案为：．
3.
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．设另一直角边为x,根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设另一直角边为x，
∵斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴，
∴．
故答案为：．
4.或
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当为斜边，为直角边时；当、都为直角边时，分别利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当为斜边，为直角边时，
由勾股定理得第三边的长为：；
当、都为直角边时，
由勾股定理得第三边的长为：；
故答案为：或．
【题型3 等面积法求直接斜边上的高问题】
1.
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为再由等面积法计算即可得解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12，
∴斜边长为，
设斜边上的高为
由题意得，
∴，
故答案为：．
2.
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理求斜边长，然后根据直角三角形的面积列式计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，斜边长为，
设斜边上的高为，
则
解得
故答案为：．
3.1
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值，最后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：在中，根据勾股定理得
，
，
，
∵是斜边上的高，
∴，
∴．
故答案为：1．
4.84
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理求出，最后由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
【题型4 勾股定理与网格问题】
1.
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查了勾股定理．连接，则，在中，由勾股定理得求出即可得出答案．
【详解】连接，
由题意知：，
在中，由勾股定理得：
【变式训练】
2.
【知识点】勾股定理与网格问题、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解；
【详解】解：如图，
由图可知：，，
∴，
由图可知：
∴，
∴，
∴，
故答案为：
3.5
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理解答，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：5
4.2
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出 ABC是直角三角形，由三角形面积公式得到 ABC的面积，代入有关数据，即可求出的长．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
的面积，
，
．
故答案为：2．
【题型5 勾股定理与折叠问题】
1.解：∵四边形为长方形，
∴，，，
∴，
由折叠得：，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
2.（1）解：在中，，，，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：点B到斜边的距离为，
∵，
∴，
答：点B到斜边的距离为．
3.（1）证明：长方形沿对角线对折，使 ABC落在的位置，
，，
又四边形为长方形，
，
，
而，
在与中：
；
（2）解：∵四边形为长方形，
，，
，
，
设，
则，，
在中，，
即，
解得．
【题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】
1.73
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
2.2
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值．
【详解】解：如图所示，
在中，，
又∵，
∴，
∴．
故答案是∶2．
3.40
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：40．
4.50
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点F，
∵ AOB和都是等腰直角三角形，，，，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
故答案为：50．
【题型7 利用勾股定理证明线段平方关系】
1.（1）证明：∵ ABC和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
3.（1）．理由如下：
∵ ABC与都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴．
∴，
∴．
（2）．理由如下：
由（1）可得 ACD≌ BCE，
∴，，
∴，
∴，
∴．
4.（1）证明：∵D是斜边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵D是斜边的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，
∴，
∴的周长为.
【题型8 勾股定理的证明方法】
1.（1）证明∶ ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又， ，
∴．
∴；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
2.（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴梯形的面积，
∴；
（2）解：①当，时，，
长方形的面积是；
故答案为：28；
②当，时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴面积．
3.（1）解：方法1：，
方法2：，
，
故答案为：；；；
（2）解：，
当时，；
（3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
4.解：【方法运用】：
①由题意得，，，；
故答案为：①；；；
②∵，
∴，
∴，
∴；
【方法迁移】：
（1）设边上的高为h，
，
，
，
∴，
即边上的高是；
故答案为：；
（2）在中，由勾股定理得
，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴．