第一章《勾股定理》复习题---利用勾股定理解决折叠问题（含解析）八年级数学上册北师大版

第一章《勾股定理》复习题---利用勾股定理解决折叠问题
【题型1 长方形中折痕过对角线模型】
1.如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．
2.如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
3．如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，长方形ABCD中，，，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______．
【题型2 长方形中折痕过一顶点模型】
1.如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．
(1)求的长；
(2)求的长．
2.如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　）
A． B．3 C．1 D．
3.如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则 ．
4.如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ．
【题型3 长方形中折痕过任意两点模型】
1.如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48
2.如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．
3.已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．

4.如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．

(1)证明；
(2)求的面积．
【题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】
1.如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ．
4.如图是一张直角三角形纸片，，，．
(1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长；
(2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长．
【题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】
1.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（ ）

A． B． C． D．
2.如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ．
3.如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长．
4.如图、为一块直角三角形纸片，．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】
1.在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长．
2.如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
3.如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
4.在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．
(1)如图1，若点和顶点重合，求的长；
(2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长．
参考答案
【题型1 长方形中折痕过对角线模型】
1.解：∵一张长方形纸片沿对角线折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得，
∴ ．
2.A
【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．
【详解】解：∵，，∴AD=，，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，
∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，
∴在Rt中，由勾股定理得：，
∴，解得：EF=，故选：A．
3.A
【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.
【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD
又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm
在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， 故选择A.
4.
【分析】要求阴影部分的面积就要先求得它的底和高，这个三角形的高就是，，由此关系就可利用勾股定理求出AE及EF的长，从而求三角形的面积．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，，，
由折叠的性质，可得，，，，，
设，则，
，即，解得，．故答案为．
【题型2 长方形中折痕过一顶点模型】
1.（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
2.B
【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．
【详解】∵，
∴，
∴根据勾股定理得，
根据折叠可得：，
∴，
设，则，
在中：，即，
解得：，
故答案为：B．
3.10
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：根据折叠的性质，，
长方形中，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故答案为：10．
4.3
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出．
【详解】解：∵，，，
∴，
由折叠得：，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【题型3 长方形中折痕过任意两点模型】
1.B
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可．
【详解】解：由折叠可知，
设
由勾股定理可得，
即，
解得，
，
故选：B．
2.解：由折叠的性质可得，
设，则，
∵是边的中点，
∴，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
3.解：过点作于点，

过点作于点，
四边形是长方形
四边形是矩形
设，
由折叠知，
，
在中，
解得，
，
，
又，
，
，
∴的面积为
4.（1）解：证明：四边形是长方形，
，，
将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
，
的面积为．
【题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】
1.A
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接，
，，
在中，，，，
，
，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
．
故选：A．
2.B
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解Rt DCE即可．
【详解】解：，，，
，
设，则，
由折叠的性质可得，，
，
在Rt DCE中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选B．
3.或1或2
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：当时，如图，
在等腰直角三角形中，，，
∴，，
设，则，，
∵将沿翻折，
∴，，
∴，即，
解得；
∴
当时，如图，
此时，；
当时，如图，
此时，点A，B，在同一直线上，；
综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2．
故答案为：或1或2．
4.（1）解：在中，，，
．
由题意知，，．
．
设，则，．
在中，，
．
解得．
．
（2）由题意知，
设，则．
在中，，
．
解得．
．
【题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】
1.C
【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值．
【详解】解：设，则，
是 ADE翻折而成，
，
在中，，
即，
解得．
故选：C．
2.
【分析】本题考查勾股定理的折叠问题，设，由折叠可知，，在中，根据列出方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：设，则，
由折叠可知，，
在中，，即：，
解得：，即，
∴点坐标是，
故答案为：．
3.解：在中由于，，，
由勾股定理得：，
∵由折叠可知， ，
设，则．
在中，，
即，解得，
∴．
4.（1）解：在中，
，
由翻折的性质可知：，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）， 理由如下：
过点作交延长线于点，连接，如图：
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】
1.解：设，则，
沿直线折叠B落在处，
，
点为的三等分点，，
或，
当时，在中，
，即，
解得：；
当时，在中，
，即，
解得：，
综上所述，的长度为或3．
2.C
【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键．
设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设，
由翻折的性质可知，
∵D是的中点，
，
在中，由勾股定理得：
即，
解得：，
∴，
故选：C．
3.D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：点为的中点，
，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
，
故选：D．
4.（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
；
（2）解：点落在直角边的中点上，
，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
∴．