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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§2.3用公式法求解一元二次方程
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
解：∵，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（本题6分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即且，
故选：D．
3．（本题6分）若方程没有实数根，则m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
解：对于方程，其判别式为．
若方程无实数根，则需满足，即，
解得．
故选：D．
4．（本题6分）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有三个实数根
解∵一元二次方程，其中，，．
∴
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根
故选：B ．
5．（本题6分）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即
解得：，
故选：C．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）关于的方程没有实数根，则的取值范围为 ．
解∵关于x的方程没有实数根，
∴，即，
解得．
故答案为．
7．（本题6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵是一元二次方程，
∴，
即，
故答案为：且．
8．（本题6分）方程的根是 ．
解：
∴方程有两个不相等的实数根
∴
∴，
故答案为：．
9．（本题6分）若代数式与代数式的值互为相反数，则 ．
解：由题意可得，
整理得
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
故答案为：．
10．（本题6分）对于一元二次方程，下列说法
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则，其中正确的
解：当，则：是方程的一个根，
∴；故①正确；
∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∵，
∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确；
把代入，得：，当时，；故③错误；
∵是一元二次方程的根，
∴或，
∴或，
∴；故④正确；
故答案为：①②④
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
（1）解：，
移项，得 ．
配方，得 ，
即 ， ，
， ．
（2）解：解： ， ， ，
，
即方程有两个不相等的实数根，
，
， ．
12．（本题8分）解方程
(1)
(2)
（1）解：
当时，
是增根，原方程无解
（2）解：
方程中
13．（本题8分）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围．
（1）解：关于的一元二次方程，
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：关于的一元二次方程，，
∴，
当时，，
解得，，
∵方程有一个根为非负数，
∴，
解得，，与不符合；
当时，，
解得，，
∴，
解得，；
综上所述，．
14．（本题8分）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根是正数，求的取值范围．
（1）证明：由题意得：
方程总有两个实数根；
（2）解：
，
方程有一个根是正数，
．
15．（本题8分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若恰好是△ABC另外两边的边长，求的值．
（1）证明：∵方程根的判别式，
∴该方程总有两个实数根
（2）解：由题意，分以下两种情况：
①当长为7的边是等腰的腰时，
则7是方程的一个根，
因此有，
解得：，
方程为，
解得或，
等腰△ABC的三边长分别为，符合题意；
②当长为7的边是等腰的底边时，
则，即方程有两个相等的实数根，
则
∴，
方程为，解得，
此时等腰△ABC的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去，
综上，
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§2.3用公式法求解一元二次方程
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（本题6分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
3．（本题6分）若方程没有实数根，则m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题6分）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有三个实数根
5．（本题6分）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）关于的方程没有实数根，则的取值范围为 ．
7．（本题6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
8．（本题6分）方程的根是 ．
9．（本题6分）若代数式与代数式的值互为相反数，则 ．
10．（本题6分）对于一元二次方程，下列说法
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则，其中正确的
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
12．（本题8分）解方程
(1)
(2)
13．（本题8分）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围．
14．（本题8分）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根是正数，求的取值范围．
15．（本题8分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若恰好是△ABC另外两边的边长，求的值．
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