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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§2.5一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）已知是的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．5
解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：C．
2．（本题6分）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
解：由、是一元二次方程的两个根，
则，
故选：D．
3．（本题6分）若方程的两根之积为，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ．
题目给出根的积为 ，因此有：
解得：
验证判别式：
当 时，，方程有实根，符合条件．
故选B．
4．（本题6分）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：设这个一元二次方程的两根是、，根据题意得
，，
那么以、，为两根的一元二次方程就是，
故选：B．
5．（本题6分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
解：①解方程，
，
∴或，
解得，，，得，，
∴方程是倍根方程，故①正确；
②若是倍根方程，，
因此或，
当时，，∴；
当时，，∴；故②错误；
③∵，假设关于的方程是倍根方程，
∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ，
代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确；
④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ，
两根积为 ，消去得 ，故④正确；
综上，①③④均正确，
故选：B．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ．
解：，是关于x的方程的两根，
，
，
，
将代入，得：，
解得，
故答案为：8．
7．（本题6分）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ．
解：设方程的两根为，
∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
∴，解得：或，
当时，原方程变形为，该方程无实数根；
当时，原方程变形为，，故该方程有两个不等实数根，符合题意．
故答案为：．
8．（本题6分）关于x的方程的两根为，，且，则 ．
解：方程的两根为，，
，
又，
，
解得：，
，
，
．
故答案为：．
9．（本题6分）方程的两个根为，，若，则 ．
解：∵方程的两个根为，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
10．（本题6分）实数a，b，c满足．
（1）当时，则 ；
（2）实数a的取值范围是 ．
解：（1）把代入，得：
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴可以看作是一元二次方程的两个根，
∴，
解得：；
故答案为：．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若两实数根分别为和，且，求m的值．
【答案】(1)；
(2)．
（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵和是方程的两个实数根，
∵，，
∴，
∴，
解得：．
12．（本题8分）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
（1）证明：∵，
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2，
∴，
解得：，
即，
∴、的和，
∵平行四边形，
∴，，
∴平行四边形的周长．
13．（本题8分）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根
(2)若方程有一个根不小于，求的取值范围．
（1）证明：∵，，，
∴
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
即，
∴，
∵方程有一个根不小于5，
∴，
∴．
∴的取值范围是．
14．（本题8分）已知：关于x的方程．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)若是该方程的根，且，求p的值．
（1）解：．
∵，
∴方程必有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴．
∴．
解得．
15．（本题8分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“________倍根方程”；
(2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
∴可设这个方程的两个根分别为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设直线解析式为，
把代入到中得，
∴，
∴直线解析式为；
∵一个五倍根方程的两个根为和，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
联立，解得，
联立，解得，
∵点在的内部（不包含边界），
∴．
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§2.5一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）已知是的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．5
2．（本题6分）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
3．（本题6分）若方程的两根之积为，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
4．（本题6分）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题6分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ．
7．（本题6分）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ．
8．（本题6分）关于x的方程的两根为，，且，则 ．
9．（本题6分）方程的两个根为，，若，则 ．
10．（本题6分）实数a，b，c满足．
（1）当时，则 ；
（2）实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若两实数根分别为和，且，求m的值．
12．（本题8分）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
13．（本题8分）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根
(2)若方程有一个根不小于，求的取值范围．
14．（本题8分）已知：关于x的方程．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)若是该方程的根，且，求p的值．
15．（本题8分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“________倍根方程”；
(2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
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