上海市杨浦区2024-2025学年第二学期高二年级数学期末试卷（含答案）

杨浦区2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．-3和5的等差中项是 ．
2．若一个球的半径是1，则这个球的表面积是 ．
3．如图，在长方体中，直线与直线的位置关系是 ．（填＂相交＂、＂平行＂或＂异面＂）
4．不透明的盒子里有2个红球、3个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从盒子里任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是 ．
5．已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是 ．
6．已知圆的方程是，则这个圆的半径是 ．
7．一组从小到大排列的10个数据：，这组数据的第80百分位数是 ．
8．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为＂堑堵＂．如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 ．
9．某高中为了了解高二年级学生的作业情况，利用随机数表对该校400名高二学生进行抽样，先将所有学生按进行编号，从中抽取40个样本．若从下面的随机数表中第1行第6列的数开始，依次向右，到行末后转至下一行的行首，逐个取样，直到取足样本为止，则得到的第3个样本编号是 ．
10．双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 ．
11．已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中），则的最大值为 ．
12．已知曲线．给出下列四个结论：
（1）曲线关于直线对称；
（2）曲线上恰好有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
（3）曲线上存在一点，使得到点的距离小于1；
（4）曲线所围成区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号为 ．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）.
13．用数学归纳法证明，第一步应验证（ ）.
A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立
C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立
14．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量．若，则（ ）.
A．4 B．-4 C．2 D．-2
15．某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门．已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比．现在等可能的从该校选取一名学生，设事件为＂该学生选报数学建模＂，事件为＂该学生选报物理实验＂，事件为＂该学生两门选修课都选报＂，则下列结论错误的是（ ）.
A． B．与不互斥 C． D．与相互独立16．已知无穷数列是各项均为正数的严格减数列．若存在实数，对任意正整数都有成立，则称数列具有＂性质＂；若存在实数，对任意正实数，数列至多有一项属于开区间，则称数列具有＂性质＂．则数列具有＂性质＂是具有＂性质＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，
（1）求边所在直线的一般式方程；
（2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
随着DeepSeek大模型的全面落地，人工智能行业迎来结构性变革．某人工智能实验室记录了5月17日至23日的模型训练任务情况，如下表所示．例如：17日为数据清洗任务，训练耗时9小时，模型准确率提升，当日效率（模型准确率提升值与训练耗时的比值）为。
日期 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日
任务 数据清洗 模型调试 参数优化 轻度拟合 架构调整 算法优化 性能测试
训练耗时 9小时 12小时 14小时 12小时 14小时 12小时 14小时
准确率提升值
（1）写出训练耗时的平均数、中位数、标准差和极差；
（2）从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，求这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率；
（3）该实验室24日完成最终部署，耗时超过10小时．记17日至20日这四天训练耗时的方差为日至24日这四天训练耗时的方差为．若，求24日的训练耗时．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
如图，是等腰直角三角形，是中点，分别是边上的动点，且．将沿折起，点折起到点的位置，使二面角的大小为，连接得到四棱锥．
（1）证明：直线平面；
（2）若点是线段的中点，求和底面所成的角的大小；
（3）当点在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，已知椭圆的焦距为2．若是椭圆的内接三角形，点在轴上方，分别经过椭圆的左右焦点，则称为＂好三角形＂．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若＂好三角形＂满足：，求点的坐标；
（3）证明：当点是椭圆的上顶点时，＂好三角形＂的面积最大．
杨浦区2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．-3和5的等差中项是 ．
【答案】
2．若一个球的半径是1，则这个球的表面积是 ．
【答案】
3．如图，在长方体中，直线与直线的位置关系是 ．（填＂相交＂、＂平行＂或＂异面＂）
【答案】异面
4．不透明的盒子里有2个红球、3个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从盒子里任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是 ．
【答案】
5．已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是 ．
【答案】
6．已知圆的方程是，则这个圆的半径是 ．
【答案】
7．一组从小到大排列的10个数据：，这组数据的第80百分位数是 ．
【答案】
8．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为＂堑堵＂．如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 ．
【答案】
9．某高中为了了解高二年级学生的作业情况，利用随机数表对该校400名高二学生进行抽样，先将所有学生按进行编号，从中抽取40个样本．若从下面的随机数表中第1行第6列的数开始，依次向右，到行末后转至下一行的行首，逐个取样，直到取足样本为止，则得到的第3个样本编号是 ．
【答案】
10．双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 ．
【答案】或；
11．已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中），则的最大值为 ．
【答案】
【解析】解法一：设，则．
由知，或，
从而问题可转化为以和为圆心，分别作半径为1和2的圆，各圆交点的个数之和
即满足题意的，如下左图所示，由图知，的最大值为6．
解法二：不妨设，，
则由，
得1或或或，
画出表示的图形如上右图所示，由图可知各图形共有6个交点，所以的最大值为6．
12．已知曲线．给出下列四个结论：
（1）曲线关于直线对称；
（2）曲线上恰好有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
（3）曲线上存在一点，使得到点的距离小于1；
（4）曲线所围成区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号为 ．
【答案】（2）（4）
【解析】由，则，且，易知曲线为封闭曲线，所以，易得，故，
时时时故曲线过点，显然，不关于直线对称，（1）错；
对于曲线上任意点，其关于轴对称点为，则，故曲线关于轴对称，综上，曲线的大致图形如下图示，显然曲线上恰好有4个整点，（2）对；
由圆过点，，故圆上点均在曲线上或内，
所以曲线上不存在点，使得到点的距离小于1，（3）错；
如图中，四边形在曲线内部，
故曲线所围成区域的面积大于，（4）对．故答案为：（2）（4）．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）.
13．用数学归纳法证明，第一步应验证（ ）.
A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立
C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立
【答案】C
14．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量．若，则（ ）.
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】A
15．某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门．已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比．现在等可能的从该校选取一名学生，设事件为＂该学生选报数学建模＂，事件为＂该学生选报物理实验＂，事件为＂该学生两门选修课都选报＂，则下列结论错误的是（ ）.
A． B．与不互斥 C． D．与相互独立
【答案】D
16．已知无穷数列是各项均为正数的严格减数列．若存在实数，对任意正整数都有成立，则称数列具有＂性质＂；若存在实数，对任意正实数，数列至多有一项属于开区间，则称数列具有＂性质＂．则数列具有＂性质＂是具有＂性质＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）． （2分）
又，所以，． （4分）
（2）记和的前项和分别为和．
， （3分）
， （3分）
所以． （2分）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，
（1）求边所在直线的一般式方程；
（2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标．
【答案】（1） （2）或．
【解析】（1）． （6分）
（2）点到直线的距离，．
，即． （4分）
又因为，解得或．所以点的坐标为或． （4分）
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
随着DeepSeek大模型的全面落地，人工智能行业迎来结构性变革．某人工智能实验室记录了5月17日至23日的模型训练任务情况，如下表所示．例如：17日为数据清洗任务，训练耗时9小时，模型准确率提升，当日效率（模型准确率提升值与训练耗时的比值）为。
日期 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日
任务 数据清洗 模型调试 参数优化 轻度拟合 架构调整 算法优化 性能测试
训练耗时 9小时 12小时 14小时 12小时 14小时 12小时 14小时
准确率提升值
（1）写出训练耗时的平均数、中位数、标准差和极差；
（2）从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，求这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率；
（3）该实验室24日完成最终部署，耗时超过10小时．记17日至20日这四天训练耗时的方差为日至24日这四天训练耗时的方差为．若，求24日的训练耗时．
【答案】（1）平均数、中位数、标准差、极差 （2） （3）小时
【解析】（1）平均数为，中位数为，标准差为，极差为. （4分）
（2）设“从日至日选取连续三天，至少有两天的当日效率不低于”为事件．
连续统计三天共有个基本事件，事件共有个基本事件，所以． （4分）
答：这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率为．
（3）日至日训练耗时平均数为小时．
方差． （2分）
设日训练耗时为小时，则日至日训练耗时平均数为小时．
方差 （2分）
所以，（舍）． （2分）
答：日的训练耗时为小时．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
如图，是等腰直角三角形，是中点，分别是边上的动点，且．将沿折起，点折起到点的位置，使二面角的大小为，连接得到四棱锥．
（1）证明：直线平面；
（2）若点是线段的中点，求和底面所成的角的大小；
（3）当点在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）因为∥，平面，平面． （2分）
所以直线∥平面． （2分）
（2）取线段的中点，连接．因为，所以．
因为∥，，分别是的中点，所以．
所以即为二面角的平面角，所以． （2分）
过点作，垂足为．因为平面．所以，
所以底面，所以即为和底面所成的角，大小为． （4分）
（3）设，则，．．
． （4分）
当时，三棱锥的体积取最大值． （2分）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，已知椭圆的焦距为2．若是椭圆的内接三角形，点在轴上方，分别经过椭圆的左右焦点，则称为＂好三角形＂．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若＂好三角形＂满足：，求点的坐标；
（3）证明：当点是椭圆的上顶点时，＂好三角形＂的面积最大．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1），，． （4分）
（2）设，，，
由可得：，所以： （2分）
由点在椭圆上，可得：，即
两式相减：，解得 （2分）
由，可得：，即点的坐标为 （2分）
（3）设，，，因为点在轴上方，所以均不与轴垂直．设，．
． （2分）
联立，得，．
由韦达定理，，．所以，
因为，所以，
即，，． 同理，．
所以． （2分）
又，所以：．
因为，所以． （2分）
记．
下证：对任意恒成立．
即证：对任意恒成立．
即证：对任意恒成立．
因为，，所以得证． （2分）