第2节 万有引力定律(赋能课精细培优科学思维)
课标要求 层级达标
知道万有引力定律。 学考层级 1.知道万有引力定律的内容、表达式和适用范围。 2.知道万有引力定律公式中r的物理意义,了解引力常量G。
选考层级 1.理解万有引力定律的推导过程。 2.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
一、行星与太阳间的引力
引力 规律
太阳对行星 的引力 太阳对不同行星的引力,与行星的质量成 ,与行星和太阳间距离的二次方成 ,即F∝
行星对太阳 的引力 行星对太阳的引力与太阳的质量成 ,与行星和太阳间距离的二次方成 ,即F'∝
太阳与行星 间的引力 太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比,与两者距离的二次方成反比,即F=G,G为比例系数,其大小与太阳和行星无关,引力的方向沿二者的
[情境思考]
为什么在得出太阳对行星的引力与行星的质量成正比,与行星和太阳间距离的二次方成反比后就能得到行星对太阳的引力与太阳的质量成正比,与太阳和行星的距离的二次方成反比呢
二、月—地检验
1.检验目的:地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为 的力。
2.检验方法
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力,它们的表达式也应该满足F= 。
(2)根据牛顿第二定律,月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月== (式中m地是地球质量,r是地球中心与月球中心的距离)。
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力,同理可知,苹果的自由落体加速度a苹== (式中m地是地球的质量,R是地球中心与苹果间的距离)。
(4)= ,由于r≈60R,所以= 。
3.检验结论:已知自由落体加速度g为9.8 m/s2,即a苹= ;月、地中心距离r=3.8×108 m,月球公转周期为27.3 d,约2.36×106 s,即a月=2.69×10-3 m/s2,则=。可知,计算结果与预期符合得很好。
这表明:地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力,与太阳、行星间的引力遵从 的规律。
三、万有引力定律
1.内容:自然界中任何两个物体都相互 ,引力的方向在它们的 上,引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比、与它们之间距离r的 成反比。
2.公式:F= 。
3.引力常量:式中G叫作 ,大小约为6.67×10-11 ,它是由英国物理学家 在实验室里首先测出的,该实验同时也验证了万有引力定律。
[情境思考]
如图所示,图甲为两个靠近的人,图乙为行星围着太阳运行,图丙为我国的第一颗人造卫星“东方红一号”围绕地球运行。请思考下列问题:
(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗
(2)为什么通常两个人之间感受不到万有引力 而太阳对行星(地球对人造卫星)的引力可以使行星(人造卫星)围绕太阳(地球)运转
(3)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗
强化点(一) 对行星与太阳间引力的理解
任务驱动
如图所示,太阳系内,八大行星围绕太阳沿着各自的轨道运动。
(1)是什么原因使行星绕太阳运动
(2)在推导太阳与行星间的引力时,我们对行星的运动是怎么简化处理的 用了哪些知识
[要点释解明]
1.模型简化
(1)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动,太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
(2)将天体看成质点,且质量集中在球心上。如图所示,设行星的质量为m,速度为v,行星运行轨道半径为r,公转周期为T。
2.推导过程
[题点全练清]
1.下列关于行星对太阳的引力的说法正确的是 ( )
A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B.行星对太阳的引力与太阳的质量成正比,与行星的质量无关
C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D.行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比,与行星和太阳的距离成反比
2.对于太阳与行星间的引力表达式F=G,下列说法错误的是 ( )
A.太阳、行星彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
B.太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力,合力等于0,太阳和行星都处于平衡状态
C.太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
D.公式中的G为比例系数,与太阳、行星均无关
强化点(二) 对万有引力定律的理解
[要点释解明]
1.F=G的适用条件
(1)严格地说,万有引力定律只适用于真空中质点间的相互作用。
(2)两个质量分布均匀的球体或球壳间的相互作用,也可用万有引力定律计算,其中r是两个球体或球壳的球心间的距离。
(3)如果两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可看成质点,公式可近似适用,此时r为两物体质心间的距离。
2.万有引力的四个特性
特性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间,宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力,总是满足大小相等、方向相反,作用在两个物体上
宏观性 地面上的物体之间的万有引力一般比较小,与其他力比较可忽略不计,但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间,万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关,而与它们所在空间的性质无关,也与周围是否存在其他物体无关
3.引力常量
(1)1798年,英国物理学家卡文迪什用“扭秤实验”(如图所示)比较准确地测出了G的数值。
(2)①通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
②测定G值的意义:
a.证明了万有引力的存在;
b.使万有引力定律有了真正的实用价值。
[典例] 如图所示,有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体,并在空腔中心放置一质量为m的质点。求:大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小。(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)
尝试解答:
[思维建模]
“割补法”在万有引力计算中的应用
一个质量均匀分布的球体与球外一个质点间的万有引力可以用公式F=G直接进行计算,但当球体被挖去一部分后,由于剩余部分形状不规则,公式F=G不再适用,此时可以用“割补法”求解万有引力。
(1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力、剩余部分所受的万有引力之间的关系。
(2)所割去的部分为规则球体,剩余部分不再为球体时适合应用“割补法”。若所割去部分不是规则球体,则不适合应用“割补法”。
[题点全练清]
1.(多选)对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F=G,下列说法正确的是 ( )
A.公式中G是引力常量,它是由实验测得的,而不是人为规定的
B.当两物体间的距离r趋于零时,万有引力表达式不再适用
C.当有第三个物体放在m1、m2之间时,m1和m2间的万有引力将增大
D.m1和m2所受的引力性质可能相同,也可能不同
2.2024年4月25日,“神舟十八号”载人飞船成功发射进入预定轨道,之后在地球引力作用下绕地球做匀速圆周运动,已知地球的质量为M,地球的半径为R,载人飞船的质量为m,离地面的高度为h,引力常量为G,则地球对载人飞船的万有引力大小为 ( )
A.G B.G
C.G D.G
强化点(三) 万有引力和重力的关系
[要点释解明]
1.万有引力和重力的关系
设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m,则物体受到地球的引力为F=G,方向指向地心O,如图所示。万有引力F可分解为两个分力:
(1)物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn:方向垂直于自转轴。
(2)物体的重力mg:方向竖直向下,但不一定指向地心。
①在赤道上、两极点的重力方向指向地心;
②在其他位置的重力方向均不指向地心。
2.重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大,故从赤道到两极重力加速度g逐渐增大。
赤道上 重力和向心力在一条直线上,F=Fn+mg,即G=mRω2+mg,所以mg=G-mRω2
地球两 极处 向心力为零,所以mg=F=G
其他 位置 重力是万有引力的一个分力,重力的大小mg3.重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小,故地球自转带来的影响很小。
(1)在地面附近:mg=G。
(2)距离地面h高度处:mgh=G(R为地球半径,gh为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高,物体的重力加速度越小,则物体所受的重力也越小。
[典例] 假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g,地球的半径为R,则地球的自转周期为 ( )
A.2π B.2π
C.2π D.2π
听课记录:
[题点全练清]
1.假如地球的自转速度增大,下列说法正确的是 ( )
A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变
B.放在两极地面上的物体重力变小
C.放在赤道地面上的物体的重力不变
D.“一昼夜”的时间不变
2.(2024·成都高一检测)设地球自转周期为T,质量为M,引力常量为G,假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为 ( )
A. B.
C. D.
第2节 万有引力定律
一、正比 反比 正比 反比 连线
[情境思考]
提示：太阳对行星的引力和行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位是完全相当的。
二、1.同一种性质 2.(1)G (2)G (3)G
(4) 3.9.8 m/s2 相同
三、1.吸引 连线 乘积 二次方 2.G
3．引力常量 N·m2/kg2 卡文迪什
[情境思考]
提示：(1)任意两个物体之间都存在万有引力。
(2)由于人的质量很小，两个人之间的万有引力很小，一般感受不到；但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用。
(3)相等。它们是一对相互作用力。
强化点(一)
[任务驱动] 提示：(1)太阳对行星的引力使行星绕太阳运动。
(2)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。在推导过程中，用到了向心力公式、匀速圆周运动中线速度和周期的关系、开普勒第三定律及牛顿运动定律。
[题点全练清]
1．选A 行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力和反作用力，是同一性质的力，遵循牛顿第三定律，大小相等，大小与太阳和行星质量的乘积成正比，与行星和太阳的距离的二次方成反比，故A正确，B、C、D错误。
2．选B 太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，不是平衡力，二者大小相等，故A、C正确，B错误；公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关，故D正确。
强化点(二)
[典例] 解析：若将挖去的部分补上，则可知剩余部分球体对质点的万有引力大小等于完整的球体对质点的万有引力大小与挖去部分的小球体对质点的万有引力大小之差，而挖去部分对质点的万有引力为零，则剩余部分球体对质点的万有引力大小等于完整的球体对质点的万有引力大小。由题意知，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故整个球体对质点的万有引力等于中间部分半径为的球对质点的万有引力，设该部分球的质量为M′，则M′＝M＝
根据万有引力定律可得F＝G＝G，
故大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为F＝G，方向由挖去部分的球心指向大球球心。
答案：G
[题点全练清]
1．选AB 公式中G是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，故A正确；当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力表达式不再适用，故B正确；物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和两物体间的距离r有关，与是否存在其他物体无关，故C错误；物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，是同种性质的力，且始终等大、反向、共线，故D错误。
2．选A 根据万有引力定律可知地球对载人飞船的万有引力大小为F＝G，故选A。
强化点(三)
[典例] 选B 设地球的质量为M，质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝G，在赤道，物体所受地球的引力等于其所受重力和向心力的合力，有mg＋mR＝G，联立解得T＝2π，故B正确。
[题点全练清]
1．选A 地球的质量和半径都没有变化，由F＝可知，放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变，A正确；在两极地面上，物体转动所需的向心力为零，此时物体的重力与所受万有引力相等，故放在两极地面上的物体的重力不变，B错误；地球的自转速度增大，由Fn＝mω2R可知，赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力增大，根据赤道上万有引力等于物体的重力和所需向心力的合力可知，万有引力不变时，放在赤道地面上的物体的重力将减小，C错误；根据自转周期T＝可知，自转角速度增大，则周期变小，即一昼夜的时间变小，故D错误。
2．选A 设物体质量为m，在赤道上有G－FN＝mR，可得FN＝G－mR，在南极有G＝FN′，联立可得＝，故选项A正确。
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万有引力定律
(赋能课——精细培优科学思维)
第 2 节
课标要求 层级达标 知道万有引力定律。 学考层级 1.知道万有引力定律的内容、表达式和适用范围。
2.知道万有引力定律公式中r的物理意义,了解引力常量G。
选考层级 1.理解万有引力定律的推导过程。
2.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
1
课前预知教材
2
课堂精析重难
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
课前预知教材
一、行星与太阳间的引力
引力 规律
太阳对行星 的引力
行星对太阳 的引力
正比
反比
正比
反比
太阳与行星 间的引力
续表
连线
[情境思考]
为什么在得出太阳对行星的引力与行星的质量成正比,与行星和太阳间距离的二次方成反比后就能得到行星对太阳的引力与太阳的质量成正比,与太阳和行星的距离的二次方成反比呢
提示:太阳对行星的引力和行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力,在引力的存在与性质上,行星和太阳的地位是完全相当的。
二、月—地检验
1.检验目的:地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为_____________的力。
2.检验方法
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力,它们的表达式也应该满足F=__________。
同一种性质
G
(2)根据牛顿第二定律,月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月==_______ (式中m地是地球质量,r是地球中心与月球中心的距离)。
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力,同理可知,苹果的自由落体加速度a苹==_______ (式中m地是地球的质量,R是地球中心与苹果间的距离)。
(4)=____,由于r≈60R,所以=______。
G
G
3.检验结论:已知自由落体加速度g为9.8 m/s2,即a苹=_________;月、地中心距离r=3.8×108 m,月球公转周期为27.3 d,约2.36×106 s,即a月=2.69×10-3 m/s2,则=。可知,计算结果与预期符合得很好。
这表明:地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力,与太阳、行星间的引力遵从_____的规律。
9.8 m/s2
相同
三、万有引力定律
1.内容:自然界中任何两个物体都相互_____,引力的方向在它们的______上,引力的大小与物体的质量m1和m2的_____成正比、与它们之间距离r的_________成反比。
2.公式:F=________。
3.引力常量:式中G叫作__________,大小约为6.67×10-11_________, 它是由英国物理学家____________在实验室里首先测出的,该实验同时也验证了万有引力定律。
吸引
连线
乘积
二次方
G
引力常量
N·m2/kg2
卡文迪什
[情境思考]
如图所示,图甲为两个靠近的人,图乙为行星围着太阳运行,图丙为我国的第一颗人造卫星“东方红一号”围绕地球运行。请思考下列问题:
(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗
提示:任意两个物体之间都存在万有引力。
(2)为什么通常两个人之间感受不到万有引力 而太阳对行星(地球对人造卫星)的引力可以使行星(人造卫星)围绕太阳(地球)运转
提示:由于人的质量很小,两个人之间的万有引力很小,一般感受不到;但天体质量很大,天体间的引力很大,对天体的运动起决定作用。
(3)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗
提示:相等。它们是一对相互作用力。
课堂精析重难
如图所示,太阳系内,八大行星围绕太阳沿着各自的轨道运动。
强化点(一) 对行星与太阳间引力的理解
任务驱动
(1)是什么原因使行星绕太阳运动
提示:太阳对行星的引力使行星绕太阳运动。
(2)在推导太阳与行星间的引力时,我们对行星的运动是怎么简化处理的 用了哪些知识
提示:将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。在推导过程中,用到了向心力公式、匀速圆周运动中线速度和周期的关系、开普勒第三定律及牛顿运动定律。
1.模型简化
(1)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动,太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
(2)将天体看成质点,且质量集中在球心上。
如图所示,设行星的质量为m,速度为v,行星运
行轨道半径为r,公转周期为T。
要点释解明
2.推导过程
1.下列关于行星对太阳的引力的说法正确的是 ( )
A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B.行星对太阳的引力与太阳的质量成正比,与行星的质量无关
C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D.行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比,与行星和太阳的距离成反比
题点全练清
√
解析:行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力和反作用力,是同一性质的力,遵循牛顿第三定律,大小相等,大小与太阳和行星质量的乘积成正比,与行星和太阳的距离的二次方成反比,故A正确,B、C、D错误。
2.对于太阳与行星间的引力表达式F=G,下列说法错误的是( )
A.太阳、行星彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
B.太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力,合力等于0,太阳和行星都处于平衡状态
C.太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
D.公式中的G为比例系数,与太阳、行星均无关
√
解析:太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力,不是平衡力,二者大小相等,故A、C正确,B错误;公式中的G为比例系数,与太阳、行星均无关,故D正确。
1.F=G的适用条件
(1)严格地说,万有引力定律只适用于真空中质点间的相互作用。
(2)两个质量分布均匀的球体或球壳间的相互作用,也可用万有引力定律计算,其中r是两个球体或球壳的球心间的距离。
(3)如果两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可看成质点,公式可近似适用,此时r为两物体质心间的距离。
要点释解明
强化点(二) 对万有引力定律的理解
2.万有引力的四个特性
特性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间,宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力,总是满足大小相等、方向相反,作用在两个物体上
宏观性 地面上的物体之间的万有引力一般比较小,与其他力比较可忽略不计,但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间,万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关,而与它们所在空间的性质无关,也与周围是否存在其他物体无关
续表
3.引力常量
(1)1798年,英国物理学家卡文迪什用“扭秤实验”(如图所示)比较准确地测出了G的数值。
(2)①通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
②测定G值的意义:
a.证明了万有引力的存在;
b.使万有引力定律有了真正的实用价值。
[典例] 如图所示,有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体,并在空腔中心放置一质量为m的质点。求:大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小。(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)
[答案] G
[解析] 若将挖去的部分补上,则可知剩余部分球体对质点的万有引力大小等于完整的球体对质点的万有引力大小与挖去部分的小球体对质点的万有引力大小之差,而挖去部分对质点的万有引力为零,则剩余部分球体对质点的万有引力大小等于完整的球体对质点的万有引力大小。
由题意知,质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,故整个球体对质点的万有引力等于中间部分半径为的球对质点的万有引力,设该部分球的质量为M',则M'=M=
根据万有引力定律可得F=G=G,
故大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为F=G,方向由挖去部分的球心指向大球球心。
[思维建模]
“割补法”在万有引力计算中的应用
一个质量均匀分布的球体与球外一个质点间的万有引力可以用公式F=G直接进行计算,但当球体被挖去一部分后,由于剩余部分形状不规则,公式F=G不再适用,此时可以用“割补法”求解万有引力。
(1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力、剩余部分所受的万有引力之间的关系。
(2)所割去的部分为规则球体,剩余部分不再为球体时适合应用“割补法”。若所割去部分不是规则球体,则不适合应用“割补法”。
1.(多选)对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F=G,下列说法正确的是( )
A.公式中G是引力常量,它是由实验测得的,而不是人为规定的
B.当两物体间的距离r趋于零时,万有引力表达式不再适用
C.当有第三个物体放在m1、m2之间时,m1和m2间的万有引力将增大
D.m1和m2所受的引力性质可能相同,也可能不同
题点全练清
√
√
解析:公式中G是引力常量,它是由实验测得的,而不是人为规定的,故A正确;当物体间距离趋于零时,物体就不能看成质点,因此万有引力表达式不再适用,故B正确;物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和两物体间的距离r有关,与是否存在其他物体无关,故C错误;物体间的万有引力是一对作用力与反作用力,是同种性质的力,且始终等大、反向、共线,故D错误。
2.2024年4月25日,“神舟十八号”载人飞船成功发射进入预定轨道,之后在地球引力作用下绕地球做匀速圆周运动,已知地球的质量为M,地球的半径为R,载人飞船的质量为m,离地面的高度为h,引力常量为G,则地球对载人飞船的万有引力大小为 ( )
A.G B.G
C.G D.G
√
解析:根据万有引力定律可知地球对载人飞船的万有引力大小为F=G,故选A。
1.万有引力和重力的关系
设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m,则物体受到地球的引力为F=G,方向指向地心O,如图所示。万有引力F可分解为两个分力:
要点释解明
强化点(三) 万有引力和重力的关系
(1)物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn:方向垂直于自转轴。
(2)物体的重力mg:方向竖直向下,但不一定指向地心。
①在赤道上、两极点的重力方向指向地心;
②在其他位置的重力方向均不指向地心。
2.重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大,故从赤道到两极重力加速度g逐渐增大。
赤道上
地球两极处
其他 位置
3.重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小,故地球自转带来的影响很小。
(1)在地面附近:mg=G。
(2)距离地面h高度处:mgh=G(R为地球半径,gh为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高,物体的重力加速度越小,则物体所受的重力也越小。
[典例] 假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g,地球的半径为R,则地球的自转周期为 ( )
A.2π B.2π
C.2π D.2π
√
[解析] 设地球的质量为M,质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力,有mg0=G,在赤道,物体所受地球的引力等于其所受重力和向心力的合力,有mg+mR=G,联立解得T=2π,故B正确。
1.假如地球的自转速度增大,下列说法正确的是 ( )
A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变
B.放在两极地面上的物体重力变小
C.放在赤道地面上的物体的重力不变
D.“一昼夜”的时间不变
题点全练清
√
解析:地球的质量和半径都没有变化,由F=可知,放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变,A正确;在两极地面上,物体转动所需的向心力为零,此时物体的重力与所受万有引力相等,故放在两极地面上的物体的重力不变,B错误;地球的自转速度增大,由Fn=mω2R可知,赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力增大,根据赤道上万有引力等于物体的重力和所需向心力的合力可知,万有引力不变时,放在赤道地面上的物体的重力将减小,C错误;根据自转周期T=可知,自转角速度增大,则周期变小,即一昼夜的时间变小,故D错误。
2.(2024·成都高一检测)设地球自转周期为T,质量为M,引力常量为G,假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:设物体质量为m,在赤道上有G-FN=mR,可得FN=G-mR,在南极有G=FN',联立可得=,故选项A正确。
课时跟踪检测
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(选择题1~8小题,每小题4分;10~11小题,每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程,下列说法正确的是( )
A.开普勒通过天文仪器观察到行星绕太阳运动的轨道是椭圆
B.卡文迪什通过对几个球体之间万有引力的测量,得出了引力常量的数值
C.第谷通过严密的数学运算,得出了行星的运动规律
D.牛顿通过比较月球和近地卫星的向心加速度,对万有引力定律进行了“月—地检验”
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解析:第谷经过多年的天文观测留下了大量的观测数据,开普勒通过分析这些数据,最终得出了行星的运动规律,故A、C错误;牛顿发现了万有引力定律之后,第一次通过实验比较准确地测出引力常量的科学家是卡文迪什,卡文迪什通过对几个球体之间万有引力的测量,得出了引力常量的数值,故B正确;牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球表面的重力加速度,对万有引力定律进行了“月—地检验”,故D错误。
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2.(2024·江苏南通高一检测)如图所示,两球间的距离为r0,两球的质量分布均匀,质量分别为m1、m2,半径分别为r1、r2,引力常量为G,则两球间的万有引力大小为 ( )
A.G B.
C. D.
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解析:质量分布均匀的两个球体间的万有引力F=G,r是两球心间的距离,即F=G,选项D正确。
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3.2024年4月25日,我国神舟十八号载人飞船成功发射,在飞船发射过程中,用h表示飞船与地球表面的距离,F表示它受到的地球引力,下图能够正确描述F随h变化关系的图像是 ( )
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解析:设地球半径为R,根据万有引力定律可得地球对飞船的引力为F=,可知F随h的增大而减小,但不是线性关系,故选D。
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4.火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大小的比值约为( )
A.0.4 B.0.8
C.2.0 D.2.5
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解析:设火星的质量为M、半径为R,根据万有引力定律,依题意同一物体放在火星表面与地球表面所受引力大小分别为F1=G,F2=G,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大小的比值约为F1∶F2=0.4,故B、C、D错误,A正确。
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5.(多选)对于万有引力的表达式F=G,下列说法正确的是( )
A.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反
B.当两物体间的距离r趋于零时,万有引力趋于无穷大
C.如果m1>m2,则物体1对物体2的引力大于物体2对物体1的引力
D.公式中的G是引力常量,其单位是N·m2/kg2,它的数值是卡文迪什用扭秤在实验室首先测得的
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解析:根据牛顿第三定律可知,两个物体之间的引力是一对作用力与反作用力,总是大小相等、方向相反,作用在两个不同的物体上,故A正确,C错误;万有引力公式只适用于两个质点间引力的计算,物体间距离趋于零时,物体不能再看成质点,此公式不再适用,所以得不到当两物体间的距离r趋于零时,万有引力趋于无穷大的结论,故B错误;万有引力公式F=G中的G为引力常量,其单位为N·m2/kg2,它的数值是卡文迪什用扭秤在实验室首先测得的,故D正确。
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6.(多选)在讨论地球潮汐成因时,地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍,地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力,以下说法正确的是 ( )
A.太阳引力远大于月球引力
B.太阳引力与月球引力相差不大
C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
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解析:根据F=G,可得=·,代入数据可知,太阳对相同质量海水的引力远大于月球对海水的引力,故A正确,B错误;由于月心到不同区域海水的距离不同,所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差异,故C错误,D正确。
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7.(2024·浙江杭州质检)地球上,在赤道上的一物体A和在杭州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动,如图,它们的线速度大小分别为vA、vB,角速度分别为ωA、ωB,重力加速度分别为gA、gB,则 ( )
A.vA=vB,ωA=ωB,gA>gB
B.vAC.vA>vB,ωA=ωB,gA>gB
D.vA>vB,ωA=ωB,gA2
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解析:地球上的点除两极外,相同时间内绕各自圆心转过角度相同,所以角速度相同,即ωA=ωB;根据v=ωr可知,角速度相同时,做圆周运动的半径越大,线速度越大,则vA>vB;地球上随纬度增加,重力加速度增大,赤道重力加速度最小,两极重力加速度最大,则gA2
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8.两大小相同的实心小铁球紧靠在一起,它们之间的万有引力为F,若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起,则它们之间的万有引力为 ( )
A.F B.4F
C.F D.16F
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解析:设实心小铁球的半径为r,实心小铁球之间的万有引力F=G=G,小铁球的质量m=ρV=ρ×πr3,实心大铁球的半径是小铁球的2倍,对大铁球,有M=ρV'=ρ×π(2r)3=8×ρ×πr3=8m,两个实心大铁球间的万有引力F'=G=G=4G=16F,故D正确。
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9.(12分)(选自教科版教材“自我评价”)地球质量约为月球质量的81倍,一飞行器位于地球与月球之间,当它受到地球和月球的引力的合力为零时,飞行器到地心的距离与到月心的距离之比为多少
答案:9∶1
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解析:当飞行器在地球和月球连线上所受万有引力的合力为零时,有地球对飞行器的引力与月球对飞行器的引力大小相等、方向相反,
即=
可得==。
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B级——选考进阶
10.(2024·浙江湖州调研)已知地球质量为月球质量的81倍,地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处,以相同的初速度水平抛出物体,抛出点与落地点间的水平距离分别为x月和x地,则x月∶x地约为( )
A.9∶4 B.6∶1
C.3∶2 D.1∶1
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解析:设月球的质量为M'、半径为R',地球的质量为M、半径为R。已知=,=,根据在星体表面万有引力等于重力得=mg,则有g=,因此地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比为=①,由题意知物体从月球和地球表面同样高度抛出,设抛出的高度为h,则有h=gt2=g't'2②,联立①②解得t'=t,在地球上的水平位移x地=v0t,在月球上的水平位移x月=v0t',因此得到x月∶x地=9∶4,故A正确,B、C、D错误。
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11.人类对自然的探索远至遥远的太空,深至地球内部。若地球半径为R,把地球看成质量分布均匀的球体。某地下探测器P的质量为m,深入地面以下h处,假设h以上的地球球壳物质对探测器P的引力为零;另一太空探测器Q质量也为m,围绕地球做圆周运动,轨道距离地面高度为d,则地球对太空探测器Q和地下探测器P的引力之比为 ( )
A. B.
C. D.
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解析:设地球的密度为ρ,则地球的质量为M=ρπR3,所以地球对太空探测器Q的引力F==,根据题意可得深入地下为h处的探测器P受到地球的万有引力即为半径等于(R-h)的球体在其表面产生的万有引力,此时M'=ρπ(R-h)3,故探测器P受到的引力F'=G=πρGm(R-h),所以有=,故B正确。
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12.(14分)有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m'的质点,现在从球体中挖去一半径为的小球体(如图所示),然后在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质,则填充后的实心球体对质点的万有引力是多少 (引力常量为G)
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答案:
解析:设原来球体的密度为ρ,则ρ=
在球体内部挖去半径为的小球体,挖去的小球体的质量为m小=ρ·π=,
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挖去小球体前,球与质点的万有引力
F1==
被挖部分对质点的万有引力为F2==
填充物的密度为原来物质的2倍,则填充物对质点的万有引力为挖去部分的2倍,填充后的实心球体对质点的万有引力为F1-F2+2F2=。
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4课时跟踪检测(十二) 万有引力定律
(选择题1～8小题，每小题4分；10～11小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1．关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是( )
A．开普勒通过天文仪器观察到行星绕太阳运动的轨道是椭圆
B．卡文迪什通过对几个球体之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值
C．第谷通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律
D．牛顿通过比较月球和近地卫星的向心加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”
2．(2024·江苏南通高一检测)如图所示，两球间的距离为r0，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，引力常量为G，则两球间的万有引力大小为( )
A．G B.
C. D.
3．2024年4月25日，我国神舟十八号载人飞船成功发射，在飞船发射过程中，用h表示飞船与地球表面的距离，F表示它受到的地球引力，下图能够正确描述F随h变化关系的图像是( )
4．火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大小的比值约为( )
A．0.4 B．0.8
C．2.0 D．2.5
5．(多选)对于万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．如果m1＞m2，则物体1对物体2的引力大于物体2对物体1的引力
D．公式中的G是引力常量，其单位是N·m2/kg2，它的数值是卡文迪什用扭秤在实验室首先测得的
6．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
7.(2024·浙江杭州质检)地球上，在赤道上的一物体A和在杭州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则( )
A．vA＝vB，ωA＝ωB，gA＞gB
B．vA＜vB，ωA＜ωB，gA＜gB
C．vA＞vB，ωA＝ωB，gA＞gB
D．vA＞vB，ωA＝ωB，gA＜gB
8．两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A.F B．4F
C.F D．16F
9．(12分)(选自教科版教材“自我评价”)地球质量约为月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当它受到地球和月球的引力的合力为零时，飞行器到地心的距离与到月心的距离之比为多少？
B级——选考进阶
10．(2024·浙江湖州调研)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为x月和x地，则x月∶x地约为( )
A．9∶4 B．6∶1
C．3∶2 D．1∶1
11．人类对自然的探索远至遥远的太空，深至地球内部。若地球半径为R，把地球看成质量分布均匀的球体。某地下探测器P的质量为m，深入地面以下h处，假设h以上的地球球壳物质对探测器P的引力为零；另一太空探测器Q质量也为m，围绕地球做圆周运动，轨道距离地面高度为d，则地球对太空探测器Q和地下探测器P的引力之比为( )
A. B.
C. D.
12.(14分)有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m′的质点，现在从球体中挖去一半径为的小球体(如图所示)，然后在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，则填充后的实心球体对质点的万有引力是多少？(引力常量为G)
课时跟踪检测(十二)
1．选B 第谷经过多年的天文观测留下了大量的观测数据，开普勒通过分析这些数据，最终得出了行星的运动规律，故A、C错误；牛顿发现了万有引力定律之后，第一次通过实验比较准确地测出引力常量的科学家是卡文迪什，卡文迪什通过对几个球体之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值，故B正确；牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球表面的重力加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”，故D错误。
2．选D 质量分布均匀的两个球体间的万有引力F＝G，r是两球心间的距离，即F＝G，选项D正确。
3．选D 设地球半径为R，根据万有引力定律可得地球对飞船的引力为F＝，可知F随h的增大而减小，但不是线性关系，故选D。
4．选A 设火星的质量为M、半径为R，根据万有引力定律，依题意同一物体放在火星表面与地球表面所受引力大小分别为F1＝G，F2＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大小的比值约为F1∶F2＝0.4，故B、C、D错误，A正确。
5．选AD 根据牛顿第三定律可知，两个物体之间的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，作用在两个不同的物体上，故A正确，C错误；万有引力公式只适用于两个质点间引力的计算，物体间距离趋于零时，物体不能再看成质点，此公式不再适用，所以得不到当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大的结论，故B错误；万有引力公式F＝G中的G为引力常量，其单位为N·m2/kg2，它的数值是卡文迪什用扭秤在实验室首先测得的，故D正确。
6．选AD 根据F＝G，可得＝·，代入数据可知，太阳对相同质量海水的引力远大于月球对海水的引力，故A正确，B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差异，故C错误，D正确。
7．选D 地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同，即ωA＝ωB；根据v＝ωr可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，则vA＞vB；地球上随纬度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，两极重力加速度最大，则gA＜gB，故A、B、C错误，D正确。
8．选D 设实心小铁球的半径为r，实心小铁球之间的万有引力F＝G＝G，小铁球的质量m＝ρV＝ρ×πr3，实心大铁球的半径是小铁球的2倍，对大铁球，有M＝ρV′＝ρ×π(2r)3＝8×ρ×πr3＝8m，两个实心大铁球间的万有引力F′＝G＝G＝4G＝16F，故D正确。
9．解析：当飞行器在地球和月球连线上所受万有引力的合力为零时，有地球对飞行器的引力与月球对飞行器的引力大小相等、方向相反，即＝
可得＝＝。
答案：9∶1
10．选A 设月球的质量为M′、半径为R′，地球的质量为M、半径为R。已知＝，＝，根据在星体表面万有引力等于重力得＝mg，则有g＝，因此地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比为＝①，由题意知物体从月球和地球表面同样高度抛出，设抛出的高度为h，则有h＝gt2＝g′t′2②，联立①②解得t′＝t，在地球上的水平位移x地＝v0t，在月球上的水平位移x月＝v0t′，因此得到x月∶x地＝9∶4，故A正确，B、C、D错误。
11．选B 设地球的密度为ρ，则地球的质量为M＝ρπR3，所以地球对太空探测器Q的引力F＝＝，根据题意可得深入地下为h处的探测器P受到地球的万有引力即为半径等于(R－h)的球体在其表面产生的万有引力，此时M′＝ρπ(R－h)3，故探测器P受到的引力F′＝G＝πρGm(R－h)，所以有＝，故B正确。
12．解析：设原来球体的密度为ρ，则ρ＝
在球体内部挖去半径为的小球体，挖去的小球体的质量为m小＝ρ·π3＝，
挖去小球体前，球与质点的万有引力F1＝＝
被挖部分对质点的万有引力为F2＝＝
填充物的密度为原来物质的2倍，则填充物对质点的万有引力为挖去部分的2倍，填充后的实心球体对质点的万有引力为F1－F2＋2F2＝。
答案：
4 / 4
