课时跟踪检测(二十三) 机械能守恒定律的综合应用
(选择题1～10小题，每小题5分。本检测卷满分80分)
1.如图所示，物体A、B通过不可伸长的细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为m。开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．弹簧的劲度系数为
B．此时弹簧的弹性势能等于mgh＋mv2
C．此时物体B的速度大小也为v
D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
2．(多选)如图所示，固定在地面上的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨着放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图所示。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )
A．球1的机械能守恒
B．球6在OA段机械能增大
C．球6的水平射程最大
D．有三个球落地点相同
3.(多选)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB＞mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O在竖直面内无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕轴沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中( )
A．B球的动能增大，机械能增大
B．A球的重力势能和动能都增大
C．A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D．A球和B球的总机械能守恒
4．(2024·湖南岳阳高一期末)质量分别为2 kg、3 kg的物体A和B，系在一根不可伸长的轻绳两端，轻绳跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的轻质定滑轮上，此时物体A离地面的高度为0.8 m，如图所示，斜面光滑且足够长，始终保持静止，g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．物体A落地时的速度大小为4 m/s
B．物体A落地时的速度大小为 m/s
C．物体B沿斜面上滑的最大高度为0.68 m
D．物体B沿斜面上滑的最大高度为0.96 m
5.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，细线跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是( )
A. B.
C. D．2R
6.(多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球；B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB竖直向下，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是( )
A．A球到达最低点时速度为零
B．A球机械能减小量等于B球机械能增加量
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
7．一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条左端和右端，如图b、图c所示。约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断中正确的是( )
A．va＝vb＝vc B．va＜vb＜vc
C．vc＞va＞vb D．vb＞vc＞va
8.如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
9.(2024·青海西宁高一期末)如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看作质点)，且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为g)，下列说法正确的是( )
A．B球减少的机械能大于A球增加的机械能
B．B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能
C．B球的最大速度为
D．B球克服细杆所做的功为mgR
10．(2024·云南保山高一阶段练习)(多选)如图所示，质量为m的小球套在光滑的轻杆上，弹簧一端与小球连接，另一端系于水平面上的B点，开始时小球从轻杆上的A点由静止下滑，此时弹簧长度恰好等于原长，且弹簧处于竖直方向，小球滑到轻杆底端O点速度为零，已知小球在A点时距离地面高度为h，轻杆与地面间的倾角为θ＝30°，不计空气阻力，则关于小球运动，下列说法正确的是( )
A．弹簧弹性势能与小球的动能之和一直增大
B．小球的机械能先减小后增大
C．小球运动到OA中点时的速度大小为
D．弹簧在O点时的弹性势能为mgh
11.(12分)如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度各是多少？
12．(18分)(2024·云南保山高一期末)如图所示，轻质动滑轮下方用轻质细线悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线均竖直。开始时，重物A、B处于静止状态且距地面高度均为h，释放后A、B开始运动。已知A、B质量相等，假设摩擦力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g。求：
(1)重物B刚要落地时的速度大小；
(2)若重物A上升过程中不会碰到动滑轮，求A离地面的最大高度。
课时跟踪检测(二十三)
1．选A 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝，故A正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－mv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误；对物体A，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，又F＝mg，得a＝0，故D错误。
2．选BD 6个小球都在斜面上运动时，只有重力做功，整个系统的机械能守恒，当有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，球2对球1的作用力做负功，球1的机械能不守恒，故A错误；球6在OA段运动时，斜面上的小球在加速，球5对球6的作用力做正功，球6的动能增加，机械能增大，故B正确；由于有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，所以可知离开A点时球6的速度最小，水平射程最小，故C错误；由于OA长度为6r，最后三个小球在水平面上运动时不再加速，小球3、2、1的速度相等，水平射程相同，落地点位置相同，故D正确。
3．选BD A球运动的速度增大，高度增大，所以A球的动能和重力势能都增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，选项A、C错误，B、D正确。
4．选B 根据题意可知，物体A下降过程中，物体A、B组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律有mAgh－mBghsin 30°＝(mA＋mB)v2，解得物体A落地时的速度大小为v＝ m/s，故A错误，B正确；根据题意可知，物体A落地时物体B沿斜面上滑的距离为x1＝h＝0.8 m，设物体A落地之后物体B沿斜面上滑的距离为x2，由机械能守恒定律有mBgx2sin 30°＝mBv2，解得x2＝0.16 m，则物体B沿斜面上滑的最大距离为x＝x1＋x2＝0.96 m，物体B沿斜面上滑的最大高度为h＝xsin 30°＝0.48 m，故C、D错误。
5．选B 设B的质量为m，则A的质量为3m，A落地瞬间，A、B组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律有3mgR－mgR＝(3m＋m)v2，解得A落地瞬间B的速度大小为v＝，烧断细线后，对B，根据动能定理有－mgh＝0－mv2，解得A落地后B上升的高度为h＝，则B上升的最大高度为H＝h＋R＝。
6．选BCD 在整个过程中，A、B组成的系统机械能守恒，若当A球到达最低点时速度为0，A球减少的重力势能大于B球增加的重力势能，根据系统机械能守恒知，此时系统仍有动能，A球到达最低点时速度不为零，故A错误；因为系统机械能守恒，即A、B两球的机械能总量保持不变，A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量，故B正确；因为B球质量小于A球，当A球到达最低点时，A球重力势能的减少量大于B球的重力势能增加量，说明此时系统仍有速度，故B球要继续上升，则B球向左摆动所能达到的最高位置高于A球开始运动的高度，故C正确；因为系统机械能守恒，故当支架从左到右摆动时，A球一定能回到起始高度，故D正确。
7．选C 题图a中所示情境，根据机械能守恒定律有mg＝mv，解得va＝；题图b中所示情境，根据机械能守恒定律有mg＝×2mv，解得vb＝；题图c中所示情境，根据机械能守恒定律有mg＋mg·＝×2mv，解得vc＝，则有vc＞va＞vb，故选C。
8．选A 设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－mg·sin θ－mg·＋0＝－mgL，链条全部下滑出斜面后，动能为Ek′＝×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·，由机械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝ ＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
9．选C 小球A、B组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，B球减少的机械能等于A球增加的机械能，故A错误；小球A、B组成的系统机械能守恒，可知B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能与两小球增加的动能之和，故B错误；小球A、B组成的系统机械能守恒，有2mg·2R－mg·2R＝(m＋2m)v2，解得B球的最大速度为v＝，故C正确；根据动能定理得2mg·2R－W＝×2mv2，解得B球克服细杆所做的功为W＝mgR，故D错误。
10．选AD 根据机械能守恒可知，小球重力势能减小，所以弹簧弹性势能与小球的动能之和一直增大，故A正确；根据题意可知，弹簧弹力与小球位移方向夹角先大于90°后小于90°再大于90°，弹力先做负功后做正功再做负功，小球机械能先减小后增大再减小，故B错误；小球从A到O过程，根据机械能守恒定律有mgh＝Ep，即弹簧在O点时的弹性势能为mgh，由题意知弹簧原长x0＝h，小球运动到OA中点时，弹簧长度x′＝x0＝h，此时弹簧弹性势能为0，所以小球从A到OA中点根据机械能守恒定律有mgh＝mv2，解得小球运动到OA中点时的速度大小为v＝，故C错误，D正确。
11．解析：把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球到达的最低点的位置所在的水平面为零势能参考平面，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL；末状态(即杆转到竖直位置)：系统的动能为Ek2＝mv＋mv，重力势能为Ep2＝mg
由机械能守恒定律得
2mgL＝mgL＋mv＋mv
又因为在转动过程中A、B两球的角速度相同，故vA＝2vB，联立解得vA＝，vB＝。
答案：
12．解析：(1)重物B刚要落地时，重物B下落的高度为h，重物A上升的高度为0.5h。因不计滑轮质量和阻力，A、B组成系统机械能守恒，取地面为参考平面，根据机械能守恒定律得
mgh＝mg·h＋mv＋mv
由滑轮组关系可知vB＝2vA
联立解得vA＝，vB＝2。
(2)重物B刚要落地时，重物A距地面的高度为H1＝1.5h
重物B落地后，设重物A再上升的高度为H2，由动能定理得
－mgH2＝0－mv
解得H2＝0.1h
则重物A离地面的最大高度为H＝H1＋H2＝1.6h。
答案：(1)2 (2)1.6h
5 / 5综合·融通(三) 机械能守恒定律的综合应用
(融会课主题串知综合应用)
机械能守恒定律是力学中的重要定律,也是多种力学知识的交汇点,高考中常与其他力学知识综合进行考查。通过本节课的学习能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式,会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题,并且掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法。
主题(一) 多物体组成的系统机械能守恒问题
类型(一) 轻绳模型
1.常见情境
2.三点提醒
(1)分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(3)对于单个物体,一般绳上的力要做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。
[例1] 如图所示,质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B,用轻绳连接跨在一个轻质定滑轮两侧,轻绳正好拉直,且A物体底面与地面接触,B物体距地面高度为0.8 m。求:(g取10 m/s2,不计任何阻力)
(1)放开B物体,当B物体着地时A物体的速度大小;
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度(不会与滑轮相碰)。
尝试解答:
类型(二) 轻杆模型
1.常见情境
2.三大特点
(1)平动时两物体线速度大小相等,转动时两物体角速度大小相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和物体组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒。
[例2] (2024·安徽安庆高一期末)如图甲所示,长度为l的轻质杆可以绕位于杆的中点的固定光滑转轴O转动,可视为质点的A、B两球固定在轻质杆的两端,两球质量分别为m、3m,初始用外力控制杆处于水平状态,撤去外力后杆将会在竖直平面内转动起来。已知重力加速度为g,以下说法正确的是 ( )
A.从初始状态到B球到达最低点过程中,杆上弹力对A球不做功
B.从初始状态到B球到达最低点过程中,杆上弹力对B球做正功
C.B球到达最低点时,OA杆对A球弹力为零
D.若转轴O位于杆的三等分处且靠近B球(如图乙所示),A球将无法到达转轴O的正上方
听课记录:
类型(三) 轻弹簧模型
1.题型特点
由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功,又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒。
2.两点提醒
(1)对同一弹簧,弹性势能的大小由弹簧的形变量决定,无论弹簧伸长还是压缩。
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
[例3]
(多选)如图所示,质量为m的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上,质量为4m的物体乙用轻绳跨过光滑的定滑轮与小球甲连接,开始用手托住物体乙,轻绳刚好伸直,滑轮左侧绳竖直,右侧绳与水平方向夹角为α,某时刻由静止释放物体乙(物体乙距离地面足够高),经过一段时间小球甲运动到Q点,O、Q两点的连线水平,OQ=d,且小球甲在P、Q两点处时弹簧弹力的大小相等。已知重力加速度为g,sin α=0.8,cos α=0.6。则 ( )
A.弹簧的劲度系数为
B.小球甲位于Q点时的速度大小为
C.物体乙重力的瞬时功率一直增大
D.小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小
听课记录:
主题(二) 非质点类物体的机械能守恒问题
[知能融会通]
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,其重心位置相对物体也发生变化,因此不能再把这类物体看成质点来处理。
2.解决非质点类物体机械能守恒问题的关键在于正确确定重心的位置。
3.先分段考虑各部分的重力势能,再取各部分重力势能的代数和作为整体的重力势能。
4.利用Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp列式求解。
[典例] 长为L、质量为m的均匀链
条,放在光滑的水平桌面上,且使其长度的垂在桌边,如图所示,松手后链条从静止开始沿桌边下滑,取桌面为零势能参考平面,重力加速度为g。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少
(2)链条滑至刚离开桌边时的重力势能为多少
(3)链条滑至刚离开桌边时的速度大小为多大
尝试解答:
[题点全练清]
1.如图所示,粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体,开始时两边液面高度差为h,管中液柱总长度为4h,后来让液体自由流动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g) ( )
A. B.
C. D.
2.如图所示,粗细均匀、全长为h的铁链,对称地挂在转轴光滑的轻质定滑轮上,滑轮的大小与铁链长度相比可忽略不计,受到微小扰动后,铁链从静止开始运动,当铁链脱离滑轮的瞬间,其速度大小为 ( )
A. B.
C. D.
综合·融通(三) 机械能守恒定律的综合应用
主题(一)
[例1] 解析：(1)法一：由E1＝E2
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则
mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2，
解得v＝ ＝ m/s＝2 m/s。
法二：由ΔEk增＝ΔEp减，得
(mA＋mB)v2＝mBgh－mAgh
解得v＝2 m/s。
法三：由ΔEA增＝ΔEB减，得
mAgh＋mAv2＝mBgh－mBv2
解得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，由机械能守恒定律可得mAgh′＝mAv2，
则A还能上升的高度为h′＝＝ m＝0.2 m。
答案：(1)2 m/s (2)0.2 m
[例2] 选C 从初始状态到B球到达最低点过程中，A球的动能、重力势能均增大，故A球机械能增大，可知杆上弹力对A球做正功，故A错误；A、B球组成的系统只有动能和重力势能间的相互转化，机械能守恒，A球机械能增大，故B球机械能减小，故杆上弹力对B球做负功，故B错误； B球到达最低点时，由题意可知，A、B两球速度v大小相等，根据机械能守恒定律有3mg·＝mg·＋mv2＋·v2，解得v＝，对A球根据牛顿第二定律得mg＋FN＝，解得FN＝0，故B球到达最低点时OA杆对A球弹力为零，故C正确；若转轴O位于杆的三等分处且靠近B球，假设A球能到达转轴O正上方，此时速度为2v′，由于同根杆上各点角速度相同，故B球此时到达转轴O的正下方，速度为v′，根据机械能守恒定律得3mg·＝mg·＋m(2v′)2＋·v′2，解得v′＝，故A球可以到达转轴O的正上方，故D错误。
[例3] 选ABD 在P、Q两点处弹簧弹力的大小相等，由胡克定律可知，弹簧在P点的压缩量等于在Q点的伸长量，由几何关系知PQ＝dtan α＝d，则小球甲位于P点时弹簧的压缩量为x＝PQ＝d，对P点的小球由力的平衡条件可知mg＝kx，解得k＝，A正确；当小球甲运动到Q点时，设小球甲的速度为v，此时小球甲的速度与绳子垂直，所以物体乙的速度为零，又小球甲、物体乙和弹簧组成的系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得4mg－mgdtan α＝mv2，解得v＝，B正确；由于小球甲在P、Q两点处时弹簧弹力的大小相等，即小球甲在P、Q两点处时弹簧的弹性势能相等，则小球甲由P到Q的过程，弹簧的弹性势能先减小后增大，由机械能守恒定律可知，小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小，D正确；由于小球甲在P和Q点处，物体乙的速度都为零，在其他过程中，物体乙的速度不是零，则可知物体乙重力的瞬时功率先增大后减小，C错误。
主题(二)
[典例] 解析：(1)开始时链条的重力势能
Ep1＝－×＝－。
(2)链条滑至刚离开桌边时的重力势能
Ep2＝mg×＝－。
(3)设链条滑至刚离开桌边时的速度大小为v，根据机械能守恒定律得Ep1＝Ep2＋mv2
联立解得v＝ 。
答案：(1)－ (2)－ (3)
[题点全练清]
1．选A 当两液面高度相等时，液体减少的重力势能转化为全部液体的动能，且各部分液体的速度大小相同，设管内液体总质量为m，速度大小为v，根据机械能守恒定律得×mg·h＝mv2，解得v＝，A正确。
2．选A 铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，铁链重心下降的高度为h，在铁链下落过程，由机械能守恒定律得mg·h＝mv2，解得铁链脱离滑轮瞬间的速度大小为v＝，A正确。
4 / 4(共63张PPT)
机械能守恒定律的综合应用
(融会课——主题串知综合应用)
综合 融通(三)
机械能守恒定律是力学中的重要定律,也是多种力学知识的交汇点,高考中常与其他力学知识综合进行考查。通过本节课的学习能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式,会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题,并且掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法。
1
主题(一) 多物体组成的系统
机械能守恒问题
2
主题(二) 非质点类物体的机械能
守恒问题
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一) 多物体组成的
系统机械能守恒问题
类型(一) 轻绳模型
1.常见情境
2.三点提醒
(1)分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(3)对于单个物体,一般绳上的力要做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。
[例1] 如图所示,质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B,用轻绳连接跨在一个轻质定滑轮两侧,轻绳正好拉直,且A物体底面与地面接触,B物体距地面高度为0.8 m。求:(g取10 m/s2,不计任何阻力)
(1)放开B物体,当B物体着地时A物体的速度大小;
[答案] 2 m/s
[解析] 法一:由E1=E2
对A、B组成的系统,当B下落时系统机械能守恒,以地面为零势能参考平面,则
mBgh=mAgh+(mA+mB)v2,
解得v== m/s=2 m/s。
法二:由ΔEk增=ΔEp减,得
(mA+mB)v2=mBgh-mAgh
解得v=2 m/s。
法三:由ΔEA增=ΔEB减,得
mAgh+mAv2=mBgh-mBv2
解得v=2 m/s。
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度(不会与滑轮相碰)。
[答案] 0.2 m
[解析] 当B落地后,A以2 m/s的速度竖直上抛,由机械能守恒定律可得mAgh'=mAv2,
则A还能上升的高度为h'== m=0.2 m。
类型(二) 轻杆模型
1.常见情境
2.三大特点
(1)平动时两物体线速度大小相等,转动时两物体角速度大小相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和物体组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒。
[例2] (2024·安徽安庆高一期末)如图甲所示,长度为l的轻质杆可以绕位于杆的中点的固定光滑转轴O转动,可视为质点的A、B两球固定在轻质杆的两端,两球质量分别为m、3m,初始用外力控制杆处于水平状态,撤去外力后杆将会在竖直平面内转动起来。已知重力加速度为g,以下说法正确的是 ( )
A.从初始状态到B球到达最低点过程中,杆上弹力对A球不做功
B.从初始状态到B球到达最低点过程中,杆上弹力对B球做正功
C.B球到达最低点时,OA杆对A球弹力为零
D.若转轴O位于杆的三等分处且靠近B球(如图乙所示),A球将无法到达转轴O的正上方
√
[解析] 从初始状态到B球到达最低点过程中,A球的动能、重力势能均增大,故A球机械能增大,可知杆上弹力对A球做正功,故A错误;A、B球组成的系统只有动能和重力势能间的相互转化,机械能守恒,A球机械能增大,故B球机械能减小,故杆上弹力对B球做负功,故B错误; B球到达最低点时,由题意可知,A、B两球速度v大小相等,根据机械能守恒定律有3mg·=mg·+mv2+·v2,解得v=,对A球根据牛顿第二定律得mg+FN=,解得FN=0,故B球到达最低点时OA杆对A球弹力为零,
故C正确;若转轴O位于杆的三等分处且靠近B球,假设A球能到达转轴O正上方,此时速度为2v',由于同根杆上各点角速度相同,故B球此时到达转轴O的正下方,速度为v',根据机械能守恒定律得3mg·=mg·+
m(2v')2+·v'2,解得v'=,故A球可以到达转轴O的正上方,故D错误。
类型(三) 轻弹簧模型
1.题型特点
由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功,又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒。
2.两点提醒
(1)对同一弹簧,弹性势能的大小由弹簧的形变量决定,无论弹簧伸长还是压缩。
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
[例3] (多选)如图所示,质量为m的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上,质量为4m的物体乙用轻绳跨过光滑的定滑轮与小球甲连接,开始用手托住物体乙,轻绳刚好伸直,滑轮左侧绳竖直,右侧绳与水平方向夹角为α,某时刻由静止释放物体乙(物体乙距离地面足够高),经过一段时间小球甲运动到Q点,O、Q两点的连线水平,OQ=d,且小球甲在P、Q两点处时弹簧弹力的大小相等。已知重力加速度为g,sin α=0.8,cos α=0.6。则 ( )
A.弹簧的劲度系数为
B.小球甲位于Q点时的速度大小为
C.物体乙重力的瞬时功率一直增大
D.小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小
√
√
√
[解析] 在P、Q两点处弹簧弹力的大小相等,由胡克定律可知,弹簧在P点的压缩量等于在Q点的伸长量,由几何关系知PQ=dtan α=d,则小球甲位于P点时弹簧的压缩量为x=PQ=d,对P点的小球由力的平衡条件可知mg=kx,解得k=,A正确;当小球甲运动到Q点时,设小球甲的速度为v,此时小球甲的速度与绳子垂直,所以物体乙的速度为零,又小球甲、物体乙和弹簧组成的系统机械能守恒,则由机械能守恒定律得4mg-mgdtan α=mv2,解得v=,B正确;
由于小球甲在P、Q两点处时弹簧弹力的大小相等,即小球甲在P、Q两点处时弹簧的弹性势能相等,则小球甲由P到Q的过程,弹簧的弹性势能先减小后增大,由机械能守恒定律可知,小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小,D正确;由于小球甲在P和Q点处,物体乙的速度都为零,在其他过程中,物体乙的速度不是零,则可知物体乙重力的瞬时功率先增大后减小,C错误。
主题(二) 非质点类物体的机械能守恒问题
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,其重心位置相对物体也发生变化,因此不能再把这类物体看成质点来处理。
2.解决非质点类物体机械能守恒问题的关键在于正确确定重心的位置。
3.先分段考虑各部分的重力势能,再取各部分重力势能的代数和作为整体的重力势能。
4.利用Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp列式求解。
知能融会通
[典例] 长为L、质量为m的均匀链条,放在光滑的水平桌面上,且使其长度的垂在桌边,如图所示,松手后链条从静止开始沿桌边下滑,取桌面为零势能参考平面,重力加速度为g。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少
[答案] -
[解析] 开始时链条的重力势能
Ep1=-×=-。
(2)链条滑至刚离开桌边时的重力势能为多少
[答案] -
[解析] 链条滑至刚离开桌边时的重力势能
Ep2=mg×=-。
(3)链条滑至刚离开桌边时的速度大小为多大
[答案]
[解析] 设链条滑至刚离开桌边时的速度大小为v,根据机械能守恒定律得Ep1=Ep2+mv2
联立解得v=。
1.如图所示,粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体,开始时两边液面高度差为h,管中液柱总长度为4h,后来让液体自由流动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g) ( )
A. B.
C. D.
题点全练清
√
解析:当两液面高度相等时,液体减少的重力势能转化为全部液体的动能,且各部分液体的速度大小相同,设管内液体总质量为m,速度大小为v,根据机械能守恒定律得×mg·h=mv2,解得v=,A正确。
2.如图所示,粗细均匀、全长为h的铁链,对称地挂在转轴光滑的轻质定滑轮上,滑轮的大小与铁链长度相比可忽略不计,受到微小扰动后,铁链从静止开始运动,当铁链脱离滑轮的瞬间,其速度大小为 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中,铁链重心下降的高度为h,在铁链下落过程,由机械能守恒定律得mg·h=mv2,解得铁链脱离滑轮瞬间的速度大小为v=,A正确。
课时跟踪检测
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(选择题1~10小题,每小题5分。本检测卷满分80分)
1.如图所示,物体A、B通过不可伸长的细绳及轻质弹簧
连接在光滑轻质定滑轮两侧,物体A、B的质量都为m。开始
时细绳伸直,用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距
离为h,物体B静止在地面上。放手后物体A下落,与地面即将
接触时速度大小为v,此时物体B对地面恰好无压力,不计空气
阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是( )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A.弹簧的劲度系数为
B.此时弹簧的弹性势能等于mgh+mv2
C.此时物体B的速度大小也为v
D.此时物体A的加速度大小为g,方向竖直向上
√
6
7
8
9
10
11
12
解析:由题意可知,此时弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力,即F=mg,弹簧伸长的长度为x=h,由F=kx得k=,故A正确;物体A与弹簧组成的系统机械能守恒,则有mgh=mv2+Ep,则弹簧的弹性势能Ep=mgh-mv2,故B错误;物体B对地面恰好无压力时,B的速度为零,故C错误;对物体A,根据牛顿第二定律有F-mg=ma,又F=mg,得a=0,故D错误。
1
2
3
4
5
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2.(多选)如图所示,固定在地面上的斜面体上开有凹槽,槽内紧挨着放置六个半径均为r的相同小球,各球编号如图所示。斜面与水平轨道OA平滑连接,OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放,小球离开A点后均做平抛运动,不计一切摩擦。则在各小球运动过程中,下列说法正确的是 ( )
A.球1的机械能守恒
B.球6在OA段机械能增大
C.球6的水平射程最大
D.有三个球落地点相同
2
3
4
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:6个小球都在斜面上运动时,只有重力做功,整个系统的机械能守恒,当有部分小球在水平轨道上运动时,斜面上的小球仍在加速,球2对球1的作用力做负功,球1的机械能不守恒,故A错误;球6在OA段运动时,斜面上的小球在加速,球5对球6的作用力做正功,球6的动能增加,机械能增大,故B正确;由于有部分小球在水平轨道上运动时,斜面上的小球仍在加速,所以可知离开A点时球6的速度最小,水平射程最小,故C错误;由于OA长度为6r,最后三个小球在水平面上运动时不再加速,小球3、2、1的速度相等,水平射程相同,落地点位置相同,故D正确。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
3.(多选)如图所示,A和B两个小球固定在一根轻杆的两端,mB>mA,此杆可绕穿过其中心的水平轴O在竖直面内无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放,发现杆绕轴沿顺时针方向转动,则杆从释放至转动90°的过程中 ( )
A.B球的动能增大,机械能增大
B.A球的重力势能和动能都增大
C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D.A球和B球的总机械能守恒
2
3
4
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:A球运动的速度增大,高度增大,所以A球的动能和重力势能都增大,故A球的机械能增大;B球运动的速度增大,所以动能增大,高度减小,所以重力势能减小;对于两球组成的系统,只有重力做功,系统的机械能守恒,因为A球的机械能增大,故B球的机械能减小,故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量,选项A、C错误,B、D正确。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
4.(2024·湖南岳阳高一期末)质量分别为2 kg、3 kg的物体A和B,系在一根不可伸长的轻绳两端,轻绳跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的轻质定滑轮上,此时物体A离地面的高度为0.8 m,如图所示,斜面光滑且足够长,始终保持静止,g取10 m/s2。下列说法正确的是 ( )
A.物体A落地时的速度大小为4 m/s
B.物体A落地时的速度大小为 m/s
C.物体B沿斜面上滑的最大高度为0.68 m
D.物体B沿斜面上滑的最大高度为0.96 m
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:根据题意可知,物体A下降过程中,物体A、B组成的系统机械能守恒,由机械能守恒定律有mAgh-mBghsin 30°=(mA+mB)v2,解得物体A落地时的速度大小为v= m/s,故A错误,B正确;根据题意可知,物体A落地时物体B沿斜面上滑的距离为x1=h=0.8 m,设物体A落地之后物体B沿斜面上滑的距离为x2,由机械能守恒定律有mBgx2sin 30°=mBv2,解得x2=0.16 m,则物体B沿斜面上滑的最大距离为x=x1+x2=0.96 m,物体B沿斜面上滑的最大高度为h=xsin 30°=0.48 m,故C、D错误。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
5.如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接,细线跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的3倍。当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放(A落地时,立即烧断细线),B上升的最大高度是 ( )
A. B.
C. D.2R
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:设B的质量为m,则A的质量为3m,A落地瞬间,A、B组成的系统机械能守恒,根据机械能守恒定律有3mgR-mgR=(3m+m)v2,解得A落地瞬间B的速度大小为v=,烧断细线后,对B,根据动能定理有-mgh=0-mv2,解得A落地后B上升的高度为h=,则B上升的最大高度为H=h+R=。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
6.(多选)如图所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架,在A处固定质量为2m的小球;B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB竖直向下,放手后开始运动。在无任何阻力的情况下,下列说法中正确的是 ( )
A.A球到达最低点时速度为零
B.A球机械能减小量等于B球机械能增加量
C.B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度
D.当支架从左向右回摆时,A球一定能回到起始高度
2
3
4
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:在整个过程中,A、B组成的系统机械能守恒,若当A球到达最低点时速度为0,A球减少的重力势能大于B球增加的重力势能,根据系统机械能守恒知,此时系统仍有动能,A球到达最低点时速度不为零,故A错误;因为系统机械能守恒,即A、B两球的机械能总量保持不变,A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量,故B正确;因为B球质量小于A球,当A球到达最低点时,A球重力势能的减少量大于B球的重力势能增加量,说明此时系统仍有速度,故B球要继续上升,则B球向左摆动所能达到的最高位置高于A球开始运动的高度,故C正确;因为系统机械能守恒,故当支架从左到右摆动时,A球一定能回到起始高度,故D正确。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
7.一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上,另一半悬在桌边,桌面足够高,如图a所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条左端和右端,如图b、图c所示。约束链条的挡板光滑,三种情况下链条均由静止释放,当整根链条刚离开桌面时,关于它们的速度关系,下列判断中正确的是 ( )
A.va=vb=vc B.vaC.vc>va>vb D.vb>vc>va
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:题图a中所示情境,根据机械能守恒定律有mg=m,解得va=;题图b中所示情境,根据机械能守恒定律有mg=
×2m,解得vb=;题图c中所示情境,根据机械能守恒定律有mg+mg·=×2m,解得vc=,则有vc>va>vb,故选C。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
8.如图所示,有一条长为1 m的均匀金属链条,有一半长度在光滑的足够高的斜面上,斜面顶端是一个很小的圆弧,斜面倾角为30°,另一半长度竖直下垂在空中,当链条从静止开始释放后链条滑动,则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2) ( )
A.2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:设链条的质量为2m,以开始时链条的最高点为零势能面,链条的机械能为E=Ep+Ek=-mg·sin θ-mg·+0=-mgL,链条全部下滑出斜面后,动能为Ek'=×2mv2,重力势能为Ep'=-2mg·,由机械能守恒定律可得E=Ek'+Ep',即-mgL=mv2-mgL,解得v==2.5 m/s,故A正确,B、C、D错误。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
9. (2024·青海西宁高一期末)如图所示,固定在竖直面内的光滑圆环半径为R,圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看作质点),且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连,在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为g),下列说法正确的是 ( )
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
A.B球减少的机械能大于A球增加的机械能
B.B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能
C.B球的最大速度为
D.B球克服细杆所做的功为mgR
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:小球A、B组成的系统只有重力做功,系统机械能守恒,B球减少的机械能等于A球增加的机械能,故A错误;小球A、B组成的系统机械能守恒,可知B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能与两小球增加的动能之和,故B错误;小球A、B组成的系统机械能守恒,有2mg·2R-mg·2R=(m+2m)v2,解得B球的最大速度为v=,故C正确;根据动能定理得2mg·2R-W=×2mv2,解得B球克服细杆所做的功为W=mgR,故D错误。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
10.(2024·云南保山高一阶段练习)(多选)如图所示,质量为m的小球套在光滑的轻杆上,弹簧一端与小球连接,另一端系于水平面上的B点,开始时小球从轻杆上的A点由静止下滑,此时弹簧长度恰好等于原长,且弹簧处于竖直方向,小球滑到轻杆底端O点速度为零,已知小球在A点时距离地面高度为h,轻杆与地面间的倾角为θ=30°,不计空气阻力,则关于小球运动,下列说法正确的是 ( )
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
A.弹簧弹性势能与小球的动能之和一直增大
B.小球的机械能先减小后增大
C.小球运动到OA中点时的速度大小为
D.弹簧在O点时的弹性势能为mgh
2
3
4
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:根据机械能守恒可知,小球重力势能减小,所以弹簧弹性势能与小球的动能之和一直增大,故A正确;根据题意可知,弹簧弹力与小球位移方向夹角先大于90°后小于90°再大于90°,弹力先做负功后做正功再做负功,小球机械能先减小后增大再减小,故B错误;小球从A到O过程,根据机械能守恒定律有mgh=Ep,即弹簧在O点时的弹性势能为mgh,由题意知弹簧原长x0=h,小球运动到OA中点时,弹簧长度x'=x0=h,此时弹簧弹性势能为0,所以小球从A到OA中点根据机械能守恒定律有mgh=mv2,解得小球运动到OA中点时的速度大小为v=,故C错误,D正确。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
11.(12分)如图所示,有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动,在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B,杆长为L。开始时,杆静止在水平位置,无初速度释放后杆转到竖直位置时,求A、B两小球的速度各是多少
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
答案:
解析:把A、B两小球和杆看成一个系统,杆对A、B两小球的弹力为系统的内力,对系统而言,只有重力做功,系统的机械能守恒。以A球到达的最低点的位置所在的水平面为零势能参考平面,则初状态:系统的动能为Ek1=0,重力势能为Ep1=2mgL;末状态(即杆转到竖直位置):系统的动能为Ek2=m+m,重力势能为Ep2=mg
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
由机械能守恒定律得
2mgL=mgL+m+m
又因为在转动过程中A、B两球的角速度相同,故vA=2vB,联立解得vA=,vB=。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
12.(18分)(2024·云南保山高一期末)如图所示,轻质动滑轮下方用轻质细线悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B,悬挂滑轮的轻质细线均竖直。开始时,重物A、B处于静止状态且距地面高度均为h,释放后A、B开始运动。已知A、B质量相等,假设摩擦力和空气阻力均忽略不计,重力加速度为g。求:
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)重物B刚要落地时的速度大小;
答案:2
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:重物B刚要落地时,重物B下落的高度为h,重物A上升的高度为0.5h。因不计滑轮质量和阻力,A、B组成系统机械能守恒,取地面为参考平面,根据机械能守恒定律得
mgh=mg·h+m+m
由滑轮组关系可知vB=2vA
联立解得vA=,vB=2。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)若重物A上升过程中不会碰到动滑轮,求A离地面的最大高度。
答案:1.6h
解析:重物B刚要落地时,重物A距地面的高度为H1=1.5h
重物B落地后,设重物A再上升的高度为H2,由动能定理得-mgH2=0-m,解得H2=0.1h
则重物A离地面的最大高度为H=H1+H2=1.6h。
2
3
4
