1.1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.类比平面向量,理解空间向量的定义及表示方法,掌握几种特殊的空间向量.
2.经历由平面向量的运算及运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的线性运算.
逐点清(一) 空间向量的有关概念
[多维理解]
1.空间向量的概念
定义 在空间,把具有 和 的量叫做空间向量
长度 或模 空间向量的大小叫做空间向量的 或
表示 方法 ①几何表示:用有向线段表示,有向线段的 表示空间向量的模. ②字母表示:用字母a,b,c,…表示,若向量a的起点是A,终点是B, 则向量a也可以记作,其模记为 或
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做 ,记为
单位向量 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量,叫做a的相反向量,记为
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定:零向量与任意向量 ,即对于任意向量a,都有
相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间, 且 的有向线段表示同一向量或相等向量
|微|点|助|解|
(1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没规定方向,单位向量有无数个,它们的方向并不确定,故它们不一定相等.而所有的零向量都相等.
(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等、方向相同.
[微点练明]
1.下列说法正确的是 ( )
A.任一空间向量与它的相反向量都不相等
B.不相等的两个空间向量的模必不相等
C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆
2.给出下列命题:
①零向量没有方向;
②若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;
③若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;
⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 ( )
A.单位向量有8个
B.与相等的向量有3个
C.的相反向量有4个
D.模为的向量有4个
逐点清(二) 空间向量的加减运算
[多维理解]
项目 语言叙述 图形表示
加法 运算 三角形 法则 ,首指向尾为和 a+b=+=
平行 四边形 法则 为邻边作平行四边形,共起点对角线为和 a+b=+=
减法 运算 三角形 法则 ,方向指向被减向量 a-b=-=
加法 运算律 交换律 a+b=b+a
结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
|微|点|助|解|
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=.
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即+++…+=0.
(3)空间向量加、减法运算的两个技巧
巧用 相反 向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接
巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果
[微点练明]
1.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则--= ( )
A. B. C. D.
2.(多选)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为向量的是 ( )
A.(+)-
B.(-)-
C.(-)+
D.(-)-
3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简-+++,并在图中标出化简结果.
逐点清(三) 空间向量的数乘运算
定义 与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘
几何意义 λ>0 λa与向量a的方向 λa的长度是a的长度的 倍
λ<0 λa与向量a的方向
λ=0 λa=0
运算律 结合律 λ(μa)=
分配律 (λ+μ)a= ,λ(a+b)=
|微|点|助|解|
(1)λa=0 λ=0或a=0.
(2)λ的正负影响λa的方向,λ绝对值的大小影响λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
[典例] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);(2);(3).
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例条件不变,试用a,b,c表示向量.
2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“点P在线段C1D1上,且=”,其他条件不变,如何表示
|思|维|建|模|
(1)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,运用三角形法则或平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
(2)空间向量线性表示的常用结论
①=-;
②在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,有=++;
③若O为空间中任意一点,则点P是线段AB中点的充要条件是=(+);若G为△ABC的重心,
则=(++).
[针对训练]
1.如图,在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,M为A1C1与B1D1的交点.
若=a,=b,=c,则= ( )
A.a-b-c B.a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
2.如图,在空间四边形ABCD中,已知点G为△BCD的重心,E,F,H分别为CD,AD,BC的中点,
化简下列各式,并在图中标出化简结果.
(1)+-;
(2)(+-);
(3)++.
第1课时 空间向量及其线性运算
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.大小 方向 长度 模 长度 |a| || 2.零向量 0 模为1 相等 相反 -a 互相平行或重合 平行
0∥a 相同 相等 同向 等长
[微点练明] 1.C 2.D 3.ABC
[逐点清(二)]
[多维理解] 首尾顺次相接 共起点
共起点,连终点
[微点练明]
1.选B --=+-=-=.
2.选ABC 如图,(+)-=-=+=;(-)-=-=;(-)+=+=;(-)-=(-)-=+=.
3.解:在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,四边形AA1F1F是平行四边形,所以=.同理=
,=,由正六棱柱性质可知=,所以-+++=-+(++)
=+=,所以化简结果如图所示.
[逐点清(三)]
相同 相反 |λ| (λμ)a
λa+μa λa+λb
[典例] 解:(1)∵P是C1D1的中点,∴=++=a++=a+c+=a+b+c.
(2)∵N是BC的中点,∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
(3)∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+a+c+b=a+b+c.
[变式拓展]
1.解:因为P,N分别是C1D1,BC的中点,
所以=++=+(-)+=-a+b-c.
2.解:=+=++=a+b+c.
[针对训练]
1.选A 依题意,=+=+=+(-)=--=a-b-c.
2.解:(1)连接EF,∵G是△BCD的重心,∴=.又=,∴由向量加法的三角形法则可知,
++=++=+=.在图中标出,如图所示.
(2)连接AH,∵F,H分别为AD,BC的中点,∴(+-)=(2-)=-=-=.在图中标出,如图所示.
(3)++=+(-)+(-)=+(+)=+=+=.在图中标出,如图所示.(共49张PPT)
1.1.1
空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算
[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
第1课时
课时目标
1.类比平面向量,理解空间向量的定义及表示方法,掌握几种特殊的空间向量.
2.经历由平面向量的运算及运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的线性运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 空间向量的有关概念
逐点清(二) 空间向量的加减运算
逐点清(三) 空间向量的数乘运算
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 空间向量的有关概念
01
多维理解
1.空间向量的概念
定义 在空间,把具有_____和_____的量叫做空间向量
长度 或模 空间向量的大小叫做空间向量的_____或_____
表示 方法
大小
方向
长度
模
长度
|a|
||
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做________,记为______
单位向量 _______的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度_____而方向_____的向量,叫做a的相反向量,记为____
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定:零向量与任意向量_____,即对于任意向量a,都有_______
相等向量 方向_____且模_____的向量叫做相等向量.在空间, _____且______的有向线段表示同一向量或相等向量
零向量
0
模为1
相等
相反
-a
互相平行或重合
平行
0∥a
相同
相等
同向
等长
|微|点|助|解|
(1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没规定方向,单位向量有无数个,它们的方向并不确定,故它们不一定相等.而所有的零向量都相等.
(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等、方向相同.
微点练明
1.下列说法正确的是 ( )
A.任一空间向量与它的相反向量都不相等
B.不相等的两个空间向量的模必不相等
C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆
√
解析:零向量与它的相反向量相等,A错误;任意一个非零向量与其相反向量不相等,但它们的模相等,B错误;同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小,C正确;将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球,D错误.
2.给出下列命题:①零向量没有方向;②若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;③若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
√
解析:任何一个向量都是有方向的,故①错误;当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等,起点和终点不一定相同,故②错误;根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向也要相同,但③中向量a与b的方向不一定相同,故③错误;命题④显然正确;空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错误.
3.(多选)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 ( )
A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个
C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个
√
√
√
解析:由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量分别为,,,,,,,,共8个,故D错误.
逐点清(二) 空间向量的加减运算
02
多维理解
项目 语言叙述 图形表示
加法 运算 三角形 法则 _____________,首指向尾为和
平行 四边形 法则 _______为邻边作平行四边形,共起点对角线为和
首尾顺次相接
共起点
减法 运算 三角形 法则 _______________,方向指向被减向量
加法 运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 共起点,连终点
续表
|微|点|助|解|
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=.
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即+++…+=0.
(3)空间向量加、减法运算的两个技巧
巧用相反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接
巧用平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果
1.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则--=( )
A. B.
C. D.
微点练明
解析:--=+-=-=.
√
2.(多选)在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为向量的是( )
A.(+)- B.(-)-
C.(-)+ D.(-)-
解析:如图,(+)-=-
=+=;(-)-=-
=;(-)+=+=;(-)-=(-)-=+=.
√
√
√
3.在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中,化简-+++,并在图中标出化简结果.
解:在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中,
四边形AA1F1F是平行四边形,所以=.同理=,=,由正六棱柱性质可知=,所以-+++
=-+(++)=+
=,所以化简结果如图所示.
逐点清(三) 空间向量的数乘运算
03
定义 与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘 几何 意义 λ>0 λa与向量a的方向______ λa的长度是a的长度的______倍
λ<0 λa与向量a的方向______ λ=0 λa=0 运算律 结合律 λ(μa)=______ 分配律 (λ+μ)a=________,λ(a+b)=________ 相同
相反
|λ|
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
|微|点|助|解|
(1)λa=0 λ=0或a=0.
(2)λ的正负影响λa的方向,λ绝对值的大小影响λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
[典例] 如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,
C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
解:∵P是C1D1的中点,∴=++
=a++=a+c+=a+b+c.
(2);
解:∵N是BC的中点,∴=++
=-a+b+=-a+b+
=-a+b+c.
(3).
解:∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+a+c+b=a+b+c.
[变式拓展]
1.若本例条件不变,试用a,b,c表示向量.
解:因为P,N分别是C1D1,BC的中点,
所以=++=+(-)+=-a+b-c.
2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“点P在线段C1D1上,且=”,其他条件不变,如何表示
解:=+=++=a+b+c.
(1)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,运用三角形法则或平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
(2)空间向量线性表示的常用结论
①=-;
②在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,有=++;
③若O为空间中任意一点,则点P是线段AB中点的充要条件是=(+);若G为△ABC的重心,则=(++).
|思|维|建|模|
1.如图,在斜四棱柱ABCD A1B1C1D1中,
底面ABCD是平行四边形,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,
则=( )
针对训练
A.a-b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c
√
解析:依题意,=+=+=+(-)
=--=a-b-c.
2.如图,在空间四边形ABCD中,已知点G为△BCD的重心,E,F,H分别为CD,AD,BC的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果.
(1)+-;
解:连接EF,∵G是△BCD的重心,∴=.又=,∴由向量加法的三角形法则可知,
++=++=+=.
在图中标出,如图所示.
(2)(+-);
解:连接AH,∵F,H分别为AD,BC的中点,
∴(+-)=(2-)
=-=-=.在图中标出,如图所示.
(3)++.
解:++=+(-)+(-)=+(+)
=+=+=.在图中标出,如图所示.
课时跟踪检测
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1.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.向量与的长度相等
B.在空间四边形ABCD中,与是相反向量
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量
解析:向量与是相反向量,长度相等,A正确;在空间四边形ABCD中,
与的模不一定相等,方向也不一定相反,B错误;空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,C错误;由空间向量的有关概念与性质知D正确.
√
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2.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,与向量相等的向量共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:如图,与向量大小相等,方向相同的向量有,,,共3个.
√
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3.化简:(a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)=( )
A.2a+b-2c B.2a+b-2c
C.2a-b-2c D.2a-b-2c
解析:原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c.
√
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4.下列命题中,正确的是 ( )
A.若a≠b,则|a|≠|b| B.若|a|>|b|,则a>b
C.若a=b,则|a|=|b| D.若|a|=|b|,则a=b
√
解析:若a与b为相反向量,则a≠b,但|a|=|b|,故A、D错误;向量的模可以有大小之分,但是向量不可以比较大小,故B错误;向量相等,则其模相等,方向相同,故C正确.
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5.在直三棱柱ABC A1B1C1中,若=a,=b,=c,
则=( )
A.-a+b-c B.a-b+c
C.a-b-c D.a+b-c
解析:由题意,得=-=-(-)
=a-b+c,故选B.
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6.在四面体ABCD中,E为棱BC的中点,则+(+)=( )
A. B. C. D.
解析:如图,因为E为棱BC的中点,
所以+(+)
=+×2=+=.
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7.(多选)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,则 ( )
A.-= B.-=2
C.= D.=
解析:-=+=,A正确,B不正确.=,C正确,D不正确.
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8.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是平行四边形,
=2,则以下结论正确的是( )
A.=++ B.=-+-
C.=-+ D.=+-
解析:因为=2,所以=,=-=+-=+-=+(-)-=+-.
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9.(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则选项中为正确命题的是 ( )
A.+与+是一对相反向量
B.-与-是一对相反向量
C.-与-是一对相等向量
D.(+++)与(+++)是一对相反向量
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解析:对于A,取AD,B1C1的中点M,N(图略),则+=2,+
=2,两者是一对相反向量;对于B,-=,-=,两者是一对相等向量;对于C,-=,-=,两者是一对相反向量;对于D,设四边形ABCD、四边形A1B1C1D1的中心分别为P,Q,分别取AB,CD的中点E,F,A1B1,C1D1的中点G,H(图略),则(+++)=+=
2,(+++)=+=2,两者是一对相反向量.
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10.(多选)如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,P是CA1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,设=a,=b,=c,则下列选项正确的为( )
A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c)
C.=a+b+c D.=a+b+c
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解析:因为P是CA1的中点,所以=(+)=(++)=(a+b+c),故A正确,B错误;因为点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,所以=+=
+=+(-)=+=(+)+=a+b+c,
故C错误,D正确.
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11.(5分)在正方体ABCD A1B1C1D1中,-+= .
解析:-+=+-=+=.
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12.(5分)光岳楼,亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边
长与底边边长之比约为,则++= .
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解析:如图,延长EA,FB,GC,HD相交于一点O,则=,
=,∴++=++=++=+=+=.
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13.(5分)在空间四边形OABC中,若E,F分别是AB,BC的中点,H是EF上的点,且=,记=x+y+z,
则x,y,z的值分别为 .
解析:连接OE,OF,因为=,E,F分别是AB,BC的中点,所以=+=+=+(-)=+=×(+)+×(+)=++,故x=,y=,z=.
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14.(10分)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,点E为棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的向量,写出:
解:用“首尾规则”求解,如果只在含的三角形中考虑,有=+
,=+,=-,=-.(答案不唯一)
(1)的相等向量,的相反向量;(3分)
(2)用另外两个向量的和或差表示;(3分)
解:根据正方体棱与棱之间的关系,的相等向量有,,;的相反向量有,.
(3)用三个或三个以上向量的和表示.(4分)
解:用“首尾规则”求解,则=++,=+++
+.(答案不唯一)
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15.(10分)在平面四边形ABCD中,E,F分,所成的比为λ,即==λ,则有
=+.
(1)拓展到空间,写出空间四边形ABCD类似的命题,并加以证明;(6分)
解:在空间四边形ABCD中,E,F分,所成的比为λ,即==λ,则有=+
.证明如下:
=++=++=(+)++(+)=++++=+.
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(2)在长方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点,利用上述(1)的结论表示.(4分)
解:由(1)的结论可得=+=+.课时检测（一） 空间向量及其线性运算
1.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.向量与的长度相等
B.在空间四边形ABCD中,与是相反向量
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量
2.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,与向量相等的向量共有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.化简:(a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)= ( )
A.2a+b-2c B.2a+b-2c
C.2a-b-2c D.2a-b-2c
4.下列命题中,正确的是 ( )
A.若a≠b,则|a|≠|b| B.若|a|>|b|,则a>b
C.若a=b,则|a|=|b| D.若|a|=|b|,则a=b
5.在直三棱柱ABC A1B1C1中,若=a,=b,=c,则= ( )
A.-a+b-c B.a-b+c
C.a-b-c D.a+b-c
6.在四面体ABCD中,E为棱BC的中点,则+(+)= ( )
A. B.
C. D.
7.(多选)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,则 ( )
A.-=
B.-=2
C.=
D.=
8.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=2,则以下结论正确的是 ( )
A.=++
B.=-+-
C.=-+
D.=+-
9.(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则选项中为正确命题的是 ( )
A.+与+是一对相反向量
B.-与-是一对相反向量
C.-与-是一对相等向量
D.(+++)与(+++)是一对相反向量
10.(多选)如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,P是CA1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,
设=a,=b,=c,则下列选项正确的为 ( )
A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c)
C.=a+b+c D.=a+b+c
11.(5分)在正方体ABCD A1B1C1D1中,-+= .
12.(5分)光岳楼,亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长之比约为,则++= .
13.(5分)在空间四边形OABC中,若E,F分别是AB,BC的中点,H是EF上的点,且=,
记=x+y+z,则x,y,z的值分别为 .
14.(10分)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,点E为棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的向量,写出:
(1)的相等向量,的相反向量;(3分)
(2)用另外两个向量的和或差表示;(3分)
(3)用三个或三个以上向量的和表示.(4分)
15.(10分)在平面四边形ABCD中,E,F分,所成的比为λ,即==λ,则有=+.
(1)拓展到空间,写出空间四边形ABCD类似的命题,并加以证明;(6分)
(2)在长方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点,利用上述(1)的结论表示.(4分)
课时检测(一)
1．选AD 向量与是相反向量，长度相等，A正确；在空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，B错误；空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，C错误；由空间向量的有关概念与性质知D正确．
2．选C 如图，与向量大小相等，方向相同的向量有，，，共3个．
3．选B 原式＝a＋3×a－a＋2b－3×b＋2b－3c＋3×c－c＝2a＋b－2c.
4．选C 若a与b为相反向量，则a≠b，但|a|＝|b|，故A、D错误；向量的模可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，故B错误；向量相等，则其模相等，方向相同，故C正确．
5．选B 由题意，得＝－＝－(－)＝a－b＋c，故选B.
6．选C 如图，因为E为棱BC的中点，所以＋(＋)＝＋×2＝＋＝.
7．选AC －＝＋＝，A正确，B不正确.＝，C正确，D不正确．
8．选D 因为＝2，所以＝，＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝＋－.
9．选AD 对于A，取AD，B1C1的中点M，N(图略)，则＋＝2，＋＝2，两者是一对相反向量；对于B，－＝，－＝，两者是一对相等向量；对于C，－＝，－＝，两者是一对相反向量；对于D，设四边形ABCD、四边形A1B1C1D1的中心分别为P，Q，分别取AB，CD的中点E，F，A1B1，C1D1的中点G，H(图略)，则(＋＋＋)＝＋＝2，(＋＋＋)＝＋＝2，两者是一对相反向量．
10．选AD 因为P是CA1的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)，故A正确，B错误；因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c，故C错误，D正确．
11．解析：－＋＝＋－＝＋＝.
答案：
12．解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.
答案：
13．解析：连接OE，OF，因为＝，E，F分别是AB，BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×(＋)＋×(＋)＝＋＋，故x＝，y＝，z＝.
答案：，，
14．解：(1)根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有，，；的相反向量有，.
(2)用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有＝＋，＝＋，＝－，＝－.(答案不唯一)
(3)用“首尾规则”求解，则＝＋＋，＝＋＋＋＋.(答案不唯一)
15．解：(1)在空间四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋.证明如下：
＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＋＝＋.
(2)由(1)的结论可得＝＋＝＋.
